Inhaltsverzeichnis. Mathematische Analyse zu Black Jack David Suter Seite 1

Transkript

1

2 Inhaltsverzeichnis 1. Abstract Vorwort Einleitung Black Jack Warum Black Jack Die Spielregeln Die Sonderregeln Black Jack Verdoppeln Teilen Versicherung er Drilling Zusatzwette: Perfect Pairs Wahrscheinlichkeitsrechnen Definition von Wahrscheinlichkeit Notation Stichprobenraum Ereignisse Durchschnitt Arten von Wahrscheinlichkeit Marginale Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit des Durchschnitts Bedingte Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeitsregeln Multiplikationsregel Resultate Wahrscheinlichkeiten für die Bank Gewinnerwartungen Optimale Spielstrategie Hardhand Softhand Verdoppeln Mathematische Analyse zu Black Jack David Suter Seite 1

3 6.3.4 Teilen Versichern und Perfect Pairs Geschichte der Berechnung von Black Jack Ursprung Erste Analysen Beat the Dealer Auswirkungen Heute Diskussion, Zusammenfassung und Schluss Eigenständigkeitserklärung Quellenverzeichnis Anhang Mathematische Analyse zu Black Jack David Suter Seite 2

4 1. Abstract Diese Arbeit gibt einen Überblick über die Gewinnchancen beim Black Jack. Dabei berechnete ich mithilfe der Wahrscheinlichkeitsrechnung die optimale Spielstrategie. Die Ergebnisse sind in den Tabellen im Kapitel 6 zusammengefasst. Sie zeigen die optimale Spielstrategie beim Black Jack an. 2. Vorwort Diese Arbeit ist meine Maturaarbeit an der KSA Nuolen im Jahre Ich entschied mich für das Thema Black Jack, weil ich mich für Wahrscheinlichkeitsrechnen im Zusammenhang mit Glücksspiel interessiere. Black Jack ist ein gutes Beispiel dafür. Begonnen hat es damit, dass mein älterer Bruder anfing Poker zu spielen. Ich interessierte mich sehr bald auch dafür und fing auch an zu spielen. Bei jedem Zug muss man seine Chancen abwägen. Durch Tipps von meinem Bruder und auch durch Bücher erkannte ich, dass dieses Spiel nur bedingt mit Glück zu tun hat. Später kam ich in den Kontakt mit Black Jack, wobei ich beim ersten Mal ziemlich impulsiv spielte. Ich spielte ohne groß nachzudenken. Doch nach und nach erkannte ich auch hier, wieder mithilfe eines Kollegen, dass es nur bedingt mit Glück zu tun hat. Er erklärte mir die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung und ich begann mich für dieses Thema zu interessieren. Die Überlegungen und Berechnungen dahinter faszinierten mich. Als es darum ging ein Thema für die Maturaarbeit auszuwählen war ich am Anfang ziemlich ratlos doch nach einem guten Hinweis einer Freundin kam ich schnell zu diesem Thema. Black Jack ist ein gutes Beispiel dafür wie man Wahrscheinlichkeitsrechnen an Glücksspielen anwenden kann. Denn die Regeln beim Black Jack sind relativ einfach. Ich berechne hier verschieden Wahrscheinlichkeiten beim Black Jack um eine optimale Spielstrategie herauszufinden. Noch einige Angaben zu meiner Person. Mein Name ist David Suter, ich bin am geboren und wohne in Galgenen. Ich gehe in die vierte Klasse an der KSA Nuolen. Nebenbei arbeite ich als Kassierer im Coop. Diese Arbeit ist Teil meines Abschlussjahres an der KSA. In meiner Freizeit treffe ich mich mit Freunden oder lese gerne. Ich bin Gruppenleiter in der JuBla Galgenen. Mathematische Analyse zu Black Jack David Suter Seite 3

5 Diese Arbeit ist an all jene gerichtet die sich dafür interessieren professionell Black Jack zu spielen. Professionell in dem Sinn, dass man nicht einfach nach Gefühl spielt sondern auch eine Ahnung hat was man macht. Des Weiteren ist es auch für all jene geeignet die sich mit Wahrscheinlichkeitsrechnen befassen oder sich dafür interessieren. Ich habe in meiner Klasse schon oft die Frage gehört, für was man die Mathematik eigentlich braucht. Hier ist eine Antwort. An dieser Stelle möchte ich mich bei verschieden Personen bedanken. Unter anderem bei Jana Züger, die mir sehr bei der Themenwahl geholfen hat. Markus Leisibach, der mir während der Arbeit zur Seite stand. Debora Suter, der ich dieses wunderschöne Titelbild verdanke sowie allen weiteren Personen, die mich während dieser Arbeit unterstützt haben David Suter 3. Einleitung Bei dieser Arbeit befasse ich mit den Gewinnchancen beim Black Jack. Zu diesem Thema gibt es schon einige andere Arbeiten und Bücher. Meine These lautet, dass es beim Black Jack eine Möglichkeit gibt seine Chancen zu berechnen. Diese optimale Spielstrategie versuche ich herauszufinden. Dazu erkläre ich zunächst das Spiel Black Jack, die Regeln und Zusatzwetten. Danach folgt eine Erklärung der Wahrscheinlichkeitsrechnung was eine wichtige Grundlage für meine Arbeit ist. Nach der Erklärung dieser zwei Themen erfolgt die eigentliche Analyse des Spiels. Zuerst werde ich eine Analyse der Wahrscheinlichkeiten der Bank machen. Danach diese des Spielers berechnen worauf ich dann die optimale Spielstrategie des Spielers aufzeigen werde. Im letzten Kapitel gehe ich auf einige geschichtlichen Ereignisse von der Berechnung des Black Jacks ein, unter anderem auch auf das Karten zählen. 4. Black Jack 4.1 Warum Black Jack Black Jack hat relativ einfache Regeln, was die Berechnungen enorm vereinfacht. Ausserdem spielt man gegen eine Bank die sich an feste Regeln halten muss und Mathematische Analyse zu Black Jack David Suter Seite 4

