geschlossene Schachtel mit einem kleinen Loch

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1 Kameramodellierung

2 Lochkamera Kamerakonstante Kamerazentrum geschlossene Schachtel mit einem kleinen Loch ideale Kamera: Loch hat keine Ausdehnung die Strahlen sind ein Büschel von Geraden Abbildung erfolgt auf der Bildebene Kamerazentrum: der ideale Schnittpunkt Kamerakonstante: Abstand vom Projektionszentrum zur Bildebene Bildebene

3 Lochkamera Eigenschaften der Abbildung geradentreu: Gerade werden auf Gerade abgebildet die Strahlen durch alle Punkte einer Geraden bilden eine Ebene nicht längentreu: Längen(verhältnisse) gehen verloren der Massstab ist umgekehrt proportional zur Entfernung nicht winkeltreu: Winkel zwischen Geraden ändern sich folgt aus den beiden anderen - warum?

4 Lochkamera Fluchtpunkt Fluchtpunkte parallele Gerade werden auf nicht parallele abgebildet die Bilder aller parallelen Geraden schneiden sich in einem Fluchtpunkt der Fluchtpunkt ist das Bild des (gemeinsamen) Fernpunkts paralleler Geraden jeder Raumrichtung entspricht genau ein Fluchtpunkt

5 Lochkamera Fluchtgeraden analog haben alle parallelen Ebenen im Raum jeweils eine gemeinsame Ferngerade die Abbildungsstrahlen durch eine Ferngerade bilden eine dieser Ebenen, und bilden die Ferngerade auf eine Fluchtgerade ab sind eine Gerade und eine Ebene parallel, so liegt der Fluchtpunkt der Geraden auf der Fluchtgeraden der Ebene

6 Perspektivprojektion Wahl des Kamerakoordinatensystems Loch (Brennpunkt) im Ursprung Bildebene normal zur z-achse (z -Achse = Hauptachse) Bildebene vor dem Brennpunkt die physikalisch korrekte Stellung ist äquivalent (Bildebene hinter dem Brennpunkt, Kamerakonstante -f)

7 Perspektivprojektion Abbildung Strahl durch Objektpunkt und Brennpunkt schneidet die Bildebene Bildpunkt aus ähnlichen Dreiecken (X, Y, Z) f X Z,fY Z,f 2D Koordinaten in der Bildebene (Brennpunkt im Ursprung) x = f X Z,fY Z

8 Projektionsmatrix projektive Darstellung in euklidischen Koordinaten ist die Projektion nicht-linear (division durch Z) in homogenen Koordinaten 2 f x = 40 f x = 2 f 4 Normalisierung 2 3 fx 4fY 5 Z f 3 5 I 0 X apple fx/z fy/z X Y fx 7 4Z 5 = 4fY 5 Z

9 Projektionsmatrix Innere Orientierung (Übergang auf Bildkoordinaten) Skalierung von Einheit des Weltkoordinatensystems in Pixel (Einheit des Bildkoordinatensystems) Pixelgrösse in Welteinheiten m x m y Pixel sind üblicherweise quadratisch, mx=my x = 2 4m x m y 3 2 f 5 4 f 3 5 I 0 X = 2 4c x c y 3 5 I 0 X pixel pixel / meter meter meter

10 Projektionsmatrix Innere Orientierung (Übergang auf Bildkoordinaten) Translation (Verschiebung) vom Hauptpunkt zum Ursprung des Bildkoordinatensystems 2 3 c x x H x = 4 c y y H 5 I 0 X Scherung des Bildkoordinatensystems x = yimg 2 3 c x s x H 4 c y y H 5 I 0 X = K I 0 X ycam x H x img x cam (X, Y, Z) c x X Z + sy Z + x H,c y Y Z + y H

11 Projektionsmatrix Äussere Orientierung Annahme bisher: Kamera liegt im Ursprung des 3D Weltkoordinatensystems, Blickrichtung ist die z-achse normalerweise nicht der Fall 3D-Punkt muss zuerst entsprechend verschoben und gedreht werden

12 Projektionsmatrix Äussere Orientierung Anwendung der entsprechenden Transformationen x = K I 0 RTX = K R RX 0 X x = PX x = PX projektives Gleichheitszeichen : das gleiche Objekt, d.h. gleich bis auf einen konstanten Faktor R = apple R 0 0 > T = Anmerkung: die Kameraposition in Weltkoordinaten ist der Nullraum der Projektionsmatrix PX 0 = X Y Z

