2.2. Beschreibung von Verteilungen

Transkript

1 2.2. Beschreibung von Verteilungen In einer ersten Phse der Infortionsverdichtung werden epirische Dtensätze ittels tbellrischer und grphischer Drstellungen der Häufigkeitsverteilung zusenfssend ufbereitet. In einer zweiten Phse der Infortionsverdichtung chrkterisieren sttistische Mßzhlen = Kennwerte, Preter) den epirischen Dtenbestnd kopriiert in einer einzigen Zhl. Hierdurch wird beispielsweise die vergleichende Anlyse der Verteilung eines Merkls X in zwei oder ehreren sttistischen Mssen eröglicht.

2 Mßzhlen zur Lge beschreiben ds Zentru einer Verteilung durch einen nuerischen Wert. Welches Lgeß in einer bestiten Frgestellung sinnvoll ist, hängt b vo Kontext von der Dtensitution vo Sklenniveu des Merkls

3 . Modus Modlwert; häufigster Wert; dichtester Wert) Modus x Mod : Merklsusprägung it größter Häufigkeit Der Modus ist eindeutig, flls die Häufigkeitsverteilung ein eindeutiges Mxiu besitzt. D für die Bestiung des Modus llein die Häufigkeiten der Merklsusprägungen ßgebend sind, werden n die Sklierung der Merkle keine Vorussetzungen gestellt, d.h. der Modus ist bereits uf Noinlsklenniveu sinnvoll für noinlsklierte Merkle ist ds einzigste Lgeß). x Mod

4 Beurteilung: Der in der Verteilung vorherrschende Wert wird ls Mitte und dit ls Repräsentnt für die Lge der Häufigkeitsverteilung ngesehen. Der Modus ist lso ein typischer, ein norler Wert. Der Modus ist ein geeigneter Mittelwert, wenn seine Häufigkeit die nderen Häufigkeiten doiniert, d.h. die Verteilung uss sich uf ihn zuspitzen, sie uss einen deutlichen Gipfel besitzen.

5 Beispiel us Bourier 200), S. 69: Verteilung der Überstunden in der Mier KG Verteilung der Überstunden in der Schulte GbH Überstunde x i h i Überstunde x i h i Der Modus beträgt bei beiden Firen Überstunde. Aber für die Mier KG ist die Berechnung des Modus nicht besonders sinnvoll, d sich die größte Häufigkeit nicht deutlich genug von den nderen Häufigkeiten bhebt.

6 Als Lgeß ist bei eingipfligen uniodlen) Verteilungen sinnvoll. I Flle ehrgipfliger Verteilungen gehen die Ansichten über die Eignung useinnder. Mnche hlten eine Bestiung für unzulässig, ndere befürworten die Bestiung der Modi für lle Gipfel, selbst wenn die Häufigkeiten Spitzen) nicht gleichuf liegen reltive Modlwerte). Beispiel: Studien über Schuh- und Konfektionsgrößen Vorteil des Modlwertes: es hndelt sich u einen von Ausreißern unbeeinflussten Mittelwert siehe i vorhergehenden Beispiel: bei der Schulte GbH wird nicht durch die us de Rhen fllende Überstundenzhl 2 beeinflusst). x Mod x Mod

7 Bei klssifizierten Häufigkeitsverteilungen knn der Modus nicht ehr bgelesen werden. Der Modlwert wird in diese Fll in der Klsse verutet, die die höchste Klssenhäufigkeit ufweist. Der Modlwert wird näherungsweise ls Klssenitte der Klsse it der größten Häufigkeit festgelegt

8 2. Medin Der Medin ist der Wert, der in einer der Größe nch geordneten Reihe genu in der Mitte liegt, d.h. 50 Prozent der Merklswerte sind kleiner oder gleich) bzw. größer oder gleich) Ausgngspunkt ist die geordnete Urliste x Med x... x i... x n x i Für ungerdes n ist die ittlere Beobchtung der geordneten Urliste x Med x Med und für gerdes n ist ds rithetische Mittel der beiden in der Mitte liegenden Beobchtungen, d.h. x Med = x n+ )/ 2 2 x n / 2 + x n+ )/ 2 ) für für n ungerde n gerde

9 Bechte: Der Medin knn nur bestit werden, wenn ds Merkl indestens ordinlskliert ist. Beispiel us Bourier 200), S : n ist ungerde: Für die 23 Beschäftigten der Schulte GbH wurden die Fehlzeiten in Tgen) für ds letzte Hlbjhr festgestellt Fehltge h i H i Der Beschäftigte, der die Mittelposition in der Rngordnung einnit, ht die Positionsziffer 23+)/2 = 2. Mit der kuulierten Häufigkeit H sieht n sofort, dss der Beschäftigte it der Positionsziffer 2 genu 8 Tge gefehlt ht. 50 % hben 8 oder weniger Tge und 50 % hben 8 oder ehr Tge gefehlt.

