Konfidenzintervall für den Anteilswert θ. Konfidenzintervalle. Jost Reinecke. Universität Bielefeld. 13. Juni 2005

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1 Universität Bielefeld 13. Juni 2005

2 Einführung

3 Einführung Wie kann die Kenntnis der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Parameter einer Stichprobe dazu verhelfen auf die wahren Werte der Grundgesamtheit zu schließen? Bekannte Größe: Stichprobenergebnis Unbekannte Größe: Wahrer Wert der Grundgesamtheit Beispiel Wahlprognose: Bei einem Teil der Wähler werden die Stimmenanteile für die Parteien ermittelt, die Stimmenanteile bei allen Wählern ist unbekannt.

4 Die Schätzung der Populationsparameter kann als Punktschätzung oder als Intervallschätzung vorgenommen werden. Eine Punktschätzung ist von der zufälligen Zusammensetzung der Stichprobe abhängig. Eine Intervallschätzung bedeutet, daß der Populationsparameter sich in einem Intervall mit einer Unterund Obergrenze befindet. Die Intervalle werden als oder Vertrauensintervalle bezeichnet. Sie können für alle möglichen Parameter der Grundgesamtheit (Mittelwert, Varianz, Regressionskoeffizienten) berechnet werden.

5 Zentraler Grenzwertsatz: Mittelwerte aus beliebigen Verteilungen folgen mit zunehmendem Stichprobenumfang einer Normalverteilung. Bei Kenntnis der Parameter der Grundgesamtheit (µ, σ 2 ) kann berechnet werden, wieviel Prozent der Stichprobenmittelwerte x in bestimmten Grenzen liegen Bei Kenntnis der Parameter der Grundgesamtheit (µ, σ 2 ) kann berechnet werden, in welchen Grenzen sich ein bestimmter Prozentsatz der Stichprobenmittelwerte x befindet. Dieser Prozentsatz gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der ein Stichprobenmittelwert in diesem Intervall zu erwarten ist. Wahrscheinlichkeitsintervalle: Bereiche, in denen Stichprobenmittelwerte mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit liegen.

6 95%-Wahrscheinlichkeitsintervall einer Standardnormalverteilung % 2.5% 2.5% z Links vom u. Grenzwert sind 2,5% der Fläche: z 0,025 = 1, 96 Links vom o. Grenzwert sind 97,5% der Fläche: z 0,975 = +1, 96

7 Wahrscheinlichkeitsintervall einer Standardnormalverteilung α α/2 α/2 0.0 z α/2 0 z 1-α/2 z Die Wahrscheinlichkeit, daß ein Wert nicht in das Wahrscheinlichkeitsintervall fällt, wird mit α bezeichnet. Zweiseitige Intervalle mit den Grenzen z α/2 und z 1 α/2

8 Bei der Stichprobenmittelwerteverteilung handelt es sich um eine beliebige Normalverteilung. Daher müssen die Grenzen z α/2 und z 1 α/2 destandardisiert werden: z α/2 z = x µ σ x x = µ + z α/2 σ x (1) z 1 α/2 z = x µ σ x x = µ + z 1 α/2 σ x (2) Da die Verteilung symmetrisch ist, ist z α/2 = z 1 α/2 und die untere Grenze dann µ z 1 α/2 σ x. Das Wahrscheinlichkeitsintervall für eine Stichprobenmittelwerteverteilung lautet dann: µ z 1 α 2 σ x x µ + z 1 α 2 σ x (3)

9 Wahrscheinlichkeitsintervall einer Stichprobenmittelwerteverteilung α α/2 α/2 0.0 µ-z 1-α/2 σ x µ µ+z 1-α/2 σ x x

10 Beispiel: Altersverteilung der bundesrepublikanischen Bevölkerung Bekannte Parameter der Grundgesamtheit: µ = 37, 27 Jahre und σ = 22, 46 Jahre Fragestellung: Wenn Stichproben mit n = 1000 gezogen werden, in welchem Intervall befinden sich 95% der Stichprobenmittelwerte (d. h. Altersdurchschnitte)? α = 0, 05 µ z 1 α 2 1 α = 0, 95 σ n x µ + z 1 α 2 σ n

11 37,27 z 1 0, ,46 22,46 x 37,27 + z , ,27 z 0,975 22,46 22,46 x 37,27 + z 0, ,27 1,96 0,71 x 37,27 + 1,96 0,71 35,88 x 38,66 Der Altersdurchschnitt liegt zwischen 35,88 und 38,66 Jahren für 95% aller Stichproben.