6 nicht gegen einen Mitspieler, was zwar nicht gerade unberechenbar wäre aber das Ganze doch enorm verkomplizieren würde. Ausserdem hat man als Spieler die Möglichkeit im Spiel selber zu entscheiden und so eine eigene Spielstrategie zu gestalten. Bei anderen Glücksspielen wie Roulette oder bei Automaten ist dies nicht möglich, man ist ganz auf sein Glück angewiesen. 4.2 Die Spielregeln Die Spielregeln können in jedem Casino unterschiedlich sein. Zwar gibt es gewisse Grundregeln die immer gleich sind, aber es gibt Zusatzregeln die variieren können. Bei meiner Arbeit orientiere ich mich an den Spielregeln von SwissCasino Pfäffikon Zürichsee 1. Black Jack wird mit französischen Karten gespielt. Sie gehen von den Werten 2 bis 10, danach folgt der Bauer (in engl. Jack), die Königin (Queen), der König (King) und das Ass (Ace). Es wird meistens mit sechs Kartendecks gespielt, es kann aber mit jeder möglichen Anzahl von Decks gespielt werden. Ein Kartendeck beinhaltet 52 Karten, wobei es vier verschiedene Farben gibt (Kreuz, Pik, Karo, Herz) welche jedoch beim Black Jack keine Bedeutung haben 2. Die Karten von 2 bis 10 haben den aufgedruckten Wert, alle BildKarten haben den Wert 10 und das Ass kann entweder den Wert 11 oder 1 annehmen. Wenn das Ass mit einer 11 gewertet wird bezeichnet man diese als Softhand. Wenn es mit einer eins bewertet wird oder es gar kein Ass gibt bezeichnet man es als Hardhand. Gespielt wird gegen die Bank. Ziel des Spiels ist es mit seinen eigenen Karten näher an den Wert 21 zu kommen als die Bank, diesen jedoch nicht zu überschreiten. 3 Abbildung 1: Ein Beispiel für französische Karten. Darauf dargestellt (von links nach rechts): Herz Bube, Kreuz Königin, Karo König, Herz Sechs und Karo Zehn 1 Vgl Oktober Ausser bei der Zusatzwette Perfect Pairs, siehe Kapitel 4.4, S. 7 3 Vgl Oktober Mathematische Analyse zu Black Jack David Suter Seite 5

7 Nachdem die Wetten platziert sind, beginnt der Dealer die Karten auszuteilen. Jeder Spieler und die Bank erhalten zuerst eine offene Karte, danach bekommt jeder Spieler aber nicht die Bank eine zweite offene Karte. Anschließend kann jeder Spieler der Reihe nach solange eine weitere Karte verlangen bis er glaubt nahe genug an 21Punkten zu sein. Wer mehr als 21 Punkte hat, der hat sich verkauft und sofort verloren, selbst wenn sich die Bank danach auch verkauft. Nachdem kein weiterer Spieler Karten verlangt, zieht nun der Dealer. Er muss sich dabei an feste Regeln halten. Er zieht solange Karten bis er 17 Punkte oder mehr hat, ein Ass zählt immer 11 Punkte außer er verkauft sich, in diesem Fall zählt es einen Punkt. Wenn er mehr als 21 Punkte hat, gewinnen automatisch die verbleibenden Spieler im Verhältnis 1:1. Wenn die Bank weniger als 21 Punkte hat, gewinnen nur diejenigen verbleibenden Spieler welche einen höheren Wert haben, die übrigen Einsätze werden eingezogen. Wenn es ein Unentschieden gibt, kann der Spieler seinen Einsatz behalten. 4.3 Die Sonderregeln Black Jack Wenn man mit den ersten beiden Karten den Wert 21 erreicht, hat man ein Black Jack. Ein Black Jack ist die bestmögliche Punktzahl im Spiel und schlägt alle anderen (außer natürlich ein weiteres Black Jack ). Wer mit einem Black Jack gewinnt bekommt den Gewinn im Verhältnis 3:2 ausbezahlt. Abbildung 2: Beispiel für ein "Black Jack" Verdoppeln Der Spieler kann bei den ersten beiden Karten den Einsatz noch verdoppeln, erhält dann aber nur noch eine weitere Karte. Wenn er gewinnt erhält er dann auch seinen verdoppelten Einsatz, verliert er jedoch so wird sein verdoppelter Einsatz eingezogen Teilen Wenn man bei seinen ersten beiden Karten ein Paar hat welches denselben Wert aufweist kann man diese Karten teilen. Man spielt dann mit zwei getrennten Einsätzen weiter. Bei jeder geteilten Hand ist ein Einsatz in der Höhe des ersten Einsatzes notwendig. Abgesehen von der Teilung des Asses kann der Spieler nun bei jedem Spiel so viele Karten verlangen wie er will. Man hat die Möglichkeit beliebig viele Hände zu teilen oder auch zu verdoppeln. Mathematische Analyse zu Black Jack David Suter Seite 6

