Der Rang einer Matrix A. Beispiel

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Der Rang einer Matrix A. Beispiel"

Transkript

1 Der Rang einer Matrix A ist gleich Anzahl der Zeilen ungleich 0, nachdem die Matrix durch elementare Zeilenoperationen in Zeilenstufenform gebracht worden ist. Bezeichnung: ranga oder rga. Beispiel A = hat Rang 2, da sie sich durch elementare Zeilenumformungen gemäÿ dem GauÿAlgorithmus in die Matrix überführen lässt. matrizen13b.pdf, Seite 1

2 Eigenschaften Der Rang einer m nmatrix A... ist minm, n, also kleiner gleich der Zahl der Zeilen und kleiner gleich der Zahl der Spalten, ändert sich nicht unter elementaren Zeilenoperationen, ändert sich nicht unter elementaren Spaltenoperationen Vertauschen zweier Spalten, Multiplikation einer Spalte mit einer Konstanten 0, Addition einer Spalte zu einer anderen Spalte, ist gleich der maximalen Zahl linear unabhängiger Zeilen, ist gleich der maximalen Zahl linear unabhängiger Spalten, ist gleich dem Rang der Transponierten A T. rgab rga und rgab rgb matrizen13b.pdf, Seite 2

3 Bemerkung / Folgerung Bei der Bestimmung des Ranges dürfen an einer Matrix A auch elementare Spaltenopertionen durchgeführt werden. Beispiel rg = rg = rg = rg = rg = rg = 2 angewandte Operationen: Letzte Spalte mal 1 2, Vertauschen der 1. und 4. Spalte, Vertauschen der 2. und 3. Zeile, 3. Zeile minus 1. Zeile, 3. Zeile minus 2. Zeile matrizen13b.pdf, Seite 3

4 Warnung Spaltenoperationen sind nur dann zulässig, wenn es ausschlieÿlich um die Bestimmung des Ranges geht. Dies hängt damit zusammen, dass der Rang von A gleich dem der Transponierten A T ist. Bei der Lösung von linearen Gleichungssystemen und der Invertierung von Matrizen kommt später dürfen dagegen die betrachteten Koezientenmatrizen ausschlieÿlich zeilenweise umgeformt werden. matrizen13b.pdf, Seite 4

5 Rang und lineare Gleichungssysteme Mit dem Rang einer m nmatrix A und dem Rang der erweiterten KoezientenMatrix A b die dann eine m n + 1Matrix ist lassen sich Aussagen über die Anzahl der Lösungen des linearen Gleichungssystems Ax = b treen. Der Rang von A gibt an, wie viele Unbekannte bei der Lösung des Gleichungssystems Ax = b eindeutig festgelegt sind. Hat man die erweiterte Koezientenmatrix A b in die Zeilenstufenform Ã, b gebracht, so ist das LGS genau dann nicht lösbar, wenn es eine Zeile gibt, in der à nur Nullen enthält, aber der entsprechende Koezient von b ungleich Null ist. Das bedeutet aber, dass der Rang von A b echt gröÿer dem Rang von A ist. Also gilt Ax = b nicht lösbar rga b > rga. matrizen13b.pdf, Seite 5

6 Zusammenhang zwischen Rang und Lösungen eines LGS Für das LGS Ax = b mit der m nmatrix A und b R m gilt Das LGS ist genau dann lösbar, wenn für die erweiterte Koezientenmatrix A b gilt rga b = rga. Insbesondere: Ist rga = m, so ist Ax = b für alle b R m lösbar. Die Lösung ist eindeutig, wenn rga = n. Ist rga b = rga = k, so können n k Unbekannte als freie Parameter beliebig gewählt werden. Spezialfall: Für eine quadratische n nmatrix A mit rga = n hat das LGS Ax = b für jedes b R n eine eindeutige Lösung. matrizen13b.pdf, Seite 6

7 Beispiel Mit A = rga = rg = rg sowie rga b = rg siehe vorheriges Beispiel. und b = = rg = rg ist = 2 = 2 Es folgt, dass das LGS Ax = b lösbar ist. Es gibt n = 3 Unbekannte = Zahl der Spalten von A, von denen rga = 2 durch das LGS festgelegt werden. Somit enthält die allgemeine Lösung einen = 3 2 freien Parameter. matrizen13b.pdf, Seite 7

8 Beispiel 2 Mit b = Beispiel ist rga b = rg = rg und A = = rg = rg aus dem letzten / = 3 Wegen rga = 2 < rga b = 3 hat das LGS Ax = b jetzt keine Lösung. matrizen13b.pdf, Seite 8

9 Beispiel 3 Mit A = rga = rg = rg ist = rg = rg / = 3 Ist b R nun ein beliebiger Vektor, so hat die erweiterte 3 Koezientenmatrix A b drei Zeilen, also ist rga b 3. Damit ist das LGS Ax = b in jedem Fall lösbar. Wegen rga = 3 werden dabei alle 3 Unbekannten eindeutig festgelegt, d. h. das LGS ist für beliebiges b R eindeutig 3 lösbar. matrizen13b.pdf, Seite 9

10 Inverse Matritzen Spezialfall: Die Gleichung ax = b mit einer Unbekannten x kann mit Hilfe des Kehrwerts 1 a = a 1 gelöst werden: ax = b x = b a = a 1 b. Verallgemeinerung auf Ax = b mit einer n nmatrix A: Wenn es eine Matrix A die Kehrmatrix 1 1 gibt mit A A 1 A = I n, so kann damit das LGS Ax = b durch Umstellung der Gleichung gelöst werden: Ax = b A 1 Ax = A 1 b A 1 Ax = A 1 b I n x = A 1 b x = A 1 b matrizen13b.pdf, Seite 10

11 Beispiel Mit A = ist BA = AB = I 2 = und B = also ist B = A 1 die Kehrmatrix von A. Für die Lösung x = x1 x 2 Beweis durch nachrechnen, des LGS Ax = 1 1 gilt dann, indem beide Seiten der Gleichung von links mit B multipliziert werden: 2 3 x1 1 = x 2 x x1 1 = 0 1 x = x 2 x1 x = 1 matrizen13b.pdf, Seite 11

12 Denition Eine quadratische n nmatrix heiÿt invertierbar, wenn es eine n nmatrix A gibt mit 1 A 1 A = AA 1 = I n. A 1 ist dann die Inverse von A. Beispiel = bzw = Bemerkung Aus der Denition folgt unmittelbar: Ist B die Inverse von A, so ist A die Inverse von B Man sagt: A und B sind zueinander invers. matrizen13b.pdf, Seite 12

13 Gruppeneigenschaft Sind A und B invertierbar, so auch AB mit Inversem AB 1 = B 1 A 1 Achtung: umgekehrte Reihenfolge!. Es folgt, dass die Menge aller invertierbaren n nmatrizen eine nichtkommutative Gruppe bildet mit neutralem Element I n. Aus der allgemeinen Gruppeneigenschaft folgt Die inverse Matrix ist eindeutig bestimmt. Es genügt, eine der beiden Bedingungen nachzuprüfen: Aus A 1 A = I n folgt automatisch AA 1 = I n und umgekehrt. Achtung: Die obige Argumentation funktioniert nur bei quadratischen Matrizen. Bei m nmatrizen mit m n ist die Betrachtung von Inversen nicht sinnvoll. matrizen13b.pdf, Seite 13

14 Berechnung der Inversen Ist b k = b b n1 die kte Spalte von B = A 1, so folgt aus AB = I n und der Denition der Matrixmultiplikation bei Betrachtung der kten Spalte Ab k = e k kter StandardEinheitsvektor. Beispiel: Aus b11 b B = 12 = b 21 b b11 b 12 = b 21 b 22 b11 1 = b und b12 1 folgt = b matrizen13b.pdf, Seite 14

