André Maurer Wirtschaftsinformatik FH 2.5 Fachhochschule Solothurn, Olten

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1 Statstk Zusammefassug Adré Maurer Wrtschaftsformatk FH.5 Fachhochschule Solothur, Olte

2 Statstk Ihaltsverzechs adre.maurer.ame Ihaltsverzechs Tabelle ud Grafsche Darstelluge.... Tabelle.. Zahlemateral. Grafsche Darstellug Klasse ud Häufgket...4. Klasse- bzw. Gruppebldug 4. Häufgket bzw. Wahrschelchket 5.. Häufgket 5.. Wahrschelchket 5..3 Häufgketsvertelug bzw. fukto (Dchtefukto) 6..4 Summehäufgketsvertelug 6 3 Statsche Messzahle Lage des Zetrums 6 3. P-Quatle (Prozet-Quatle) Streuug Boxdagramm Fehlerdagramm svolle Geaugket; Rude 6 4 Grudbegrffe der Statstk Grudgesamthet 6 4. Stchprobe Zufallsvarable Urlste Zufällge ud sstematsche Fehler 6 5 Idexzahle Verhältszahle (Proportoe) 6 5. Idces Wertdex Efacher Summedex Idces ach Lasperes ud Paasche Verkettug; Verküpfug; Umbaserug Ladesdex der Kosumeteprese 6 6 Darstellug der Natoal-Ökoome...6 zf_statstk.doc Sete I

3 Statstk Ihaltsverzechs adre.maurer.ame 6. Lorezkurve 6 6. Elastztätskoeffzete 6 7 Korrelato ud Regresso Korrelatoskoeffzet Ragkorrelatoskoeffzet 6 7. Regresso Methode der kleste Quadrate Regressosgerade Expoetelle Regressoskurve Zetrehe ud Tredaalse 6 8 Vertelug ud Smulato Glechvertelug Häufgketsvertelug ud Vertelfukto Mttelwert ud Varaz der Glechvertelug 6 8. Beroullvertelug Mttelwert ud Varaz für Beroullvertelug Bomalvertelug Mttelwert ud Varaz für Bomalvertelug Normalvertelug 6 9 Schätze vo Parameter (Itervallschätzug) Pukteschätzug* 6 9. Itervallschätzug Vertrauestervall für de Mttelwert Statstsche Qualtätskotrolle* 6 0 Prüfe vo Hpothese Test vo Mttelwerte Allgemees Vorgehe Testrezepte 6 Plaug vo Stchprobe...6. Schätzug des Stchprobeumfags 6 Lteraturverzechs Abbldugs-, Tabelle- ud Formelverzechs...6 * Ke Prüfugsstoff zf_statstk.doc Sete II

4 Statstk adre.maurer.ame Defto Uter Statstk verstehe wr das Sammel ud Iterpretere vo Zahle, um Hpothese zu fde ud zu überprüfe. Tabelle ud Grafsche Darstelluge. Tabelle Quelletabelle Orgaldate / Rohdate vollstädg ugekürzt, oftmals cht veröffetlcht; Atworte aus Befragug. Aussagetabelle Ergebsse ud Auswertuge sd zusammegefasst. De Aussagetabelle ethält ur och ee Auswahl vo Date. Grudsätze - Tabelleaufbau Ihalt ehetlch dargestellt Lech verstädlcher Tabellekopf be brete Tabelle Aschrft der Zele am Afag ud am Ede Be grössere Tabelle sollte eer egee Zele de ezele Spalte ummerert werde. Be mehrdmesoale Tabelle (sehe Kaptel..) wrd durch ee saubere Gestaltug des Tabellekopfes deutlch, was Total- ud was Telzahle sd. Klare ud edeutge Überschrfte Tabelle, de ur Verhältszahle ethalte vermede (ausser be Dateschutz oder Gehemhaltug) Gaze Zeträume (z.b. Jahrzeht) Summe für bestmmte Zeträume (z.b. Quartalsumsatz) I jeder Zelle muss ee Zahl oder e Zeche stehe ( - kee Zählehet; 0 Wert st ull;. Zahleagabe cht möglch, begrfflche Voraussetzuge fehle; * Zahl cht bekat oder cht erhobe... Zahlemateral Edmesoales Zahlemateral Ee ezele statsche Grösse (Zufallsvarable) wrd betrachtet Spalte ud belebg vele Zele oder Zele ud belebg vele Spalte. Bespel Raglste: Schuhmacher Häke 3 Freze Tabelle : Edmesoales Zahlemateral zf_statstk.doc Sete

5 Statstk adre.maurer.ame Zwedmesoales Zahlemateral der Marktforschug sprcht ma auch vo Kreuztabelle Bezug zwsche zwe Grösse Bespel Marktforschug: Datum Tachometer Gefahree km Bez (l) Betrag (CHF) Tabelle : Zwedmesoales Zahlemateral Dre- ud Mehrdmesoales Zahlemateral der Marktforschug sprcht ma auch vo Kreuztabelle Bezug zwsche mehrere Grösse Bespel Persoalstatstk: Alter Total Mäer Fraue Total davo Total davo ledg verh gesch. ledg verh gesch Tabelle 3: Dre- ud Mehrdmesoales Zahlemateral. Grafsche Darstellug Grudsätze Statstker verstehe uter Veraschaulchug etwas Schörkelloses. Grafker versuche m Gegesatz Dagramme mt Smbole, Htergrudblder, Fotos, 3D-Ascht etc. auszuschmücke. Um lecht terpreterbare Dagramme zu erstelle sd folgede Grudsätze ezuhalte: Iformerede Grafk darf kee störede Elemete we Smbole ethalte Gestaltugselemete de ableke ud verwrre sd zu reduzere (3D, Schraffure, Zerschrfte etc.) D-Darstellug st de 3D-Darstelluge vorzuzehe Darstellug vo Grösse durch Volumeveräderug (z.b. Quader) sd zu vermede, da dese mestes Irreführe Achse sd möglchst vom Nullpukt aus zu zeche (kee Stauchug) Werde Achse cht vom Nullpukt gezechet st des zu markere Achsemassstäbe dürfe cht wllkürlch verzerrt werde Darstellugsform gut überlege prägate, edeutge Beschrftug zf_statstk.doc Sete

6 Statstk adre.maurer.ame Arte vo Grafscher Darstellug Grafsche Nägel (Spkes) Ezele Werte aus edmesoalem Zahlemateral, eem beschräkte, überschaubare Wertterwall werde auf der Zahlegerade agekreuzt. Kres- oder Tortedagramme Eget sch ur zur Darstellug kleer Datemege vo edmesoale Zahle ud lefert ee Verhältsdarstellug. Säule- ud Balkedagramme Säuledagramme werde auch Hstogramme geat Vertkal; Balkedagramme Horzotal. Bede ege sch für e- ud mehrdmesoale Zahle. Umfagreche Date werde zur Klassebldug zusammegefasst. Le- ud Flächedagramme De ezele Werte werde als Pukte über der X-Achse abgetrage. Ege sch für grosse Datemege. Puktdagramme. Spezalart vo Legrafk, be der ur de Pukte gesetzt werde.. Spezalart der Säulegrafk, be der Säule aus eer gazzahlge Azahl Pukte gebldet wrd. Gatt-Dagramm Spezalform des Balkedagramms für Zetplaug. Ncht alle Balke bege be 0 Kartedagramme Werde vor allem für VWL ud Geographe beötgt. Werte ( Form vo Balke) werde eer Ladkarte egezechet. M-Max-Close-Darstellug sogeate Wertpaper-Grafk. z.b. für ee Akte: we Puktedagramm für verschedee Tage. Pro Tag wrd e sekrechter Balke zur llustrato des Tages-Max-Wert ud Tages-M-Wert egetrage. Polardagramme Spezalform der Ledagramme. We ee der darzustellede Grösse perodsch st. We grosse Werte de Grafk bestmme (z.b. be expoetellem Wachstum) müsse de Y-Werte logarthmsch trasformert werde. Dazu werde alle Werte mt dem atürlche Logarthmus (l) berechet. De Höhe ergbt sch aus der Dfferez des höchste Logarthmuswert - darzustelleder Logarthmuswert. zf_statstk.doc Sete 3