8 Wenn man Asse teilt, erhält man nur noch eine weitere Karte. Asse können höchsten dreimal geteilt werden. Wenn man mit den geteilten Assen und einer weiteren Karte den Wert 21 erreicht gilt dies nicht als Black Jack da er nicht mit seinen beiden ersten Karten erreicht wurde Versicherung Wenn die Bank als erste Karte ein Ass zieht, hat jeder Spieler die Möglichkeit sich gegen ein mögliches Black Jack der Bank zu versichern indem er die Hälfte seines Einsatzes auf das Versicherungsfeld ( Insurance ) setzt. Wenn die Bank ein Black Jack hat, bekommt der Spieler den gesetzten Wert im Verhältnis 2:1 ausbezahlt, andernfalls wird er eingezogen er Drilling Wenn der Spieler 21 Punkte erreicht indem er 3 Sieben hat, bekommt er seinen Einsatz sofort im Verhältnis 1:1 ausbezahlt. Außerdem spielt man mit dem gesetzten Einsatz weiter. 4.4 Zusatzwette: Perfect Pairs Die Zusatzwette Perfect Pairs wird vor dem Erhalten von Karten gemacht. Bei dieser Zusatzwette wird auf die Kombination der ersten beiden Karten gewettet. Der Spieler gewinnt wenn: Es ein Paar bestehend aus einer roten und schwarzen Karte ist (Mixed Pair) Ein Paar bestehend aus den gleichen Farben (Coloured Pair) Ein Paar bestehend aus den gleichen Karten (Perfect Pair) 5. Wahrscheinlichkeitsrechnen 5.1 Definition von Wahrscheinlichkeit Eine Wahrscheinlichkeit ist die Chance, dass unter allen möglichen Ergebnissen eines zu untersuchenden Prozesses ein gewisses Ergebnis eintreten wird 4 Diese Definition ist einfach zu verstehen, trotzdem erkläre ich sie anhand eines kleinen Beispiels. Wenn man einen fairen Würfel wirft kann man sechs verschieden 4 Rumsey, Deborah (2007): Wahrscheinlichkeitsrechnung für Dummies. Weinheim: WILEYVCH Verlag GmbH & Co. KGaA, S.39. Mathematische Analyse zu Black Jack David Suter Seite 7

9 Ergebnisse erwarten. Die Zahlen eins bis sechs. Wir wollen nun die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass eine Sechs gewürfelt wird. Diese Wahrscheinlichkeit beträgt bei diesem einfachen Beispiel. 5.2 Notation In der Wahrscheinlichkeitsrechnung werden verschiedene Symbole und Definitionen gebraucht um die Rechnungen in einer Kurzform darzustellen. Ich führe ihnen in diesem Kapitel diejenigen Symbole und Definitionen näher die ich für meine Maturaarbeit brauche Stichprobenraum Um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses herauszufinden braucht man zuerst alle möglichen Ergebnisse. Eine Auflistung all dieser Ergebnisse nennt man Stichprobenraum. Es gibt zwei oft benutzte Symbole dafür. Der großgeschriebene griechische Buchstaben Omega Ω oder ein S. In meiner Arbeit benutze ich das Symbol S um meine Stichprobenräume zu bezeichnen. Die Auflistung aller möglichen Ergebnisse ist in der Wahrscheinlichkeitslehre eine Menge und wird somit auch so ausgedrückt (geschweifte Klammern, separate Ergebnisse mit Kommas trennen, etc.) Als gutes Beispiel kann man wieder die Situation mit dem Würfel brauchen. Wie gesagt kann man bei einem fairen Würfelwurf sechs mögliche Ergebnisse erzielen. Die Zahlen eins bis sechs. Dies ist unser Stichprobenraum S. Also ist S={1, 2, 3, 4, 5, 6}. Es gibt drei verschiedene Arten von Stichprobenräumen. Die endlichen, abzählbar unendlichen und die nicht abzählbar unendlichen. Da ich bei meiner Arbeit nur endliche Stichprobenräume habe werde nur diese kurz erläutern und die anderen aussen vor lassen. Endliche Stichprobenräume sind diejenigen, welche man alle Ergebnisse aufschreiben und abzählen kann. Ein Beispiel dafür ist der Würfelwurf. Ein weiteres Beispiel ist der Stichprobenraum beim Black Jack Ereignisse Bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung geht es darum die Wahrscheinlichkeit eines oder mehrerer Ergebnisse eines Stichprobenraums zu berechnen. Eine Teilmenge Mathematische Analyse zu Black Jack David Suter Seite 8

