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1 AMPELSTEUERUNG EINER KREUZUNG SS / 12 (A) PROBLEM D C E B A Ziel (1) Sicherheit: keine kollidierenden Wege gleichzeitig, z.b. EB und AD Ziel (2) Maximierung: möglichst hoher Verkehrsfluß über die Kreuzung, z.b. BA, ED, EC gleichzeitig monika.heiner@informatik.tu-cottbus.de SS / 12

2 (B) PROGRAMM Eingabe: Von wo nach wo darf man abbiegen? Ausgabe: geeignete Folge von Ampelphasen an jeder Straße (Straßenspur) genauer: uns reicht die Aussage, welche Straßen gemeinsame Ampelphasen haben müssen; SS / 12 ((C) MATHEMATISCHES MODELL - UNGERICHTETER GRAPH Knoten: Wege über die Kreuzung Anmerkung: Wendewege (z. B. AA ) werden nicht betrachtet. AB AC AD Kanten : zwischen je zwei kollidierenden Wegen BA BC BD z. B. AD - EB Anmerkung: Wege mit demselben Ziel werden nicht als Kollision betrachtet (z. B. AD und ED ) DA EA DB EB DC EC ED monika.heiner@informatik.tu-cottbus.de SS / 12

3 (D) PROBLEM IN DER SPRACHE DES MODELLS Ziel (1): Sicherheit gleichzeitig passierbare Wege über die Kreuzung -> Menge von Knoten, in der keine zwei Knoten durch eine Kante verbunden sind; Ziel (2): Maximierung -> Finde eine Aufteilung der Knotenmenge in möglichst wenige Teilmengen gemäß Ziel (1) (d.h. in denen jeweils keine zwei Knoten durch eine Kante verbunden sind); SS / 12 (E) PROBLEMERÖRTERUNG AUF MODELLNIVEAU AHA-Erlebnis Dieses Problem ist in der Graphentheorie wohl bekannt und eingehend untersucht! Definition (Färbung) Eine Färbung eines Graphen ist eine Zuordnung von Farben zu den Knoten, bei der durch eine Kante verbundene Knoten stets verschiedene Farben bekommen. (-> Färbung einer politischen Landkarte) Problem Finde eine Färbung des (Kreuzungs-) Graphen mit möglichst wenig Farben! ABER: Dieses Problem ist als NP-vollständig bekannt! -> es gibt (vermutlich) keine wesentlich bessere Lösung als alle Färbungen durchzuprobieren; -> exponentieller Aufwand -> SEHR AUFWENDIG UND TEUER! -> Mit guter Nährungslösung zufrieden? z. B. folgender greedy - Algorithmus monika.heiner@informatik.tu-cottbus.de SS / 12

4 (F) INFORMELLER ALGORITHMUS (AUF MATHEMATISCHEN MODELL) Solange noch nicht alle Knoten gefärbt sind: 1. Wähle einen ungefärbten Knoten und färbe ihn mit einer neuen Farbe. 2. Für jeden ungefärbten Knoten: Untersuche, ob er durch eine Kante mit einem Knoten mit dieser neuen Farbe verbunden ist. Falls nicht, färbe den aktuellen Knoten mit dieser neuen Farbe. Ergebnis ist u. U. abhängig von der Reihenfolge, in der die Knoten durchmustert werden Durchmusterung von links nach rechts 4 entsprechend der Knotennummern 4 monika.heiner@informatik.tu-cottbus.de SS / 12 ((F) INFORMELLER ALGORITHMUS (AUF MATHEMATISCHEN MODELL) Kreuzungs-Beispiel -> vier Farben Optimal? In diesem Fall ja: z. B. AC, DA, BD, EB sind paarweise durch je eine Kante verbunden (4-Clique, vollst. vermaschter Graph) und erfordern (mindestens) 4 Farben. AB AC AD BA BC BD DA DB DC EA EB EC ED monika.heiner@informatik.tu-cottbus.de SS / 12

5 ANMERKUNGEN ZUM INFORMELLEN ALGORITHMUS Definition (n-clique) n Knoten bilden eine n-clique, wenn alle n Knoten paarweise durch je eine Kante verbunden sind. -> Offensichtlich braucht man zum Färben einer n-clique n Farben. Optimalität -> Falls die gefundene Lösung mehr Farben benötigt als die maximale Clique, kann sie trotzdem noch optimal sein. die Lösung ist nicht optimal bzgl. Ziel (2), da es isolierte Knoten gibt -> isolierte Knoten (BA, DC, ED) stehen mit keinem anderen Knoten im Konflikt -> könnten also immer frei geschaltet sein (Grüner Pfeil) -> isolierte Knoten beeinflussen aber nicht die benötigte Anzahl an Farben monika.heiner@informatik.tu-cottbus.de SS / 12 (G) PSEUDOKODE-ALGORITHMUS (AUF ADT GRAPH) procedure FAERBUNG (in G : Graph T, out farben : Integer ) var neuefarbe : ColSetT; /* Menge von Knoten von G, denen */ /* die gleiche neue Farbe gegeben wird */ begin farben := 0; while nicht alle Knoten gefärbt do farben +:= 1; /* nimm eine neue Farbe -> aktuelle Farbe */ neuefarbe := ø; loop forall ungefärbten Knoten k von G do if k ist nicht verbunden mit irgendeinem Knoten in neuefarbe then färbe k; /* mit der aktuellen Farbe */ füge k in neuefarbe ein; endif endloop endwhile end FAERBUNG. monika.heiner@informatik.tu-cottbus.de SS / 12

6 (H) INFORMELLE SPEZIFIKATION VON ADT COLOUREDGRAPH I -> ColGraphT, benutzte Operationen alle Knoten gefärbt? -> allnodescoloured (in ColGraphT, out Boolean) forall ungefärbten Knoten k -> firstuncolourednode (in ColGraphT, out ColNodeT) -> nextuncolourednode (in ColGraphT, inout ColNodeT, out Boolean) k verbunden mit irgend einem Knoten aus einer Menge? -> associatedwith (in ColGraphT, in ColNodeT, in ColSetT, out Boolean) Einlesen des konkreten Graphen -> initgraph (inout ColGraphT) -> addnode (inout ColGraphT, in ColNodeT) -> addarc (inout ColGraphT, in ColNodeT, in ColNodeT) monika.heiner@informatik.tu-cottbus.de SS / 12 (H) INFORMELLE SPEZIFIKATION VON ADT COLOUREDGRAPH II -> ColNodeT, benutzte Operationen färbe k -> setcolour (inout ColNodeT, in Integer ) -> ColSetT, Menge von (gefärbten) Knoten, benutzte Operationen Menge löschen -> clear (inout ColSetT) Knoten in der Menge enthalten? -> member (in ColSetT, in ColNodeT, out Boolean) Knoten zur Menge hinzufügen -> include (inout ColSetT, in ColNodeT) monika.heiner@informatik.tu-cottbus.de SS / 12