7 Statstk adre.maurer.ame Numersche ud chtumersche Date Mttelwerte cht erlaubt Messgrösse Mttelwerte erlaubt Name Beschreb Bespel omalskalert ordalskalert tervallskalert verhältsskalert der Rehefolge vertauschbar Es herrscht Ordug; es darf cht vertauscht werde; de ere Ordug blebt. Ne Kresdagramme darstelle, da dort kee ere Ordug herrscht Der Abstad st mmer glech, jedoch ka der Wert cht verdoppelt werde Glecher Abstad ud Wert ka verdoppelt werde Tabelle 4: Numersche ud cht umersche Date Leblgsauto, -farbe; Raucher/Nchtraucher Bewertugsboge mt Auswahl: e, selte, häufg, mmer (Abstad st cht überall glech, z.b. zwsche selte ud häufg st cht glech we zwsche e ud selte) Jahreszahle (tervall vo 5 Jahre), Grad mt Itervall vo 5 Celsus (0 st cht doppelt so warm we 0, da Celsus ud Fahrehet cht glech bege) Klogramm mt Itervall vo 0kg (40kg sd doppelt sovel we 0 kg) Klasse ud Häufgket. Klasse- bzw. Gruppebldug We de Azahl a Werte eer Quelletabelle zu gross wrd, werde Klasse gebldet, um das Zahlemateral zu reduzere. Ee Klasse st durch ee Ober- ud Utergreze abgegrezt. Begrffe K Azahl Klasse u / o utere, obere Klassegreze o - u Klassebret Klassemtte j Absolute Häufgket (Azahl Werte der etsprechede Klasse) f j Relatve Häufgket (Azahl Werte der etsprechede Klasse verglche a der Azahl Werte über alle Klasse) zf_statstk.doc Sete 4

8 Statstk adre.maurer.ame Grudsätze De Azahl a Klasse st auf 0-0 begrezt De Klassemtte sollte e efacher Zahlewert se De Klassebrete st für alle Klasse glech gross De Klassegreze sollte so gelegt werde, dass kee Werte der Quelletabelle darauf falle köe. Be gaze Zahle der Quelletabelle werde halbe Zahle als Klassegreze dee. (z.b. bem Zähle vo Persoe) Bespel: Klassemtte Klasse Strchlste Absolute Häufgket Relatve Häufgket Summehäufgket IIIII IIIII % IIIII II % III % IIIII III % Tabelle 5: Klasse. Häufgket bzw. Wahrschelchket.. Häufgket Häufgket Azahl vorkommeder Fälle k j j Formel : Absolute Häufgket k j f j Formel : relatve Häufgket.. Wahrschelchket Azahl güstger Fälle Wahrsche lchket bzw. Azahl möglcher Fälle Formel 3: Wahrschelchket p g Bespel: Um mt eem Würfel ee gerade Zahl zu würfel st de Wahrschelchket 3 / 6 ½ Dese Auswertuge werde gemacht, we z.b. erschtlch werde soll, we Häufg etwas etrtt. E Dagramm, das de Kummulerte Häufgkete darstellt et, ma Z- Grafk. Edwert _ des _ De Summefukto: Laufdex zu _ summeredes _ Elemet Startwert _ des _ Laufdex zf_statstk.doc Sete 5

9 Statstk adre.maurer.ame..3 Häufgketsvertelug bzw. fukto (Dchtefukto) Bespel: We vele % der Befragte Persoe m x-te Jahre ach dem erstmalge Computergebrauch ee egee Computer erwarbe. De grafsche Darstellug deser relatve Häufgkete ka eer Grafk dargestellt werde. E Säuledagramm et ma desem Falle Hstogramm, e Ledagramm Häufgketspolgo. kotuerlche / stetge Häufgketsvertelug De Zugrude legede Zufallsvarable st stetg, es sd auch Zwschewerte möglch (Massehete we Grösse, Temperature etc.). Dese werde oft eem Häufgketspolgo dargestellt. dskrete Häufgketsvertelug Zwschewerte fehle (es gbt ur Ezelwerte) De Zugrude legede Zufallsvarable hat ur dskrete Werte (z.b. Augesumme mt Würfel). Dese werde oft Hstogramme dargestellt...4 Summehäufgketsvertelug Bespel: We vele % der Befragte Persoe sgesamt BIS zum Jahr x ach dem erstmalge Computergebrauch ee Computer erwarbe de Zahle aus der Häufgketsvertelug müsse kumulert werde. De Summehäufgketsvertelug zegt de summerte relatve Häufgkete. zf_statstk.doc Sete 6

10 Statstk adre.maurer.ame 3 Statsche Messzahle 3. Lage des Zetrums Der Mttelwert setzt umersche Date voraus ud wrd stark durch extreme Ezelwerte (Ausresser) beeflusst. Arthmetsches Mttel gewöhlcher Mttelwert Formel 4: Arthmetsches Mttel Mttelwert be Klasse: j * j Formel 5: Arthmetsches Mttel be klasserte Date j Klassemtte j Azahl Werte der Klasse (absolut) Azahl Werte über alle Klasse Ncht awedbar be omal- ud ordalskalerte Date Gewchtetes Mttel Ncht mmer habe alle Werte, de zu eem Mttelwert betrage, de gleche Wchtgket. (z.b.: Ladesdex, Schulote) g * g Formel 6: Gewchtetes Mttel Ncht awedbar be omal- ud ordalskalerte Date Geometrsches Mttel Bevorzugt de klee Werte (relatvert se) geom. Mttel st kleer als Arthm. Mttel. Bespel: Mttlerer Zssatz *...* G * Formel 7: Geometrsches Mttel Ncht awedbar be omal- ud ordalskalerte Date Berechug auf TR vo : INV x zf_statstk.doc Sete 7

11 Statstk adre.maurer.ame Zetralwert (Meda) Nmmt de mttlere Wert (gemesse a der Azahl a Gesamtwerte) Awedug: we e ezeler Wert das arthmetsche Mttel stark stegert, sagt das arthmetsche Mttel cht mehr de Wrklchket aus. Bespel: Mttlerer Loh pro Moat (P 00, P 300, P3 400, P4 500, P5 00'000) Arthmetsches Mttel wäre 0'400 Zetralwert/Meda 400. Falle zwe Werte auf de Meda (be eer gerade Azahl a Werte) wrd vo dese bede der Mttelwert (arthm. Mttel berechet). Ncht awedbar be omalskalerte Date Modus (häufgster Wert) Ma zählt welcher Wert am meste vorkommt. Bespel: Häufgste Studerchtug Be alle Date Awedbar, sbesodere be omalskalerte Date 3. P-Quatle (Prozet-Quatle) Verallgemeerug des Zetralwertes. De P-Quatle sd Prozetwerte de sage, we vel Werte uterhalb bzw. oberhalb des Zetrum lege. 0%-Quatl uteres Dezl D 5%-Quatl uteres Quartl Q 50%-Quatl Zetralwert Q 75%-Quatl oberes Quartl Q 3 90%-Quatl oberes Dezl D 9 P u + ( P p u ( ) * ( p o o u ) p ) Formel 8: Quatlberechug für klasserte Date u p gesuchtes Quatl zum Prozetwert P u utere Greze (Wert) der Klasse, der sch das Quatl befdet o obere Greze (Wert) der Klasse, der sch das Quatl befdet p u Atel aller Werte (rel. Häuf.) uterhalb der utere Klassegreze p o Atel aller Werte (rel. Häufgket) der obere Klassegreze P Prozetwert 3.3 Streuug Streubrete wrd auch Spawete, Varatosbrete, Rage geat b max m Formel 9: Streubrete Aussage Dfferez zwsche klestem ud grösstem Wert Awedug für Abschätzuge, Nachtel: Zahlemateral muss sortert werde. zf_statstk.doc Sete 8

