Grundlagen der Regelungstechnik

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1 Grundlagen der Regelungstechnik Dr.-Ing. Georg von Wichert Siemens AG, Corporate Technology, München Wiederholung vom letzten Mal

2 Lineare Systeme als Übertragungsglieder Abstraktion vom physikalischen System Verhalten des Systems gegeben durch Differentialgleichung im Zeitbereich Eingang x(t) Dynamisches System DGL Ausgang y(t) Lineare dynamische Systeme als Übertragungsglieder Verhalten des Systems gegeben durch Übertragungsfunktion im Frequenzbereich Bildet Eingangssignal auf Ausgangsignal ab Eingang x(t) Übertragungssglied G(s) Ausgang y(t) Betrachtung der Übertragungsfunktion G(s) Sprung- und Impulsantwort Sprungantwort und Impulsantwort charakterisieren das Systemverhalten Sprung und Impuls haben keine eigenen Parameter Sprungfunktion: Impulsfunktion (Dirac-Impuls): Systemidentifikation über Sprungantwort Idealer Impuls nicht realisierbar Impulsantwort ist die Ableitung der Sprungantwort wegen S

3 Quelle: O. Föllinger, Regelungstechnik Quelle: O. Föllinger, Regelungstechnik

4 Übertragungsfunktion: Pole und Nullstellen Andere Darstellung für G(s): Faktorisierung Übertragungsfunktion: Pole und Nullstellen s i s i : Nullstellen der Übertragungsfunktion : Polstellen der Übertragungsfunktion Charakteristische Gleichung:

5 Übertragungsfunktion: Visualisierung Übertragungsfunktion G(s) ist eine komplex-wertige Funktion der komplexen Variablen s=σ+jω Sogenannte s-ebene Für Visualisierungen wichtig Wird aufgespannt von Re{s}=σ und Im{s}=jω Eine komplexe Zahl s ist ein Punkt in der s-ebene gegeben durch: Real- und Imaginärteil Betrag (Amplitude) s und Phase arg(s) Im{s}=jω s s arg(s) Re{s}=σ Übertragungsfunktion: Betrag Polstellen Nullstelle Quelle: Schumacher/Leonhard, Grundlagen der Regelungstechnik

6 Bodediagramm (PT 2 ) Phase (deg) Magnitude (db) Bode Diagram Eigenfrequenz = 1/T Frequency (rad/sec) Ortskurve (des offenen Kreises) Weg des Orts von G(jω) in der s-ebene für ω [-, ] Matlab: Nyquist-Diagramm Imaginary Axis Nyquist Diagram ω = ± ω = Real Axis

7 Frequenzkennlinien Bodediagramm und Ortskurve sind Visualisierungen des Systemverhaltens Erlauben die Beurteilung des Systems Dienen als Hilfsmittel für den Reglerentwurf Einschub: Linearisierung

8 Linearisierung In dieser Vorlesung werden nur Verfahren zum Umgang mit linearen Systemen vorgestellt Behandlung nichtlinearer Zusammenhänge durch Linearisierung um einen Arbeitspunkt Meist soll ein System in einem stationären Arbeitspunkt gehalten werden. Bei funktionierender Regelung werden die Abweichungen des Systems vom Arbeitspunkt sehr klein sein Nichtlinearer Zusammenhang: Verhältnisse im Arbeitspunkt: Abweichungen vom Arbeitspunkt: Linearisierung Taylor-Reihe für F(x 1,..., x n ) mit und Vernachlässigen des Restgliedes R folgt Lineare Approximation um den Arbeitspunkt

9 Zur Lösung der Aufgabe x 1 5 dy -5 2 U Y -1-2 Zur Lösung der Aufgabe x 1 5 dy -5 2 U Y -1-2 für U S =1

10 Heutiges Thema: Regelkreise und ihre Eigenschaften Regelkreis Geschlossener Regelkreis d v w u y G F (s) K(s) G(s) - G M (s) G F (s): Führungsfilter K(s): Regler G(s): Prozess G M (s): Messglied d: Störung w: Führungsgröße u: Stellgröße y: Ausgangsgröße

11 Übertragungsfunktion des geschlossenen Kreises d v w u y G F (s) K(s) G(s) - G M (s) Übertragungsfunktion des geschlossenen Kreises G g (s): Übertragungsfunktion des offenen Kreises d v w u y G F (s) K(s) G(s) G M (s) Offener Kreis Geschlossener Kreis

