Übungsaufgabensammlung zur Lehrveranstaltung Regelungs- und Systemtechnik. 1 Wirkungsplan (Strukturbild, Signalflussbild)

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1 Übungsaufgabensammlung zur Lehrveranstaltung Regelungs- und Systemtechnik (einschließlich optionaler Aufgaben (überwiegend mit Lösungsangaben), Laplace-Tranformation (Korrespondenzen, Sätze), Symbolik, Bode-Diagramm) Wirkungsplan (Strukturbild, Signalflussbild). Gebäudeheizung Analysieren Sie die Steuerungs- oder Regelungsstruktur der nachfolgenden beiden Gebäudeheizungsvarianten! Zeichnen Sie jeweils den Wirkungsplan! a) Gebäudeheizung, Variante A

2 b) Gebäudeheizung, Variante B.2 Einstellen der Geschwindigkeit eines Drehtisches Viele moderne Geräte verwenden Drehtische (z. B. in CD-Playern, Computer- Laufwerken), auf denen eine Scheibe mit konstanter Geschwindigkeit rotiert. Stellen Sie einen Wirkungsplan für die nachfolgenden beiden Realisierungen auf und diskutieren Sie die Steuerungs- bzw. Regelungsstruktur! a) Variante A 2

3 b) Variante B.3 Kraftfahrzeug Betrachten Sie das Führen eines Kraftfahrzeuges als eine regelungstechnische Aufgabenstellung! a) Das Kraftfahrzeug soll sich z. B. mit einer möglichst konstanten Geschwindigkeit von v = 30 km auf einer Autobahn über bergiges Gelände geradeaus ohne h Behinderungen bewegen. b) Das Kraftfahrzeug soll einer bestimmten Spur (z. B. Slalomkurs) folgen. Analysieren Sie die beiden Problemstellungen und zeichnen Sie jeweils den Wirkungsplan!.4 Signalflussbild des Regelkreises Zeichnen Sie den Signalflussplan eines Regelkreises und benennen Sie die Elemente des Regelkreises sowie alle relevanten Signale!.5 Optionale Übungsaufgaben/Hausaufgaben Quelle: J. Lunze. Regelungstechnik. 5. Auflage. Springer S. 30, 33 ff.,45 ff. (Lösungen: S. 533, 534 ff., 45 ff.).5. Lautstärkeregler Warum ist der Lautstärkeregler Ihres Radios oder Ihrer HiFi-Anlage kein Regler in dem hier verwendeten Sinn? Welchem regelungstechnischen Begriff entspricht diese umgangssprachliche Bezeichnung? 3

4 .5.2 Praktische Regelungsaufgaben Überlegen Sie sich, warum folgende Probleme nur mit Hilfe von Regelungen gelöst werden können: Die Temperatur der Kühlflüssigkeit im Motor eines Kraftfahrzeugs soll konstant sein. Ein Raumflugkörper soll mit einer Radarantenne verfolgt werden. Die Papiergeschwindigkeit in einer Druckmaschine soll konstant sein. Temperatur, Druck und Luftfeuchtigkeit in einer Flugzeugkabine sollen konstant sein. Inwiefern ist die Lösung dieser Regelungsaufgaben für die Realisierbarkeit technologischer Wirkprinzipien notwendig? Welche Ähnlichkeiten weisen die genannten Regelungsaufgaben trotz der unterschiedlichen Anwendungsgebiete auf?.5.3 Lagerhaltung Stellen Sie einen Wirkungsplan (Blockschaltbild) für einen Lagerhaltungsprozess mit den Teilaspekten Produktionsplanung, Produktion, Verkauf, Handel, Verkauf und Bestellung auf, die sich zwischen Kunden, Einzelverkauf und Großhandel abspielen! 2 Themenkomplex: Zeitverhalten linearer Systeme, Linearisierung nichtlinearer Systeme im Arbeitspunkt 2. Sprung-, Impuls- und Rampenantwort eines Systems. Ordnung Stellen Sie die Differentialgleichung für das nachfolgende System anhand der Bilanzgleichungen auf (Eingangsgröße: Eingangsspannung u e (t), Ausgangsgröße: Ausgangsspannung u a (t))! Ermitteln und skizzieren Sie die Antwort des Systems auf ein 4