12 Statstk adre.maurer.ame Stadardabwechug Aussage Abwechug der Ezelwerte vom Mttelwert (arthm. Mttel) Vorgehe Damt sch de Abwechuge gege ute ud obe cht gegesetg auflöse ud es cht zu eem Muswert kommt wrd der Wert quadrert ud weder mt der Wurzel aufgelöst. Formel ( ) oder s * Formel 0: Stadardabwechug (für Defto) Azahl a Werte vom -te Wert: Wert Mttelwert - be Stchprobe, asoste ur s * * Formel : Stadardabwechug (für Berechug) k Formel für Klasse s * j *( j ) Formel : Stadardabwechug mt Klasse (für Defto) oder s * k * j * k j * Formel 3: Stadardabwechug mt Klasse (für Berechug) j k Azahl Klasse j Absolute Azahl a Werte für Klasse j j Klassemtte für Klasse j Awedug be tervallskalerte ud ormalvertelte Varable. De Stadardabwechug wrd sehr häufg gebraucht. Varaz Stadardabwechug m Quadrat De Varaz st ke Streumass m egere S, da se cht de gleche Ehet we de Messwerte bzw. de Mttelwerte hat. zf_statstk.doc Sete 9

13 Statstk adre.maurer.ame Varatoskoeffzet Aussage es st das relatve Streumass Awedug we mt wachsedem Mttelwert auch de Stadardabwechug proportoal wächst s v Formel s bzw. v * 00 Formel 4: Varatoskoeffzet s Stadardabwechug Mttelwert wahrschelchster Fehler Wrd auch mttlerer Quartlsabstad geat Hälfte desjege Abstades, erhalb desse 50% aller Werte lege Formel w *( Q 3 Q ) Formel 5: Wahrschelchster Fehler 3.4 Boxdagramm Q / 3./3. Quartl Das Boxdagramm hat de gleche Idee we Fehlerdagramm. E Strch mt eem Pukt der Mtte ees Vereckes zegt de Zetralwert a, de obere ud utere Le des Vereckes vsualsere das obere ud utere Quartl. E Querstrch am Ede vo der Le, de vom Vereck aus geht zegt das obere ud utere Dezl. Awedug be Ordalskalerte Date. Be Nomalskalerte Date verbote. Abbldug : Boxedagramm am Bespel Sterbealter zf_statstk.doc Sete 0

14 Statstk adre.maurer.ame 3.5 Fehlerdagramm Machmal st es wüscheswert, eem Dagramm (mestes Ledagramme) cht ur ee ezele Pukt ezutrage, soder grafsch azudeute, dass es sch um ee Mttelwert hadelt, der aus verschedee Ezelwerte gewoe worde st, ud demzufolge auch mt eer gewsse Streuug behaftet st (Darstellug ees Mttelwertes mt dem Rage für dese Klasse). De Darstellug glecht etwas dem M-Max-Close-Dagramm. Das Streumass wrd mt agegebe. Bespel: Mttlere Tagestemperatur der Mttelwert st der Hauptwert vo desem wrd aber auch och agezegt welches de höchste ud edrgste Temperatur pro Tag war. Abbldug : Fehlerdagramm am Bespel Mttlerer Tagestemperature 3.6 svolle Geaugket; Rude Grudsatz Grudsatz Ausrechuge mt grösstmöglcher Geaugket; Zwscheresultate cht rude. Schlussresultate werde svoll gerudet. 4 Grudbegrffe der Statstk 4. Grudgesamthet Jede Mege ka zu eer Grudgesamthet gemacht werde, we de zugehörge Problemstellug svoll st. De Grudgesamthet st de Mege der Ehete, vo dee Iformatoe gesammelt werde. Bespele: alle Studerede der FHSO Olte, alle FH-Studerede der Schwez, alle Auto fahrede Studerede der Deutschschwez,... zf_statstk.doc Sete

15 Statstk adre.maurer.ame 4. Stchprobe Für statstsche Umfrage wäre es oftmals zu teuer de Grudgesamthet zu erfasse. Stchprobe zufällge Auswahl aus der Grudgesamthet (sehe Kaptel ) 4.3 Zufallsvarable Vo Utersuchugsobjekte teressere ur gewsse Merkmale. Aus eer Stchprobe wrd auf de Vertelug ees Merkmals oder mehrerer Merkmale eer Grudgesamthet geschlosse. Wr utersuche also Merkmale, de dskreter oder kotuerlcher Art, qualtatver oder quattatver Natur se köe, de aber mmer das Resultat ees Zufalls bzw. ees Zufallsexpermetes sd. Jedes Merkmal hat bestmmte, möglche Auspräguge / möglche Werte. Bespel: We ma ee Müze wrft st de Zufallsvarable Y Y Kopf oder Y Zahl. 4.4 Urlste We Auspräguge vo Merkmale eem statstsche Expermet gesammelt werde, so werde de zugehörge Werte eer Tabelle (mestes Quelletabelle) zusammegefasst. Dese der Rehefolge hres Auftretes gesammelte Werte et ma Urlste. 4.5 Zufällge ud sstematsche Fehler Sstematsche Fehler Zufällge Fehler m Expermet bzw. Versuch st etwas cht Ordug: e Mess-, Verglechs, oder Erhebugsstrumet hat ee sstematsche Fehler z.b.: Falsche Massehet bem Leal, das Strecke msst. sd werteutrale Schwakuge der Ergebsse, de darauf zurückzuführe sd, dass zufällg Eregsse herausgegrffe werde, dass de betrachtete Zufallsvarable cht ur ee ezge Wert aehme ka, ud dass m Voraus cht bekat st, welche Werte se ammt. zf_statstk.doc Sete

16 Statstk adre.maurer.ame 5 Idexzahle Bespele: Ladesdex der Kosumeteprese, Swss Performace Idex SPI, Dow Joes Idex, Kkke-Idex Verhältszahle (Proportoe) Verhältszahle zege e Verhälts zweer Grösse zueader auf. Se werde oft auch Proportoe geat ud werde oft als Prozetwerte agegebe. Bespel: Bevölkerugsdchte We vele Persoe pro km Verhältszahle köe Glederugs- oder Bezehugszahle se. Glederugszahle (Atel) Atel am Gaze. Glederugszahle stehe derart zueader Bezehug, dass de Zählergrösse e Tel der Neergrösse st. Se werde auch Atel geat. Bespele: Atel Autos am gesamte Fahrzeugbestad der Schwez; Atel der Steuer a de Budeseahme. Probleme: We sch bede Varable glech veräder gbt es kee Veräderug der Glederugszahl. Zusammesetzug vo Glederugszahle st verschedee Läder/Orgasatoe verschede dadurch st ke drekter Verglech möglch. Bezehugszahle Zahle, de zwsche Werte gaz verschedeer Art ee Bezehug herstelle. Bespel: Bevölkerugsdchte (Persoe Fläche), Autodchte (Autos Persoe). 5. Idces Idces (Idexe) zege de Etwcklug mehrerer Grösse über ee bestmmte Zetraum. (z.b. Kosumetepresdex). Im wsseschaftlche Berech gbt es dre Idexarte: Presdces Veräderug der Prese ohe Berückschtgug der Megeveräderug Megedces Veräderug der Mege ohe Berückschtgug der Presveräderug Wertdces Veräderug vo Pres ud Mege zf_statstk.doc Sete 3