10 eines Stichprobenraums wird als Ereignis bezeichnet. Ereignisse werden mit Großbuchstaben vom Anfang des Alphabets gekennzeichnet. Es kommt wieder das Beispiel mit dem Würfel. Der Stichprobenraum ist S={1, 2, 3, 4, 5, 6}. Ein mögliches Ereignis A könnte alle geraden Ergebnisse bezeichnen: A={2, 4, 6}. Ein weiteres Ereignis B alle die die durch drei teilbar sind: B={3,6} Durchschnitt Der Durchschnitt zweier Mengen enthält alle Elemente die sowohl der Menge A als auch Menge B angehören. Als Symbol dafür benutzt man. A B bedeutet der Durchschnitt von Menge A und B. A B ist selber eine Menge. Bei unserem vorherigem Beispiel mit dem Würfel als A={2, 4, 6} und B={3, 6} war, ist das einzig gemeinsame Element die Zahl 6. Somit ist der Durchschnitt A B={6}. 5.3 Arten von Wahrscheinlichkeit Bei der Wahrscheinlichkeit gibt es fünf verschiedene Arten, die man je nach Fragestellung einsetzt. Bei meiner Arbeit werde ich nur drei davon brauchen und demzufolge auch nur diese erklären. Zur Vollständigkeit halber erwähne ich hier alle fünf. Es gibt die marginale Wahrscheinlichkeit, die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung, die Wahrscheinlichkeit des Durchschnitts, die komplementäre Wahrscheinlichkeit und die bedingte Wahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit wird mit einem P (von engl. Probability, Wahrscheinlichkeit) gekennzeichnet. Die Wahrscheinlichkeit bei einem fairen Würfelwurf eine eins zu Würfeln beträgt, so schreibt man P(1)= Marginale Wahrscheinlichkeit Bei der marginalen Wahrscheinlichkeit geht es nur um ein Merkmal der Ereignisse. Zum Beispiel wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit eine gerade Zahl zu würfeln. Der Stichprobenraum ist S={1, 2, 3, 4, 5, 6}, das Ereignis eine gerade Zahl zu Würfeln ist A={2,4, 6} somit ist die Wahrscheinlichkeit eine gerade Zahl zu Würfeln gleich 50% oder anders ausgedrückt P(A)= Wahrscheinlichkeit des Durchschnitts Bei der Wahrscheinlichkeit des Durchschnitts wird die Wahrscheinlichkeit dass zwei Ereignisse gleichzeitig eintreten berechnet. Wir betrachten wieder das Beispiel mit dem Würfel. Wir haben zwei Ereignisse. Ereignis A alle geraden Ergebnisse: A={2, 4, 6}. Mathematische Analyse zu Black Jack David Suter Seite 9

11 Ereignis B alle Ergebnisse die durch drei teilbar sind: B={3, 6}. So ist A B={6}.Da es nur ein Element in der Menge A B hat ist die Wahrscheinlichkeit P(A B)= Bedingte Wahrscheinlichkeit Die bedingte Wahrscheinlichkeit bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass zuerst ein Ereignis A und danach Ereignis B eintritt. Geschrieben wird das so: P(B A). Das Ereignis nach dem ist das Ereignis das zuerst eintritt, das Ereignis vor dem ist das Ereignis wessen Wahrscheinlichkeit wir berechnen wollen. Die bedingte Wahrscheinlichkeit wir durch folgende Formel definiert: = 5 Wenn die Ereignisse A und B unabhängig sind, das heißt sich nicht gegenseitig beeinflussen, dann entspricht die Wahrscheinlichkeit P(A B) der Wahrscheinlichkeit von P(A). = 5.4 Wahrscheinlichkeitsregeln Drei grundlegenden Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit 6 : Jede Wahrscheinlichkeit muss eine Zahl zwischen null und eins sein. Die Wahrscheinlichkeit einer Menge von Einzelergebnissen eines Stichprobenraums S ist gleich der Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse in S muss eins sein Des Weiteren gibt es einige Regeln welche die Wahrscheinlichkeit betreffen. Da für meine Arbeit nur die Multiplikationsregel von Bedeutung ist wird nur diese erklärt Multiplikationsregel Die Wahrscheinlichkeit des Durchschnitts wird mit der Multiplikationsregel berechnet. Diese wird von der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit abgeleitet: =. 5 Vgl. Rumsey (2007), S Vgl. Rumsey (2007), S. 49. Mathematische Analyse zu Black Jack David Suter Seite 10

