Ergebnis: Abhängigkeit y(x) in der impliziten Form G(y) = F(x) + C. y =

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1 Lösugsmethode Differetilgleihuge erster Ordug Für gewisse Tpe vo Differetilgleihuge läßt sih ei Weg gee, uf dem m, die Lösug der Differetilgleihug uf Qudrture d.h. uf ds Ausrehe vo Itegrle, urükführe k.. Tp: ' f g Treug der Vrile: d f g d d f d g d f d g Ergeis: Ahägigkeit i der impliite Form G F. Beispiel: 0 d l l l d Dr. Hempel / Mthemtish Grudlge - Differetilgleihuge. Ordug Seite

2 . Tp: ' f/ Sustitutio / ; die Dgl. heißt d: f Diese Gleihug ist vom Tp ud läßt sih durh Vriletreug löse: f d f d l Aus der Lösug, läßt sih die Lösug des Ausggsprolems gewie:, Beispiel: 0 d d l rt l l ep rt Führt m Polrkoordite ei, so ekommt die llgemeie Lösug die Form: Ds sid ls Grphik etrhtet logrithmishe Spirle. ϕ r e Dr. Hempel / Mthemtish Grudlge - Differetilgleihuge. Ordug Seite

3 Dr. Hempel / Mthemtish Grudlge - Differetilgleihuge. Ordug Seite 3 3. Tp: Die liere Differetilgleihug liere Dgl. heißt: ls uh ', " usw. liege im erste Grd vor, Produkte dieser Größe etw ' komme iht vor. "homogee Dgl." heißt: ds vo ud freie "Störugsglied" fehlt; mit heißt die Dgl. ihomoge.!! ur ei liere Differetilgleihuge wird homogee ud ihomogee utershiede!! Lösug: - Streihug des "Störugsgliedes" - die u homogee Gleihug durh Treug der Vrile löse d d 0 mit d ep - durh Vritio der Kostte die Lösug der ihomogee Gleihug fide. Lösugsst - Vritio der Kostte, sollte d Lösug der Dgl. sei; wir suhe de uekte Teil: Eigesett erhält m: { } { } D eie Lösug der homogee Gleihug ist, so vershwidet der Klmmerusdruk: d Die llgemeie Lösug lutet somit: Zur llgemeie Lösug der homogee Gleihug tritt lso oh eie Fuktio hiu, die ihrerseits eie speielle Lösug der ihomogee Differetilgleihug ist. d

4 Beispiel: os Lösug: Verstümmel: 0 Treug der Vrile! d d Vritio der Kostte: Eisete: os os si Demh llgemeie Lösug: si Dr. Hempel / Mthemtish Grudlge - Differetilgleihuge. Ordug Seite 4

5 4.Tp: Dgl. h Beroulli Dgl. vo Beroulli läßt sih uf die liere Dgl. urükführe. Divisio durh : eue Veräderlihe: es ergit sih: ud die Differetilgleihug ekommt die Form: Ds ist eie ihomogee liere Differetilgleihug für die Fuktio. Ihre Lösug sei ϕ ζ. Die llgemeie Lösug der Beroullishe Differetilgleihug ist d: { ϕ ζ } Beispiel: 0 Umforme: Sustitutio:, Verstümmel, homoge löse: Vritio des Koeffiiete: ud somit 3 Hiweis: Lösugsmöglihkeit uh mit ufeider folgede Sustitutioe: ud u Dr. Hempel / Mthemtish Grudlge - Differetilgleihuge. Ordug Seite 5

6 5.Tp: lirutshe Differetilgleihug f esoders eifh u löse, ogleih f elieig kompliierte Fuktio vo sei k. Ersett m durh, so ht m ereits die llgemeie Lösug: f Dies ist eie eiprmetrige Gerdeshr. Die Eihüllede dieser Shr, sofer eie solhe eistiert, ist eie siguläre Lösug der Differetilgleihug. M fidet sie, wie wir früher she, idem m die llgemeie Lösug prtiell h w. die Differetilgleihug h ' differeiert ud us eide Gleihuge de Prmeter w. ' elimiiert. Beispiel: - 0 We m die Dgl. ders shreit, erket m sie ls lirutshe Dgl.: - Die llgemeie Lösug lutet demh Ds ist die Gleihug ller Tgete de Eiheitskreis, die, we m die freie Kostte durh -otα ersett, i die Hesseshe Normlform osα siα üergeht. Der Eiheitskreis selst ist eie siguläre Lösug der Differetilgleihug. Dr. Hempel / Mthemtish Grudlge - Differetilgleihuge. Ordug Seite 6

7 6. Tp: Dgl. vo Joi A B α β A B Diese Differetilgleihug vo Joi läßt sih durh geeigete hitereider usuführede Sustitutioe immer i eie Beroullishe Differetilgleihug üerführe. m dividiert Zähler ud Neer durh, sustituiert /: A B α β mit, A B A B α β α β folgt A B A B Güstigerweise suht m ls Fuktio vo leihter ls umgekehrt mit: A B α β Dies ist eie Differetilgleihug vom Tp 4 für die Fuktio. Beispiel: Mit wird Mit ' / 0 Beroulli 0 Mit u / ud u - / wird u u du d u Lösug: u ihomogee Dgl. homoge löse! Vritio der Kostte usw. Ergeis: Dr. Hempel / Mthemtish Grudlge - Differetilgleihuge. Ordug Seite 7

8 Dr. Hempel / Mthemtish Grudlge - Differetilgleihuge. Ordug Seite 8 7. Tp: Dgl. vo Riti f Utershied u Dgl. vo Beroulli: Glied der rehte Seite läßt sih uf eie Beroullishe Dgl. urükführe, we es geligt, eie prtikuläre Lösug u fide. Ast: Eisete i die Dgl. ergit: { } f D ls Lösug der vorgelegte Differetilgleihug vorusgesett wurde, ist der Ausdruk i der geshwugee Klmmer gleih f ud es leit für die uekte Fuktio die Differetilgleihug: 0 Ds ist eie Beroullishe Differetilgleihug, die m durh de Ast: /u uf eie liere Differetilgleihug urükführe ud löse k. Beispiel: 0 M erket leiht, dß eie Lösug ist. Wir mhe dher de Ast: ud ekomme 0 0 mit /u : 0 u u Allgemeie Lösug: u Somit: ud Dies ist die llgemeie Lösug der vorgelegte Ritishe Differetilgleihug. D die llgemeie Lösug der liere Differetilgleihug die Form u ψ ϕ ht, so ht die Beroullishe Differetilgleihug der vorliegede Art die Lösug ψ ϕ ud demh ht die Ritishe Differetilgleihug stets eie llgemeie Lösug der Form: ψ ϕ oder ders geshriee ψ ϕ Ψ Φ Die llgemeie Lösug der Ritishe Differetilgleihug ist gerohe i.