17 Statstk adre.maurer.ame Probleme mt Idces: Zusammesetzug des Warekorbes was wrd gemesse? Gewchtug der Güter m Warekorb z.b. st Brot wchtger als Ber? Werde Veräderuge des Warekorbes oder der Gewchtug berückschtgt? Welches st das Bassjahr Welcher Wert st 00%? 5.. Wertdex Wert ees Gutes Pres pro Ehet * Mege Formel 6: Wert ees Gutes Der Wertdex st e Verglech der summerte Werte eem Warekorb Wertdex 00/Warekorbwert * Warekorbwert Formel 7: Wertdex Problem: es st cht erschtlch was de Idex beeflusst (Mege- oder Presveräderug) 5.. Efacher Summedex Das Problem bem Wertdex ka durch Gewchtug der Prese ud Mege besetgt werde. Der Wertdex bezeht sch auf de Werte der Warekörbe, währed der Summedex de Werte der ezele Artkel aufzegt. Warekorbpres /Warekorbpres Presverhälts Warekorbmege /Warekorbmege Megeverhälts Problem: Zegt ur Etwcklug der Prese pro Ehet der produzerte, verkaufte, gehadelte oder kosumerte Güter. Dass Kude auf e Ersatzprodukt ausweche wrd cht berückschtgt. Ölsorte A B C D Summe Idces Pres CHF/t p * * p Mege t q * * q 4 9 Wert CHF p 0 * q p * q % 3 Tabelle 6: Wertdex p / p % 4 q / q % 5 Tabelle 7: efacher Summedex 0 Bassjahr, Berchtsjahr 3 Warekorbwert des Berchtsjahres gegeüber dem Bassjahr 4 Presverhälts (Pres des Berchtsjahres gegeüber dem Bassjahr) 5 Megeverhätls (Mege des Berchtsjahres gegeüber dem Bassjahr) zf_statstk.doc Sete 4

18 Statstk adre.maurer.ame 5..3 Idces ach Lasperes ud Paasche Das Problem bem efache Summedex wrd durch de Methode vo Lasperes ud Paasche besetgt. Se berückschtge dabe de Umsatz (Mege) Lasperes: Gewcht Mege / Prese des Bassjahres Presdex Warekorb-Σ(Pres *Mege 0 )/Warekorbwert 0 *00 Etwcklug des Wertes we Mege Berchtsjahr Mege Bassjahr Megedex Warekorb-Σ(Pres o *Mege )/Warekorbwert 0 *00 Etwcklug des Wertes we Pres Berchtsjahr Pres Bassjahr Vortel: Zu jedem Zetpukt wrd mt gleche Grösse gewchtet verschede Jahre köe verglche werde. Nur für de Vergagehet geau. Paasche: Gewcht Mege / Prese des Berchtjahres Presdex Warekorbwert /Warekorb-Σ(Pres 0 *Mege )*00 Etwcklug des Wertes we Mege Bassjahr Mege Berchtsjahr Megedex Warekorbwert / Warekorb-Σ(Pres *Mege o )*00 Etwcklug des Wertes we Pres Bassjahr Pres Berchtsjahr Vortel: Gewchte mmer aktuelle Grösse Gegewartskorrekt Nachtel: Oftmals st es schwer de aktuelle Umsatzmege festzustelle 5..4 Verkettug; Verküpfug; Umbaserug Oftmals wll ma Idces verschedeer Läder / Orgasatoe vergleche. Des st aber cht möglch we verschedee Jahre de Bass blde oder verschedee Gewchtuge oder Warekörbe vorlege. Mttels Verkettug, Verküpfug ud Umbaserug köe dese Idces verglche werde: Verkettug: Verglech vo Idces mt verschede gewchtete Warekörbe. Jahr Lohdex A Lohdex B Wetergeführter Lohdex A Rechug * 99/ *0/ *06/00 Tabelle 8: Bespel Verkettug zf_statstk.doc Sete 5

19 Statstk adre.maurer.ame Verküpfug: Verglech vo Idexwerte mt verschedee Warekörbe. Jahr Pres für Modell A Pres für Modell B Presdex für Modell A Presdex für Modell B Fktver Pres für Modell B Revd. Presdex Mod. B 0.0 4'500 00% 9' % 0. 3'800 84% 7' % '400 59% 00% % 0.3 4'650 86% % 0.4 3'800 70% % Tabelle 9: Bespel Verküpfug Umbaserug: Verglech vo Idexwerte mt verschedee Bassjahre. Jahr Idex Lad A Idex Lad B Durchgeh. Idex C Rechug *00/ *0/ *05/ *09/ *5/ *7/ *6/05 Tabelle 0: Bespel Umbaserug De prozetuale Äderug vo eem Jahr zum ächste ka verschede gerechet ud terpretert werde (z.b. Idex0 stegt auf Idex0): Idex0 Idex0 Veräderug Prozetpukte 00 * Idex0 / Idex0 Teuerug vom Jahr0 zum Jahr0 ( Umbaserug) dese Berechug st häufger gefragt Ladesdex der Kosumeteprese Be der Revso (eue Bass wrd festgelegt) wrd ebe der Neuerfassug der Prese auch de Gestaltug des Warekorbes ud de Gewchtug geädert. Der Ladesdex der Kosumeteprese st e Presdex ach Lasperes Er wrd mttels Stchprobe erhobe Der Warekorb 993 st folged egetelt (skede Gewchtug): Wohugsmete/Hezug ud Beleuchtug Nahrugsmttel ud Geträke ud Tabakware Übrge Ware ud Destlestuge Verkehr ud Kommukato Körper- ud Gesudhetspflege Uterhaltug/Erholug/Bldug/Kultur Wohugserchtug Bekledug Der Warekorb st herarchsch aufgebaut Bedarfsgruppe Waregruppe Artkelgruppe Artkel der Gruppe Bsp.: Bekledug Kleder Herrekleder Azüge zf_statstk.doc Sete 6

20 Statstk adre.maurer.ame 6 Darstellug der Natoal-Ökoome 6. Lorezkurve De Lorezkurve st de grafsche Darstellug vo eer uglechmässge Vertelug Bsp. Das Ekomme der Steuerpflchtge: de 0% mt dem grösste Ekomme trage 50% zu dem gesamte Steuerekomme be, de 0% mt dem kleste Ekomme trage ur 0% zu dem gesamte Steuerekomme be. Glechvertelug bedeutet, dass z.b. klee Ekomme auch klee Beträge zum Steuerertrag leste müsse, grosse Ekomme dagege ee grosse Betrag abgebe müsse ( der Grafk wrd se durch ee Gerade vom Mmum zum Maxmum dargestellt). Abbldug 3: Lorezkurve am Bespel Ekomme ud Steuerpflchtge 6. Elastztätskoeffzete Der Elastztätskoeffzet (auch Elastztät geat) st ee Quote (Bezehugszahl) de auf spezelle Art abgebldet wrd. Preselastztät der achgefragte Mege: relatve Megeäderug ( %) der achgefragte Mege relatve Presäderug ( %) der achgefragte Mege E 0 vollkomme uelastsche Nachfrage; De Mege ädert sch cht, we sch der Pres ädert E > elastsche Nachfrage; Pres -> Umsatz / Pres -> Umsatz E < uelastsche Nachfrage; Pres -> Umsatz / Pres -> Umsatz E dfferete Nachfrage; Pres -> Umsatz / Pres -> Umsatz E 8 vollkomme elastsche Nachfrage zf_statstk.doc Sete 7