5 a) sprungförmiges, b) impulsförmiges und c) rampenförmiges Eingangssignal, wenn sich das System vorher in Ruhe befunden hat! 2.2 Systembeschreibung für Analog Messinstrument Stellen Sie anhand des abgebildeten Ersatzschaltbildes eines Analog Messinstrumentes eine geeignete Systembeschreibung (Eingangs /Ausgangs Beschreibung) auf! Dabei bedeuten: F e (t) einwirkende Kraft, F d (t) Kraft an der Dämpfungseinrichtung, F f (t) Federkraft, s(t) Weg des Zeigers, m Masse des Zeigers, c, d Feder bzw. Dämpfungskonstante. 2.3 Linearisierung nichtlinearer Gleichungen Der Abfluss eines Behälters soll geregelt werden. Grundsätzliche Anordnung: siehe Abb Die Druckmesszelle misst den zur Füllstandshöhe h(t) proportionalen statischen Druck und setzt ihn in eine proportionale elektrische Spannung u I (t) um. In der Eingangsschaltung eines Verstärkers wird sie mit der Sollwertspannung u S verglichen, was zur Differenzspannung u D (t) führt. Diese wirkt über einen elektrischen Verstärker 5

6 auf einen Stellmotor ein, der über ein Getriebe ein Ventil im Zufluss des Behälters verstellt. Im Zufluss treten Druckschwankungen auf (Druck p(t)), die als Störgröße wirken. Eigentliche Regelgröße ist der Füllstand h(t), da er gemessen und zurückgeführt wird. Der abfließende Flüssigkeitsstrom q a (t) wird eindeutig durch ihn bestimmt. Insofern liegt eine mittelbare Regelung vor. Stellen Sie die Gleichungen der einzelnen Baugruppen auf und zeichnen Sie das Signalflussbild! Linearisieren Sie analytisch nichtlineare Gleichungen im Arbeitspunkt! 2.4 Optionale Übungsaufgaben/Hausaufgaben 2.4. Prozessbeschreibung für einen Rührkesselreaktor Quelle: J. Lunze. Regelungstechnik. 5. Auflage. Springer. 2006, S. 58 ff. (Lösungen: S. 58 ff.) Stellen Sie die Ein-/Ausgangsdifferentialgleichung für einen Rührkesselreaktor auf! Linearisierung der statischen Übertragungsgleichung einer Durchflussmessblende Die Skizze einer Durchflussmessblende, die eine Durchflussmessung als Folge des Druckunterschieds vor und nach einer Blende (Einbau z. B. in einer Rohrleitung) gestattet, ist in der Abbildung zu sehen: Dabei bedeuten: y = q - Ausgangsgröße (Durchfluss), p d = p p 2 - Eingangsgröße (Druckdifferenz) p d = p p 2, A - freie Durchflussfläche, ρ - Dichte, c - Blendenbeiwert 6

7 p p2 y=q u = pd = p - p2 Die Gleichung zur Berechnung des Durchflusses lautet: r u y = ca 2 = C u ρ Linearisieren Sie das System im Arbeitspunkt (y0, u0 ) = (q0, pd,0 ) = (0, 00) und für q 2 C = ca ρ = (alle Größen in Basis-SI-Einheiten außer Druck(-differenz) in mbar). Ergebnisse: q = q0 + q, pd = pd,0 + pd q = C p pd 2 pd,0 q = 0.05 p 3 Themenkomplex: Kennfunktionen des dynamischen Verhaltens, Rückführschaltung, Reglerrealisierungen, Regelkreisverhalten 3. Zusammenhänge zwischen Kennfunktionen Stellen Sie die Zusammenhänge zwischen den Kennfunktionen des dynamischen Verhaltens Übergangsfunktion Gewichtsfunktion und Übertragungsfunktion her! 7

8 3.2 Aufstellen von Übertragungsfunktionen Stellen Sie die Übertragungsfunktionen in folgenden Fällen auf, in denen unterschiedliche Beschreibungen der Systeme vorliegen! a) Differentialgleichung ẏ(t) + a y(t) = b u(t) Wie ist die Anfangsbedingung der Differentialgleichung anzusetzen? a ) Optionale Aufgabe/Hausaufgabe: Quelle: T. Ebel. Beispiele und Aufgaben zur Regelungstechnik. Teubner. 99 * C Ff Fd ( t) ( t) * C 2 Fk ( t) u( t) * d y( t) Stellen Sie zunächst die Ein-/Ausgangs-Differentialgleichung für das abgebildete mechanische, Feder-Dämpfungssystem auf. Die Auslenkungen u(t) und y(t) werden als Ein- bzw. Ausgangsgröße angesehen. Die zur Auslenkung erforderliche Kraft F k (t) verursacht eine Dehnung u(t) y(t). An den Federn herrscht Proportionalität zum jeweiligen Weg (Federkonstanten c, c 2), an der Dämfungseinrichtung Proportionalität zur Geschwindigkeit (Dämfungskonstante d )! Berechnen Sie danach die Übertragungsfunktion! Lösung: ẏ(t) + c + c 2 d y(t) = c 2 d u(t) G(s) = Y (s) U(s) = c 2 c + c 2 d s + c +c 2 8