13 Projektionsmatrix Zusammenfassung Kollinearität (Abbildung mit Lochkamera) x = PX Freiheitsgrade 2 Matrixelemente - unbestimmter Massstab 5 innere Orientierung + 6 äussere Orientierung Perspektivprojektion ist nicht umkehrbar eine Dimension (Tiefe) geht verloren Rekonstruktion des Abbildungsstrahls x = KR X e = X 0 + KRX 0 apple X e (KR) x

14 Projektionsmatrix Zusammenfassung Kollinearitätsgleichungen in euklidischen Koordinaten x = p X + p 2 Y + p 3 Z + p 4 p 3 X + p 32 Y + p 33 Z + p 34 y = p 2X + p 22 Y + p 23 Z + p 24 p 3 X + p 32 Y + p 33 Z + p 34 ohne Scherung und Massstabsunterschied K = 2 3 c 0 x H 40 c y H x = c r (X X 0 )+r 2 (Y Y 0 )+r 3 (Z Z 0 ) r 3 (X X 0 )+r 32 (Y Y 0 )+r 33 (Z Z 0 ) + x H y = c r 2(X X 0 )+r 22 (Y Y 0 )+r 23 (Z Z 0 ) r 3 (X X 0 )+r 32 (Y Y 0 )+r 33 (Z Z 0 ) + y H

15 Innere Orientierung Modellierung reale Kameras Fertigungsgenauigkeit der Kamera ist niedriger als Messgenauigkeit der Hauptpunkt liegt nicht genau in der Bildmitte Objektiv keine ideale Linse (bei Film ist auch die Bildebene nicht ideal) nicht-lineare Projektionsverzerrungen Linsenverzeichnung der Strahlengang weicht von einer idealen Geraden ab die Abweichung hängt von der Position des Bildpunktes ab die Abbildung ist nicht mehr geradentreu Modellierung durch einen Korrekturterm: Perspektivprojektion + nicht-lineare Korrektur

16 Innere Orientierung Bemerkung: lineare Verzeichnungen lineare Anteile sind bereits in der Matrix K enthalten (z.b. unterschiedlicher Bildmassstab in x und y) auch ein linearer Fehler in radialer Richtung kann nicht von einer Veränderung der Brennweite unterschieden werden um die Brennweite zu bestimmen braucht es eine willkürliche Festlegung, bei welchem Radius die radiale Verzeichnung 0 ist Kamerakonstante ist eine virtuelle Rechengrösse Verzeichnung lbild Radius

17 Innere Orientierung Berücksichtigung der Verzeichnung die Abbildung ist nicht mehr perspektivisch, sondern allgemein apple x a y a = apple x y + apple x(x, y, q) y(x, y, q) in homogenen Koordinaten x(x, q) x a = 40 y(x, q) 5 x = H a (x) x 0 0 x a = H a (x)px = P a (x)x

18 Innere Orientierung Nutzung der allgemeinen Abbildungsgleichungen vom 3D Objektraum zum 2D Bildraum: Verzeichnung hängt vom idealen (verzeichnungsfreien) Bildpunkt ab, daher zweistufige Berechnung Schritt : Schritt 2: x = PX x a = H a (x) x vom 2D Bildraum zum 3D Objektraum: der verzeichnungsfreie Bildpunkt ist nicht zugänglich, daher iterative Berechnung x () = H a (x a ) x a x (t+) = H a (x (t) ) x a

19 Innere Orientierung Modellierung der Verzeichnung physikalische Modellierung Ziel: physikalischen Vorgänge zu modellieren Vorteil: versucht, die tatsächlichen Ursachen zu beschreiben Nachteil: Effekte sind komplex und schwer zu modellieren, oft überlappen sich mehrere physikalische Effekte phänomenologische Modellierung Ziel: die Effekte auf das Bild zu kompensieren Vorteil: Wahl des mathematisch günstigsten Modells Nachteil: Ursachen bleiben unbekannt

20 Innere Orientierung physikalisches Verzeichnungsmodell Beispiel: radialsymmetrische Verzeichnung x e = xe x e (q 2 r 2 + q 4 r 4 + q 6 r 6 ) r r = p (x x ) 2 +(y y ) 2 x ist das Symmetriezentrum (nahe der Bildmitte) y x a x x x H x

21 Innere Orientierung phänomenologisches Verzeichnungsmodell Beispiel: 0 orthogonale Polynome nach Ebner (ursprünglich 2, davon 2 für die Affinverzerrung des Bildkoordinatensystems) b: Normierung (maximale Bildkoordinate) qi: untereinander und zu den übrigen Orientierungsparametern (fast) orthogonal

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