12 Führungs- und Störübertragungsfunktionen v d 1 d 2 w u + + y G F (s) K(s) G(s) - G M (s) Störung wird aufgeteilt auf d1: Störung am Streckeneingang d2: Störung am Streckenausgang Führungsübertragungsfunktion Störübertragungsfunktionen Anforderungen an den Regelkreis Durch geeignete Wahl (Synthese) eines Reglers soll bei gegebenem Prozess - dem geschlossenen Kreis ein gewünschtes Verhalten aufgeprägt werden Der geschlossene Regelkreis soll stabil sein der Führungsgröße folgen Störungen unterdrücken Beispiel: d 1 d 2 K(s) + + G(s) w u y - P-Regler

13 Beispiel (Schumacher-Skript) Sprung der Führungsgröße w Quelle: Schumacher/Leonhard, Grundlagen der Regelungstechnik Beispiel (Schumacher-Skript) Sprung der Störgröße d1 Quelle: Schumacher/Leonhard, Grundlagen der Regelungstechnik

14 Beispiel (Schumacher-Skript) Sprung der Störgröße d2 Quelle: Schumacher/Leonhard, Grundlagen der Regelungstechnik Regelgüte Ausregelzeit t ε Überschwingweite e max Regelfläche linear quadratisch Betrag Quelle: Schumacher/Leonhard, Grundlagen der Regelungstechnik

15 Verhalten des Regelkreises: Ein Beispiel w u + + y - K(s) d 1 d 2 G(s) P-Regler Prozess Offener Kreis Geschlossener Kreis Verhalten des Regelkreises: Ein Beispiel 1 Step Response 1.4 Step Response Amplitude Bleibende Regelabweichung! Amplitude K = 1.2 K = Time (sec) Time (sec) Geschlossener Kreis erreicht nicht den stationären Endwert des offenen Kreises Bleibende Regelabweichung Step Response 1.4 Kein Integralanteil im offenen Kreis Amplitude K = Time (sec)

16 Verhalten des Regelkreises: Ein Beispiel 1.5 Step Response 1.8 Step Response Amplitude Amplitude K = 6.2 K = Time (sec) Time (sec) Bei steigender Verstärkung K bleibende Regelabweichung nimmt ab Überschwingen nimmt zu Einschwingzeit nimmt ebenfalls zu Bei K=8 klingt die Schwingung nicht mehr ab Stabilitätsgrenze Verhalten des Regelkreises: Ein Beispiel 1.8 Step Response 1 Step Response Amplitude K = K = Time (sec) Time (sec) Amplitude Bei K > 8 klingt die Schwingung auf Instabil!

17 Stabilitätsbegriff Ein lineares zeitinvariantes Übertragungsglied (LZI-Glied) ist dann stabil, wenn es auf ein beschränkte Eingangsgröße stets mit einer beschränkten Ausgangsgröße antwortet. 1.4 Step Response 1 Step Response Amplitude K = 4-4 K = Time (sec) Time (sec) Amplitude Grundlegendes Stabilitätskriterium Ein lineares zeitinvariantes Übertragungsglied ist dann stabil, wenn die Pole seiner Übertragungsfunktion sämtlich links der imaginären Achse der komplexen Ebene liegen. Im{s}=jω s s arg(s) Re{s}=σ

18 Grundlegendes Stabilitätskriterium nur einfache Pole Partialbruchzerlegung Sprungantwort (einfache Pole): Anmerkung: Partialbruchsumme für q-fachen Pol bei s=β: Zu jedem Pol gehört ein exponentieller Ausgangssignalanteil positive Realteile der Pole führen zu aufklingendem Verhalten Stabilitätskriterien Numerische Kriterien Ausgehend von der Charakteristischen Gleichung Algebraische Bedingungen für deren Koeffizienten z.b. Hurwitz-Kriterium Grafische Kriterien Aussagen basierend auf dem Verlauf des Frequenzgangs, insbesondere des Phasenverlaufs Dargestellt als Ortskurven Nyquist-Kriterium

19 Phasenverlauf Beliebige, gebrochen rationale Funktion F(s) Betrag Phase Im{s}=jω s α i β i Polstelle Nullstelle Re{s}=σ Phasenintegral C Im{s}=jω s Polstelle s i α i β i Nullstelle s i Re{s}=σ falls s i bzw. s i innerhalb von C falls s i bzw. s i außerhalb von C