12 Fazit: Bei bekannter Grundgesamtheit können Wahrscheinlichkeitsintervalle für Stichprobenmittelwerte berechnet werden. Frage: Kann man auf der Basis eines Stichprobenmittelwertes x ein Intervall angeben, in dem der Mittelwert der Grundgesamtheit µ mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit liegt? Weichen 95% der Stichprobenmittelwerte nicht weiter als ±1, 96 σ x von µ ab, dann ist µ auch nicht weiter als ±1, 96 σ x von 95% der Stichprobenmittelwerte entfernt. Intervalle, in denen ein unbekannter Parameter der Grundgesamtheit mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit vermutet wird, werden als bezeichnet.

13 Mit Hilfe der bekannten Grenzen z 1 α/2 und z 1 α/2 kann das Konfidenzintervall gebildet werden: x z (1 α 2 ) σ x } {{ } untere Grenze µ x + z (1 α 2 ) σ x } {{ } obere Grenze (4) Setzt man die Standardabweichung der Stichprobenmittelwerte σ n für σ x ein, dann ergibt sich folgendes Konfidenzintervall: σ x z (1 α 2 ) n } {{ } untere Grenze µ σ x + z (1 α 2 ) n } {{ } obere Grenze (5)

14 Beispiel: Altersverteilung der bundesrepublikanischen Bevölkerung Stichprobe mit 1000 Personen und folgenden Parametern: x = 38, 11 Jahre und σ = 22, 46 Jahre Die Intervallgrenzen berechnen sich folgendermaßen: 38,11 z (1 0,05 2 ) 22, µ 38,11 + z (1 0,05 2 ) 22, ,11 1,96 0,71 µ 38,11 + 1,96 0,71 36,72 µ 39,50 Mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% liegt das Durchschnittsalter der bundesdeutschen Bevölkerung zwischen 36,72 und 39,50 Jahren.

15 bei unterschiedlichen Stichprobenmittelwerten unterschiedliche Stichproben unterschiedliche Altersdurchschnitte unterschiedliche für µ Da der Mittelwert der Grundgesamtheit hier bekannt ist, kann hier beurteilt werden, ob der Altersdurchschnitt der Stichprobe im berechneten Konfidenzintervall liegt oder nicht.

16 Der Mittelwert µ ist normalerweise unbekannt. In 95% der Stichproben aus einer Grundgesamtheit wird das Konfidenzintervall den Mittelwert der Grundgesamtheit enthalten. In 5% der Stichproben wird das um den Stichprobenmittelwert gelegte Konfidenzintervall den Mittelwert der Grundgesamtheit µ nicht einschließen. α = 0,05 Irrtumswahrscheinlichkeit 1 α = 0, 95 Vertrauenswahrscheinlichkeit

17 Die Vertrauenswahrscheinlichkeit kann erhöht bzw. die Irrtumswahrscheinlichkeit kann gesenkt werden: α = 0,01 Irrtumswahrscheinlichkeit 1 α = 0, 99 Vertrauenswahrscheinlichkeit Neue Berechnung des Konfidenzintervalls: 38,11 z (1 0,01 2 ) 22, µ 38,11 + z (1 0,01 2 ) 22, ,11 2,58 0,71 µ 38,11 + 2,58 0,71 36,28 µ 39,94 Mit einer Wahrscheinlichkeit von 99% liegt das Durchschnittsalter der bundesdeutschen Bevölkerung zwischen 36,28 und 39,94 Jahren.

18 Die Standardabweichung der Stichprobenmittelwerteverteilung σ x = σ/ n kann nur berechnet werden, wenn die Varianz σ 2 bzw. die Standardabweichung σ bekannt ist. Wenn σ 2 bzw. σ nicht bekannt sind, wird die Varianz s 2 bzw. die Standardabweichung der Stichprobe s verwendet. Die Unterschätzung der Varianz in der Grundgesamtheit erfordert die Korrektur von s 2 um den Faktor n/(n 1): ˆσ 2 = s 2 n n 1 = n (x i x) 2 i=1 n n n 1 = n (x i x) 2 i=1 n 1 (6) Der Schätzwert für die Stichprobenvarianz s 2 unterscheidet sich vom Schätzwert für die Varianz der Grundgesamtheit σ 2 nur durch den Nenner (einmal dividiert durch n 1, einmal dividiert durch n). Bei großen Stichproben nähern sich beide Werte an.