15 Inverse Matrix mit GauÿAlgorithmus Zur Berechnung von A können mit dem GauÿAlgorithmus 1 die Gleichunssysteme Ab 1 = e 1, Ab 2 = e 2,...,Ab n = e n simultan gelöst werden. Dazu startet man mit der erweiterten Koezientenmatrix A I n und transformiert diese durch elementare Zeilenumformungen in I n A. 1 Beispiel A = A 1 = Im letzten Schritt wurde 2fache der zweiten Zeile von der ersten Zeile subtrahiert, um den Koezienten a 12 oberhalb der Diagonale zu Null zu machen. matrizen13b.pdf, Seite 15

16 Beispiel A = A 1 = Grün: Im nächsten Schritt zu 0 machen, rot: zu 1 machen, blau: wird verändert, fett/rot: Pivotelement matrizen13b.pdf, Seite 16

17 Algorithmus zur Invertierung von A = a ij Starte mit der erweiterten Koezientenmatrix A I n. for j=1; j<=n; j++ { Ist a jj = 0, so wähle i > j mit a ij 0 und vertausche die Zeilen i und j. Ist dies nicht möglich, so ist A nicht invertierbar. multipliziere jte Zeile mit 1/a jj. Dadurch wird a jj zu 1 for i=j+1; i<=n; i++ subtrahiere von der iten Zeile das a ij fache der jten Zeile. Dadurch werden die Koezienten unterhalb a jj zu 0 } for j=n; j>=2; j for i=1; i<j; i++ subtrahiere von der iten Zeile das a ij fache der jten Zeile. Dadurch werden die Koezienten oberhalb a jj zu 0 Das Ergebnis ist I n A 1. matrizen13b.pdf, Seite 17

18 Anwendungen Muss man ein LGS Ax = b für verschiedene b und die selbe Matrix A lösen, ist es oft sinnvoll, A zu berechnen 1 Bsp. Umrechnung RGBYPbPrFarben Umkehrung von linearen Transformationen Dekodierung von Daten Beispiel Die Matrix A = beschreibt in der Ebene eine Linksdrehung um 45 o kombiniert mit einer gleichmäÿigen Streckung um den Faktor 2. A 1 = beschreibt dann eine Rechtsdrehung um 45 o kombiniert mit einer Stauchung um den Faktor 2. matrizen13b.pdf, Seite 18

19 Drehstreckung mit A = matrizen13b.pdf, Seite 19

20 Bemerkung Nicht jede quadratische Matrix A, die ungleich der Nullmatrix 0 n,n ist, ist invertierbar. Es gilt: A ist invertierbar Das LGS Ax = b ist für jedes b R n eindeutig lösbar Begründung für : Ist das LGS immer eindeutig lösbar, so kann die inverse Matrix mit dem GauÿAlgorithmus berechnet werden. Für : Existiert A 1, so ist die Lösung des LGS gegeben durch x = A 1 b. matrizen13b.pdf, Seite 20

21 Invertierbarkeit und Rang Weiterhin gilt für eine n nmatrix: Das LGS Ax = b ist für jedes b R n eindeutig lösbar genau dann, wenn rga = n. Das heiÿt, eine n nmatrix ist genau dann invertierbar, wenn sie vollen Rang = n hat. Matrizen mit dieser Eigenschaft quadratisch, invertierbar, voller Rang werden auch als regulär bezeichnet. Beispiel A = ist nicht regulär und damit auch nicht invertierbar, da rga = rg = rg = 1 < matrizen13b.pdf, Seite 21

22 Beispiel: Inverse Matrix in Z 3 2 Daten werden in Bitfolgen mit jeweils 3 Bit unterteilt, die als Vektoren x Z aufgefasst werden. 3 2 Die Daten werden verschlüsselt, indem x mit der Matrix A = multipliziert wird, d. h. die verschlüsselten Daten haben die Form y = Ax Z 3 2, z. B. wird x = zu y = Ax = = verschlüsselt. Da Entschlüsselung erfolgt nun mit der inversen Matrix A 1 : Aus y = Ax folgt x = A 1 y. Die Berechnung von A erfolgt wie bei einer Matrix mit 1 reelllen Koezienten mit dem GauÿAlgorithmus. Man erhält A 1 = und damit z. B = matrizen13b.pdf, Seite 22

23 LRZerlegung In praktischen Anwendungen wird oft anstelle der inversen Matrix die LRZerlegung auch LUZerlegung genannt einer Matrix A berechnet: Die quadratische Matrix A wird dargestellt als Produnkt A = LR, wobei L eine untere und R eine obere Dreiecksmatrix ist. R ist dabei die Matrix, die aus A durch die Umformungen im GauÿAlgorithmus entsteht, L speichert die Informationen über die durchgeführten Zeilenoperationen. Beispiel: = matrizen13b.pdf, Seite 23

24 Determinante Die Determinante A = det A einer quadratischen Matrix A ist eine reelle Zahl mit der Eigenschaft A invertierbar det A 0. Die Berechnung erfolgt rekursiv: deta 11 = a 11 für eine 1 1Matrix, a b det = ad bc für eine 2 2Matrix, c d deta ij = n j=1 1j+1 a 1j det A 1j = a 11 det A 11 a 12 det A 12 +a 13 det A 13 ±...±a 1n det A 1n für eine n nmatrix, wobei A ij die Matrix bezeichnet, die entsteht, wenn man aus A die ite Zeile und die jte Spalte entfernt. matrizen13b.pdf, Seite 24

25 Beispiel 1 det = 1 det = = det det = = 0. Es folgt, dass die Matrix nicht invertierbar ist matrizen13b.pdf, Seite 25

26 Beispiel 2 Für welche Werte des Parameters p R ist die Matrix A p = p p p invertierbar bzw. das LGS A p x = b für alle b R eindeutig 3 lösbar? Dazu muss gelten det A p = p det p 1 1 p det p = pp p p = p 3 p 0 p { 1, 0, 1}. + det 1 p 1 1 Es folgt, dass A p für alle p mit p 0 und p ±1 invertierbar ist. matrizen13b.pdf, Seite 26

27 LaplaceEntwickling der Determinante Die angegebene Formel ist die LaplaceEntwicklung nach der ersten Zeile. Analog ist eine Entwicklung nach der iten Zeile für beliebiges i möglich: det A = n 1 i+j a ij det A ij, j=1 sowie nach der jten Spalte: n det A = 1 i+j a ij det A ij i=1 Beispiel Entwicklung nach 3. Spalte det = matrizen13b.pdf, Seite 27

28 LaplaceEntwickling in Worten Die Einträge a ij einer ausgewählten Zeile oder Spalte der Matrix A werden durchlaufen und jeweils mit der Determinante der n 1 n 1Untermatrix A ij multipliziert, die entsteht wenn aus A die i-te Zeile und die j-te Spalte entfernt wird. Über die so berechneten n Werte je einer für jeden Koezienten der ausgewählten Zeile bzw. Spalte wird die alternierende d. h. mit wechselnden Vorzeichen Summe gebildet. Die Wahl der Vorzeichen erfolgt dabei nach einem Schachbrettmuster: matrizen13b.pdf, Seite 28

29 Beispiel Entwicklung nach der 2. Spalte det = 2 det det = 2 7 = 5 Die Summanden für die beiden Nulleinträge der Entwicklungsspalte sind Null und fallen daher weg, die zugehörigen Unterdeterminaten brauchen nicht berechnet zu werden. Grundsätzlich empehlt es sich, die Determinante nach einer Zeile oder Spalte zu entwickeln, die möglichst viele Nullen enthält. matrizen13b.pdf, Seite 29

30 Dreiecksmatrizen Besonders einfach wird die Berechnung der Determinante bei einer oberen Dreiecksmatrix a ij mit a ij = 0 für j < i In diesem Fall ist folgt aus der Entwicklung nach der 1. Spalte a 11 a a 1n... det 0... n = a a nn = a ii a nn Analog ist deta ij = n a i=1 ii auch für eine untere Dreiecksmatrix mit a ij = 0 für i > j. Insbesondere ist det I n = 1. i=1 matrizen13b.pdf, Seite 30