21 Statstk adre.maurer.ame Ekommeselastztät der achgefragte Mege: relatve Megeäderug ( %) der achgefragte Mege relatve Ekommesäderug ( %) Preselastztät der agebotee Mege: relatve Megeäderug ( %) der agebotee Mege relatve Presäderug ( %) der agebotee Mege Kreuzpreselastztät: relatve Megeäderug ( %) des achgefragte Gutes X relatve Presäderug ( %) des achgefragte Gutes Y 7 Korrelato ud Regresso Zwedmesoales Zahlemateral Zwe Zahlerehe zwsche dee ee Abhäggket besteht (z.b. Grösse Gewcht; Ausbldug Ekomme) (sehe Kaptel..) Grafsche Darstellug vo zwedmesoalem Zahlemateral Geget sd Ledagramme oder e zwedmesoales Koordateetz (auch Pukteschwarm, Streudagramm oder Scatter Plot geat). Leare Bezehug/Fukto de Pukte lege auf eer Gerade Nchtleare Bezehug / Fukto de Pukte lege cht auf eer Gerade Polomale Bezehug Expoetelle Bezehug I der Statstk trfft ma mestes kee mathematsch beschrebbare Puktezusammesetzug m Koordateetz soder ee Pukteschwarm, der sch aäherugswese, mehr oder weger deutlch, lägs eer Gerade, ees Poloms, eer Expoetalkurve gruppert. We zwsche zwe Grösse mathematsch ud grafsch e Zusammehag besteht sprcht ma vo eer Assozato oder Korrelato (oder vo verbudee Zufallsvarable). Ee Gerade oder Kurve durch de Pukte st ee Regressosgerade/-kurve. zf_statstk.doc Sete 8

22 Statstk adre.maurer.ame zf_statstk.doc Sete 9 7. Korrelatoskoeffzet Der Korrelatoskoeffzet (r x )st ee Masszahl, de de Grad a Verbudehet zwsche zwe Werte ausdrückt. Bespel: Der Korrelatoskoeffzet 0.3 zwsche dem zwedmesoale Zahlemateral Grösse Gewcht sagt aus, dass das Gewcht zu 30% vo der Grösse abhägg st. Der Rest st z.b. durch Erährug, Vererbug, Sport bedgt. De Korrelato (auch Assozato geat) ka auch graphsch dargestellt werde. Dazu werde leare ud cht leare Bezehuge vo zwedmesoale Date dargestellt. Mestes resultert de Korrelato eem Ledagramm oder eem Pukteschwarm. Ee Gerade oder ee allgemee Kurve durch de Pukte et ma Regressosgerade bzw. Regressoskurve. x x x x x r ) ( * ) ( ) ) *( ( Formel 8: Korrelatoseffzet Deftosformel * * * * * * x x x x x r Formel 9: Korrelatoseffzet - Praxsformel Korrelatoseffzet st: Zwsche ud + der Korrelatoseffzet st defert + / - de Pukte lege auf eer Dagoale + ach rechts asteged - ach rechts falled 0 ke learer Zusammehag Korrelato + Korrelato 0 Korrelato - Quadratsche Korrelato Korrelatoskoeffzet ubestmmt Korrelatoskoeffzet ubestmmt Abbldug 4: Korrelatoe

23 Statstk adre.maurer.ame 7.. Ragkorrelatoskoeffzet Der Korrelatoskoeffzet st empfdlch auf ezele, grosse Werte (Ausresser). Um ee empfdlchere Masszahl zu erhalte, werde de ezele Werte durch Ragzahle ersetzt (der schlechteste Werte ergbt de Rag, der beste de Rag ) d a b r s a b Wert der Zufallsvarable a mt dem Rag Wert der Zufallsvarable b mt dem Rag 6* d *( ) Formel 0: Ragkorrelatoskoeffzet ach Spearma r s 7. Regresso De Regresso st de best möglche Gerade oder Kurve, de ma durch de Puktemege mache ka. Das hesst, dass de Summe der Abwechuge vo der Gerade zu de Pukte mmal st. Währed de Korrelatosrechug de Stärke des Zusammehags zwsche zwe varable ermttelt, det de Regressosaalse dazu, de Art deses Zusammehags aufzudecke. 7.. Methode der kleste Quadrate Um de Abwechug vo der Gerade zu de Pukte zu bereche kommt de Methode der kleste Quadrate zum Zug. Dese st ählch der Stadardabwechug ud der Varaz (sehe Kaptel 3.3). Das Fehlermass st jedoch cht efach de Summe der Abstäde der Pukte vo der Gerade, soder de Summe der Quadrate der Höheabwechug der Pukte vo der Gerade. zf_statstk.doc Sete 0

24 Statstk adre.maurer.ame zf_statstk.doc Sete Abbldug 5: Regressosgerade mt Darstellug der kleste Quadrate x b a * + Mmum x b a ) * ( ) ( Formel : klestes Quadrate der Regresso a Starthöhe b Stegug Pukt auf der Regressosgerade/-kurve 7.. Regressosgerade Damt de Forderug der Methode der kleste Quadrate erfüllt st wrd folgede Formel verwedet um de Regressosgerade zu bereche: * * * * ) ( ) ) *( ( x x x x x x x x b x b a * Formel : Regressosgerade 7..3 Expoetelle Regressoskurve We ee expoetelle Regressoskurve vorlegt ka ma de Werte mt der Eulersche Zahl logarthmere ud erhält somt Werte, de ee leare Regressoskurve zulässt: x b a e e * * Formel 3: Expoetelle Regressoskurve e Eulersche Zahl (.788 ) a + b Parameter Durch Logarthmerug wrd daraus: x b a z * ) l( + ^ ^ ^ ^ a b b Stegug

25 Statstk adre.maurer.ame 7.3 Zetrehe ud Tredaalse We de uabhägge Zufallsvarable ee fortlaufede Jahreszahl st, da spreche wr cht efach vo eer Regresso, soder spezell vo eer Zetrehe. Statoäre Zetrehe Postve oder egatve Abwechug (der Orgaldate) vo der Tredgerade Perodsch statoäre Zetrehe We sch ee statoäre Zetrehe wederholt. Ampltude Der maxmale Wert der statoäre Zetrehe Tredle Zegt der Tred eer Zetrehe a Oszllatorsche Rehe Ee Zetrehe, de sch zwar mmer wederholt, dere Perode aber cht fest st Sasoale Schwakug Mestes e Jahr (ka aber auch e Tag, ee Woche, oder e halbes Jahr se) das erhalb deser Zet Schwakuge hat. Wrd über mehrere Perode hweg erhalb der ezele Perode mmer der gleche Zetpukt betrachtet, so werde rreguläre Schwakuge elmert. We wr de Tred ud de zklsche Schwakuge elmere köe, so blebt ur och de sasoale Schwakug übrg. Vorgehe: Der Umsatz be eem Warehadel uterlegt sasoale Schwakuge. Wr habe de Umsatzzahle über mehrere Jahre.. Ermttel des gletede Mttelwertes (als Tredwert): Der Mttelwert wrd aus 3 Werte (Jauar 00 bs Jauar 00) berechet, wobe der erste ud letzte Wert mt 0.5 Gewchtet wrd. Ermttel der sasoale Schwakug: Umsatz (Moat x) gleteder Mttelwert (Moat x) Schwakug (Moat x) 3. Ermttel des Wertes für de kostate Sasofgur (S) a. Mttelwert der sasoale Schwakug über de Jahre für jede Moat ausreche b. De Mttelwert aus de soebe errechete Mttelwerte ausreche (Summe aller Moatsmttelwerte/) c. De eu ermttelte Mttelwert zu de zuerst errechete Moatsmttelwerte addere 4. Ermttel der Restkompoete (dese ethält rreguläre ud allfällg zklsche Schwakuge): Umsatz (Moat x) gleteder MW (Moat x) kost. Sasofgur (Moat x) Restkompoete 5. Sasoberegter Zetrehe (Umsatz): Umsatz (Moat x) kost. Sasofgur (Moat x) Sasober. Umsatz zf_statstk.doc Sete

