Boxenzauber mit Lea! - Hinführung an systematisches Lösen von Gleichungen unter Berücksichtigung des EIS-Prinzips

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1 Zentrum für schulpraktische Lehrerausbildung Bocholt Seminar für das Lehramt an Gymnasien und Gesamtschulen Boxenzauber mit Lea! - Hinführung an systematisches Lösen von Gleichungen unter Berücksichtigung des EIS-Prinzips Entwurf zum zweiten Unterrichtsbesuch im Fach Mathematik Ausbildungsschule: Städtisches Ganztagsgymnasium Nepomucenum Holtwicker Straße Coesfeld Datum: Mittwoch, Lerngruppe: Klasse 7d Anzahl der SuS: 23 (Mädchen: 9, Jungen: 14) Zeit, Raum: 2. Stunde (08:50 09:35 Uhr), Raum 122 (vsl.) Referendar: Ausbildungsbeauftragte(r): Julian Hundt Schulleiterin: Fachleiterin: Kernseminarleiter:

2 1 Längerfristige Unterrichtszusammenhänge 1.1 Thema der Unterrichtsreihe Von wegen Satz mit x! Wie Mathematik uns hilft, Probleme unseres Alltags mit Termen und Gleichungen zu beschreiben und lösen. 1.2 Schwerpunktlernziel der Unterrichtsreihe Die Schülerinnen und Schüler (kurz: SuS) erweitern ihre Fähigkeit Probleme mathematisch zu lösen. Dies erfordert zunächst die Fähigkeit, realweltliche Probleme mit Hilfe der Mathematik zu beschreiben. Innerhalb eines mathematischen Modells nutzen SuS dann symbolische Manipulationen (wie Term- und Gleichungsumformungen) und erzielen damit Lösungen, die wieder im Kontext der Realwelt interpretiert werden. 1.3 Lehrplanbezug Schulinternes Curriculum Das schulinterne Curriculum sieht im fünften Kapitel den Themenbereich Gleichungen und Terme vor. Hierbei steht der Schritt Lösen im Zusammenhang mit der allgemein mathematischen Kompetenz des Problemlösens im Fokus. SuS nutzen beim Lösen mathematischer Standardaufgaben Algorithmen und bewerten ihre Praktikabilität. Dabei werden verschiedenen Darstellungsformen (z.b. Tabellen, Skizzen, Gleichungen) genutzt. Weiterhin wird die Fähigkeit zum mathematischen Modellieren gestärkt, indem besonders das Übersetzen in die Sprache der Mathematik (Mathematisieren) geübt wird. In diesem Kapitel haben die Mathematisierungen primär die Form von Termen und Gleichungen. Die zu erwerbenden inhaltsbezogenen Kompetenzen liegen im Bereich der Arithmetik und Algebra. SuS operieren mit linearen Gleichungen, indem sie sowohl durch Probieren als auch algebraisch und grafisch lösen und nutzen die Probe als Rechenkontrolle Kernlehrplan Die Unterrichtsreihe wird in Anlehnung an den Kernlehrplan [1] geplant und durchgeführt. Der Schwerpunkt liegt wie in bereits beschrieben im inhaltsbezogenen Bereich Arithmetik/Algebra. Inhaltsbezogene Kompetenzen Arithmetik/Algebra: Fassen Terme zusammen, multiplizieren sie aus Lösen lineare Gleichungen durch Probieren als auch algebraisch und grafisch und nutzen die Probe als Rechenkontrolle Verwenden ihre Kenntnisse über lineare Gleichungen zur Lösung inner- oder außermathematischer Probleme Prozessbezogene Kompetenzen Kompetenzerwartungen Problemlösen: Algorithmen zum Lösen nutzen Verschiedene Darstellungsformen nutzen Modellieren: Einfache Realsituationen in mathematische Modelle übersetzen 1