31 Eigenschaften der Determinante Vertauschen zweier Zeilen ändert das Vorzeichen der Determinante. Die Determinante ändert sich nicht, wenn zu einer Zeile ein Vielfaches einer anderen Zeile dazuaddiert wird. Mulitipliziert man eine Zeile mit dem Skalar c, so multipliziert sich die Determinante mit c. Es folgt detca = c n det A jede Zeile wird mit c multipliziert. Alle Eigenschaften bleiben gültig, wenn Zeile durch Spalte ersetzt wird. deta T = det A. detab = det A det B. det A 1 = 1 det A, falls A invertierbar. matrizen13b.pdf, Seite 31

32 Berechnung der Determinante Bei einer voll besetzten n nmatrix d. h. alle Koezienten sind 0 erfordert die Entwicklung nach einer Zeile oder Spalte über n! Multiplikationen. Transformiert man die Matrix durch elementare Zeilen bzw. Spaltenoperationen zunächst in eine Dreiecksmatrix, so kann die Determinante mit On 3 Rechenoperationen berechnet werden. Daher wird dieses Verfahren bei groÿen Matrizen in der Praxis vorgezogen. Beispiel mit Zeilenoperationen nach Gauÿ = = = = 0 matrizen13b.pdf, Seite 32

33 Beispiel 2 = = = = = = 5. Im 1. Schritt wurden die Zeilen 2 und 3 vertauscht, wodurch sich das Vorzeichen ändert, danach Vorwärtselimination nach Gauÿ. Beispiel = = = = = Im 1. Schritt wurden die Zeilen 1 und 3 vertauscht und der Faktor 2 aus der 2. Zeile herausgezogen. matrizen13b.pdf, Seite 33

34 Die Regel von Sarrus ist eine alternative Möglichkeit zur Berechnung der Determinante einer 3 3Matrix: det A = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 Achtung: funktioniert nur bei 3 3! matrizen13b.pdf, Seite 34

35 Beispiel A = Man schreibt und erhält bzw det A = = = 0 matrizen13b.pdf, Seite 35

36 Geometrische Interpretation der Determinante Der Betrag det A der Determinante einer 2 2Matrix a11 a A = 12 entspricht der Fläche des von den a 21 a 22 Spaltenvektoren a11 s 1 = a 21 und s 2 = a12 a 22 aufgespannten Parallelogramms und ist gleich der Fläche des von den Zeilenvektoren z 1 = a 11 a 12 und z 2 = a 21 a 22 aufgespannten Parallelogramms. det A ist positiv, wenn das System {s 1, s 2 } positiv orientiert ist, d. h. s 1 durch eine Linksdrehung um einen Winkel kleiner 180 o in die Richtung von s 2 überführt werden kann. det A ist negativ, wenn {s 2, s 1 } positiv orientiert ist {s 1, s 2 } ist negativ orientiert. det A = 0 genau dann, wenn s 1 und s 2 entweder in die gleiche oder in entgegengesetzte Richtungen zeigen, d. h. auf einer Geraden liegen. In diesem Fall sind die beiden Vektoren linear abhängig. matrizen13b.pdf, Seite 36

37 Beispiel Aus det Spaltenvektoren = = 2 folgt, dass die } 2, sowie die Zeilenvektoren { {1; 2, 3; 4} jeweils negativ orientiert sind und die aufgespannten Parallelogramme jeweils die Fläche 2 haben. matrizen13b.pdf, Seite 37

38 Anwendung Bilden die Spaltenvektoren s 1 und s 2 einer Matrix A zwei Seiten eines Dreiecks, so ist die Dreiecksäche gleich 1 det A da ein 2 Dreieck ein halbes Parallelogramm ist. Beispiel Das Dreieck mit den Ecken A = 3, B = 1 und C = hat die Seitenvektoren B A = 4, C A = 5 und 2 3 C B = 1. Seine Fläche ist somit gleich det 4 5 = 1 2 det 4 1 = 1 2 det 5 1 = = matrizen13b.pdf, Seite 38

39 Geometrische Interpretation einer 3 3Determinante Der Betrag det A der Determinante einer 3 3Matrix A ist gleich dem Volumen des von den Spaltenvektoren von A aufgespannten Parallelepipeds Spats sowie gleich dem Volumen des von den Zeilenvektoren aufgespannten Spats. Sie ist positiv wenn die Spaltenvektoren sowie die Zeilenvektoren jeweils positiv orientiert sind ein Rechtssystem bilden und negativ, wenn die Spalten- und Zeilenvektoren negativ orientiert sind. Die Determinate ist 0, wenn die Spaltenvektoren in einer Ebene liegen linear abhängig sind. In diesem Fall liegen auch die Zeilenvektoren in einer Ebene. matrizen13b.pdf, Seite 39

40 Lineare Abbildungen Bei der linearen Abbildung x y = Ax mit einer 2 2Matrix A gibt det A den Faktor an, um den Flächeninhalte ändern. Die Determinante einer 3 3Matrix A gibt entsprechend die Änderung dreidimensionaler Volumina an. Die Abbildung ist x Ax orientierungstreu, wenn det A > 0. Ist det A < 0, so werden geometrische Objekte nach der Abbildung seitenverkehrt dargestellt. Multiplikation mit A = : Vergröÿerung der Fläche um den Faktor det A = 3 und seitenverkehrte Darstellung matrizen13b.pdf, Seite 40

41 Die Cramersche Regel ist eine Formel zur Lösung von linearen Gleichungssystemen und zur Berechnung von inversen Matrizen mit Hilfe von Determinanten. Zum Beispiel gilt für eine invertierbare 2 2Matrix A a b c d 1 = 1 det A Beispiel: = d b = c a ad bc = d b c a Die Cramersche Regel ist jedoch vom Rechenaufwand her nur für kleine n = 2 oder 3 sinnvoll einsetzbar. Zudem löst sie das LGS Ax = b nur in solchen Fallen, wo A eine invertierbare quadratische Matrix ist. matrizen13b.pdf, Seite 41

Spezialfall: Die Gleichung ax = b mit einer Unbekannten x kann mit Hilfe des Kehrwerts 1 a = a 1 gelöst werden:

Spezialfall: Die Gleichung ax = b mit einer Unbekannten x kann mit Hilfe des Kehrwerts 1 a = a 1 gelöst werden: Inverse Matritzen Spezialfall: Die Gleichung ax b mit einer Unbekannten x kann mit Hilfe des Kehrwerts 1 a a 1 gelöst werden: ax b x b a a 1 b. Verallgemeinerung auf Ax b mit einer n nmatrix A: Wenn es

Mehr

9.2 Invertierbare Matrizen

9.2 Invertierbare Matrizen 34 9.2 Invertierbare Matrizen Die Division ist als Umkehroperation der Multiplikation definiert. Das heisst, für reelle Zahlen a 0 und b gilt b = a genau dann, wenn a b =. Übertragen wir dies von den reellen

Mehr

In diesem Abschnitt betrachten wir nur quadratische Matrizen mit Komponenten aus einem Körper K, also A K n n für ein n N. Wenn (mit einem n > 1)

In diesem Abschnitt betrachten wir nur quadratische Matrizen mit Komponenten aus einem Körper K, also A K n n für ein n N. Wenn (mit einem n > 1) 34 Determinanten In diesem Abschnitt betrachten wir nur quadratische Matrizen mit Komponenten aus einem Körper K, also A K n n für ein n N Wenn (mit einem n > 1) a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =, (1)

Mehr

8.2 Invertierbare Matrizen

8.2 Invertierbare Matrizen 38 8.2 Invertierbare Matrizen Die Division ist als Umkehroperation der Multiplikation definiert. Das heisst, für reelle Zahlen a 0 und b gilt b = a genau dann, wenn a b =. Übertragen wir dies von den reellen

Mehr

Vektorräume und Rang einer Matrix

Vektorräume und Rang einer Matrix Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Vektorräume und Rang einer Matrix Dr. Thomas Zehrt Inhalt:. Lineare Unabhängigkeit 2. Vektorräume und Basen 3. Basen von R n 4. Der Rang und Rangbestimmung