26 Statstk adre.maurer.ame 8 Vertelug ud Smulato Begrffe Stchprobe Grudgesamthet 6 Vertelugsfukto F () Φ () Häufgkets- (Dchte-)fukto f () φ () Mttelwert bzw. Erwartugswert µ Stadardabwechug s σ Varaz s σ Korrelatoshäufgket r ς Theoretsche Häufgket oder Wahrschelchket P π Tabelle : Bezechugskoveto x x 8. Glechvertelug 8.. Häufgketsvertelug ud Vertelfukto Dskrete Glechvertelug vo sgesamt Werte besteht de Häufgketsvertelug aus Säule der Höhe / ud de Vertelugsfukto st ee Treppe mt der Stufehöhe /. Abbldug 6: Dskrete Glechvertelug Häufgketsvertelug Abbldug 7: Dskrete Glechvertelug Vertelugsfukto 6 Zur Grudgesamthet gehörede statstsche Masszahle werde mt grechsche Buchstabe gekezechet. zf_statstk.doc Sete 3

27 Statstk adre.maurer.ame Kotuerlche Glechvertelug Über e Itervall der Brete b st de Häufgketsvertelug de kostate Fukto mt dem Fuktoswert / b ud de Vertelugsfukto de leare Fukto, de auf dem Itervall vo 0 bs glechmässg astegt. Abbldug 8: Kotuerlche Glechvertelug Häufgketsvertelug Abbldug 9: Kotuerlche Glechvertelug - Vertelugsfukto 8.. Mttelwert ud Varaz der Glechvertelug Berechug des Mttelwertes (auch Erwartugswert geat) der Glechvertelug: E( Y ) µ π * Formel 4: Mttelwert der Glechvertelug Berechug der Stadardabwechug (auch Varaz geat) der Glechvertelug: σ π *( µ ) Formel 5: Varaz der Glechvertelug 8. Beroullvertelug De Beroullvertelug beschrebt de Vertelug vo Elemete eer Grudgesamthet, we sch dese Elemete ee vo zwe Gruppe oder Klasse eorde lasse bzw. we de zugehörge Zufallsvarable ur zwe Werte hat (dchotome Grudgesamthet). Zwe Klasse hesse dchotom, we es kee Elemete gbt, de bede ethalte sd. D.h. dass sch de Klasseegeschafte gegesetg ausschlesse (z.b. Raucher Nchtraucher) Erfolge habe de Wert, Msserfolge 0 zf_statstk.doc Sete 4

28 Statstk adre.maurer.ame Zu de Erfolge gehört de Etreteswahrschelchket π, zu de Msserfolge 0 de Etreteswahrschelchket -π. De Grafsche Darstellug etsprcht eer (estufge) Treppefukto, der sog. Beroull-Vertelug. 8.. Mttelwert ud Varaz für Beroullvertelug E( Y ) µ π * ( π ) *0 + π * π Formel 6: Mttelwert für Beroullvertelug σ π *( µ ) ( π ) *(0 π ) + π *( π ) π *( π ) Formel 7: Varaz für Beroullvertelug 8.3 Bomalvertelug I eer Grudgesamthet st e beroullverteltes Merkmal gegebe. Aus deser Grudgesamthet werde Elemete mt Zurücklege ausgewählt (Jedes emal gewählte Elemet ka och emal gewählt werde). De Dchtefukto deser Vertelug gbt de Wahrschelchket a, be Elemete k Erfolge zu habe (wobe k der Rehe ach de Werte 0,,,3,, ammt) ud lautet folgedermasse:! ( k) * *( π ) k!*( k)! k ( k ) 7 φ π Formel 8: Bomalvertelug 8.3. Mttelwert ud Varaz für Bomalvertelug E ( Y ) µ *π Formel 9: Mttelwert für Bomalvertelug σ * π *( π ) Formel 30: Varaz für Bomalvertelug 8.4 Normalvertelug Normalvertelug st, we ee Bomalvertelug aäherd glech grosse Erfolgs- we Msserfolgswahrschelchkete aufwest. De Normalvertelug hat ee glockeförmge Gestalt (z.b. Körpergewcht ud Körpergrösse, Bredauer vo Glühbre, Efüllgewcht vo Tegware eem 500g-Sack) 7 Fakultät: ( k)! * *3*...*( k) zf_statstk.doc Sete 5

29 Statstk adre.maurer.ame Abbldug 0: Normalvertelug φ( v) σ * * e * π µ * δ Formel 3: Dchtefukto eer ormalvertelte Zufallsvarable De Werte für de Stadard-Normalvertelug mt Mttelwert µ 0 ud Varaz δ köe vo der Tabelle (sehe Ahag) abgelese werde. Für adere Mttelwerte ud Varaze wrd folgede Formel für de Trasformato beötgt: µ z σ 8 Formel 3: Z-Trasformato (Stadard-Normalvertelug) 9 Schätze vo Parameter (Itervallschätzug) Mt dem Schätze wrd cht mehr bloss beschrebe (we der deskrptve Statstk) soder aalsert ud Schlüsse werde gezoge. De Schätzaufgabe behaltet grudsätzlch zwe Problemkrese: Der Wert muss geschätzt werde (muss der Grudgesamthet ahe se) De Geaugket der Schätzug sollte bestmmt werde köe z.b. Der Wähleratel der FdP be de ächste Katosratswahle wrd 3.6% betrage (Wert); de Geaugket deser Progose legt mt 90% Scherhet be ±%. 8 De Z-Werte köe aus de Tabelle abgelese werde (sehe Belage) zf_statstk.doc Sete 6

30 Statstk adre.maurer.ame 9. Pukteschätzug* De Masszahle eer Stchprobe dee als Schätzwerte für de etsprechede Grösse der Grudgesamthet. Wrd für de zu schätzede Modellparameter (z.b. de theoretsche Mttelwert bzw. Erwartugswert µ der der Modellvertelug) e ezeler Wert agegebe (z.b. Stchprobe-Mttelwert), so st des ee Pukteschätzug. Der agegebee Wert hesst da e Puktschätzer. E Puktschätzer muss folgede Egeschafte bestze: E Pukteschätzer muss kosstet se (be grossem Stchprobeumfag wrd ee gute Überestmmug mt dem zu schätzede Modellparameter erwartet) E Pukteschätzer muss erwartugstreu se (Mttelwert aus wederholt smulerte Stchprobe vom gleche Umfag muss gut mt dem zu schätzede Modellparameter überestmme). Vo zwe erwartugstreue Puktschätzer wrd der wrksamere (effzetere bevorzugt (derjege, der be wederholter Berechug de kleere Varaz aufwest) 9. Itervallschätzug De Geaugket eer Stchprobeschätzug hägt u.a. vom Stchprobeumfag a (sehe Kaptel.). Der S der Itervallschätzug legt dar, ee Itervall (Berech) azugebe, dem der Modellparameter mt eer bestmmte Wahrschelchket legt. Dese Wahrschelchket hesst Vertraueswahrschelchket oder Kofdezwahrschelchket. Se wrd mt - bezechet. Dar st de Irrtumswahrschelchket (erster Art)(Wahrschelchket, mt der der wahre Modellparameter ausserhalb des agegebee Itervalls legt ud damt de gaze Itervallschätzug versagt. Das Itervall, dem der Modellparameter mt der Vertraueswahrschelchket - legt, hesst Vertrauestervall. Es wr der Regel mt a bezechet. 9.. Vertrauestervall für de Mttelwert Mttelwert eer Normalvertelug mt bekater Varaz Vorgehe: Wahl der Vertraueswahrschelchket α Mt welcher Wahrschelchket soll de Aussage rchtg se? Für komme ur de werte % oder 5% Frage Bestmmug der krtsche Greze z a Da der Mttelwert ormalvertelt st, etstamme de Werte für de krtsche Greze aus der Tabelle der P-Quatle für de Stadard- Normalvertelug (sehe Ahag) z.b. z Berechug des Stchprobe-Mttelwertes ( ) zf_statstk.doc Sete 7