3 1.4 Einordnung der Unterrichtsstunde in den Kontext der Reihe 2. Sequenz 3. Sequenz 1. UE Keep it simple! Strategien zur Vereinfachung von Termen 2. UE Terme vereinfachen Pair-Check zum Trainieren 3. UE Gleichungen aufstellen und lösen durch Tabelle oder Probieren Lerntempoduett 1. UE Mathematik mit Streichhölzern Vorstellungen von Gleichungen entwickeln und lösen durch Ausprobieren Stationenarbeit Boxenzauber mit Lea! - 2. UE Hinführung an systematisches Lösen von Gleichungen unter Berücksichtigung des EIS-Prinzips 3. UE Balkenwaagen und Äquivalenzumformungen Erarbeitung gültiger Regeln und Strategien beim Umformen von Gleichungen 4. UE Vermischte Aufgaben zur Übung von Äquivalenzumformungen 5. UE Merkwürdige Lösungen Betrachtung von Sonderfällen bei Lösungsmengen von Gleichungen 6. UE Pair-Check! Individuelles Üben und Wiederholen mit den Mathe- Flyern 2

4 2 Planung der Unterrichtsstunde 2.1 Bedingungsanalyse Die Klasse 7d besteht aus neun Schülerinnen und 14 Schülern. Zu Beginn der Jahrgangsstufe sieben werden die Klassen am Nepomucenum neu zusammengesetzt. Der LAA unterrichtet diese im Rahmen des selbstständigen Unterrichts seit Beginn des zweiten Schulhalbjahres. Das Fach Mathematik wird in der siebten Klasse fünfstündig unterrichtet; dabei entfällt eine Stunde auf die sogenannte Lernzeit. Lernzeiten sind im gebundenen Ganztag als Zeit für individuelle, vertiefende und anwendungsbezogene Aufgaben in Einzelarbeit zu nutzen. Ein Konzept zum selbstregulierten Lernen und Üben ist hier durch die Fachschaft Mathematik erarbeitet worden. SuS erhalten themenbezogene Lernzeitbögen, die zu Aufgaben aus dem Arbeitsheft zum Mathematikbuch Neue Wege verweisen. Der im Klassenraum vorhandene Ordner enthält Lösungen zur Selbstkontrolle und weiterführendes Material in Form von Mathe-Flyern. In den Lernzeit- Phasen steht der LAA als Lernbegleiter unterstützend zur Seite. Die Lerngruppe ist als heterogen einzuordnen. Unterschiede bestehen in der Qualität der mündlichen Unterrichtsbeiträge als auch in der Form der schriftlichen Unterrichtsaufzeichnungen. Durch kollegialen Austausch mit der vorherigen Fachlehrerin und LAA ist angemerkt worden, dass einige SuS Defizite im Bereich der Bruchrechnung haben. Hier hat der LAA gezielt mit den Mathe-Flyern gearbeitet, um diesen Schwächen zu begegnen. Weiterhin haben drei Schüler (Oliver, Louis und René) bis vor kurzem an dem Förderprogramm eines Tutoriums teilgenommen. Oliver hat dabei Erfolge verzeichnet, die sich in gesteigerten mündlichen Beiträgen und schriftlichen Leistungen zeigen. Auffällig im Unterrichtsgeschehen ist Milan. Er schafft es häufig nicht, pünktlich mit der Arbeit anzufangen. Zusätzlich lenkt er sich und seine Nachbarn durch Gespräche ab. Bei einem Kurzgespräch mit ihm wird deutlich, dass er seine Schwächen kennt und daran zu arbeiten versucht. Seine Defizite kann Milan jedoch durch gute Leistungen im schriftlichen Bereich ausgleichen. Das Arbeitsklima in der Klasse kann als lernförderlich beschrieben werden. Die SuS unterstützen sich in Lern- und Arbeitsphasen gegenseitig. Auch in Phasen der Lernzeit lässt der LAA den Schülern Freiraum, sofern sie sich tatsächlich gegenseitig helfen und die Lautstärke die übrigen Schüler nicht beeinträchtigt. 2.2 Leitgedanken und Ziele der Stunde Mit dem Themenbereich Terme und Gleichungen begegnet den SuS Mathematik in einer abstrakten Form. Wurde in den Themengebieten zuvor immer mit konkreten bekannten Zahlen gerechnet, so steht der Umgang mit abstrakten Größen und Variablen zunehmend im Fokus. Leitgedanke bei der Erstellung der Unterrichtsstunde durch den LAA war, dass die symbolhafte und formale Schreibweise von Gleichungen durch Berücksichtigung des bekannten EIS-Prinzips altersgerecht erlernt wird. Nach Jérôme Bruner (1971) kann ein mathematischer Gegenstand auf drei verschiedene Arten wahrgenommen werden: o Enaktiv (handelnd) o Ikonisch (bildlich) o Symbolisch (formal) Die Vorgehensweise, Gleichungen zunächst über Boxengleichungen (mit Schachteln und Hölzchen) heranzuführen, ist recht verbreitet (vgl. [3], [4]) und zudem motivierend für SuS. Das Variablenmodell als Zündholzschachtel hat sich in der Informatik- und Mathematikdidaktik als tragfähig erwiesen. 3