9 b) Signalflussbild mit grafischer Illustration der Übertragungseigenschaften u(t) KP, T x(t) KI y(t) c) Elektrisches Schaltbild (Beispiel ) R L u(t) R2 y(t) d) Elektrisches Schaltbild (Beispiel 2) mr R nr ue(t) ua(t) L 9

10 d ) Optionale Übungsaufgaben/Hausaufgaben Quelle: J. Lunze. Regelungstechnik. 5. Auflage. Springer S. 236 ff. (Lösung: S. 564 ff.) R u(t) R 2 C y(t) Gegeben ist das Übertragungsglied nach obiger Abb. Bestimmen Sie die Ein- /Ausgangs-Differentialgleichung des RC-Gliedes und daraus die Übertragungsfunktion! Benutzen Sie die symbolische Methode (Widerstandsoperatorenmethode) zur Ermittlung der Übertragungsfunktion! Lösung: (R + R 2 ) Cẏ(t) + y(t) = R 2 C u(t) + u(t) G(s) = Y (s) U(s) = R 2 Cs + (R + R 2 ) Cs + e) Signalflussbild mit Teilübertragungsfunktionen e Parallelschaltung U(s) G Y (s) Y(s) G 2 Y (s) 2 e 2 Reihenschaltung U(s) Y (s) G G 2 Y(s) e 3 Rückführschaltung U(s) U (s) - ( + ) G Y(s) Y (s) G 2 0

11 e 4 Signalflussbild, Bsp. : e 5 Korrektur bei Verschiebung der Summationsstellen in/entgegen der Signalflussrichtung U (s) U (s) 2 G Y(s) U (s) U (s) 2 G Y(s) e 6 Korrektur bei Verschiebung der Verzweigungsstellen in/entgegen der Signalflussrichtung U(s) G G 2 Y (s) Y (s) 2 U(s) G G 2 Y (s) Y (s) 2

12 e 7 Signalflussbild, Bsp. 2 U(s) G G 2 G Y(s) G 4 e 8 Optionale Aufgabe/Hausaufgabe: Signalflussbild, Bsp. 3 Lösung: U - GR G G RH S G S 2 - Y G(s) = Y (s) U(s) = G G RH G S R +G RH G S G S2 + G R G RH G S +G RH G S G S2 e 9 Optionale Aufgabe/Hausaufgabe: Signalflussbild, Bsp. 4 Lösung: U ( s) - ρ g - / s ρ g - / A / s / r / A2 / r2 Y ( s) G(s) = Y (s) U(s) = ( ) + T + T 2 + A r 2 s + T T 2 s 2 ρg T = A r ρg T 2 = A 2r 2 ρg 3.3 Berechnung der Übergangsfunktion mittels Laplace- Transformation a) Berechnen Sie die Übergangsfunktion für ein System, das durch die Differentialgleichung ẏ(t) + a y(t) = b u(t) 2

13 beschrieben wird, unter Nutzung der Laplace-Transformation! Welche Anfangsbedingung der Differentialgleichung nehmen Sie an? b) Berechnen Sie die Übergangs- und die Gewichtsfunktion bei gegebener Übertragungsfunktion! G(s) = K I K P s( + st ) 3.4 Rückkopplungsschaltung a) Zeichnen Sie zunächst ein Signalflussbild einer Rückkopplungsschaltung (Gegenparallelschaltung) mit der Übertragungsfunktion G v (s) im Vorwärtszweig, der Übertragungsfunktion G r (s) im Rückführzweig und negativer Rückkopplung! b) Wie lautet die Übertragungsfunktion für die gesamte Gegenparallelschaltung allgemein und wie, wenn K v? c) Untersuchen Sie den Effekt der Rückkopplung am Beispiel G v (s) = Kv +st und G r (s) = K r, indem Sie zum Ersten die Übergangsfunktion für das Übertragungsglied im Vorwärtszweig und zum Zweiten für die gesamte Gegenparallelschaltung ermitteln! Diskutieren Sie die Ergebnisse! 3.5 Realisierung von Reglern mittels Rückführung Realisieren Sie einen Regler durch Rückkopplung eines elektronischen Verstärkers (G v (s) = K V ), wobei sich im Rückführzweig jeweils eines der unten dargestellten passiven Netzwerke befinden soll! Passives Netzwerk:. RC-Netzwerk 2. RC-Netzwerk (), Trennverstärker (2), R-Netzwerk (3) 3