31 Statstk adre.maurer.ame Berechug der halbe Itervallbrete (a) We wet weg vom Stchprobewert köte der Wert der Grudgesamthet lege? σ a z α * σ z α * Formel 33: Berechug der Itervallbrete Berechug der Itervallgreze De Greze des Vertrauestervalls für de Mttelwert µ sd gegebe durch a µ + a Formel 34: Berechug der Itervallgreze Mttelwert eer Normalvertelug mt ubekater Varaz We de Varaz der Zufallsvarable Y cht bekat st ud aus der Stchprobe s geschätzt werde muss, so dürfe m Rezept Mttelwert eer Normalvertelug mt bekater Varaz für de krtsche Greze cht mehr de P-Quatle der Stadard-Normalvertelug beutzt werde, soder es müsste streg geomme de P-Quatle der Studet sche t-vertelug beutzt werde. Be grossem Stchprobeumfag (ab 50) ka auch das ormale Rezept agewedet werde. Vorgehe: Vertraueswahrschelchket ( α ) Krtsche Greze (Z-Trasformato ) Stchprobe-Mttelwert Stchprobe-Varaz s Halbe Itervallbrete a Itervallgreze für µ z a Dfferez zweer Mttelwert Voraussetzug sd zwe Stchprobe mt Stchprobeumfag ud (dazugehörede Mttelwerte ud ). Das Vorgehe st glech, we be de vorge Bespele. Nur de Varaz der Mttelwertsdfferez st verschede vo der Varaz ees ezele Mttelwertes. Be geüged grossem Stchprobeumfag st se gegebe durch: σ σ σ Dff + Formel 35: Varaz der Mttelwertsdfferez a z a a σ σ * σ Dff z * + Formel 36: Vertrauestervall für ee Mttelwertsdfferez zf_statstk.doc Sete 8

32 Statstk adre.maurer.ame Fehler Fehler. Art: Irrtümlches Verwerfe der Nullhpothese 9 Fehler. Art: Irrtümlches Bebehalte der Nullhpothese De Irrtumswahrschelchket. Art wächst, we de Irrtumswahrschelchket. Art skt. Deshalb wrd für a mestes 5% bzw. % geomme. 9.3 Statstsche Qualtätskotrolle* Der Hersteller ees Produktes ka mt eer gewsse Streuug e Produkt produzere. De Qualtät bestmmt er durch de Messug charakterstscher Grösse, vo dee er de statstsche Masszahle Mttelwert ud Stadardabwechug bestmmt. Der Hersteller möchte gewsse Mdestwerte ud / oder gewsse Tolerazbereche der qualtätsbestmmede Grösse garatere köe. Dabe hat er e Iteresse, cht zuvel Ausschuss zu produzere (Fehler erster Art) ud aderersets cht zuvel Ware zurückgeschckt zu erhalte, de de tere Kotrolle passert hat (Fehler. Art). De Statstk st e wchtges Hlfsmttel der Qualtätsscherug. Abbldug : Kotrollkarte eer Abfüllmasche 9 Sehe Kaptel 0 zf_statstk.doc Sete 9

33 Statstk adre.maurer.ame 0 Prüfe vo Hpothese We zwe verschedee Stchprobe mt hre statstsche Masszahle gegebe sd geht es um de Frage ob aufgrud der geschätzte Masszahle de bede Grudgesamthete überestmme (köe de bede Stchprobe vo der gleche Grudgesamthet se?). 0. Test vo Mttelwerte Begrffe Hpothese Nullhpothese Alteratve Test Krtsche Greze der Testgrösse Aahme, mt dere Hlfe e Sachverhalt vorläufg erklärt werde ka. Es st ee Aussage de falsfzerbar st (Hpothese köe cht bestätgt werde). Se ethält mdestes zwe messbare Begrffe ud lässt sch mt we da formulere. Dejege Hpothese, de eem Test uterzoge wrd. Da Hpothese ur falsfzerbar sd, wählt ma als Nullhpothese der Regel de Hpothese zwe Parameter habe de gleche Wert. Das Zel st de Nullhpothese zu verwerfe. Logsches Gegetel der Nullhpothese. Alteratve köe zwesetg (a? b) oder esetg (a>b) se. De Methode mt der ma ee Hpothese utersucht st e Test. Er ka aufgrud eer ezge Stchprobe m Verglech mt eer vorgegebee Zahl durchgeführt werde, oder durch Verglech der Masszahle zweer Stchprobe. Be Überschrete wrd de Nullhpothese verworfe ud de Alteratve ageomme. Es st uwahrschelch (Wchtgket beträgt höchstes a %), dass e glech grosser oder och grösserer Wert der Testgrösse re zufällg errecht wrd. Scherhetsschwelle Wahrschelchket ees Irrtums bem Testetsched zf_statstk.doc Sete 30

34 Statstk adre.maurer.ame 0.. Allgemees Vorgehe Wahl der Scherhetsschwelle α α 5% oder % Idetfkato des Testrezeptes (Sehe Kaptel 0..) Problemstellug, Rahmebedgug ud Hpothese sd zu berückschtge. Festlege der Alteratve Isbesodere st zu etschede, ob es sch um ee esetge oder um ee zwesetge Alteratve hadelt. Berechug der Testgrösse Vorgehe gemäss Testrezept (Sehe Kaptel 0..) Bestmmug der krtsche Greze Vorgehe gemäss Testrezept (Sehe Kaptel 0..), mest bedeutet des das Ablese ees Wertes für de krtsche Greze aus eer Tabelle. Etschedug Aufgrud der ermttelte Testgrösse ud krtsche Greze st ee verbale Atwort auf de egags gestellte statstsche Frage zu gebe. 0.. Testrezepte Testrezept : der Z-Test für de Verglech zweer Mttelwerte Ausgagslage ud Problemformulerug Es lege zwe voeader uabhägge, cht verbudee Stchprobe vor. Se stamme vo zwe Zufallsvarable Y ud Y mt de Mttelwerte µ ud µ. Arbetshpothese Es soll utersucht werde, ob de Mttelwerte der Zufallsvarable sgfkat voeader verschede sd. Dazu gbt es dre Möglchkete. a. µ µ De Mttelwerte sd verschede zwesetge Alteratve b. µ > µ Der erste Mttelwert st grösser esetge Alteratve c. µ µ < Der zwete Mttelwert st grösser esetge Alteratve zf_statstk.doc Sete 3

35 Statstk adre.maurer.ame Testgrösse De Testgrösse wrd aus de Stchprobe-Mttelwerte ud, de Varaze σ ud σ der Zufallsvarable ud der Azahl ud berechet. We de Varaze cht bekat sd, dürfe be grosser Azahl Werte auch de Stchprobewerte s ud s verwedet werde. z σ σ + σ d σ + Formel 37: Berechug der Testgrösse bem z-test Krtsche Greze We de Nullhpothese glt, da st de Testgrösse z ormalvertelt mt Mttelwert 0 ud Varaz. De krtsche Greze zur Scherhetsschwelle a ka aus der Tabelle mt de P-Quatle (sehe Ahag) etomme werde. Etschedug De Etschedug st vo der Wahl des Arbetshpothese-Tpe abhägg: a. zwesetge Alteratve: z > z folgt: µ µ α b. esetge Alteratve: z > z α folgt: µ > µ c. esetge Alteratve: z < z α folgt: µ < µ Abbldug : Etschedug eer Nullhpothese zf_statstk.doc Sete 3