5 Während dieser Stunde sollen die SuS Gleichungen zunächst auf der enaktiven Ebene begreifen, die die Grundlage für das Überführen in eine ikonische Darstellung bildet. Parallel dazu soll mit Hilfe der mathematischen Notation der Übergang zur symbolischen Ebene beschritten werden, auf der künftig primär operiert wird. Durch die Berücksichtigung des EIS- Prinzips erhofft sich der LAA den Aufbau einer tiefen mentalen Struktur auf Seiten der Schüler, die bei künftigen Problemen mit Gleichungen wieder reaktiviert und vertieft werden kann. Eine didaktische Reduktion wurde vorgenommen, da die SuS zunächst nur eine Gleichung legen und zu lösen versuchen. Daneben sind die möglichen Gleichungen, die mit Hölzchen und Schachteln auf folgende Form begrenzt: a + b x = c + d x, mit a, b, c, d N Die obige Gleichung zeigt, dass ein Legen einer negativen Anzahl Hölzer oder Schachteln unmöglich ist. Zudem erkennt man anhand der algebraischen Lösung x = c a, dass diese nicht zwingend natürlich sein muss. Zwar wäre hierbei ein Zerteilen des Hölzchens bei Lösungen aus positiven rationalen Zahlen möglich, spätestens bei Lösungen mit negativen rationalen Zahlen versagt diese Anschauung jedoch. Diese Problemstellung können besonders schnelle SuS bei der Bearbeitung einer weiteren Zusatzaufgabe entdecken und ermöglicht somit eine Binnendifferenzierung nach oben. Im Rahmen dieser Stunde ist die didaktische Reduktion legitimiert, da es zunächst darum geht, ein tragfähiges Verständnis für die Veränderung von Gleichungen aufzubauen. Eine Verallgemeinerung und weitere Systematisierung der erlaubten Umformungen findet in den weiteren Unterrichtseinheiten statt. Ziel der Stunde ist also nicht, eine Strategie herauszuarbeiten (wie erst Hölzchen und Boxen voneinander trennen, dann durch die Anzahl der Boxen teilen ), sondern vielmehr das Verständnis, Gleichungen durch Umformungen zu verändern. Das Herausarbeiten von Strategien geschieht erst in den folgenden Unterrichtseinheiten. Nach dem Verständnis der kognitiven Entwicklung nach Piaget sollen SuS zunehmend in die Lage versetzt werden, in abstrakten Begriffen denken und operieren zu können (vierte Entwicklungsstufe). Das EIS-Prinzip fungiert hierbei als Brücke zwischen präoperationalem / anschaulichem Denken (zweite Stufe nach Piaget), konkreter Operation (dritter Stufe) und formalem Denken (vierter Stufe) [5]. Die SuS werden also zunehmend in die Lage versetzt, auch ohne ein Objekt der konkreten Anschauung denken zu können. Die geplante Unterrichtsstunde ist der zweite Teil einer Doppelstunde. Da nach den Osterferien ein neuer Stundenplan gilt, wurde mit einem Kollegen ein einmaliger Tausch der Unterrichtsstunden organisiert, um den Unterrichtsbesuch wie geplant durchführen zu können Gegenstand Umformungen von Boxengleichungen als Vorstufe von Äquivalenzumformungen zur systematischen Lösung von Gleichungen Thema Boxenzauber mit Lea! - Hinführung an systematisches Lösen von Gleichungen unter Berücksichtigung des EIS-Prinzips Schwerpunktlernziel Die SuS erweitern ihre Kompetenzen im Bereich des Operierens (Arithmetik/Algebra), indem sie durch Umformen von Boxengleichungen und Überführen in eine formale Schreibweise eine mentale Stütze für das Lösen von Gleichungen durch Äquivalenzumformungen aufbauen. b d 4