Mehr

Matrizen, Determinanten, lineare Gleichungssysteme

Matrizen, Determinanten, lineare Gleichungssysteme Matrizen, Determinanten, lineare Gleichungssysteme 1 Matrizen Definition 1. Eine Matrix A vom Typ m n (oder eine m n Matrix, A R m n oder A C m n ) ist ein rechteckiges Zahlenschema mit m Zeilen und n

Mehr

37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme

37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme 37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme 37 Motivation Lineare Gleichungssysteme treten in einer Vielzahl von Anwendungen auf und müssen gelöst werden In Abschnitt 355 haben wir gesehen, dass

Mehr

Vektoren und Matrizen

Vektoren und Matrizen Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Vektoren und Matrizen Dr. Thomas Zehrt Inhalt: 1. Vektoren (a) Einführung (b) Linearkombinationen (c) Länge eines Vektors (d) Skalarprodukt (e) Geraden

Mehr

Lineare Gleichungssysteme und Matrizen

Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Kapitel 11 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Ein lineares Gleichungssystem (lgs) mit m linearen Gleichungen in den n Unbekannten x 1, x 2,..., x n hat die Gestalt: Mit a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x

Mehr

3.11 Volumen und Determinanten

3.11 Volumen und Determinanten Im Wintersemester 2012/13 wurde in der Vorlesung Höhere Mathematik 1 für Ingenieurstudiengänge die Behandlung der Determinante neu gefasst: 311 Volumen und Determinanten 3111 Berechnung von Flächeninhalten

Mehr

4 Vorlesung: 21.11. 2005 Matrix und Determinante

4 Vorlesung: 21.11. 2005 Matrix und Determinante 4 Vorlesung: 2111 2005 Matrix und Determinante 41 Matrix und Determinante Zur Lösung von m Gleichungen mit n Unbekannten kann man alle Parameter der Gleichungen in einem rechteckigen Zahlenschema, einer

Mehr

8. Elemente der linearen Algebra 8.5 Quadratische Matrizen und Determinanten

8. Elemente der linearen Algebra 8.5 Quadratische Matrizen und Determinanten Einheitsmatrix Die quadratische Einheitsmatrix I n M n,n ist definiert durch I n = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 (Auf der Hauptdiagonalen stehen Einsen, außerhalb Nullen Durch Ausmultiplizieren sieht man I n A = A

Mehr

Serie 10: Inverse Matrix und Determinante

Serie 10: Inverse Matrix und Determinante D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 5 Dr Ana Cannas Serie 0: Inverse Matrix und Determinante Bemerkung: Die Aufgaben dieser Serie bilden den Fokus der Übungsgruppen vom und 5 November Gegeben sind die

Mehr

(Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9)

(Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9) (Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9) Sei K ein beliebiger Körper. Ein Vektorraum über K ist eine (nichtleere) Menge V, auf der zwei Operationen deniert sind, die bestimmten Rechenregeln genügen:

Mehr

Besteht eine Matrix nur aus einer Spalte (Zeile), so spricht man auch von einem Spaltenvektor (Zeilenvektor)

Besteht eine Matrix nur aus einer Spalte (Zeile), so spricht man auch von einem Spaltenvektor (Zeilenvektor) Matrizenrechnung. Matrizen Matrizen sind bereits im Kapitel Lineare Gleichungssysteme aufgetreten. Unter einer (m n) -Matrix A verstehen wir ein rechteckiges Zahlenschema mit m Zeilen und n Spalten. Der.

Mehr

Copyright, Page 1 of 5 Die Determinante

Copyright, Page 1 of 5 Die Determinante wwwmathematik-netzde Copyright, Page 1 of 5 Die Determinante Determinanten sind ein äußerst wichtiges Instrument zur Untersuchung von Matrizen und linearen Abbildungen Außerhalb der linearen Algebra ist

Mehr

36 2 Lineare Algebra

36 2 Lineare Algebra 6 Lineare Algebra Quadratische Matrizen a a n sei jetzt n m, A, a ij R, i, j,, n a n a nn Definition Eine quadratische Matrix A heißt invertierbar genau dann, wenn es eine quadratische Matrix B gibt, so

Mehr

Matrizen. Spezialfälle. Eine m nmatrix ist ein rechteckiges Zahlenschema mit. m Zeilen und n Spalten der Form. A = (a ij ) =

Matrizen. Spezialfälle. Eine m nmatrix ist ein rechteckiges Zahlenschema mit. m Zeilen und n Spalten der Form. A = (a ij ) = Matrizen Eine m nmatrix ist ein rechteckiges Zahlenschema mit m Zeilen und n Spalten der Form a 11 a 12 a 1n A = a ij = a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Dabei sind m und n natürliche und die Koezienten a

Mehr

Mathematik 2 für Naturwissenschaften

Mathematik 2 für Naturwissenschaften Hans Walser Mathematik 2 für Naturwissenschaften Modul 212 Determinanten Hans Walser: Modul 212, Determinanten ii Modul 212 für die Lehrveranstaltung Mathematik 2 für Naturwissenschaften Sommer 2003 Probeausgabe

Mehr

Matrizen, Gaußscher Algorithmus 1 Bestimmung der inversen Matrix

Matrizen, Gaußscher Algorithmus 1 Bestimmung der inversen Matrix Inhaltsverzeichnis Matrizen, Gaußscher Algorithmus 1 Bestimmung der inversen Matrix Auf dieser Seite werden Matrizen und Vektoren fett gedruckt, um sie von Zahlen zu unterscheiden. Betrachtet wird das

Mehr

Lineare Gleichungssysteme (Teschl/Teschl 11.1)

Lineare Gleichungssysteme (Teschl/Teschl 11.1) Lineare Gleichungssysteme (Teschl/Teschl.) Ein Lineares Gleichungssystem (LGS) besteht aus m Gleichungen mit n Unbekannten x,...,x n und hat die Form a x + a 2 x 2 +... + a n x n b a 2 x + a 22 x 2 +...

Mehr

3 Matrizen und Lineare Gleichungssysteme

3 Matrizen und Lineare Gleichungssysteme 3 Matrizen und LGS Pink: Lineare Algebra HS 2014 Seite 38 3 Matrizen und Lineare Gleichungssysteme 3.1 Definitionen Sei K ein Körper, und seien m,n,l natürliche Zahlen. Definition: Eine Matrix mit m Zeilen

Mehr

3 Determinanten, Eigenwerte, Normalformen

3 Determinanten, Eigenwerte, Normalformen Determinanten, Eigenwerte, Normalformen.1 Determinanten Beispiel. Betrachte folgendes Parallelogramm in der Ebene R 2 : y (a + c, b + d) (c, d) (a, b) x Man rechnet leicht nach, dass die Fläche F dieses

Mehr

Inverse Matrix. 1-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya

Inverse Matrix. 1-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya Inverse Matrix -E Ma Lubov Vassilevskaya Inverse Matrix Eine n-reihige, quadratische Matrix heißt regulär, wenn ihre Determinante einen von Null verschiedenen Wert besitzt. Anderenfalls heißt sie singulär.