19 Zur Bestimmung der wird nicht die z-verteilung, sondern die t-verteilung herangezogen. t-verteilungen haben wie Normalverteilungen einen glockenförmigen Verlauf, sind aber flacher und breiter. Man erhält eine t-verteilte Zufallsvariable, wenn die Differenz aus Stichproben- und Populationsmittelwert durch die Wurzel aus der Varianz der Stichprobe geteilt wird: T = x µ x Pn i=1 (x i x) 2 (7) n (n 1) Der zweite Nenner n 1 wird auch als Freiheitsgrad (degrees of freedom) bezeichnet und mit df abgekürzt. Die Form der t-verteilung ist demnach abhängig vom Stichprobenumfang bzw. vom Freiheitsgrad.

20 t-verteilungen in Abhängigkeit vom Freiheitsgrad t(df=1) t(df=4) t(df=29) N(0;1) Je größer n ist, desto näher liegt die t-verteilung an der Normalverteilung.

21 Das Konfidenzintervall erhält man durch Einsetzen der t-werte: ˆσ x t (1 α 2 ;n 1) n } {{ } untere Grenze µ ˆσ x + t (1 α 2 ;n 1) n } {{ } obere Grenze (8) Beispiel: Stichprobe n = 81 mit x=38,75 Jahre und s 2 = 423, 1249 Nach Gleichung 6 erhält man als Schätzer für die Standardabweichung in der Grundgesamtheit: ˆσ = 423, = 20, 7Jahre 80 Frage: Wie hoch ist das Konfidenzintervall für den Altersdurchschnitt der Bevölkerung in der Grundgesamtheit, wenn die Irrtumswahrscheinlichkeit α = 0, 05 beträgt?

22 20,7 38,57 t (1 0,05 ;81 1) 2 81 µ 38,57 + t (1 0,05 2 ;81 1) 20, ,57 t (0,975;80) 20,7 81 µ 38,57 + t (0,975;80) 20, ,57 1,990 2,3 µ 38,57 + 1,990 2,3 33,99 µ 43,15 Mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% liegt der Altersdurchschnitt in der Grundgesamtheit zwischen 33,99 und 43,15 Jahren. Auf Grund der geringen Fallzahl ist das Konfidenzintervall groß.

23 Beispiel: ALLBUS 1994: n = 745 ostdeutsche Befragte mit Einkommensangaben, Mittelwert x=1431,24 DM und geschätzter Streuung von σ = 755, 72 DM Frage: Wie hoch ist das Konfidenzintervall für den Einkommensdurchschnitt in der ostdeutschen Grundgesamtheit, wenn die Irrtumswahrscheinlichkeit α = 0, 01 beträgt? 1431,24 z (1 0,01 2 ) 755,72 µ 1431,24 + z 745 (1 0,01 2 ) 755, ,24 2,58 27,69 µ 1431,24 + 2,58 27, ,95 µ 1502,54 Mit einer Wahrscheinlichkeit von 99% liegt der Einkommensdurchschnitt in der ostdeutschen Grundgesamtheit zwischen 1359,95 DM und 1502,54 DM.

24 Der Anteilswert θ bezieht sich auf die Binomialverteilung in Stichproben. Die Bildung eines Konfidenzintervalls für Anteilswerte entspricht der Vorgehensweise bei den Mittelwerten. Werden viele Stichproben vom Umfang n gezogen, dann erhalten wir für die Anteilswerte näherungsweise eine Binomialverteilung, die bei einem genügend großen n in eine Normalverteilung übergeht. Die Faustregel für ein genügend großes n lautet: n p (1 p) 9 Beispiel: Bei einem Anteilswert von p = 0, 07 und einer Stichprobe von n = 1250 erhält man 81,375.

