Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.85

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1 Schätzverfahren Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.85

2 Schätzverfahren Ziel von Schätzverfahren: Ausgehend von Stichproben Aussagen über Populationskennwerte machen Kenntnis der Abweichung des Schätzwertes vom Populationswert Quantifizierung der Sicherheit und Unsicherheit der Schätzung Zwei unterschiedliche Herangehensweisen Punktschätzung Intervallschätzung Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.86

3 Punktschätzung Ziel der Punktschätzung ist es, den Stichprobenkennwert herauszufinden, der den Populationskennwert am besten schätzt. Jeder Schätzwert muss 4 Kriterien erfüllen: Erwartungstreue Konsistenz Effizienz Exhaustivität Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.87

4 Erwartungstreue Ein statistischer Kennwert schätzt einen Populationsparameter erwartungstreu, wenn das arithmetische Mittel der Kennwerteverteilung bzw. deren Erwartungswert dem Populationsparameter entspricht. [Bortz, 1999, 95] x ist ein erwartungstreuer Schätzer für den Populationsmittelwert µ s 2 schätzt die Populationsvarianz σ 2 nicht erwartungstreu Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.88

5 Konsistenz Von einem konsistenten Schätzwert sprechen wir, wenn sich ein statistischer Kennwert mit wachsendem Stichprobenumfang dem Parameter, den er schätzen soll, nähert [Bortz, 1999, 96] Sowohl x als auch s 2 sind konsistente Schätzer Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.89

6 Effizienz Je größer die Varianz der Stichprobenkennwerteverteilung, desto geringer ist die Effizienz des entsprechenden Schätzwertes [Bortz, 1999, 96] Sowohl x als auch s 2 sind effiziente Schätzer Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.90

7 Suffizienz Ein Schätzwert ist suffizient oder erschöpfend, wenn er alle in den Daten einer Stichprobe enthaltenen Informationen berücksichtigt, so daß durch Berechnung eines weiteren statistischen Kennwertes keine zusätzliche Information über den zu schätzenden Parameter gewonnen werden kann. [Bortz, 1999, 97] Sowohl x als auch s 2 sind suffiziente Schätzer Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.91

8 Schätzung des Mittelwertes Als Schätzer des Populationsmittelwertes µ wird der Stichprobenmittelwert x herangezogen Jeder einzelne Stichprobenmittelwert x kann als Realisation der Zufallsvariablen X angesehen werden. Abweichung des Stichprobenmittelwertes vom Populationsmittelwert: Stichprobenfehler e i = µ x i Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.92

9 Beispiel: Mittelwertschätzung Nehmen wir an, wir haben eine Grundgesamtheit von 100 Studenten, die in der Mensa einen Salat an der Salattheke kaufen. Der Salatteller wiegt in der Grundgesamtheit im Durchschnitt µ =257,4 Gramm bei einer Standardabweichung von σ =165,1. Stichprobe der Größe 40 Stichprobe der Größe 70 x = 270, 2 e 1 = 12, 8 x = 255, 9 e 2 = 1, 5 Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.93

10 Standardfehler des Mittelwertes Der Standardfehler des Mittelwertes (abgekürzt σ x) ist als die Standardabweichung der Mittelwerte von gleich großen Zufallsstichproben einer Population definiert [Bortz, 1999, 89] σ x = σ 2 n = σ n mit σ x = Standardfehler des Mittelwertes σ = Standardabweichung in der Grundgesamtheit n = Umfang der Stichprobe Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.94

11 Schätzung des Standardfehlers Da meistens sowohl die Populationsvarianz als auch der Populationsmitelwert unbekannt sind, müssen zur Berechnung des Standardfehlers beide geschätzt werden. Problem: Varianz der Stichprobe ist kein erwartungstreuer Schätzer Populationsvarianz wird um (n 1)/n unterschätzt Korrektur der Schätzung um n/n 1 notwendig σ 2 = n i=1 (x i x) 2 n n n 1 = Geschätzter Standardfehler: σ σ x = 2 n = σ n n i=1 (x i x) 2 n 1 Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.95

12 Beispiel: Mittelwertschätzung Aus einer Grundgesamtheit von 100 Personen, die in der Mensa an der Salattheke einen Salat kaufen, wurde eine Stichprobe von n=40 gezogen. Stichprobenkennwerte: x = 270, 2 s 2 = 161, 2 2 = 25985, 4 Geschätzte Populationswerte: µ = 270, 2 σ2 = s 2 n (n 1) = 25985, = 26651, 2 σ = σ2 = 26651, 2 = 163, 3 σ x = σ n = 163,3 40 = 25, 8 Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.96

13 Beispiel: Mittelwertsverteilung Eine Grundgesamtheit von 100 Studierenden kauft in der Mensa einen Salat. Aus dieser Grundgesamtheit werden 500 bzw Stichproben gezogen und die jeweiligen Mittelwerte des Salatgewichtes berechnet. Population: Keine Normalverteilung 500 Stichprobenmittelwerte: etwas normalverteilt 5000 Stichprobenmittelwerte: Eindeutig normalverteilt Verteilung in der Population 500 Stichproben 5000 Stichproben Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit Gewicht des Salattellers Stichprobenmittelwert Stichprobenmittelwert Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.97