6 2.3 Planung des Stundenverlaufs Name: Lerngruppe: 7d Julian Hundt Datum: :50 09:35 STUNDENTHEMA: Boxenzauber mit Lea! - Hinführung an systematisches Lösen von Gleichungen unter Berücksichtigung des EIS-Prinzips. ZIEL: Die SuS erweitern ihre Kompetenzen im Bereich des Operierens (Arithmetik/Algebra), indem sie durch Umformen von Boxengleichungen und Überführen in eine formale Schreibweise eine mentale Stütze für das Lösen von Gleichungen durch Äquivalenzumformungen aufbauen. Phasen Unterrichtsgeschehen Did./Meth. Kommentar Sozial form Begrüßung/ Begrüßung der Gäste. Organisatorisches Wiederholung Zieltransparenz. UG Vorwissen aktivieren! Einordnung in den Lernkontext Lernbereitschaft wecken (~10min) Einstieg Lernkontext entdecken Motivierung (~5min) L. zeigt das Problemlöseschema und verortet die Stunde im Bereich Gleichungen lösen. L. erkundigt sich über SuS-Kenntnis der bisherigen Lösungsmöglichkeiten (Tabelle/Ausprobieren) Heute: Neue, spannende Möglichkeit (Zaubertrick) L. lässt SuS in kurzer Murmelphase über die vorherige Unterrichtsstunde nachdenken. L. sammelt und moderiert Schülerbeiträge (Boxengleichungen) und leitet zum Problem dieser Stunde über. L. zeigt Boxengleichung mit nur einer Boxenfarbe und deutet auf unterschiedliche Lösungsansätze von Lea und Mario hin. Problemfrage der Stunde: Wie löst Lea Boxengleichungen? L. leitet zum Arbeitsauftrag über u. erklärt Arbeitsphase o L. erkundigt sich nach Unklarheiten. Aufbau von Spannung und Lernmotivation wecken. Think-Pair-Share im Kleinen. Anknüpfen an die vorherige Unterrichtsstunde (Gleichungen mit Boxen beschrieben / durch Probieren lösen). SuS kennen Lösungsverfahren durch Ausprobieren (Marios Vorgehen). Problemfrage induziert kognitiven Konflikt [6, S.83]. Problemaufgabe mit klarem Ziel, aber unklarem Weg: ( Wie kommen wir da hin? ) Fokussierung auf das Lernziel. Arbeitsphase ist transparent und zielorientiert gestaltet. Zuordnung der Paare erfolgt über die Sitzordnung. LV Medien Folie, Tafel bzw. ActivBoard Folie 1: Mathematik hilft Probleme zu lösen Folie, Tafel bzw. ActivBoard Folie 2: Lea, die Boxen-Zauberin 5