Mehr

1 Definition. 2 Besondere Typen. 2.1 Vektoren und transponieren A = 2.2 Quadratische Matrix. 2.3 Diagonalmatrix. 2.

1 Definition. 2 Besondere Typen. 2.1 Vektoren und transponieren A = 2.2 Quadratische Matrix. 2.3 Diagonalmatrix. 2. Definition Die rechteckige Anordnung von m n Elementen a ij in m Zeilen und n Spalten heißt m n- Matrix. Gewöhnlich handelt es sich bei den Elementen a ij der Matrix um reelle Zahlen. Man nennt das Paar

Mehr

Kapitel 17. Determinanten

Kapitel 17. Determinanten Kapitel 17. Determinanten Vorschau: Determinanten Es gibt drei Problemfelder, für die Determinanten von großem Nutzen sind: die formelmäßige Überprüfung der linearen Unabhängigkeit eines Systems von n

Mehr

3 Matrizenrechnung. 3. November

3 Matrizenrechnung. 3. November 3. November 008 4 3 Matrizenrechnung 3.1 Transponierter Vektor: Die Notation x R n bezieht sich per Definition 1 immer auf einen stehenden Vektor, x 1 x x =.. x n Der transponierte Vektor x T ist das zugehörige

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme 1 Wiederholung Eine Menge von Vektoren a 1, a 2,, a k heisst linear unabhängig, wenn eine Linearkombination c 1 a 1 + c 2 a 2 + + c k a k = k c i a i (1) i=1 nur dann Null sein

Mehr

1 Matrizenrechnung zweiter Teil

1 Matrizenrechnung zweiter Teil MLAN1 1 Literatur: K. Nipp/D. Stoffer, Lineare Algebra, Eine Einführung für Ingenieure, VDF der ETHZ, 4. Auflage, 1998, oder neuer. 1 Matrizenrechnung zweiter Teil 1.1 Transponieren einer Matrix Wir betrachten

Mehr

Ökonometrische Analyse

Ökonometrische Analyse Institut für Statistik und Ökonometrie, Freie Universität Berlin Ökonometrische Analyse Dieter Nautz, Gunda-Alexandra Detmers Rechenregeln für Matrizen Notation und Matrixeigenschaften: Eine Matrix A der

Mehr

Wir stellen uns das Ziel, wesentliche Information über. Determinanten haben auch eine geometrische Bedeutung: Volumenbestimmung eines Parallelepipeds

Wir stellen uns das Ziel, wesentliche Information über. Determinanten haben auch eine geometrische Bedeutung: Volumenbestimmung eines Parallelepipeds 39 Determinanten 391 Motivation Wir stellen uns das Ziel, wesentliche Information über die Invertierbarkeit einer n n-matrix das Lösungsverhalten zugehöriger linearer Gleichungssysteme möglichst kompakt

Mehr

Cramersche Regel. Satz Es sei A R n n eine quadratische Matrix mit det(a) 0. Für ein LGS Ax = b sei. A j := (a 1,...,a j 1,b,a j+1,...

Cramersche Regel. Satz Es sei A R n n eine quadratische Matrix mit det(a) 0. Für ein LGS Ax = b sei. A j := (a 1,...,a j 1,b,a j+1,... Cramersche Regel Satz 2.4. Es sei A R n n eine quadratische Matrix mit det(a) 0. Für ein LGS Ax = b sei A j := (a,...,a j,b,a j+,...,a n ) also die Matrix, die entsteht, wenn in A die j-spalte durch den

Mehr

Determinanten. I. Permutationen

Determinanten. I. Permutationen Determinanten Durch Bildung der Determinante wird einer quadratischen (! Matrix eine gewisse Zahl zuordnet. Die Determinante tritt besonders bei Fragen der Flächen- bzw. Volumsberechnung auf (siehe auch

Mehr

V DETERMINANTEN In diesem Kapitel entwickeln wir die Theorie der Determinanten Die folgenden Beispiele sollen die Einfuhrung dieses Begries motivieren

V DETERMINANTEN In diesem Kapitel entwickeln wir die Theorie der Determinanten Die folgenden Beispiele sollen die Einfuhrung dieses Begries motivieren SKRIPTUM { LINEARE ALGEBRA II JB COOPER Inhaltsverzeichnis: x Determinanten x Eigenwerte x Euklidische Raume x8 Dualitat, Tensorprodukte, Alternierende Formen Anhang: ) Mengen, Abbildungen ) Gruppen )

Mehr

Mathematik 1. Inhaltsverzeichnis. Prof. Dr. K. Melzer. karin.melzer@hs-esslingen.de http://www.hs-esslingen.de/de/mitarbeiter/karin-melzer.

Mathematik 1. Inhaltsverzeichnis. Prof. Dr. K. Melzer. karin.melzer@hs-esslingen.de http://www.hs-esslingen.de/de/mitarbeiter/karin-melzer. Mathematik 1 Prof Dr K Melzer karinmelzer@hs-esslingende http://wwwhs-esslingende/de/mitarbeiter/karin-melzerhtml Inhaltsverzeichnis 1 Matrizenrechnung 2 11 Matrixbegri 2 12 Spezielle Matrizen 3 13 Rechnen

Mehr

Rang einer Matrix. 1-E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya

Rang einer Matrix. 1-E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya Rang einer Matrix 1-E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya Unterdeterminante einer nichtquadratischen Matrix M ist eine nichtquadratische 2,3-Matrix: M = 6 2 3 0 5 7 Durch Streichen einer der drei Spalten kann man

Mehr

35 Matrixschreibweise für lineare Abbildungen

35 Matrixschreibweise für lineare Abbildungen 35 Matrixschreibweise für lineare Abbildungen 35 Motivation Wir haben gesehen, dass lineare Abbildungen sich durch ihre Wirkung auf die Basisvektoren ausdrücken lassen Mithilfe von Matrizen können wir

Mehr

Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme

Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme Lineares Gleichungssystem: Ax b, A R m n, x R n, b R m L R m R n Lx Ax Bemerkung b 0 R m Das Gleichungssystem heißt homogen a A0 0 Das LGS ist stets lösbar b Wenn

Mehr

5 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten

5 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten 5 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten 51 Lineare Gleichungssysteme Definition 51 Bei einem linearen Gleichungssystem (LGS) sind n Unbekannte x 1, x 2,, x n so zu bestimmen, dass ein System von

Mehr

Lineare Algebra KAPITEL III. 12 Matrizen und der Gauß-Algorithmus. I) Matrizen

Lineare Algebra KAPITEL III. 12 Matrizen und der Gauß-Algorithmus. I) Matrizen KAPITEL III Lineare Algebra 12 Matrizen und der Gauß-Algorithmus I Matrizen Definition 121 Matrizen und der R n Es seien m,n 1 zwei positive ganze Zahlen a Eine m n-matrix über R ist ein rechteckiges Schema

Mehr

Hilfsblätter Lineare Algebra

Hilfsblätter Lineare Algebra Hilfsblätter Lineare Algebra Sebastian Suchanek unter Mithilfe von Klaus Flittner Matthias Staab c 2002 by Sebastian Suchanek Printed with L A TEX Inhaltsverzeichnis 1 Vektoren 1 11 Norm 1 12 Addition,

Mehr

In allen Fällen spielt die 'Determinante' einer Matrix eine zentrale Rolle.

In allen Fällen spielt die 'Determinante' einer Matrix eine zentrale Rolle. Nachschlag:Transposition von Matrizen Sei Explizit: Def: "Transponierte v. A": (tausche Zeilen mit Spalten d.h., spiegle in der Diagonale) m Reihen, n Spalten n Reihen, m Spalten z.b. m=2,n=3: Eigenschaft:

Mehr

Geometrische Deutung linearer Abbildungen

Geometrische Deutung linearer Abbildungen Geometrische Deutung linearer Abbildungen Betrachten f : R n R n, f(x) = Ax. Projektionen z.b. A = 1 0 0 0 1 0 0 0 0 die senkrechte Projektion auf die xy-ebene in R 3. Projektionen sind weder injektiv

Mehr

5.1 Determinanten der Ordnung 2 und 3. a 11 a 12 a 21 a 22. det(a) =a 11 a 22 a 12 a 21. a 11 a 21

5.1 Determinanten der Ordnung 2 und 3. a 11 a 12 a 21 a 22. det(a) =a 11 a 22 a 12 a 21. a 11 a 21 5. Determinanten 5.1 Determinanten der Ordnung 2 und 3 Als Determinante der zweireihigen Matrix A = a 11 a 12 bezeichnet man die Zahl =a 11 a 22 a 12 a 21. Man verwendet auch die Bezeichnung = A = a 11