14 R R Trennverstärker ue(t) C ua(t) R2 K= Re 3. RC-Netzwerk (), Trennverstärker (2), RC-Netzwerk (3), Trennverstärker (4), RNetzwerk (5) R ue(t) C R3 C2 K= R2 K= a) Wie lautet die Übertragungsfunktion Gr (s) = Ua (s) Ue (s) R4 ua(t) des passiven Netzwerkes? b) Welche Reglerübertragungsfunktion GR (s) ergibt sich und wie bezeichnet man diesen Regler? c) Ermitteln Sie die Übergangsfunktion dieses Reglers und skizzieren Sie sie qualitativ! 3.6 Laplace-Rücktransformation mittels Partialbruchzerlegung Ermitteln Sie die normierte Sprungantwort für das abgebildete System (2-faches RC-Netzwerk mit Trennverstärker) durch Verwendung der Übertragungsfunktion und Laplace-Rücktransformation! Als Systembeschreibung ist folgende Differentialgleichung gegeben: T T2 y (t) + (T + T2 ) y (t) + y(t) = V u(t), 4 y(0) = y0 = 0 y (0) = y 0 = 0

15 3.7 Übergangsfunktionen für Regelstrecke und geschlossenen Regelkreis, bleibende Regelabweichung a) Setzen Sie im geschlossenen Regelkreis einen P- und anschließend einen I-Regler an einer PT -Strecke ein und berechnen Sie die bleibende Regelabweichung (Regeldifferenz) e B mit Hilfe des Grenzwertsatzes der Laplace- Transformation in beiden Fällen für einen Einheitssprung als Führungsgröße! b) Welche Regler wenden Sie bei einer PT 2 -, PT 3 -, PT n - (n >3) bzw. IT 2 -Strecke an? Wie wählen Sie die Zeitkonstanten der Regler? Ermitteln Sie c ) die normierte Sprungantwort (Übergangsfunktion) einer P T 2 -Strecke mit der Streckenverstärkung und den beiden Trägheitszeitkonstanten T =0 und T 2 =, c 2 ) die Führungsübergangsfunktion des Regelkreises bei Einsatz eines P-Reglers mit der Reglerverstärkung K R =9 an der Strecke aus c ), c 3 ) die Führungsübergangsfunktion des Regelkreises bei Einsatz eines PI-Reglers mit der Reglerverstärkung K R =9 an der Strecke aus c )! Wählen Sie die Nachstellzeit T N des PI-Reglers geeignet! 4 Themenkomplex: Frequenzgangortskurve (Nyquist- Diagramm) 4. Frequenzgangortskurve einfacher Übertragungsglieder Skizzieren Sie für die beiden Frequenzgänge die zugehörigen Frequenzgangortskurven und beurteilen Sie das Verhalten der Systeme bzgl. Verstärkung und Phasenverschiebung zwischen Ein- und Ausgangssignal in Abhängigkeit der Kreisfrequenz ω! a) b) G(jω) = + jωt D + jωt, T D = 0., T = G(jω) = jωt I ( + jωt ) = K I jω( + jωt ), K I = T I, K I =, T = 5

