Lösungsmethoden für Differentialgleichungen 2. Ordnung

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1 Lösungsmthodn fü Diffntialglichungn. Odnung Bhandlung in Rih von Tn d Dgl.. Odnung, fü di infach Lösungsmöglichkitn istin bzw. di sich auf Dgl. st Odnung zuückfühn lassn.. T f(,) ( kommt nicht vo) wid bhandlt als Dgl. st Odnung d Funktion () f(, ) Dgl.. Odnung allg. Lösung findn (, C ) allg. Lösung d Dgl.. Odnung duch Intgation von (, C ) d + C Bisil: ( + ) + 0 ' ( ) ( + d ) ' d + ln ln( + C ' + C actan + C ) + lnc. T f(,) ( kommt lizit nicht vo) Tick: Gsucht wid als Funktion von (wobi Funktion von ist) ' ( ( )) d d da ' d d Duch Einstzn von und hält man fü () d f (, ) Das ist in Dgl. st Odnung, alldings fü () mit d allg. Lösung (, C ) Di allg. Lösung d usünglichn Dgl. findt man duch Vaiablntnnung: ' (, C ) d (, C ) (, + C C ) D. Hml / Mathmatisch Gundlagn - Diffntialglichungn - Sit

2 Bisil: + ' " 0 () + ' 0 + ' 0, + z zz' z 0 zdz d + z ln( + z ) ln + lnc + z C z d C ' C C d C accos C ϕ + C cos( ϕ + C ) C z; ' z' + z dϕ 3. T f() + g() 0 - wän f und g nu Funktionn von, läg T vo. - wän f und g nu Funktionn von, läg T vo. Es ligt nah zu untsuchn, ob sich als Lösungsansatz in Podukt aus in Fuktion von und in Funktion von vwndn läßt: Diffnzit man dn Ansatz gibt sich: q + q q + q q () q() Eingstzt hält man: + f ( ) q q + g( )q 0 qq + q d dq q d () 0 und q() 0 gbn di Tiviallösung, di nicht wit bachtt wid. Di Lösung hält man mit dm Klammausduck glich Null, d.h. wnn man di Lösungn d bidn Diffntialglichungn instzt: + f ( ) 0 und q + g( ) q 0 D. Hml / Mathmatisch Gundlagn - Diffntialglichungn - Sit

3 Bisil: + 0 od + 0 Es sind also f() / und g() - / q Ansatz: () q() + 0 q 0 Es gibt sich: Lösung: q C ln C ln + ln C C C c q c C 4. T a() + b() + c() d() - Dgl.. Odnung - homogn, wnn d() 0 - inhomogn, wnn d() 0. Im Fall d homognn Dgl. ist jd Linakombination zwi Lösungn η () und η () bnfalls in Lösung und bi Dgl. zwit Odnung ist C η ()+C η () di allgmin Lösung, voausgstzt, η () und η () sind lina unabhängig (η () Cη ()).. Ist in Funktion u() + iv() Lösung in homognn linan Dgl. mit lln Koffizintn so sind auch u(), v() und C u() + C v() Lösungn d Dgl., sofn u() und v() lina unabhängig sind. C u() + C v() ist dann di allgmin Lösung d Dgl..Odnung. 3. Di allg. Lösung d inhomognn Dgl. untschidt sich von d allg. Lösung d homognn Dgl. nu duch in additiv Funktion ϕ(), di slbst atikulä Lösung d inhomognn Dgl. ist: C u() + C v() + ϕ() 4. Wnn man in atikulä Lösung d homognn Dgl. gfundn hat, kann man mittls Vaiation d Konstantn di allg. Lösung d homognn und d inhomognn Dgl. haltn. Bwis: η() si Lösung d Dgl. a η + bη + cη 0 Dann ist auch Cη() in Lösung. Wi abitn wit mit dm Ansatz: C( ) η ( ); C η + Cη ; C η + C η + Cη { aη + bη} C + { aη + bη + c } C d a ηc + η D Klammausduck vo C ist Null, da η Lösung d homognn Glichung ist. Es blibt in Dgl. T fü di Funktion C(). Duch Substitution C () gibt sich in lina Dgl.. Odnung. D. Hml / Mathmatisch Gundlagn - Diffntialglichungn - Sit 3

4 Als Lösung gibt sich in Ausduck d Gstalt: C η () + C η () + ϕ() Bisil: 3 + sin in homogn Lösung: C(); C + C; C + C C 3 sin C sin C -sin + C + C allgmin Lösung: C + C - sin Nach d Btachtung d vschidnn Lösungsvaiantn si abgtnnt noch in in d Phsik wichtig Fall d Diffntialglichung. Odnung mit konstantn Koffizintn bhandlt: Di homogn Schwingungsglichung a + b + c 0 (a,b,c konstant) Ein Lösungsansatz: λ gibt: ( aλ + bλ + c) 0 λ Dis Glichung wid füllt insits im tivialn Fall - (ntsicht 0), andsits, wnn d Klammausduck Null wid. Wnn man dn tivialn Fall ausschlißt, füht di Lösung d Diffntialglichung damit auf di Lösung in quadatischn Glichung, di in d Rgl Lösungn fü λ bsitzt. Entschnd gstaltt sich di Lösung d Dgl.:. λ λ, ll λ λ Dann sind di Lösungn d Dgl. und Di allgmin Lösung hißt ntschnd Satz (sih obn T 4): C + C. λ, α ±iβ ( α + iβ ) α Dann ist in d Lösungn { cos β + i sin β} Di allgmin Lösung lautt ntschnd Satz (sih obn T 4): α { C β C sin β } cos λ λ -b/a Mit dm Volign dis Dollösung läßt sich nicht ohn wits auf di allgmin Lösung schlißn. Est duch Vaiation d Konstantn kann man dis allgmin Lösung findn. Entschnd Satz 4 (sih obn T 4) folgt d Lösungsansatz: C( ) ( C + λ C) ( C + λc + λ C) D. Hml / Mathmatisch Gundlagn - Diffntialglichungn - Sit 4

5 Duch Einstzn in di Dgl. findt man C(): { ac + (aλ + b) C + ( aλ + bλ + c) C} 0 fü λ -b/a vschwindn di Klammausdück bi C und C und s blibt C 0 Di Lösung dis Dgl. ist bkanntlich C C + C womit man im Fall in Dolwuzl als allgmin Lösung d usünglichn Dgl. haltn: C + C Bisil: 0 ntsicht Fall, λ λ, ll λ 0 λ ± C + C Bisil: + 0 ntsicht Fall, λ, α ±iβ λ + 0 λ ± i C cos + C sin ± i cos ± i sin Bisil: ntsicht Fall 3, λ λ -b/a λ + λ + 0 λ λ C + C D. Hml / Mathmatisch Gundlagn - Diffntialglichungn - Sit 5

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