Mehr

Eigenwerte (Teschl/Teschl 14.2)

Eigenwerte (Teschl/Teschl 14.2) Eigenwerte (Teschl/Teschl 4.2 Ein Eigenvektor einer quadratischen n nmatrix A ist ein Vektor x R n mit x, für den Ax ein skalares Vielfaches von x ist, es also einen Skalar λ gibt mit Ax = λ x Ax λ x =

Mehr

Musterlösungen Blatt Mathematischer Vorkurs. Sommersemester Dr. O. Zobay. Matrizen

Musterlösungen Blatt Mathematischer Vorkurs. Sommersemester Dr. O. Zobay. Matrizen Musterlösungen Blatt 8 34007 Mathematischer Vorkurs Sommersemester 007 Dr O Zobay Matrizen Welche Matrixprodukte können mit den folgenden Matrizen gebildet werden? ( 4 5 A, B ( 0 9 7, C 8 0 5 4 Wir können

Mehr

LINEARE ALGEBRA Ferienkurs. Hanna Schäfer Philipp Gadow

LINEARE ALGEBRA Ferienkurs. Hanna Schäfer Philipp Gadow LINEARE ALGERA Ferienkurs Hanna Schäfer Philipp Gadow INHALT Lineare Gleichungssysteme und Determinanten. Lineare Gleichungssysteme.2 Determinanten 3 iii 2 LINEARE GLEIHUNGSSYSTEME UND DETERMINANTEN KAPITEL

Mehr

a 1 a 1 A = a n . det = λ det a i

a 1 a 1 A = a n . det = λ det a i 49 Determinanten Für gegebene Vektoren a 1,,a n K n, betrachte die Matrix deren Zeilenvektoren a 1,,a n sind, also A = Ab sofort benutzen wir diese bequeme Schreibweise Definition Sei M : K n K }{{ n K

Mehr

Tutorium: Diskrete Mathematik. Matrizen

Tutorium: Diskrete Mathematik. Matrizen Tutorium: Diskrete Mathematik Matrizen Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de Definition I Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung (Tabelle) von Elementen, mit denen man in bestimmter

Mehr

, c d. f + e + d. ae + bg a f + bh. ce + dg c f + dh

, c d. f + e + d. ae + bg a f + bh. ce + dg c f + dh Die Determinante Blockmatrizen Bemerkung: Für zwei 2 2-Matrizen gilt a b e f a b c d g h c d e g a b, c d f h a c b e + d a g, c f + ae + bg a f + bh ce + dg c f + dh b d h Sind die Einträge der obigen

Mehr

Lineare Algebra I Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß. Klausur: voraussichtlich Mittwoch,

Lineare Algebra I Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß. Klausur: voraussichtlich Mittwoch, Lineare Algebra I - 2. Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß Klausur: voraussichtlich Mittwoch, 4.2. 4:3 Uhr, A3 A 2 Mat(n, n; K) Dann ist 7 A : Mat(n, ; K)! Mat(n, ; K) b! A b ein Endomorphismus.

Mehr

Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2011 Tag 7

Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2011 Tag 7 Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2011 Tag 7 Timo Stöcker Erstsemestereinführung Informatik TU Dortmund 22. März 2011 Heute Themen Lineare Gleichungssysteme Matrizen Timo Stöcker https://fsinfo.cs.tu-dortmund.de/studis/ese/vorkurse/mathe

Mehr

Mathematik II Frühjahrssemester 2013

Mathematik II Frühjahrssemester 2013 Mathematik II Frühjahrssemester 2013 Prof Dr Erich Walter Farkas Kapitel 7: Lineare Algebra 73 Ergänzungen Prof Dr Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 73 Ergänzungen 1 / 17 1 Reguläre Matrizen Prof Dr

Mehr

Lineare Algebra. Gymnasium Immensee SPF PAM. Bettina Bieri

Lineare Algebra. Gymnasium Immensee SPF PAM. Bettina Bieri Lineare Algebra Gymnasium Immensee SPF PAM Bettina Bieri 6. Oktober 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Matrizen 1 1.1 Einleitung............................. 1 1.2 Der Begriff Matrix........................ 1 1.2.1

Mehr

LINEARE ALGEBRA II. FÜR PHYSIKER

LINEARE ALGEBRA II. FÜR PHYSIKER LINEARE ALGEBRA II FÜR PHYSIKER BÁLINT FARKAS 4 Rechnen mit Matrizen In diesem Kapitel werden wir zunächst die so genannten elementaren Umformungen studieren, die es ermöglichen eine Matrix auf besonders

Mehr

Mathematik I Herbstsemester 2014 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.2 Determinanten

Mathematik I Herbstsemester 2014 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.2 Determinanten Mathematik I Herbstsemester 2014 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.2 Determinanten www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/hs2014/other/mathematik1 BIOL Prof. Dr. Erich Walter Farkas http://www.math.ethz.ch/

Mehr

Lineare Abbildungen. Es seien V und W Vektorräume über einem Körper K. Eine Abbildung f : V W heißt linear oder Homomorphismus, falls. d.h.

Lineare Abbildungen. Es seien V und W Vektorräume über einem Körper K. Eine Abbildung f : V W heißt linear oder Homomorphismus, falls. d.h. Lineare Abbildungen Es seien V und W Vektorräume über einem Körper K. Eine Abbildung f : V W heißt linear oder Homomorphismus, falls (1) u, v V : f( u + v) = f( u) + f( v). (2) v V α K : f(α v) = αf( v).

Mehr

5 Determinante, Spatprodukt, Vektorprodukt, inverse Matrix

5 Determinante, Spatprodukt, Vektorprodukt, inverse Matrix 5 Determinante, Spatprodukt, Vektorprodukt, inverse Matrix Jörn Loviscach Versionsstand: 20. März 2012, 16:02 Die nummerierten Felder sind absichtlich leer, zum Ausfüllen in der Vorlesung. Videos dazu:

Mehr

Eine lineare Abbildung ist bijektiv, d.h. ihre Matrix ist invertierbar, falls und nur falls

Eine lineare Abbildung ist bijektiv, d.h. ihre Matrix ist invertierbar, falls und nur falls Kriterien für Invertierbarkeit einer Matrix Eine lineare Abbildung ist bijektiv, d.h. ihre Matrix ist invertierbar, falls und nur falls (i) für jede Basis, die Bildvektoren auch eine Basis, bilden; (intuitiv

Mehr

Beispiele 1. Gegeben sei das lineare Gleichungssystem mit erweiterter Matrix (A

Beispiele 1. Gegeben sei das lineare Gleichungssystem mit erweiterter Matrix (A 133 e 1. Gegeben sei das lineare Gleichungssystem mit erweiterter Matrix 1 3 2 1 1 2 3 0. 1 3 2 1 2. Gegeben sei das lineare Gleichungssystem mit erweiterter Matrix 1 3 2 1 1 2 3 0. 1 3 2 1 Schritte des

Mehr

Matrizen und Determinanten, Aufgaben

Matrizen und Determinanten, Aufgaben Matrizen und Determinanten, Aufgaben Inhaltsverzeichnis 1 Multiplikation von Matrizen 1 11 Lösungen 3 2 Determinanten 6 21 Lösungen 7 3 Inverse Matrix 8 31 Lösungen 9 4 Matrizengleichungen 11 41 Lösungen

Mehr

Kapitel 16. Invertierbare Matrizen

Kapitel 16. Invertierbare Matrizen Kapitel 16. Invertierbare Matrizen Die drei Schritte des Gauß-Algorithmus Bringe erweiterte Matrix [A b] des Gleichungssystems A x auf Zeilenstufenform [A b ]. Das System A x = b ist genau dann lösbar,

Mehr

Mathematik für Anwender I

Mathematik für Anwender I Prof Dr H Brenner Osnabrück WS 2011/2012 Mathematik für Anwender I Vorlesung 11 Rang von Matrizen Definition 111 Es sei K ein Körper und sei M eine m n-matrix über K Dann nennt man die Dimension des von

Mehr

Matrix: Eine rechteckige Anordnung reeller Zahlen a ij (i = 1,..., n i ; j = 1,..., m) in Zeilen und Spalten. Die a ij heiÿen Elemente von A.