10 n ist gerde: Für die 20 Beschäftigten der Mier KG wurden die Fehlzeiten in Tgen) für ds letzte Hlbjhr festgestellt Fehltge h i H i x Med = xn / 2 + x n+ )/ 2) = x0 + x) = 6 + 7) = 6,5 Tge % der Beschäftigten hben weniger, 50% hben ehr ls 6,5 Tge gefehlt Wäre ds Merkl ordinlskliert gewesen, hätte der Medin nicht festgestellt werden können, d zwischen unterschiedlichen Merklswerte die Mitte nicht bestit werden knn.

11 Beurteilung: Der Medin ist unbeeinflusst von Ausreißern, d er llein von der Anzhl der Merklwerte bhängig ist. i Beispiel der Schulte GbH wird der Medin nicht durch die us de Rhen fllende Fehlzeit von 59 Tgen beeinflusst) Der Medin ist ein geeigneter Mittelwert für schiefe Verteilungen. Bei schiefen Verteilungen konzentrieren sich die Merklträger i unteren oder oberen Merklsbereich. Bei einer Durchschnittsbildung würden die reltiv wenigen sttistischen Einheiten it hohen niedrigen) Merklswerten den Durchschnitt nch oben unten) verzerren. Die Zerlegung der Gestheit in zwei Hälften verittelt hier einen besseren Einblick in die Mitte. Der Medin ist wichtigster Lgepreter für ordinlsklierte Merkle; ber wegen obiger Begründung uch für etrische Merkle sinnvoll.

12 us: Kräer, W. 2003), So lügt n it Sttistik, S. 65.

13 Medin bei klssierten Dten Bei klssierten Dten knn der Medin nicht ehr exkt bgelesen werden Er lässt sich nur näherungsweise bestien. Vorgehensweise:. Bestiung der Medinklsse Die Medinklsse ist die Klsse, in der der Merklsträger it der Positionsziffer n+)/2 oder vereinfcht n/2 liegt. Die -te Klsse ist die Medinklsse, flls bzw. H ) < 0,5 n und H ) 0, 5 n F ) < 0,5 und F ) 0,5

14 2. Loklisierung des Medins in der Medinklsse Es wird ngenoen, dss in der Medinklsse eine Gleichverteilung vorliegt. Zur Untergrenze der Medinklsse ist die Strecke x zu ddieren, wobei x wie folgt durch Anwendung des Strhlenstzes erittelt werden knn: H ) n / 2 h ) x x Med H )

15 ) ) ) 2) / = H H H n x ) ) ) 2) / = h H n x Dit ergibt sich ls Berechnungsforel für den Medin: ) ) ) 2) / + = Med h H n x

16 Beispiel us Bourier 200), S. 76: Forderungsbestnd einer Fir zu 3.2. eines Jhres Medinklsse = 3

17 Schritt : Medinklsse ist die Klsse 3, d die Positionsziffer 245/2=22,5 in die dritte Klsse fällt Schritt 2: x Med 22,5 65 = ) 80 = ,79 00 = 27,90 50 % der Forderungen hben einen Wert von weniger, 50 % von ehr ls 27,90 DM. Auf die Angbe oder gleich 27,90 DM wird verzichtet, d ds Auftreten dieses Wertes unwhrscheinlich ist.

18 Bestiung des Medins us der Epirischen Verteilungsfunktion Flls Fx) = 0,5 uf einer Treppenstufe liegt, ist der ittlere x-wert dieser Stufe der Medin.

19 Flls Fx) den Wert 0,5 nicht nnit, ist der Medin gleich de kleinsten x-wert, bei de Fx) größer ls 0,5 ist.

20 Eigenschften des Medins. Miniueigenschft Durch den Medin wird jener Dtenwert bestit, von de us die Sue der Entfernungen bsolut genoen) zu den nderen Werten der Häufigkeitsverteilung ein Miniu ergibt, d.h. 2. Linertrnsfortion n i = Für Trnsfortionen der For gilt: x i x Med y y = + = in = + bx it i =,..., n; b R i i, Med bx Med