7 Erarbeitung Erkundung und Lernprodukt herstellen/ diskutieren (~15min) Sicherung Lernprodukt festhalten (~10min) Die SuS legen und verändern Boxengleichung, protokollieren parallel auf dem Bogen, übersetzen in die Termschreibweise und verstehen so, wie Lea Boxengleichungen löst. Ausgewähltes Schülerteam stellt Arbeitsergebnis vor. SuS vergleichen und ergänzen ihre Ergebnisse. L.: Ihr habt mehr geschafft als nur eine Boxengleichung zu lösen (3.Spalte): wir können mathem. Gleichungen wie Lea durch Umformen lösen. L. wiederholt (mathematische!) Umformungen und führt Proberechnung durch. Tafelabschrieb durch SuS. EIS-Prinzip: (Enaktiv, Ikonisch, Symbolisch) Partnerarbeitsphase fördert Kommunikation über Lösungsweg. Tippkarten und Sprinteraufgabe berücksichtigen SuS-Heterogenität. Individuelle Lösungswege sind möglich. Verbalisierung des Lösungsprozesses Kommunizieren über Mathematik! Sicherung und Vernetzen des Gelernten. PA SV UG LV Arbeitsblatt (inkl.) Protokollbogen Boxen & Hölzchen, Dokumentenkamera ActivBoard Arbeitsblatt Folie 3: Lösen von Gleichungen durch Umformen Sicherung / Auswertung Lernzugewinn definieren Murmelphase: SuS definieren ihren Lernzugewinn ( Was haben wir heute gelernt? ) und notieren in der Sprechblase Heute habe ich gelernt, SuS notieren offen gebliebene Fragen. Didaktische Reserve Reflexion über den Lernprozess Rückbezug zum Problemlöseschema. Anknüpfungspunkt für die nächste Unterrichtseinheit (Vorschau). UG Arbeitsblatt Folie 4: Ausblick 2.4 Hausaufgaben Im Rahmen des Ganztagskonzepts des Nepomucenum werden in der Sekundarstufe I keine Hausaufgaben erteilt. 6

8 3 Anhang 3.1 Quellen [1]: Kernlehrplan für das Gymnasium - Sekundarstufe I (G8) in NRW: Mathematik Ritterbach Verlag, 1. Auflage 2007 [2]: Schulinternes Curriculum Mathematik für die Klassenstufe 7, Gymnasium Nepomucenum Coesfeld [3]: Schriftliche Planung für die unterrichtspraktische Prüfung im Fach Mathematik, Nadine Pickert [2009] [4]: Knack die Box Auszug aus: Lernumgebungen mathbu.ch 7 - Klett und Balmer AG / schulverlag blmv AG, Bern. Internetquelle: [5]: Kognitive Entwicklung Lernen im kompetenzorientierten Unterricht Reader: Interne Seminarfortbildung (ZfsL Bocholt, 2016) [6]: Mathematik unterrichten: Planen, durchführen, reflektieren: B. Barzel, L. Holzäpfel, T. Leuders, C. Streit (3. Auflage 2014), Cornelsen, Berlin. 3.2 Geplante ActivBoard-Folien i

9 3.3 Ergänzendes Material Arbeitsaufträge ii

10 iii

11 3.3.2 Zusatzaufgaben Zusatzmaterial steht in der Aufgabenstellung implizit zur Verfügung. Schnelle SuS versuchen durch die mathematische Formulierung der Umformung einen weiterführenden Abstraktionsschritt. Sind Schüler auch damit fertig, können sie auf einer Zusatzkarte die Gleichung 3x 3 = x + 15 auf ihre Lösbarkeit untersuchen Hilfekarten Schwächere Schüler(-teams) können sich der Hilfekarten bedienen, die hinter den Tafeln versteckt sind. 3.4 Antizipierte Schülerlösungen der Arbeitsmaterialien iv