16 c) Optionale Aufgabe/Hausaufgabe: G(jω) = G(jω) = + jωt D + jωt, T D =, T = 0. d) Optionale Aufgabe/Hausaufgabe: G(jω) = K P ( + jωt )( + jωt 2 ), K P = 0, T = 0, T 2 = e) Optionale Aufgabe/Hausaufgabe: Zeichnen Sie qualitativ Frequenzgangortskurven für PT 3 -, PT 4, IT 2 - und I 2 T - Verhalten! 5 Themenkomplex: Frequenzkennliniendiagramm (Bode-Diagramm) 5. Bode-Diagramme einfacher Übertragungsglieder Zeichnen Sie das Bode-Diagramm (Amplitudenfrequenzgang unter Nutzung der Geradenapproximation, Phasenfrequenzgang) für die beiden Übertragungsglieder aus Aufgabe 4.a) und 4.b)! Wie wird in beiden Fällen das Eingangssignal u(t) = 0 sin(3 t) σ(t) zum Ausgang übertragen? Stellen Sie die Zusammenhänge zwischen Bode-Diagramm (Frequenzkennliniendiagramm) und Nyquist-Diagramm (Frequenzgangortskurve) her! 5.2 Optionale Aufgaben/Hausaufgaben: 5.2. Bodediagramme für zwei weitere Beispiele Zeichnen Sie die Frequenzkennlinien (Bodediagramme) auch für die Beispiele 4.c) und 4.d)! Bodediagramme (qualitativ) Skizzieren Sie qualitativ den Amplituden- und Phasenfrequenzgang für PT 3 -, PT 4, IT 2 - und I 2 T -Verhalten der offenen Kette eines Regelkreises! 6

17 6 Themenkomplex: Stabilität 6. Stabilitätsprüfung anhand des vereinfachten Nyquist- und des Phasenrandkriteriums Ein Regelkreis bestehe aus einer IT 2 Strecke und einem P-Regler und sei durch die Übertragungsfunktion der offenen Kette G 0 (s) = K R s( + s) 2 beschrieben. Mit Hilfe des vereinfachten Nyquist-Kriteriums und des Phasenrandkriteriums soll die Stabilität des geschlossenen Kreises bei unterschiedlichen Reglerverstärkungen (K R = {, 2, 3}) untersucht werden. a) Geben Sie den zugehörigen ungefähren Verlauf der Frequenzgangortskurve an! b) Interpretieren Sie die Ergebnisse anhand der Frequenzkennliniendarstellung im Bode-Diagramm! 6.2 Optionale Aufgabe/Hausaufgabe 6.2. Stabilitätsprüfung anhand des Phasenrandkriteriums Untersuchen Sie den Regelkreis, der durch folgenden Frequenzgang der offenen Kette charakterisiert ist, auf Stabilität mittels des Phasenrandkriteriums im Bodediagramm: G 0 (jω) = K 0 ( + jω)( + jω0.)( + jω0.02), K 0 = K R K S = K R = 00 Wie groß ist der Abstand zur Stabilitätsgrenze? Ergebnisse: Kreis ist instabil, Abstand zur Stabilitätsgrenze: Phasenrand (auch mit γ s bezeichnet) Φ R 0 (= 8.52 ), (Reziproker) Amplitudenrand A R 3 db(= 3.44 db; enspricht 0.673) Zur Stabilisierung ist eine Absenkung der Reglerverstärkung mindestens bis zur Stabilitätsgrenze besserer deutlich mehr für günstigeres Verhalten erforderlich; Verringerung von K 0 = K R auf db (entspricht 67.3). 7

18 7 Themenkomplex: Reglerbemessung 7. PI-Reglerbemessung im Bode-Diagramm Bemessen Sie im einschleifigen Regelkreis an der Regelstrecke mit dem Frequenzgang G s (jω) = 3.6 ( + jω0)( + jω0.) einen PI-Regler so, dass sich eine relative Überschwingweite von h = 5 % bei der Führungsübergangsfunktion einstellt. Nehmen Sie die Bemessung im Bode-Diagramm vor! Beurteilen Sie auch die anderen Kenngrößen des statischen und dynamischen Verhaltens des Regelkreises! 7.2 Optionale Aufgaben/Hausaufgabe: 7.2. P-Reglerbemessung im Bode-Diagramm Aufgabenstellung wie unter 7.; einzusetzender Regler: P-Regler Ergebnisse: Reglerverstärkung K R = 3.6 (30 db); Einstellfaktor a ; Bodediagramm: Amplitudenfrequenzgang wie unter 7. bis auf den niederfrequenten Bereich ω < 0., dort G 0 (jω = 40 db; Phasenfrequenzgang: Zwei Phasenfrequenzgänge für die PT -Glieder (arctan-funktionen) sind zu addieren; P-Regler hat keinen Phasenbeitrag; Gesamtphasenfrequenzgang: ω 0.0 : ϕ = 0, ausgewählte Frequenzen: ω = 0. : ϕ = 45, ω = 0 : ϕ = 35, ω 00 : ϕ = 80. Kenngrößen des dynamischen Verhaltens: wie unter 7.. Kenngröße des statischen Verhaltens: e B PID-Reglerbemessung im Bode-Diagramm Bemessen Sie im einschleifigen Regelkreis an der Regelstrecke mit dem Frequenzgang G s (jω) = ( + jω)( + jω 3 )( + jω 7 ) einen PID-Regler so, dass sich eine relative Überschwingweite von h = 0 % und eine Überschwingzeit T m bei der Führungsübergangsfunktion einstellt. Nehmen Sie die Bemessung im Bode-Diagramm vor! Beurteilen Sie auch die anderen Kenngrößen des statischen und dynamischen Verhaltens des Regelkreises! 8