Matrix: Eine rechteckige Anordnung reeller Zahlen a ij (i = 1,..., n i ; j = 1,..., m) in Zeilen und Spalten. Die a ij heiÿen Elemente von A. Matrizenrechnung Matrix: Eine rechteckige Anordnung reeller Zahlen a ij i = 1,..., n i ; j = 1,..., m in Zeilen und Spalten. Die a ij heiÿen Elemente von A. a 11 a 12... a ij... a 1m a 21 a 22.........

Mehr

mit "Skalarprodukt" aus i-tem "Zeilenvektor" und j-tem "Spaltenvektor"

mit Skalarprodukt aus i-tem Zeilenvektor und j-tem Spaltenvektor Zusammenfassung Matrizen Transponierte: Addition: mit Skalare Multiplikation: Matrixmultiplikation: m x p m x n n x p mit ES "Skalarprodukt" aus i-tem "Zeilenvektor" und j-tem "Spaltenvektor" "Determinante"

Mehr

a 11 a 12 a 1(m 1) a 1m a n1 a n2 a n(m 1) a nm Matrizen Betrachten wir das nachfolgende Rechteckschema:

a 11 a 12 a 1(m 1) a 1m a n1 a n2 a n(m 1) a nm Matrizen Betrachten wir das nachfolgende Rechteckschema: Matrizen Betrachten wir das nachfolgende Rechteckschema: a 12 a 1(m 1 a 1m a n1 a n2 a n(m 1 a nm Ein solches Schema nennt man (n m-matrix, da es aus n Zeilen und m Spalten besteht Jeder einzelne Eintrag

Mehr

Kapitel 2: Matrizen. 2.1 Matrizen 2.2 Determinanten 2.3 Inverse 2.4 Lineare Gleichungssysteme 2.5 Eigenwerte 2.6 Diagonalisierung

Kapitel 2: Matrizen. 2.1 Matrizen 2.2 Determinanten 2.3 Inverse 2.4 Lineare Gleichungssysteme 2.5 Eigenwerte 2.6 Diagonalisierung Kapitel 2: Matrizen 2.1 Matrizen 2.2 Determinanten 2.3 Inverse 2.4 Lineare Gleichungssysteme 2.5 Eigenwerte 2.6 Diagonalisierung 2.1 Matrizen M = n = 3 m = 3 n = m quadratisch M ij : Eintrag von M in i-ter

Mehr

10.2 Linearkombinationen

10.2 Linearkombinationen 147 Vektorräume in R 3 Die Vektorräume in R 3 sind { } Geraden durch den Ursprung Ebenen durch den Ursprung R 3 Analog zu reellen Vektorräumen kann man komplexe Vektorräume definieren. In der Definition

Mehr

3 Elementare Umformung von linearen Gleichungssystemen und Matrizen

3 Elementare Umformung von linearen Gleichungssystemen und Matrizen 3 Elementare Umformung von linearen Gleichungssystemen und Matrizen Beispiel 1: Betrachte das Gleichungssystem x 1 + x 2 + x 3 = 2 2x 1 + 4x 2 + 3x 3 = 1 3x 1 x 2 + 4x 3 = 7 Wir formen das GLS so lange

Mehr

2 Matrizenrechnung und Lineare Gleichungssysteme

2 Matrizenrechnung und Lineare Gleichungssysteme Technische Universität München Florian Ettlinger Ferienkurs Lineare Algebra Vorlesung Dienstag WS 2011/12 2 Matrizenrechnung und Lineare Gleichungssysteme 2.1 Matrizenrechnung 2.1.1 Einführung Vor der

Mehr

6. Rechnen mit Matrizen.

6. Rechnen mit Matrizen. 6. Rechnen mit Matrizen. In dieser Vorlesung betrachten wir lineare Gleichungs System. Wir betrachten lineare Gleichungs Systeme wieder von zwei Gesichtspunkten her: dem angewandten Gesichtspunkt und dem

Mehr

Matrizen und Determinanten

Matrizen und Determinanten Matrizen und Determinanten 1 Matrizen und Determinanten 1 Einführung in den Matrizenbegriff Zur Beschreibung und Lösung vieler physikalischer Probleme ist die Vektorrechnung vonnöten Durch Verwendung von

Mehr

Aufgaben zu Kapitel 16

Aufgaben zu Kapitel 16 Aufgaben zu Kapitel 16 1 Aufgaben zu Kapitel 16 Verständnisfragen Aufgabe 16.1 Ist das Produkt quadratischer oberer bzw. unterer Dreiecksmatrizen wieder eine obere bzw. untere Dreiecksmatrix? Aufgabe 16.2

Mehr

Lineare Algebra 1. Roger Burkhardt

Lineare Algebra 1. Roger Burkhardt Lineare Algebra 1 Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Fachhochschule Nordwestschweiz Hochschule für Technik Institut für Geistes- und Naturwissenschaft HS 2010/11 3 und lineare Gleichungssysteme und

Mehr

1 Lineare Algebra. 1.1 Matrizen und Vektoren. Slide 3. Matrizen. Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema

1 Lineare Algebra. 1.1 Matrizen und Vektoren. Slide 3. Matrizen. Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema 1 Lineare Algebra 1.1 Matrizen und Vektoren Slide 3 Matrizen Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema eine n m-matrix A besteht aus n Zeilen und m Spalten mit den Matrixelementen a ij, i=1...n und

Mehr

Universität Stuttgart Physik und ihre Didaktik PD Dr. Holger Cartarius. Matrizen. a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n A = a m,1 a m,2 a m,n

Universität Stuttgart Physik und ihre Didaktik PD Dr. Holger Cartarius. Matrizen. a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n A = a m,1 a m,2 a m,n Universität Stuttgart Physik und ihre Didaktik PD Dr Holger Cartarius Matrizen Matrizen: Ein rechteckiges Zahlenschema der Form a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n A a m,1 a m,2 a m,n (a) nennt man eine

Mehr

Mathematik I. Vorlesung 14. Rang von Matrizen

Mathematik I. Vorlesung 14. Rang von Matrizen Prof Dr H Brenner Osnabrück WS 2009/2010 Mathematik I Vorlesung 14 Rang von Matrizen Definition 141 Es sei K ein Körper und sei M eine m n-matrix über K Dann nennt man die Dimension des von den Spalten

Mehr

4 Lineare Algebra (Teil 2): Quadratische Matrizen

4 Lineare Algebra (Teil 2): Quadratische Matrizen 4 Lineare Algebra (Teil : Quadratische Matrizen Def.: Eine (n n-matrix, die also ebensoviele Zeilen wie Spalten hat, heißt quadratisch. Hat sie außerdem den Rang n, sind also ihre n Spalten linear unabhängig,

Mehr

Cramersche Regel. Satz 2.26

Cramersche Regel. Satz 2.26 ramersche Regel Satz 6 Es sei A R n n eine quadratische Matrix mit det(a) 6= Für das LGS Ax = b sei A j := (a,,a j, b, a j+,,a n ), also die Matrix, die entsteht, wenn in A die j-te Spalte durch den Vektor

Mehr

[Nächste Frage: wie wissen wir, ob Spaltenvektoren eine Basis bilden? Siehe L6.1] , enthält eine Basis v. V, nämlich und somit das ganze V.