12 Wenn man jetzt mit P(B) multipliziert ergibt sich: = ) Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit das A und B zusammen auftreten gleich der Wahrscheinlichkeit ist, dass B eintritt, multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit dass A nach B eintritt. Wenn die Ereignisse A und B voneinander unabhängig sind, vereinfacht sich diese Regel von ( )=( ) ( ) zu ( )=( ) () da ( )=() ist. 6. Resultate Bei meinen Berechnungen geht es hauptsächlich darum, die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass man eine Karte mit einem bestimmten Wert erhält nachdem schon eine (oder mehrere) Karte(n) gelegt wurden. Zuerst berechnete ich das Spiel der Bank, da die erste Bankkarte einen großen Einfluss auf die Spielstrategie des Spielers hat. Da meistens mit sechs Kartendecks gespielt wird, gehe ich davon aus dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Karte gezogen wird immer gleich ist. Dies stimmt zwar nicht, da sich die Wahrscheinlichkeit immer ändert wenn einige Karten fehlen. Aber es gibt einen sehr guten Näherungswert um eine optimale Spielstrategie zu berechnen. Außerdem gehe ich nicht davon aus, dass der Spieler sich alle Karten merken kann welche ausgeteilt wurden. Wir betrachten nun die Wahrscheinlichkeit eine Karte mit einem bestimmten Wert zu kriegen. Die Karten definieren den Stichprobenraum S={2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K, A} 7. Die verschiedenen Werte sind zugleich die Ereignisse. Die Wahrscheinlichkeit eine Karte mit dem Wert 2 zu ziehen beträgt nun P(2)=. Das gleiche gilt für P(3) bis P(A). Nur wenn man die Wahrscheinlichkeit betrachtet eine Karte mit dem Wert 10 zu ziehen bekommt man eine andere Wahrscheinlichkeit, da dieses Ereignis B(10, J, Q, K) vier Elemente hat, deren Wahrscheinlichkeit je beträgt. Also beträgt P(B)=. 6.1 Wahrscheinlichkeiten für die Bank Gemäß den Regeln zieht die Bank bis und mit 17. Die verschiedenen Ereignisse sind demzufolge {17}, {18}, {19}, {20}, {21}, {BJ} 8, {22+}. Um diese Wahrscheinlichkeiten auszurechnen muss man alle möglichen Blätter aufschreiben. Die daraus 7 J bedeutet Jack (Bube), Q Queen (Dame), K King (König) und A Ace (Ass) 8 Black Jack Mathematische Analyse zu Black Jack David Suter Seite 11

13 berechneten durchschnittlichen Werte der Wahrscheinlichkeiten stelle ich nun in der folgenden Tabelle dar. Bank: Wahrscheinlichkeit: 17 0, , , , ,0727 Black Jack 0, ,2816 Tabelle 1: Die Durchschnittliche Wahrscheinlichkeit der Bank Daraus lässt sich schon gut erkennen, dass man eine eher defensive Spielstrategie wählen sollte, da die Wahrscheinlichkeit der Bank sich zu verkaufen am größten ist. Um aber eine noch genauere Analyse zu machen braucht man die Wahrscheinlichkeiten der Bank auf ein Endergebnis zu kommen von allen möglichen ersten Bankkarten. Diese Wahrscheinlichkeit stelle ich in der nächsten Tabelle dar: 1.Karte: Ass BJ Tabelle 2: Wahrscheinlichkeiten der Bank abhängig von der ersten Bankkarte Ein einfach zu berechnendes Beispiel ist die Wahrscheinlichkeit von einem Black Jack mit einem Ass als erste Bankkarte. Die einzige Möglichkeit für die Bank auf einen Mathematische Analyse zu Black Jack David Suter Seite 12

14 Black Jack zu kommen ist eine zehnwertige Karte. Die Wahrscheinlichkeit eine zehnwertige Karte zu ziehen nachdem ein Ass gezogen wurde, ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass eine zehnwertige Karte gezogen wird, da die Ereignisse unabhängig sind. Somit ist P(BJ Ass) = P(10) = Gewinnerwartungen Mithilfe dieser Tabelle lassen sich nun die Gewinnerwartungen E des Spielers berechnen wenn er ab einer bestimmten Karte nicht mehr zieht. Dabei werden die Wahrscheinlichkeiten der Bank eine niedrigere Punktzahl zu bekommen zusammengerechnet mit der Chance sich zu verkaufen und mit der Wahrscheinlichkeit subtrahiert eine bessere Punktzahl zu erreichen. Beim Black Jack wird es zusätzlich mit 1.5 multipliziert, da man bei einem Black Jack im Verhältnis 3:2 gewinnt. All diese Informationen findet man in Tabelle 2. Die Wahrscheinlichkeit eine gleiche Punktzahl zu erreichen wird dabei außer Acht gelassen. Die berechnete Zahl multipliziert mit dem Einsatz des Spielers gibt den Durchschnittlichen Gewinn an. Diese Gewinnerwartungen stelle ich ihnen in Tabelle drei vor. 1. Bankkarte Ass Punktzahl des Spielers Bis BJ Tabelle 3: Gewinnchancen des Spielers abhängig von der ersten Bankkarte Wenn die Gewinnchancen negativ sind bedeutet das, dass der Spieler in dieser Situation im Schnitt verliert. Mathematische Analyse zu Black Jack David Suter Seite 13