14 Das zentrale Grenzwerttheorem Die Verteilung von Mittelwerten aus Stichproben des Umfanges n, die sämtlich aus der selben Grundgesamtheit entnommen wurden, geht mit wachsender Zahl der Stichproben in eine Normalverteilung über. Unabhängig von der Verteilung des Merkmals in der Population kann eine Normalverteilung der Stichprobenmittelwerte schon ab einer Stichprobengröße von n 30 angenommen werden. Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.98

15 Konfidenzintervalle Verteilung von Mittelwerten: Normalverteilung Streuung der Mittelwerte geschätzt als σ x Die Eigenschaften der Normalverteilung ermöglichen es, Konfidenzintervalle zu einer Schätzung anzugeben und damit die Unsicherheit der Schätzung zu quantifizieren: p(( x σ x ) µ ( x + σ x )) = 0, 68 p(( x 1, 96 σ x ) µ ( x+1, 96 σ x )) = 0, 95 p(( x 2, 57 σ x ) µ ( x+2, 57 σ x )) = 0, 99 Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.99

16 Beispiel: Intervallschätzung Aus einer großen Lieferung abgepackter Kartoffeln werden 40 Säcke zufällig entnommen und folgende Gewichte notiert: x i n x i x (x i x) 2 9,5 4 9,6 4 9, ,2 4 10,4 4 10,5 4 Wie lautet das 95 % Konfidenzintervall für das durchschnittliche Gewicht der Kartoffelsäcke? Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.100

17 Intervallschätzung: Prozentsätze Bei Vorliegen von nominalen oder ordinalen Daten kann kein arith. Mittel berechnet werden. Vielmehr interessieren prozentuale Anteile der Kategorien (Beispiel: Wahlumfragen). Voraussetzungen der Intervallschätzung sind erfüllt: Prozentsatz in der Stichprobe schätzt den Populationsprozentsatz erwartungstreu, konsistent, effizient und erschöpfend Stichprobenprozentsätze sind angenährt normalverteilt, wenn p q n 9 Standardfehler kann geschätzt werden Anmerkung: p = Anteil des Merkmals, z.b. 0,2 q = 1 -p, z.b. 0,8 n = Stichprobengröße, z.b. 60 Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.101

18 Standardfehler von Prozentsätzen Bezeichnet man den Prozentsatz einer Ausprägung des interessierenden Merkmals in der Grundgesamtheit mit π, wird der Standardfehler des Prozentsatzes σ P wie folgt berechnet: σ % = π (100 π) n Bei unbekanntem π Schätzung des Prozentsatzes durch Stichprobenkennwerte: σ % = P (100 P ) n = P Q n Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.102

19 Beispiel: Prozentschätzung Bei einer Meinungsumfrage unter n=500 zufällig ausgewählten Personen haben sich 35 % für Partei A ausgesprochen. Gesucht ist das 99 % Konfidenzintervall. 1. Normalverteilungsannahme kann getroffen werden: p q n = 0, 35 0, = 113, Standardfehler für 35 %: σ % = P Q n = 35 % 65 % 500 = 2, 13 % 3. Gesuchter z-wert für 99 %: z = 2, % Konfidenzintervall: P z σ % π P + z σ % 35 % 2, 58 2, 13 π 35 % + 2, 58 2, 13 29, 5 % π 40, 5 % Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.103

20 Stichprobenmindestgröße Möchte man eine vorgegebene Genauigkeit und Sicherheit der Schäzung erhalten, benötigt man eine Stichprobe einer bestimmten Mindestgröße. Die Berechnung der Stichprobenmindestgröße erfolgt nach folgenden Formeln: Bei Mittelwertschätzungen n z2 s 2 e 2 = Bei Prozentsatzschätzungen n z2 P (100 P ) e 2 = ( z s e ) 2 ( z ) 2 P (100 P ) e mit n = Umfang der Stichprobe s = Standardabweichung des interessierenden Merkmals e = einseitige Abweichung vom Populationswert (= halbe Breite des KI) z = z-wert des gewünschten Sicherheisniveaus P = prozentualer Anteil der Merkmalsausprägung Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.104

21 Fallzahl: Prozentschätzung In einer Wahlbefragung soll die Präferenz der Befragten für Kanzlerkanidaten S. bestimmt werden. Das 99 %ige Konfidenzintervall soll eine Breite von höchstens 5 Prozentpunkten haben. Wie groß muss die Stichprobe mindestens sein? Bei geschätzten 35% Zustimmung zu Kanidaten S. n ( 2, 58 ) 2 35 (100 35) = 2, 5 ( ) 2 123, 06 = , 5 Bei unbekannter Zustimmung zu Kanidaten S. n ( 2, (100 50) 2, 5 ) 2 ( ) = , 5 Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.105

22 Fallzahl: Mittelwertschätzung In einer Untersuchung soll der durchschnittliche wöchentliche Lernaufwand von Studentinnen und Studenten der Universität zu Köln geschätzt werden. Die Schätzung soll mit 95%iger Sicherheit erfolgen, das Konfidenzintervall wird auf maximal 90 Minuten begrenzt. Wie groß muss die Stichprobe mindestens sein, wenn wir eine Standardabweichung von s = 240 annehmen? n ( ) 2 1, = Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.106

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