[Nächste Frage: wie wissen wir, ob Spaltenvektoren eine Basis bilden? Siehe L6.1] , enthält eine Basis v. V, nämlich und somit das ganze V. Kriterien für Invertierbarkeit einer Matrix Eine lineare Abbildung falls und nur falls ist bijektiv, d.h. ihre Matrix ist invertierbar, (i) für jede Basis, die Bildvektoren auch eine Basis, bilden; (intuitiv

Mehr

Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15

Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Matrizen und Vektoren, LGS, Gruppen, Vektorräume 1.1 Multiplikation von Matrizen Gegeben seien die Matrizen A := 1 1 2 0 5 1 8 7 Berechnen Sie alle möglichen

Mehr

Serie 8: Fakultativer Online-Test

Serie 8: Fakultativer Online-Test Prof Norbert Hungerbühler Lineare Algebra I Serie 8: Fakultativer Online-Test ETH Zürich - D-MAVT HS 215 1 Diese Serie besteht nur aus Multiple-Choice-Aufgaben und wird nicht vorbesprochen Die Nachbesprechung

Mehr

Kapitel 16. Aufgaben. Verständnisfragen. Rechenaufgaben

Kapitel 16. Aufgaben. Verständnisfragen. Rechenaufgaben Kapitel 16 Aufgaben Verständnisfragen Aufgabe 16.1 Ist das Produkt quadratischer oberer bzw. unterer Dreiecksmatrizen wieder eine obere bzw. untere Dreiecksmatrix? Aufgabe 16.2 Bekanntlich gilt im Allgemeinen

Mehr

2.5 Smith-Normalform für Matrizen über Euklidischen Ringen

2.5 Smith-Normalform für Matrizen über Euklidischen Ringen 2.5. SMITH-NORMALFORM FÜR MATRIZEN ÜBER EUKLIDISCHEN RINGEN73 2.5 Smith-Normalform für Matrizen über Euklidischen Ringen Bemerkung 2.74. Sei K ein Körper und A K n m, b K n 1. Das lineare Gleichungssystem

Mehr

Quadratische Matrizen

Quadratische Matrizen Quadratische Matrizen (n n)-matrizen heißen quadratische Die entsprechenden linearen Abbildungen sind laut Definition Endomorphismen des R n (weil f A : R n R n ) Das Produkt von (n n)- Matrizen ist auch

Mehr

1 Transponieren, Diagonal- und Dreiecksmatrizen

1 Transponieren, Diagonal- und Dreiecksmatrizen Technische Universität München Thomas Reifenberger Ferienkurs Lineare Algebra für Physiker Vorlesung Mittwoch WS 2008/09 1 Transponieren, Diagonal- und Dreiecksmatrizen Definition 11 Transponierte Matrix

Mehr

05. Lineare Gleichungssysteme

05. Lineare Gleichungssysteme 05 Lineare Gleichungssysteme Wir betrachten ein System von m Gleichungen in n Unbestimmten (Unbekannten) x 1,, x n von der Form a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a

Mehr

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 25. April 2016 Die Dimensionsformel Definition 3.9 Sei f : V W eine lineare Abbildung zwischen zwei K-Vektorräumen. Der Kern

Mehr

Serie 5. Lineare Algebra D-MATH, HS Prof. Richard Pink. 1. [Aufgabe] Invertieren Sie folgende Matrizen über Q:

Serie 5. Lineare Algebra D-MATH, HS Prof. Richard Pink. 1. [Aufgabe] Invertieren Sie folgende Matrizen über Q: Lineare Algebra D-MATH, HS 214 Prof Richard Pink Serie 5 1 [Aufgabe] Invertieren Sie folgende Matrizen über Q: 1 a) 1 1 1 1 1 2 1 1 1 b) 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 3 1 c) 1 3 3 2 2 1 5 3 1 2 6 1 [Lösung]

Mehr

4.5 Überbestimmte Gleichungssysteme, Gauß sche Ausgleichrechnung

4.5 Überbestimmte Gleichungssysteme, Gauß sche Ausgleichrechnung 4.5 Überbestimmte Gleichungssysteme, Gauß sche Ausgleichrechnung In vielen Anwendungen treten lineare Gleichungssysteme auf, die eine unterschiedliche Anzahl von Gleichungen und Unbekannten besitzen: Ax

Mehr

Lineare Algebra 2013 Lösungen für Test und Zusatzfragen

Lineare Algebra 2013 Lösungen für Test und Zusatzfragen Lineare Algebra 3 Lösungen für Test und Zusatzfragen Test Multiple Choice. Seien Für die Lösung x x x x 3 A, b des Systems Ax b gilt x 3 5 x 3 x 3 3 x 3 / Mit elementaren Zeilenoperationen erhalten wir

Mehr

$Id: det.tex,v /12/19 13:21:08 hk Exp $ A = 1 3

$Id: det.tex,v /12/19 13:21:08 hk Exp $ A = 1 3 $Id: det.tex,v 1.24 2016/12/19 13:21:08 hk Exp $ 8 Determinanten Wir kommen jetzt zum Begriff der Determinante. Determinanten sind merkwürdigerweise über hundert Jahre älter als Matrizen, und sie wurden

Mehr

Quadratische Matrizen Inverse und Determinante

Quadratische Matrizen Inverse und Determinante Kapitel 2 Quadratische Matrizen Inverse und Determinante In diesem Abschnitt sei A M(n, n) stets eine quadratische n n Matrix. Für nicht-quadratische Matrizen ergeben die folgenden Betrachtungen keinen

Mehr

Übungen zur Linearen Algebra, Kap. 1 bis Kap. 3

Übungen zur Linearen Algebra, Kap. 1 bis Kap. 3 Übungen zur Linearen Algebra, Kap. bis Kap. 3. Gegeben seien die beiden Matrizen Berechnen Sie Lösungen zu Übung 6 3 4, B = ( 3 5 4 A B, B A, (A B, (B A Dies ist fast eine reine Rechenaufgabe. Wir wollen

Mehr

3 Systeme linearer Gleichungen

3 Systeme linearer Gleichungen 3 Systeme linearer Gleichungen Wir wenden uns nun dem Problem der Lösung linearer Gleichungssysteme zu. Beispiel 3.1: Wir betrachten etwa das folgende System linearer Gleichungen: y + 2z = 1 (1) x 2y +

Mehr

BC 1.2 Mathematik WS 2016/17. BC 1.2 Mathematik Zusammenfassung Kapitel II: Vektoralgebra und lineare Algebra. b 2

BC 1.2 Mathematik WS 2016/17. BC 1.2 Mathematik Zusammenfassung Kapitel II: Vektoralgebra und lineare Algebra. b 2 Zusammenfassung Kapitel II: Vektoralgebra und lineare Algebra 1 Vektoralgebra 1 Der dreidimensionale Vektorraum R 3 ist die Gesamtheit aller geordneten Tripel (x 1, x 2, x 3 ) reeller Zahlen Jedes geordnete

Mehr

Prof. Dr. G. Wagner Ingenieurmathematik Begleittext Seite 1

Prof. Dr. G. Wagner Ingenieurmathematik Begleittext Seite 1 Prof. Dr. G. Wagner Ingenieurmathematik Begleittext Seite 1 Kapitel 3 Lineare Gleichungssysteme 3.1. Einleitung Beispiel 1 3 Kinder haben eingekauft. Franz hat 4 Lakritzen, 2 Schokoriegel und 5 Kaugummis

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Fakultät Grundlagen Juli 2015 Fakultät Grundlagen Übersicht Lineare Gleichungssystem mit 2 Variablen 1 Lineare Gleichungssystem mit 2 Variablen Beispiele 2 Fakultät Grundlagen Folie: 2 Beispiel I Lineare

Mehr

Lineare Algebra 1. Roger Burkhardt

Lineare Algebra 1. Roger Burkhardt Lineare Algebra 1 Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Fachhochschule Nordwestschweiz Hochschule für Technik Institut für Geistes- und Naturwissenschaft HS 2010/11 Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch

Mehr

( ) Lineare Gleichungssysteme

( ) Lineare Gleichungssysteme 102 III. LINEARE ALGEBRA Aufgabe 13.37 Berechne die Eigenwerte der folgenden Matrizen: ( ) 1 1 0 1 1 2 0 3 0 0, 2 1 1 1 2 1. 1 1 0 3 Aufgabe 13.38 Überprüfe, ob die folgenden symmetrischen Matrizen positiv

Mehr