Die Bernoullische Gleichung

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1 Semina: Gundlagen de Physik von Flüssigkeiten Die Benoullische Gleichung von Andeas Jung Institut fü Metallphysik und Nukleae Festköpephysik

2 Gliedeung Heleitung Benoulli-Gleichung: 1 p+ ρ v = Ducksonden p Beispiele & Anwendungen Die Benoulli-Gleichung bei (in-)kompessiblen Stömungen

3 Heleitung (I) Fü ideale Flüssigkeiten (d.h. keine innee Reibung bzw. nicht viskos) gilt die Eulesche Gleichung: v t v + gad ( v ot v) = F gad P ( 1) Es läßt sich fü zwei Sondefälle ein Integal ableiten: a) fü wibelfei Stömungen (ot v = ) (bzw. Potentialstömungen ( v = gad Φ) ) und eine Massenkaft F mit einem Potential U ( F = gad U) : gad Φ v + gad ( v ) = gadu gad P t Φ v gad + + U + P = t äumlich konstant = const+ C( t ) Φ v + + U + P = const t mit P dp = ( ) ρ ( p ) Duckgleichung

4 Heleitung (II) b) fü wibelbehaftete Stömungen (ot v ), die stationä ( t = ) sind und eine Massenkaft F mit einem Potential U ( F = gad U) besitzen: v gad + U + P = v ot v Man integiee längs eine Stomlinie (d.h. Bogenelement d Richtung von v) von Punkt 1. Es ist dann: v gad + U + P d = ( v ot v) = d 1 1, da ( v ot v ) d. Weite gilt: v v gad + + = + + U P d d U P = v + U + P = C mit dp P = ρ ( p ) v = v allgemeine Benoullische Gleichung (3) C ist - spezifisch fü die jeweilige Stomlinie - eine Konstante. Ist die Stömung wibelfei, so hat C fü den ganzen Flüssigkeitsaum den selben Wet.

5 Benoulli-Gleichung (I) Die Benoulli-Gleichung ist eine de wichtigsten und meist angewandten Sätze de Stömungslehe und dückt zugleich den Enegiesatz fü Flüssigkeiten aus. C = + U + P Gesamtenegie v kinetische potentielle = + + Enegie Enegie Ein Spezialfall de allgemeine Benoulli-Gleichung: Duckenegie Fü inkompessible homogene (ideale) Flüssigkeiten ( ρ = const, p P = ρ ) und die Schwee als alleinige äußee Kaft ( Z = g, U = gz) wid (3) zu: v ρ ρ + gz + p = const p hydostatische Duck 1 ρ v + = hydodynamische + Duck = (ode Stauduck) p Gesamtduck Die bekannteste Benoullische Gleichung (fü z=const)

6 Benoulli-Gleichung (II) Veanschaulichung de Benoullischen Gleichung: De hydostatische Duck p ist 1 um ρ v kleine, als de Gesamtduck p (=hydostatische Duck bei v = ) Zu Peson Daniel Benoulli (17-178): Familie Benoulli ist eine schweize Gelehtenfamilie mit niedeländische Hekunft. Daniel ist de Sohn von Johan Benoulli (Pofesso fü Mathematik in Göttingen). E wa sowohl als Mathematike & Physike, wie auch als Medizine bekannt und lehte als Pofesso in Petesbug und Basel. Mit dem Hauptwek: Hydodynamica sive de viibus et motibus fluidoum commentaii (1738) wude e zum Begünde de Hydodynamik.

7 Ducksonden Zu Messung des hydostatischen Ducks und des Gesamtducks existieen folgenden Ducksonden: Ducksonde zu Messung Pitot-Roh (vom fanzösischen des statischen Ducks p Physike Pitot ) Das Stauoh von Pandtl kombiniet beide obigen Ducksonden: 1 ( p p) p p= ρ v v= ρ Pandtl ( ), Begünde de modenen Aeo- und Hydodynamik. Anwendung: Messung de Fluggeschwindigkeit elativ zu umgebenden Luft.

8 Beispiele & Anwendungen (I) Schiffsentlüfte Wassepumpe Wassestahlpumpe von Bunsen Zu Peson Robet Bunsen ( ): Deutsche Chemike, Pofesso in Mabug, Beslau und Heidelbeg. E efand sowohl die Wassestahlpumpe, die auf Dücke von bis zu mba evakuieen kann, wie auch den Bunsenbenne, de zu besseen Vebennung des Gases an den Seiten Sauestoff ansaugt. Bunsenbenne, entwickelt von Bunsen (1855)

9 Beispiele & Anwendungen (II) Kontinuitätsgleichung: Die Ehaltung de Masse velangt ρ1 A1v1 = ρ Av, d.h. im Falle de Inkompessibilität gilt: A v = A v ode Av = const 1 1 Duch diese Gleichung und die Benoulli-Gleichung läßt sich die Duck- und Geschwindigkeitsveteilung längs Stomöhen (begenzt duch deen Stomlinien) bestimmen. Zwei hydodynamische Paadoxa : Schwebende Tischtennisball Appaat von Clment & Desomes

10 Beispiele & Anwendungen (III) Ausfluß aus einem Gefäß: Aus de Benoulli-Gleichung folgt: 1 p+ ρv + ρgz= const p v + + z= z ρ g g Da de (Luft-)Duck an beiden Obeflächen (A und A) de selbe ist (p ) und nach de Kontinuitätsgleichung gilt A v = A v folgt: A A v = v << 1 A v v A v v A = + h = + h v g g g g A Die Ausflußgeschwindigkeit ist demnach ebenso goß, wie die Geschwindigkeit eines aus de Höhe h heabfallenden Köpes (Satz von Toicelli, 1646). gh

11 Die Benoulli-Gleichung bei (in-)kompessiblen Stömungen Fage: Wie goß ist de begangene Fehle, wenn man bei de Benoulli-Gleichung eine kompessible Flüssigkeit als inkompessible betachtet? Bei eine hoizontalen Stomöhe gilt im inkompessiblen Fall: 1 p p= ρ v Im kompessiblen Fall ist dagegen nach (3): p a dp 1 dp + v = ρ( p) ρ( p) Man ehält nach etwas Rechnung folgende Fom de Benoulli- Gleichung: p p = v 4 c + ρ v K D.h. man begeht beim Stauduck einen elativen Fehle von 1 v, das sind bei eine Stömungsgeschwindigkeit von,c 4 c etwa 1%, bei,63c etwa 1% Fehle. p a

12 Liteatuhinweise [1] Budó, A.: Theoetische Mechanik (Band 5) - Belin: VEB Deutsche Velag de Wissenschaften 1956 [] Schmutze, Enst: Gundlagen de theoetischen Physik (Teil 1) - Mannheim; Wien; Züich: B.I. Wissenschaftsvelag 1989 Bilde: [3] Begmann; Schaefe: Lehbuch de Expeimental-physik (Band 1), 1. Auflage - Belin; NewYok: de Guyte 199 [4] Gethsen, Chistian: Physik, 18. Auflage - Belin: Spinge 1995 [5] Feynman; Leighton; Sands: The Feynman Lectues on Physics (sixth pinting) - Addison-Wesley Publishing Company 1977