19 Ergebnisse: Durch Pol-Nullstellen-Kompensation (Wahl der Vorhaltzeitkonstanten des Reglers wie größte Streckenträgheitszeitkonstanten, T D = T =, T D2 = T 2 = 3 bzw. T N = 4 3, T V = 4 ) Verbesserung der Dynamik; h = 0 % Einstellfaktor a =.4, ω = 7, K IR = K R T N, Reglerverstärkung K I0 = 5, K R = 6.67 Amplitudenfrequenzgang (Geradenapproximation) der offenen Kette: fallende Gerade mit Steigung -20 db/dekade (-) im niederfrequenten Bereich; Schnittpunkt mit Frequenzachse bei ω = 5; Knick-, Eckfrequenz ω = 7; für ω > 7: fallende Gerade mit Steigung -40 db/dekade (-2); resultierendes Übertragungsverhalten: IT -Struktur Amplitudenfrequenzgang (Geradenapproximation) des PID-Reglers: fallende Gerade mit Steigung -20 db/dekade (-) im niederfrequenten Bereich; Knickpunkt bei ω = (Neigungswechsel von - nach 0), Gerade mit Steigung ±0; Knickpunkt bei ω = 3 (Neigungswechsel von 0 nach +), Gerade mit Steigung + für ω > 3 Phasenfrequenzgang der offenen Kette: ω 0.7 ϕ = 90, ausgewählte Frequenz: ω = 0.7 : ϕ = 35, ω 7 : ϕ = 80. Phasenfrequenzgang des PID-Reglers: ω 0. ϕ = 90, Phasenübergang durch zwei sich überlagernde arctan-funktionen von 90 nach +90, ω 5 : ϕ = +90. Kenngrößen des dynamischen Verhaltens: T m 0.628, T 2% =.43 Kenngröße des statischen Verhaltens: e B = PD-Reglerbemessung im Bode-Diagramm Aufgabenstellung wie unter 7.2.2; einzusetzender Regler: idealer PD-Regler Ergebnisse: Beim PD-Regler-Einsatz an PT n -Strecken (reinen Trägheitsstrecken) wird bei der Pol- Nullstellen-Kompensation typischerweise die zweitgrößte Streckenträgheit kompensiert (T V = T = ) wegen des besseren statischen Verhaltens und wenig schlechteren 3 dynamischen Verhaltens gegenüber der Kompensation der größten Streckenträgheit; (bei IT n -Strecken: Kompensation der größten Streckenträgheit); h = 0 % a =.4, ω = 7, K I0 = K IR = 5, Reglerverstärkung K R = 5 Amplitudenfrequenzgang (Geradenapproximation) der offenen Kette: Gerade mit Steigung ±0 db/dekade (±0 ) im niederfrequenten Bereich ω ; Gerade mit Steigung - für ω 7; Schnittpunkt mit Frequenzachse bei ω = 5; Knick-, Eckfrequenz ω = 7; für ω > 7: fallende Gerade mit Steigung -40 db/dekade (-2); resultierendes Übertragungsverhalten: PT 2 -Struktur Amplitudenfrequenzgang (Geradenapproximation) des PD-Reglers: Gerade mit Steigung ±0 db/dekade (±0) im niederfrequenten Bereich, G R = 4 db; Knickpunkt bei ω = 3 (Neigungswechsel von ±0 nach +), Gerade mit Steigung + für ω > 3 9

