Theoretische Mechanik

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1 Hans Stephani / Gerhard Kluge Theoretische Mechanik Punkt- und Kontinuumsmechanik Mit 139 Abbildungen Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg Berlin Oxford

2 Punktmechanik 1 1. Mechanik eines freien Massenpunktes Kinematik Bahnkurve, Geschwindigkeit und Beschleunigung in kartesischen Koordinaten Geschwindigkeit und Beschleunigung in natürlichen Koordinaten Bahnkurve, Geschwindigkeit und Beschleunigung in ebenen Polarkoordinaten Geschwindigkeit und Beschleunigung in Zylinder- und Kugelkoordinaten Einfache Beispiele zur Kinematik Die Newtonschen Axiome - die Grundgesetze der Dynamik Einfache eindimensionale Bewegungen Vorbemerkungen Kräftefreie Bewegung Freier Fall (Wurf) im homogenen Schwerefeld Reibung Freier Fall mit Reibung Harmonischer Oszillator Freie gedämpfte Schwingung Erzwungene Schwingung Beliebige ortsabhängige Kraft Allgemeine Sätze und Begriffe Vorbemerkungen Impulssatz Drehimpulssatz, Drehimpulserhaltungssatz und Flächensatz Energiesatz und Energieerhaltungssatz Das Potential 29

3 VIII Inhalt Einfache Beispiele für Energie-und Drehimpulssatz Erhaltungssätze und Integration der Bewegungsgleichungen Die Planetenbewegung Ableitung des Kraftgesetzes aus den Keplerschen Gesetzen Ableitung der Planetenbewegung aus dem Gravitationsgesetz Anschauliche Diskussion der Bewegungstypen im Potential U = -ymm/r Inertialsysteme und beschleunigte Bezugssysteme Inertialsysteme und Galilei-Transformationen Bewegungen auf einem rotierenden Karussell Beliebig beschleunigte Bezugssysteme Bewegungen auf der rotierenden Erde Fragen und Aufgaben System freier Massenpunkte Bewegungsgleichungen Schwerpunktsatz Drehimpulssatz Energiesatz Allgemeine Sätze und Integration der Bewegungsgleichungen Elastischer Stoß zweier Massenpunkte Zweikörperproblem der Himmelsmechanik Gekoppelte Schwingungen zweier Massenpunkte Virialsatz Raketengleichung Fragen und Aufgaben Massenpunkt mit eingeschränkter Bewegungsfreiheit Problemstellung Typen der Bedingungsgleichungen Das d'alembertsche Prinzip Zwei Beispiele zum d'alembertschen Prinzip Lagrange-Gleichungen I. Art Gültigkeit der Erhaltungssätze Lösungsmethode für die Lagrange-Gleichungen I. Art Beispiele Statik Kräftefreie Bewegung auf einer Kugel Kreispendel (mathematisches Pendel) Massenpunkt auf einer rotierenden Stange Einseitige Bindungen Fragen und Aufgaben 81

4 IX 4. Massenpunktsysteme mit eingeschränkter Bewegungsfreiheit Typen der Nebenbedingungen D'Alembertsches Prinzip und Lagrange-Gleichungen I. Art Schwerpunktsatz, Drehimpulssatz, Energiesatz Beispiele Wellrad Hantel auf einer Eisfläche Um eine Achse frei drehbarer starrer Körper Modell Energiesatz Drehimpulssatz Steinerscher Satz Analogie zwischen Translations- und Rotationsbewegung Fragen und Aufgaben Lagrange-Gleichungen IL Art und Hamilton-Prinzip Aufgabenstellung Generalisierte Koordinaten und Ableitung der Lagrange-Gleichungen IL Art Die Erhaltungssätze in der Sprache der Lagrange-Funktion Energiesatz und Zeitverschiebung Schwerpunktsatz und räumliche Translation Drehimpulserhaltungssatz, zyklische Koordinaten Beispiele Massenpunkt auf einem Kreiskegel im Schwerefeld Bewegte schiefe Ebene An einer Wand abgleitender Stab Weitere Beispiele für Lagrange-Funktionen Lagrange-Funktion eines Elektrons im elektromagnetischen Feld Beschleunigung in beliebigen orthogonalen Koordinatensystemen Hamilton-Prinzip Formulierung des Prinzips Ableitung der Lagrange-Gleichungen II. Art aus dem Hamilton-Prinzip Allgemeine Bemerkungen zum Hamilton-Prinzip Fragen und Aufgaben Starrer Körper und Kreiseltheorie Kinematik des starren Körpers Die Eulerschen Winkel Allgemeines zur Dynamik des starren Körpers 127