15 Es ist klar dass, wenn der Spieler ein Black Jack hat und die Bank weder eine Zehn noch ein Ass hat, seine Gewinnerwartung 1,5 beträgt, da die Bank kein Black Jack mehr erreichen kann und der Spieler auf jeden Fall das 1.5fache seines Einsatzes gewinnt. Wenn die Bank eine zehnwertige erste Bankkarte hat berechnet man die Gewinnchancen des Spielers bei einem Black Jack, indem man alle Wahrscheinlichkeiten der Bank zusammenrechnet außer der, dass die Bank ein Black Jack erreicht. Diese Zahl multipliziert man mit 1.5 da man bei einem Black Jack das 1.5fache des Einsatzes gewinnt. Anders ausgedrückt: E(BJ 10) = (P(17 10) + P(18 10) + P(19 10) + P(20 10) + P(22+ 10))*1.5 1,3846 Ein weiteres Beispiel für diese Rechnung ist die Gewinnchance bei einer 17 mit einer zwei als erste Bankkarte. E(17 2) = P(22+ 2) P(18 2) P(19 2) P(20 2) P(21 2) 0,1530 Aus diesen Berechnungen lässt sich nun eine optimale Spielstrategie entwickeln. 6.3 Optimale Spielstrategie Bei dieser Berechnung muss man die Gewinnerwartungen welche man mit einer Karte hat vergleichen mit den Gewinnerwartungen, welche man hat wenn man eine Karte zieht. Da erst bei der 12 die Gefahr des verkaufen besteht, sollte man solange ziehen bis man diese Punktzahl oder eine Größere erreicht hat. Bei den folgenden Berechnungen unterscheide ich zwischen den Händen ohne ein als 11 zählendes Ass (Hardhand) und solchen mit einem als 11 zählendem Ass (Softhand) Hardhand Die Gewinnerwartungen bei einer Hardhand ohne die Möglichkeit zu teilen oder zu doppeln berechnet man indem man die Gewinnerwartungen der möglichen nachfolgenden Punkteanzahl addiert, diese mit multipliziert und mit der Anzahl der Situationen bei denen man sich überkauft multipliziert mit subtrahiert. Im Anhang sind meine Berechnungen zu dieser Tabelle. Ich berechnete bei jeder ersten Karte des Dealers die Gewinnerwartung mit und ohne eine Karte zu ziehen. Mathematische Analyse zu Black Jack David Suter Seite 14

16 Wenn der Spieler eine 16 hat und die erste Bankkarte eine zwei ist und sich überlegt ob er noch eine ziehen soll berechnet man die Gewinnerwartungen wenn er zieht wie folgt: (E(17 2) + E(18 2) + E(19 2) + E(20 2) + E(21 2)) * 8 * Diese Gewinnerwartung ist deutlich niedriger als wenn er keine Karte mehr ziehen würde: P(22+ 2) (P(17 2) + P(18 2) + P(19 2) + P(20 2) + P(21 2)) = Es lohnt sich also hier keine weitere Karte zu ziehen. Die weiteren Gewinnerwartungen für eine zwei als erste Bankkarte stelle ich in Tabelle vier dar: Spieler mit Ziehen Ohne Ziehen Tabelle 4: Gewinnerwartungen des Spielers mit dem Ziehen und ohne Ziehen einen weiteren Karte abhängig von der zwei als erste Bankkarte Da die Gewinnchancen bei einer zwölf mit einer Karte zu ziehen grösser sind als ohne eine weitere Karte sollte man in dieser Situation eine weitere ziehen. Bei einer 13 wechselt die Situation. Man soll keine weiter mehr ziehen Diese Berechnung stellt man nun für die weiteren Werte an. Daraus wird dann ersichtlich wann man aufhören sollte eine Karte zu ziehen. Diese berechneten Gewinnerwartungen sind in der nächsten Tabelle aufgelistet. Ab dort wo man keine weiter Karte mehr ziehen sollte ist eine Linie. Mathematische Analyse zu Black Jack David Suter Seite 15

17 1. Bankkarte Ass Punktzahl des Spielers Tabelle 5: Gewinnerwartungen des Spielers abhängig von der ersten Bankkarte Aus dieser Tabelle kann man nun ablesen bis zu welcher Punktzahl man ziehen sollte im Bezug zur ersten Bankkarte. Man erkennt, dass bei einer vier bis sechs als erste Bankkarte nur bis zwölf ziehen sollte, also nur so weit, dass der Spieler sich ganz sicher nicht verkauft. Das Ganze gilt jetzt nur für eine Hardhand Softhand Bei den Händen mit einem als elf gewertetem Ass sind die Gewinnchancen anders. Da der Spieler sich nicht überkaufen kann, ist es besser bis zu einer höheren Punktzahl zu ziehen. Die Berechnungen dieser Gewinnerwartungen sind ähnlich aufgebaut wie bei der Hardhand. Jedoch entsprachen meine Berechnungen nicht den Erwartungen. Zur Vollständigkeit meiner Arbeit erweitere ich sie mit einer Tabelle aus dem Buch von Bewersdorff. Mathematische Analyse zu Black Jack David Suter Seite 16

18 1. Bankkarte Ass 19s s Punktzahl des Spielers 17s s s s s s Tabelle 6: Gewinnerwartungen des Spielers abhängig von der ersten Bankkarte bei einer Softhand 9 Auch hier erkennt man wieder bis zu welcher Punktzahl man ziehen sollte. Eine Softhand erlaubt eine offensivere Strategie, wie man im Vergleich mit Tabelle fünf klar erkennen kann Verdoppeln Beim Verdoppeln vergleicht man die Gewinnchancen von Tabelle fünf und sechs mit den Gewinnchancen wenn man nur noch eine Karte zieht. Aufgrund der fehlenden Ergebnisse bei der Softhand behelfe ich mir wieder mit einer Tabelle von Bewersdorff. Da die Berechnungen dieser Tabelle aufgrund der Regel, dass man nur bei neun bis elf verdoppeln darf berechnet worden sind, sind nur diese drei Werte angegeben. Da mir einige Daten fehlen kann ich es nicht für weitere Werte berechnen. 9 Vgl. Bewersdorff, Jörg (2003): Glück, Logik und Bluff. Mathematik im Spiel Methoden, Ergebnisse und Grenzen. 3. Auflage, Wiesbaden: Friedr. Vieweg & Sohn Verlag/GWV Fachverlag GmbH, S. 86. Mathematische Analyse zu Black Jack David Suter Seite 17