20 Phasenfrequenzgang der offenen Kette: ω 0. ϕ = 0, ausgewählte Frequenzen: ω = : ϕ 45, ω = 7 : ϕ 35, ω 70 : ϕ = 80. Phasenfrequenzgang des PD-Reglers: ω 0.3 ϕ = 0, ausgewählte Frequenz: ω = 3 : ϕ +45, ω 30 : ϕ = +90. Kenngrößen des dynamischen Verhaltens: T m 0.628, T 2% =.43 Kenngröße des statischen Verhaltens: e B = 0.67 Literatur [Cre95] CREMER, M.: Regelungstechnik. Springer, 995. [Ebe9a] EBEL, T.: Beispiele und Aufgaben zur Regelungstechnik. Teubner, 99. [Ebe9b] EBEL, T.: Regelungstechnik. Teubner, 99. [Föl92] FÖLLINGER, O.: Regelungstechnik. Hüthig, 992. [Föl93] FÖLLINGER, O.: Laplace- und Fouriertransformation. Hüthig, 993. [JM93] JASCHEK, H. und L. MERZ: Grundkurs der Regelungstechnik. Oldenbourg, 993. [Lun06] LUNZE, J.: Regelungstechnik. Springer, [LW0] [Rei74] [Rei96] LUTZ, H. und W. WENDT: Taschenbuch der Regelungstechnik mit MATLAB und Simulink. Verlag Harry Deutsch, 200. REINISCH, K.: Kybernetische Grundlagen und Beschreibung kontinuierlicher Systeme. Verlag Technik, 974. REINISCH, K.: Analyse und Synthese kontinuierlicher Steuerungs- und Regelungssysteme. Verlag Technik, 996. [RP87] REINISCH, K. und H. PUTA: Kap. 5, Grundlagen der Informationstechnik. In: PHILIPPOW, E. (Herausgeber): Taschenbuch Elektrotechnik, Band 2. Verlag Technik, 987. [Unb93] UNBEHAUEN, H.: Regelungstechnik, Band I-III. Vieweg, 993.

21 A Laplace-Transformation (Korrespondenzen, Sätze) Zeitbereich Korrespondenzen zur (einseitigen) Laplace-Transformation Zeitfunktion f(t) für t 0 (f(t) 0 für t < 0) oder: f(t) σ(t) T 0 δ(t) T 0 2 s t 3 T s 2 T 4 5 ( ( ) 2 t 2 T s 3 T 2 ) n t n! T s n+ T n 6 e t T s+ T Bildbereich t 7 T e t T T (s+ ) T ( ( ) 2 t T e t T 2 T 2 ) n t T e t T n! T n Laplace-Transformierte F(s) (s+ T ) 3 (s+ T ) n+ 0 e t T s(+st ) e t n T i=0 ( e t 2 ( t T ) i i! s(+st ) n T ) n s n (+s T i= 3 t T + e t T s 2 T (+st ) 4 e t T 5 ρe t T e t T 2 (T T 2 ) ) + (ρ )e t T 2 (T T 2, ρ = T T T 2 6 sin ωt ω s 2 +ω 2 7 cos ωt s s 2 +ω 2 8 e t T sin ωt 9 e t T cos ωt e 20 d t T0 ( ) d 2 sin d 2 t T 0 ; 0 < d < 2 e d t T0 d 2 cos ( d 2 t T 0 ψ ψ = arctan d d 2 ) i ) T T 2 (+st )(+st 2 ) s(+st )(+st 2 ) ω ( ) 2+ω s+ 2 T s+ T ( ) 2+ω s+ 2 T T 0 +s2dt 0 +s 2 T 2 0 ; s(+s2dt 0 +s 2 T 2 0 ) = arccos d 2 = arcsin d

22 Rechenregeln der Laplace-Transformation Regel Zeitbereich Bildbereich Anmerkung Linearitätsregel af(t) + bf2(t) af(s) + bf2(s) a, b beliebig konstant (Überlagerungsregel) Differenziationsregel f(t) sf (s) f( 0) f( 0) Anfangswert linksseitig (f. verallg. Diff.) f(t) s 2 F (s) sf( 0) f( 0)... f (t) s 3 F (s) s 2 f( 0) s f( 0) f( 0) Integrationsregel t o f(τ)dτ s F (s) Anfangswert d. Integration 0 Verschiebungsregel f(t t0) e st 0 F (s) f(t) = 0 für t < 0 ; t 0 > 0 (Rechtsverschiebung) Dämpfungsregel f(t)e αt F (s + α) α beliebig komplex Faltungsregel f(t) f2(t) = t 0 f(t τ)f2(τ)dτ F(s)F2(s) Grenzwertsätze der Laplace-Transformation Anfangswertsatz lim t +0 Endwertsatz lim t s f(t) = lim s 0 f(t) = lim sf (s) sf (s)

