Elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung

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1 Springer-Lehrbuch Masterclass Elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung Eine Einführung mit historischen Bemerkungen Bearbeitet von Ernst Wienholtz, Hubert Kalf, Thomas Kriecherbauer 1. Auflage Taschenbuch. xi, 401 S. Paperback ISBN Format (B x L): 15,5 x 23,5 cm Gewicht: 626 g Weitere Fachgebiete > Mathematik > Mathematische Analysis Zu Leseprobe schnell und portofrei erhältlich bei Die Online-Fachbuchhandlung beck-shop.de ist spezialisiert auf Fachbücher, insbesondere Recht, Steuern und Wirtschaft. Im Sortiment finden Sie alle Medien (Bücher, Zeitschriften, CDs, ebooks, etc.) aller Verlage. Ergänzt wird das Programm durch Services wie Neuerscheinungsdienst oder Zusammenstellungen von Büchern zu Sonderpreisen. Der Shop führt mehr als 8 Millionen Produkte.

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung mit Bemerkungen zur historischen Entwicklung Das Potential des Schwerefeldes Die Laplacegleichung und die Poissongleichung Das Neumannsche und das Dirichletsche Randwertproblem Das Dirichletsche Randwertproblem im 19. Jahrhundert Die Laplacegleichung Harmonische Funktionen und Mittelwerteigenschaft Liouville- und Harnackeigenschaft DasMaximum-Minimumprinzip Analytizität Erweiterung: Helmholtzsche Schwingungsgleichung Ausblick: Elliptische Gleichungen 2. Ordnung Exkurs: Eindeutige Fortsetzbarkeit Aufgaben Das Dirichletproblem für harmonische Funktionen Einführung: Eindeutigkeit, Stabilität und der Fall der Kreisscheibe Die Poissonsche Integralformel löst das Dirichletproblem für diekugel Superharmonische Funktionen und die Perronsche Lösungsmethode für beschränktes Ω R N Über den lokalen Charakter der Barrierenforderung. Kriterien Behebbare Singularitäten. Dirichletprobleme ohne Lösung UnbeschränkteGebiete Der Satz von Giesecke. Bemerkungen zum Dirichletschen Prinzip Aufgaben... 97

3 X Inhaltsverzeichnis 4 Die Poissongleichung Δu = f Orientierende Bemerkungen zum Newtonpotential Differenzierbarkeitseigenschaften des Newtonpotentials und LösungdesDirichletproblems PetrinisGegenbeispiel Die Greensche Funktion zum Dirichletproblem Die Symmetrie der Greenschen Funktion Abschätzungen für die Ableitungen der Greenschen Funktion Das Newtonpotential verallgemeinernde singuläre Integrale Das Dirichletproblem für Δu = f bei am Rand unbeschränktem f Erweiterung: Die Greensche Funktion für Δ Aufgaben Die Greensche Funktion für die Kugel mit Anwendungen Die Greensche Funktion für den Halbraum, die Kugel und ihr Äußeres Einschub: Harmonische Funktionen mit einer isolierten Singularität Die 2. Ableitungen des Greenpotentials für die Kugel Eine erste Anwendung: Die lokale Lösbarkeit des Beltrami-Systems Das Dirichletproblem für die Kugel bei kleiner Abweichung des Hauptteils vom Laplaceoperator Die Methode von Leray und Schauder am Beispiel des semilinearen Dirichletproblems in der Kugel Aufgaben Die Fredholmsche Alternative für das Dirichletproblem Die Sätze von Fredholm und ihre Verallgemeinerung. ResolventeundSpektrum Das Dirichletproblem für ( Δ+a λ)u = f Die Gleichung Δu + N i=1 a iu xi +(a λ)u = f mit am Rand unbeschränkten a und f Aufgaben Der Kelloggsche Satz Vorbereitungen Umformulierung und Beweis des Kelloggschen Satzes Zwei A-Priori-Ungleichungen im Gefolge des Kelloggschen Satzes Aufgaben...260

4 Inhaltsverzeichnis XI 8 Die globale A-Priori-Abschätzung von Schauder und ihre Anwendung auf lineare und quasilineare Dirichletprobleme Differentialoperatoren mit konstanten Koeffizienten VariableKoeffizienten Die Kontinuitätsmethode zur Lösung des allgemeinen linearen Dirichletproblems in C 2,α (Ω). Die Fredholmsche Alternative Ausblick: Das Dirichletproblem für die quasilineare elliptische Differentialgleichung 2. Ordnung nach der Methode von Leray-Schauder Aufgaben Innere Abschätzungen und innere Regularität Eine innere A-Priori-Abschätzung und ihre Anwendung Innere Regularität von C 2 -Lösungen linearer und quasilinearer elliptischer Gleichungen nach E. Hopf Aufgaben Schwache Lösungen Bemerkungen zur historischen Entwicklung Existenz schwacher Lösungen Innere Regularität schwacher Lösungen Randregularität für Lösungen verallgemeinerter Dirichletprobleme Rechtfertigung des Dirichletschen Prinzips Aufgaben A Partielle Integration. Glättungsoperatoren B Integration über Sphären C Hölderstetigkeit Symbolverzeichnis Literaturverzeichnis Personenverzeichnis Sachverzeichnis...399

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