19 Punktzahl des Spielers 1. Bankkarte Ass Tabelle 7: Gewinnerwartungen des Spielers beim Doppeln abhängig von der ersten Bankkarte Teilen Eine weitere Möglichkeit seinen Gewinn zu erhöhen ist das Teilen. Dabei betrachtet man die Gewinnchancen seines jetzigen Wertes und die wenn man teilt. Wo ein großes T steht sollte der Spieler teilen um seine Gewinnchancen zu erhöhen. Ich passte diese Tabelle von Bewersdorff auf die im Swiss Casino Pfäffikon geltenden Regeln an. 1. Bankkarte Ass Zwei ersten Karten des Spielers Ass, Ass T T T T T T T T T T 10, 10 9, 9 T T T T T T T 8, 8 T T T T T T T T 7, 7 T T T T T T 6, 6 T T T T T 5, 5 4, 4 T T 3, 3 T T T T T T 2, 2 T T T T T T Tabelle 8: Wann der Spieler Teilen sollte und wann nicht abhängig von der ersten Bankkarte Versichern und Perfect Pairs Eine Versicherung lohnt sich in keinem Fall. Wenn die Bank ein Ass als erste Karte hat besteht die Chance auf ein Black Jack, also das eine Karte mit dem Wert zehn 10 Vgl. Bewersdorff (2003), S Vgl. Bewersdorff (2003), S. 88. Mathematische Analyse zu Black Jack David Suter Seite 18

20 auftaucht bei 4/13. Diese ist viel kleiner als die Chance kein Black Jack zu bekommen, welche bei 9/13 liegt. Der Spieler verliert also im Durchschnitt wenn er jedes Mal wenn es möglich ist eine Versicherung abschließt. Etwa das gleiche gilt für die Zusatzwette Perfect Pairs. Die Wahrscheinlichkeit ein Paar mit den ersten beiden Karten zu haben liegt gerade mal bei 1/169. Auch hier lohnt es sich nicht, da der Spieler im Durchschnitt verliert wenn er immer hier wettet. 7. Geschichte der Berechnung von Black Jack 7.1 Ursprung Der Ursprung von Black Jack liegt in Frankreich im 17. Jahrhundert. Dort wurde ein Spiel namens vingt et un gespielt das starke Ähnlichkeiten mit dem heutigen Black Jack hat. Nach der Französischen Revolution verbreitete es sich durch Emigranten sehr schnell in Amerika, da es wenige Gesetze das Glücksspiel betreffend gab. Im Laufe der Geschichte änderte es sich zu dem heutigen bekannten Black Jack. 7.2 Erste Analysen Die ersten Analysen zu einer optimalen Spielstrategie beim Black Jack wurde 1956 in der amerikanischen Zeitschrift Journal oft he American Statistical Association herausgegeben. Die Autoren waren Roger R. Baldwin, Wilbert E. Cantey, Herbert Maisel und James P. McDermott. 7.3 Beat the Dealer Der Mathematikprofessor Edward Oakley Thorp griff den Gedanken der vorherigen vier Mathematiker auf und entwickelte sie so weiter, dass er Strategien entwickeln konnte mit der die Bank geschlagen wurde. Diese Strategien stellte er 1962 in seinem Buch Beat the Dealer vor. Es ist wichtig anzumerken, dass in den Vereinigten Staaten in diesen Jahren Black Jack nur mit einem Deck, also 52 Karten gespielt wurde und diese nicht mehr in den Stapel zurückgelegt wurden. Dies ist wichtig für die nun vorgestellten Strategien Vgl. Rohländer, Katrin: Gewinnerwartungen beim Black Jack. S. 23f. Mathematische Analyse zu Black Jack David Suter Seite 19

21 Die Basisstrategie von Thorp ist ähnlich der hier vorgestellten optimalen Spielstrategie, einfach angepasst auf die damaligen Regeln. Des Weiteren berechnete er wie sich die Gewinnchancen ändern wenn verschiedene Karten dem Spiel entnommen werden. Er entdeckte, dass sich die Gewinnchancen des Spielers entscheidend steigern wenn dem Spiel eine fünf entnommen wird. Außerdem entdeckte er, dass es sich negativ auf den Spieler auswirkt wenn es keine Asse mehr hat. Daraus entwickelte er ein KartenZählsystem bei dem die Fünfen und Asse die das Spiel verließen mitgezählt wurden. Wenn es eine für den Spieler sehr günstige oder ungünstige Situation war, konnte er den Einsatz anpassen und so seinen Gewinn steigern. Diese Strategie nannte er das FünferZählsystem. Eine weitere Strategie mit einer höheren Gewinnchance ist das ZehnerZählsystem. Obwohl er bei seinen Berechnungen herausfand, dass eine zehnwertige Karte keine so große Änderung bewirkt wie beispielsweise eine Fünf, konnte man seine Gewinnchancen erhöhen, wenn man die Anzahl an zehnwertigen Karten und die gesamte Anzahl von Karten mitzählte welche das Spiel verließen. Der Grund dafür ist, dass es in einem Stapel viermal so viele Karten mit dem Wert Zehn hat als andere. Auch hier wartete der Spieler auf einen für ihn günstigen Moment um den Einsatz anzupassen. Die Strategie mit den höchsten Gewinnchancen war gleichzeitig auch die komplizierteste. Bei dieser ultimativen Strategie merkte man sich alle Karten die ausgeteilt wurden. Durch diese drei Strategien war es möglich eine höhere Gewinnchance als die Bank zu haben Auswirkungen Die von Thorp vorgestellten Strategien hatten große Auswirkungen auf Black Jack. Das Buch Beat the Dealer war ein großer Erfolg und zahlreiche neue Personen entdeckten das Black Jack für sich. Natürlich hatten die Casinos keine Freude an seinem Buch, da sie Angst hatten einen Verlust einzufahren. Ihre Angst war eigentlich unbegründet denn obwohl es mit seinen Strategien möglich war die Bank zu schlagen wanden viele Spieler seine Strategie falsch an. Jeder Fehler beim Kartenzählen beeinflusste die Gewinnchancen des Spielers negativ. In der großen Menge der Spieler gab es nur wenige die seine Strategie richtig anwenden konnten. Mathematische Analyse zu Black Jack David Suter Seite 20