25 Der Mittelwert in der Grundgesamtheit ist der Anteilswert θ. Die Standardabweichung in der Grundgesamtheit wird durch den Standardfehler des Anteilswertes σ p bestimmt. Zu bestimmen ist das Konfidenzintervall für den unbekannten Anteilswert θ der Grundgesamtheit: 1. z-transformation für die Anteilswerteverteilung: z = p θ σ p (9) 2. Einsetzen von z 1 α/2 als untere Grenze und z 1 α/2 als obere Grenze der Verteilung (hier exemplarisch für z 1 α/2 demonstriert): z 1 α/2 = p θ σ p z 1 α/2 σ p = p θ p z 1 α/2 σ p = θ p z 1 α/2 σ p = θ

26 3. Das Konfidenzintervall kann demnach folgendermaßen berechnet werden: p z (1 α 2 ) σ p } {{ } untere Grenze θ p + z (1 α 2 ) σ p } {{ } obere Grenze (10) Der Standardfehler des Stichprobenanteilswertes σ p errechnet sich folgendermaßen: σ p = θ (1 θ) n (11) Je größer die Streuung in der Grundgesamtheit, um so breiter wir die Verteilung der Anteilswerte. Je größer der Stichprobenumfang, desto enger liegen die Stichprobenanteilswerte beieinander.

27 Da der Anteilswert der Grundgesamtheit θ nicht bekannt ist, wird σ p durch den Anteilswert in der Stichprobe geschätzt: p (1 p) ˆσ p = (12) n Wird ˆσ p statt σ p in die Gleichung 10 eingesetzt, erhält man: p (1 p) p z (1 α 2 ) } {{ n } untere Grenze θ p (1 p) p + z (1 α 2 ) } {{ n } obere Grenze (13)

28 Beispiel: Wenn der Stimmenanteil einer Partei (FDP) 7% beträgt und die Stichprobe n = 1250 beträgt, dann läßt sich das Konfidenzintervall bei α = 0, 05 folgendermaßen berechnen: 0,07 z (1 0,05 2 ) 0,07 0, θ 0,07 + z (1 0,05 2 ) 0,07 0, ,07 1,96 0,0072 θ 0,07 + 1,96 0,0072 0,0559 θ 0,0841 Der Stimmenanteil liegt mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% zwischen 5,6% und 8,4%.

29 Einfluß des Stichprobenumfangs (µ) Ist das berechnete Konfidenzintervall zu breit (und damit zu ungenau), dann sollte der Stichprobenumfang erhöht werden. Wie groß muß ein Stichprobenumfang sein, um eine bestimmte Genauigkeit der Schätzung zu erhalten? Für die Stichprobenmittelwerteverteilung beträgt die Konfidenzintervallbreite (KIB): KIB = 2 z 1 α σ x 2 = 2 z 1 α σ (14) 2 n

30 Wird diese nach der Stichprobengröße n aufgelöst, erhält man: KIB n = 2 z 1 α 2 σ 2 z 1 α σ n = 2 KIB 4 z1 2 n = α σ 2 2 KIB 2 (15) Frage: Wie groß muß die Stichprobe der ostdeutschen Befragten sein, um den Mittelwert µ des Einkommens mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 1% und einer KIB von 100/50 DM zu schätzen? Bekannte Größen: z 1 0,01/2 = 2,58 und ˆσ = 755,72 DM

31 Für KIB = 100 DM erhält man: n = 4 2, , = 1520,62 Für KIB = 50 DM erhält man: n = 4 2, , = 6082,49 Für eine Konfidenzintervallbreite von 100 DM/50 DM liegt der notwendige Stichprobenumfang bei 1521/6082 Personen. Allgemein gilt: Die Stichprobengröße muß viermal höher sein, wenn die Genauigkeit verdoppelt werden soll.

32 Einfluß des Stichprobenumfangs (θ) Für die Verteilung der Anteilswerte beträgt die Konfidenzintervallbreite (KIB): KIB = 2 z 1 α σ p 2 θ (1 θ) = 2 z 1 α 2 n (16) Wird diese nach der Stichprobengröße n aufgelöst, erhält man: n = 4 z1 2 α θ(1 θ) 2 (17) KIB 2 Ist der Anteilswert in der Grundgesamtheit θ nicht bekannt, wird der Anteilswert der Stichprobe p zur Schätzung herangezogen.

33 Frage: Wie groß muß die Stichprobe der Wähler sein, um den Anteilswert θ mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 1% und einer KIB von 0,02/0,01 Prozentpunkte zu schätzen? Bekannte Größen: z 1 0,01/2 = 2,58 und Anteilswert p = 0,07 (bezogen auf die FDP-Wähler) Für KIB = 0,02 erhält man: n = 4 2,582 0,07 (1 0,93) = 326,16 Für KIB = 0,01 erhält man: n = 4 2,582 0,07 (1 0,93) = 1304,65 Für eine Konfidenzintervallbreite von 0,02/0,01 Prozentpunkte liegt der notwendige Stichprobenumfang bei 326/1305 Personen.