23 B Regelungstechnische Symbolik Fachgebiet Simulation und Optimale Prozesse Institut für Automatisierungs- und Systemtechnik TU Ilmenau (in Anlehung an DIN 9226) Variable/Bedeutung Übertragungsglied: Variablen im Zeitbereich in Kleinbuchstaben! Eingangsgröße (allg.) Ausgangsgröße (allg.) Einheitssprung Dirac-Impuls Übergangsfunktion (Normierte Sprungantwort) Gewichtsfunktion (Normierte Impulsantwort) Symbol u(t) y(t) σ(t) δ(t) h(t) = y Sprung(t) u 0 bei u(t) = u 0 σ(t) g(t) = y Impuls A δ A δ - Impulsfläche Trägheitszeitkonstante T Vorhaltzeitkonstante T D Totzeit T t Zeitkonstante des I-Gliedes T I Zeitkonstante des D-Gliedes T D Proportionalbeiwert, -konstante K P Integralalbeiwert, Integrale Konstante K I = T I Differenzierbeiwert, Differentielle Konstante K D = T D Dämpfung, Dämpfungsgrad d Kennzeit T 0 Kennkreisfrequenz ω 0 = T 0

24 Variable/Bedeutung Symbol Regelkreis/Zeitbereich: Variablen in Kleinbuchstaben! Führungsgröße w(t) Regeldifferenz, -abweichung e(t) Bleibende Regeldifferenz, -abweichung e B Stell-, Steuergröße u(t) Regelgröße y(t) Zustandsgröße x(t) Zustandsbeschreibung ẋ = Ax + Bu, y = Cx + Du Fundamental-, Transitionsmatrix Φ(t) = e At Störgröße (allg.) z(t) Störgröße am Streckeneingang z e (t) Störgröße in der Strecke z m (t) Störgröße am Streckenausgang z a (t) Führungssprungantwort, -übergangsfunktion: h w (t) Störsprungantwort, -übergangsfunktion: h za (t), h zm (t), h ze (t) Verzugszeit T u Ausgleichszeit T g Anregelzeit T anr Halbwertszeit T h Überschwingzeit T m Ausregelzeit, Beruhigungszeit, Einschwingzeit T ε%, z. B. ε {2, 5} (Relative) Überschwingweite h Einschwingtoleranz ±ε

25 Variable/Bedeutung Symbol Bild-/Frequenzbereich: Laplacevariable s = δ + jω Frequenz f Kreisfrequenz (abkürzend häufig: Frequenz ) ω = 2πf Sonst alle Variablen in Großbuchstaben! Laplacetransformierte einer Funktion G(s) = L {g(t)} Laplacerücktransformierte einer Funktion g(t) = L {G(s)} Übertragungsfunktion (allg.) G(s) Frequenzgang (allg.) G(jω) Streckenübertragungsfunktion G S (s) Reglerübertragungsfunktion G R (s) Reglerverstärkung K R Nachstellzeit T N Vorhaltzeit T V Übertragungsfunktion der offenen Kette/ des offenen Kreises G 0 (s) Übertragungsfunktionen des geschl. Kreises bei: - Führung G W (s) - Störung G Za (s), G Zm (s), G Ze (s) - bzgl. Regeldifferenz G E (s) Schnittfrequenz, Amplitudendurchtrittsfrequenz ω S = ω G0 = Durchtrittsfrequenz, Phasendurchtrittsfrequenz ω D = ω ϕ0 = 80 Phasenrand, -reserve γ S = 80 ϕ 0 (ω s ) (Reziproke/r) Amplitudenrand, -reserve A R = G 0 (jω D ) Integralbeiwert der offenen Kette K I0 Knick-, Eckfrequenz ω Einstellfaktor a = ω K I0 Klassifizierung von Übertragungsgliedern: P, PT,PT n, PT 2 I, D, T t PT D, PT D, PT Dm anstelle von PD (Ausnahme: PD-Regler) Übertragungsfunktion des Schwingungsgliedes PT 2: G(s) = = = T0 2s2 +2dT 0 s+ ω 0 2 s 2 + 2d s+ ω 0 ωo 2 s 2 +2dω 0 s+ω0 2

26 C Bode-Diagramm