20 Phasenintegral C Im{s}=jω s Polstelle s i α i β i Nullstelle s i Re{s}=σ l n : eingeschlossene Nullstellen l p : eingeschlossene Polstellen Dies gilt allgemein für gebrochen rationale komplexe Funktionen auch falls keine Polstellen vorhanden sind (z.b. einfaches Polynom) Untersuchung eines Regelkreises Charakteristische Gleichung: Gibt es instabile Pole des geschlossenen Kreises? Nullstellen der Charakteristischen Gleichung rechts der imaginären Achse Negativ durchlaufene Kurve C jω C R l p =, da F(s) einfaches Polynom σ

21 Untersuchung eines Regelkreises Für R schließt C die gesamte rechte Halbebene ein Zerlegung in zwei Teilintegrale jω C 1 C 2 längs des Halbkreises über C 2 alle Nullstellen der char. Gl. links von C 2 α i R σ längs der imaginären Achse über C 1 Untersuchung eines Regelkreises l n = Stabilität für l n =, keine Pole in der rechten Halbebene Anzahl der instabilen Pole ergibt sich aus Ordnung des Nennerpolynoms Phasendrehung der Ortskurve des Nennerpolynoms

22 Nochmal das Beispiel von vorher Ordnung des Nennerpolynoms des geschlossenen Kreises ist n=3 Phasendrehung der Ortskurve des Nennerpolynoms muss für Stabilität 3/2 π sein Was heißt das für K? Quelle: Schumacher/Leonhard, Grundlagen der Regelungstechnik Nochmal das Beispiel von vorher Schnittpunkte der Ortskurve von N g (s) mit den Achsen ω2 ω 1 Stabilität für also

23 Nyquist-Kriterium Bisher haben wir die Pole des geschlossenen Kreises untersucht! Kann man dem offenen Kreis ansehen, ob der geschlossene Kreis stabil sein wird? Nyquist-Kriteium Nullstellenbetrachtung für N g (s) N g (s) ist kein Polynom! Die Pole des offenen Kreises sind die Pole von N g (s) Phasenintegral Phasenintegral von 1+G o (s) jω C 1 C 2 R σ wegen weil Stabilität des geschlossenen Kreises für l n =

24 Nyquist-Kriterium Wir betrachten die Ortskurve des offenen Kreises G o (s)! Relevant: Phasendrehung von N g (s) = 1 + G o (s) Phasendrehung von G (s) bzgl. des Punktes -1 Die Ortskurve des offenen Kreises muss den Punkt 1 für den Durchlauf der Frequenzen ω von bis so oft gegen den Uhrzeigersinn umlaufen, wie der offene Kreis Pole in der rechten Halbebene besitzt. Beispiel: Instabiler offener Kreis Offener Kreis Instabil Geschlossener Kreis 1 Nyquist Diagram Stabilität für K = 1.2 Imaginary Axis Real Axis

25 Beispiel: Instabiler offener Kreis 12 x 18 Step Response 12 Step Response Amplitude 6 4 Amplitude Time (sec) Time (sec) Sprungantworten der offenen Kreise Beide instabil Sprungantworten der geschlossenen Kreise Stabilität für K = 1.2 Polstellenlage des geschlossenen Kreises für verschiedene K 1.5 Pole-Zero Map 1.5 Imag Axis Real Axis

26 Nyquist-Kriterium für grenzstabile offene Kreise Quelle: Schumacher/Leonhard, Grundlagen der Regelungstechnik Pole auf der reellen Achse werden umgangen mit r Ohne Beweis: Stabilität für l a : Anzahl der Pole auf der imaginären Achse Nyquist-Kriterium für (grenz)stabile offene Kreise Für (grenz)stabile offene Kreise gilt: Der Punkt -1 muss links der Ortskurve des offenen Kreises liegen Exakte Bedingung für die Phasendrehung: l p : Instabile Pole des offenen Kreises l a : Grenzstabile Pole des offenen Kreises Quelle: Föllinger, Regelungstechnik

27 Betrags- und Phasenabstand Maße für die Robustheit der Regelung Gegen Parametervariationen (Modellfehler!) Hinreichende Dämpfung von Störungen Wie weit ist es bis zur Instabilität? r π : Betragsabstand ω π : Phasendurchtrittsfrequenz Quelle: Schumacher/Leonhard, Grdl. der Regelungstechnik ψ d : Phasenabstand ω d : Amplitudendurchtrittsfrequenz Betrags- und Phasenabstand im Bode- Diagramm Bodediagramm und Ortskurve tragen dieselbe Information r π : Betragsabstand ω π : Phasendurchtrittsfrequenz Quelle: Schumacher/Leonhard, Grdl. der Regelungstechnik ψ d : Phasenabstand ω d : Amplitudendurchtrittsfrequenz

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