22 7.4 Heute Heutzutage wird mit mehr Karten gespielt welche nach etwa einem Drittel wieder neu gemischt werden. Je nach Casino kann es aber auch vorkommen, dass nach jeder Runde neu gemischt wird. So werden die von Thorp aufgestellten Strategien unbrauchbar da sich die Gewinnchancen nur wenig ändern wenn eine Karte ausgespielt wird. Aber auch heutzutage gibt es noch einige wenige Casinos welche mit nur 52 Karten spielen. 8. Diskussion, Zusammenfassung und Schluss Auch mit der optimalen Spielstrategie hat der Spieler nur eine negative Gewinnchance, das heißt dass man auch dann im Schnitt Verluste macht. So bestätigt es den Spruch die Bank gewinnt immer. Wer mal gehört hat das man mit dem KartenZählen eine bessere Gewinnchance hat als die Bank, meint die Zeit vor dem Buch Beat the Dealer und den Maßnahmen der Bank. Doch warum spielt man dann überhaupt? Trotz dieser negativen Gewinnchancen gilt Black Jack als das Spiel mit den höchsten Gewinnchancen. Denn anders als beim Roulette kann man sein Glück beeinflussen und im Unterschied zu Poker hat man hier keine Gegenspieler die bluffen können. Wenn man die optimale Spielstrategie anwendet hat man die besten Chancen einen Gewinn heimzutragen. Für diejenigen die sich für das Thema Wahrscheinlichkeit interessieren empfehle ich sehr das Buch von Bewersdorff. Auch seine Internetseite ist gut, sie hat auch einen Black Jack Rechner. Diejenigen die sich weniger für die mathematische Seite interessieren kann ich das Filmdrama 21 empfehlen bei der es einer MITGruppe gelingt durch KartenZählen in der Gruppe mehrmals höhere Summen zu gewinnen. Der Film basiert auf einer wahren Begebenheit. Obwohl ich mir größte Mühe gegeben habe Fehler zu vermeiden ist es möglich, dass ich welche gemacht habe. Ich habe meine Zahlen zwar an andere Berechnungen gestützt aber das ist keine Garantie für deren Korrektheit. Mathematische Analyse zu Black Jack David Suter Seite 21

23 9. Eigenständigkeitserklärung Ich erkläre hiermit, dass ich die vorliegende Arbeit selbständig und nur unter Benutzung der angegebenen Quellen verfasst habe und ich auf eine eventuelle Mithilfe Dritter in der Arbeit ausdrücklich hinweise. Datum, Ort: Unterschrift: 10. Quellenverzeichnis Bakdi, Juba: Eine Stochastische Analyse zu Black Jack Oktober 2012 Bewersdorff, Jörg: BlackJackRechner, 21.Oktober Bewersdorff, Jörg: Glück, Logik und Bluff. Mathematik im Spiel Methoden, Ergebnisse und Grenzen. 3. Auflage. Wiesbaden: Friedr. Vieweg & Sohn Verlag/GWV Fachverlag GmbH 2003 Rohländer, Katrin: Gewinnerwartungen beim Black Jack Oktober 2012 Rumsey, Deborah: Wahrscheinlichkeitsrechnung für Dummies. Weinheim: WILEYVCH Verlag GmbH & Co. KGaA Oktober Oktober 2012 < 21.Oktober 2012 < >, 21.Oktober Anhang Berechnungen Mathematische Analyse zu Black Jack David Suter Seite 22

24 Gewinnwahrscheinlichkeiten des Spielers abhängig von der ersten Bankkarte mit und ohne das Ziehen einer weiteren Karte: Bank 2 Bank 3 Bank 4 Spieler: mit Ziehen ohne Ziehen Spieler: mit Ziehen ohne Ziehen Spieler: mit Ziehen ohne Ziehen Bank 5 Bank 6 Bank 7 Spieler: mit Ziehen ohne Ziehen Spieler: mit Ziehen ohne Ziehen Spieler: mit Ziehen ohne Ziehen

25 Bank 8 Bank 9 Bank 10 Spieler: mit Ziehen ohne Ziehen Spieler: mit Ziehen ohne Ziehen Spieler: mit Ziehen ohne Ziehen

26 Bank Ass: Spieler: mit Ziehen ohne Ziehen