5 6.4. Der Trägheitstensor Die kinetische Energie eines starren Körpers Der Trägheitstensor und seine Eigenschaften Drehimpuls und Trägheitstensor Die Eulerschen Gleichungen Rotation um freie Achsen Der kräftefreie symmetrische Kreisel Der schwere symmetrische Kreisel Der schnell rotierende schwere symmetrische Kreisel Fragen 143 Vollendung der klassischen Punktmechanik Vorbemerkung Generalisierte Impulse, Hamilton-Funktion und kanonische Gleichungen Beispiele Eindimensionaler harmonischer Oszillator Kepler-Problem in Kugelkoordinaten Elektron im elektromagnetischen Feld Poisson-Klammern Kanonische Transformationen Hamilton-Jacobi-Theorie Physik im Phasenraum - Chaos und integrable Systeme Das Problem Systeme von Differentialgleichungen 1. Ordnung Hamiltonsche Systeme Integrable Hamiltonsche Systeme Deterministisches Chaos Gültigkeitsgrenzen der klassischen Punktmechanik Fragen und Aufgaben 165 Mechanik der Speziellen Relativitätstheorie Vorbemerkung Galilei- und Lorentz-Transformationen Die Galilei-Invarianz der klassischen Mechanik Lichtausbreitung in bewegten Koordinatensystemen und Lorentz-Transformationen Eigenschaften der Lorentz-Transformationen Unsere Welt als Minkowski-Raum Das Konzept des Minkowski-Raumes Längen- und Zeitmessung im Minkowski-Raum Addition von Geschwindigkeiten; Überlichtgeschwindigkeiten und Kausalitätsfragen 178

6 XI 8.4. Die Grundgleichungen der Mechanik der Speziellen Relativitätstheorie Kinematik Die Bewegungsgleichungen Das Hamilton-Prinzip für ein geladenes Teilchen Bemerkungen zur Mechanik wechselwirkender Teilchen Fragen und Aufgaben 185 Mechanik der Continua Kinematik deformierbarer Körper Das Geschwindigkeitsfeld einer Flüssigkeit Lagrangesche und Eulersche Darstellungsweise Bahnkurven und Stromlinien Lokale und substantielle Zeitableitung Quellen und Wirbel Zweidimensionale Potentialströmungen Der Deformationszustand Das Verschiebungsfeld Der Deformationstensor Physikalische Bedeutung der einzelnen Komponenten des Deformationstensors Der Tensor der Deformationsgeschwindigkeit Fragen und Aufgaben Bilanzgleichungen Die Kontinuitätsgleichung Die Impulsbilanz und der Spannungstensor Die Drehimpulsbilanz Die Energiebilanz Fragen und Aufgaben Materialgleichungen Vorbemerkungen Das Spannungs-Dehnungs-Diagramm Das Hookesche Gesetz Zustandsgieichungen Das Reibungsgesetz Fragen und Aufgaben 230

7 XII Inhalt 12. Lineare Elastizitätstheorie Die Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie Torsion eines Zylinders Biegung eines Balkens Elastische Wellen Eigenschwingungen Dickenscherschwingungen Dickenschwingungen Das Hamilton-Prinzip Biegeschwingungen von Platten und das Variationsverfahren von Ritz Fragen und Aufgaben Hydrodynamik Die Grundgleichungen der Hydrodynamik Reibungsfreie Flüssigkeiten Stationäre Strömungen Inkompressible Strömungen Strömungen mit räumlich homogener Dichte Wirbelfreie Strömungen Linearisierung der Grundgleichungen Die Bernoullische Gleichung Prandtlsches Staurohr Kavitation Die Hugoniot-Gleichung Die barometrische Höhenformel Die Kraft auf einen umströmten Zylinder Thomsonscher Zirkulationssatz und Helmholtzsche Wirbelsätze Hydrodynamische Ähnlichkeitsgesetze Laminare Strömungen Die Hagen-Poiseuillesche Strömung Das Stokessche Widerstandsgesetz Die Prandtlsche Grenzschichttheorie Turbulente Strömungen Vorbemerkungen Die Reynolds-Gleichungen Mit Geschwindigkeitsfluktuationen verbundene Effekte Phänomenologische Ansätze für die Reynolds-Spannungen Fragen und Aufgaben 292

8 14. Verallgemeinerungen der Kontinuumsmechamk Vorbemerkungen Rheologische Gleichungen Versetzungen Cosserat-Kontinuum Fragen und Aufgaben 305 Mathematischer Anhang 307 A.l. Vektoralgebra 307 A.2. Vektoranalysis und Tensoranalysis 308 A.3. Gewöhnliche Differentialgleichungen 2. Ordnung Hinweise zur Lösung der Übungsaufgaben 313 Literatur 321 Sachverzeichnis 323