36 Statstk adre.maurer.ame Testrezept : Chquadrat-Test (Verfeldertest) Ausgagslage ud Problemformulerug Es legt ee Stchprobe mt de Werte,, (Umfag: Werte) vor. Se stammt vo der (kotuerlche) Zufallsvarable Y mt bekate Masszahle, Dchte- ud Vertelugsfukto. De Werte werde Klasse gruppert, so dass daach de Häufgkete de ezele Klasse bekat sd. Es stellt sch de Frage, ob de ezele Klassehäufgkete mt der Hpothese verträglch see, dass de der Stchprobe utersuchte Zufallsvarable Y eer bestmmte, bekate theoretsche Modellvertelug gehorche. Arbetshpothese Es soll utersucht werde, ob de klasserte Häufgkete durch de Dchte- bzw. Vertelugsfukto erklärt werde köe Testgrösse Aufgrud der der beobachtete (o) ud de erwartete (e) Werte eer bestmmte Azahl Klasse (k) wrd de Testgrösse berechet: k ( o j e j ) χ e j j Formel 38: Chquadratwert der Vertelug Krtsche Greze We de Nullhpothese glt, da st de Testgrösse χ chquadratvertelt mt m(k-) Frehetsgrade. De krtsche Greze zur Scherhetsschwelle α ka ma demach der Tabelle mt de P-Quatle der Chquadrat-Vertelug mt m Frehetsgrade etehme. Etschedug Falls χ < X α oder χ > X, da stammt de Stchprobe cht vo α eer Zufallsvarable mt der behauptete, theoretsche Modellvertelug. zf_statstk.doc Sete 33

37 Statstk adre.maurer.ame Testrezept 3: Der BergudTal-Test Ausgagslage Es legt de Urlste mt de Werte,,, (Umfag: Werte; >30) eer Stchprobe vor. Se stammt vo der stetge Zufallsvarable Y. Arbetshpothese Es soll utersucht werde, ob de Stchprobewerte voeader uabhägg, d.h. zufällg ageordet sd. Testgrösse De Werte der Urlste werde hrer Rehefolge eem Ledagramm grafsch abgetrage. De Azahl (a) der Auf- ud Abbeweguge werde gezählt. De Testgrösse lautet da: 3* a ( * ) z 6 * 9 0 Formel 39:Testgrösse des BergudTal-Tests Krtsche Greze We de Nullhpothese glt, da st de Testgrösse z für grosse ormalvertelt mt Mttelwert 0 ud Varaz (stadardsert ormalvertelt). De Krtsche Greze zur Scherhetsschwelle α ka ma demach der Tabelle mt de P-Quatle (sehe Ahag) der Stadard- Normalvertelug etehme. Etschedug Falls z < z α, da folgt: de Zufallsvarable,,, sd cht voeader uabhägg oder zufällg ageordet. Aderfalls besteht ke Grud zur Aahme, das de Zufallsvarable,,, voeader abhägg ageordet see. Plaug vo Stchprobe De Stchprobeplaug umfasst 4 Telaufgabe, wobe de Telaufgabe 3 ud 4 am wchtgste sd: Ee verüftge Hpothese muss formulert werde Welche Grösse (Werte vo Zufallsvarable) werde welcher Grudgesamthet utersucht. Das Mess- oder Erhebugsverfahre muss bestmmt werde Welche Zufallsvarable werde mt welcher Methode erfasst Der Stchprobeumfag muss berechet werde We gross st de Stchprobe, we vele Elemete soll se umfasse Der Stchprobepla muss festgelegt werde Welche Elemete der Grudgesamthet werde de Stchprobe aufgeomme zf_statstk.doc Sete 34

38 Statstk adre.maurer.ame. Schätzug des Stchprobeumfags Der Stchprobeumfag wächst mt zuehmeder Streuug mt abehmeder Itervallgrösse mt Zuehmeder Vertraueswahrschelchket a z * π * ( α π ) a Formel 40: Stchprobeumfag (uedlch vele Elemete) z z α α * * π *( π ) * N π *( π ) + N * a Formel 4: Stchprobeumfag (edlch vele Elemete) Stchprobeumfag z krtsche Greze a teresserter Atel π Wahrschelchket (mmer 5%) N edlche Azahl Elemete zf_statstk.doc Sete 35

39 Statstk adre.maurer.ame Lteraturverzechs Uterrchtsmateral FHSO, 00/00, Prof. Dr. Rued Nederer, Modul 6, Statstk für Wrtschafts- ud Sozalwsseschafte Uterrcht Statstk, HWV Olte, Erst Hügl, Verso Abbldugs-, Tabelle- ud Formelverzechs Abbldug : Boxedagramm am Bespel Sterbealter... 6 Abbldug : Fehlerdagramm am Bespel Mttlerer Tagestemperature... 6 Abbldug 3: Lorezkurve am Bespel Ekomme ud Steuerpflchtge... 6 Abbldug 4: Korrelatoe... 6 Abbldug 5: Regressosgerade mt Darstellug der kleste Quadrate... 6 Abbldug 6: Dskrete Glechvertelug Häufgketsvertelug... 6 Abbldug 7: Dskrete Glechvertelug Vertelugsfukto... 6 Abbldug 8: Kotuerlche Glechvertelug Häufgketsvertelug... 6 Abbldug 9: Kotuerlche Glechvertelug - Vertelugsfukto... 6 Abbldug 0: Normalvertelug... 6 Abbldug : Kotrollkarte eer Abfüllmasche... 6 Abbldug : Etschedug eer Nullhpothese... 6 Tabelle : Edmesoales Zahlemateral... Tabelle : Zwedmesoales Zahlemateral... Tabelle 3: Dre- ud Mehrdmesoales Zahlemateral... Tabelle 4: Numersche ud cht umersche Date... 4 Tabelle 5: Klasse... 5 Tabelle 6: Wertdex... 6 Tabelle 7: efacher Summedex... 6 Tabelle 8: Bespel Verkettug... 6 Tabelle 9: Bespel Verküpfug... 6 Tabelle 0: Bespel Umbaserug... 6 Tabelle : Bezechugskoveto... 6 < Formel : Absolute Häufgket... 5 Formel : relatve Häufgket... 5 Formel 3: Wahrschelchket... 5 zf_statstk.doc Sete 36

40 Statstk adre.maurer.ame Formel 4: Arthmetsches Mttel... 6 Formel 5: Arthmetsches Mttel be klasserte Date... 6 Formel 6: Gewchtetes Mttel... 6 Formel 7: Geometrsches Mttel... 6 Formel 8: Quatlberechug für klasserte Date... 6 Formel 9: Streubrete... 6 Formel 0: Stadardabwechug (für Defto)... 6 Formel : Stadardabwechug (für Berechug)... 6 Formel : Stadardabwechug mt Klasse (für Defto)... 6 Formel 3: Stadardabwechug mt Klasse (für Berechug)... 6 Formel 4: Varatoskoeffzet... 6 Formel 5: Wahrschelchster Fehler... 6 Formel 6: Wert ees Gutes... 6 Formel 7: Wertdex... 6 Formel 8: Korrelatoseffzet Deftosformel... 6 Formel 9: Korrelatoseffzet - Praxsformel... 6 Formel 0: Ragkorrelatoskoeffzet ach Spearma r s... 6 Formel : klestes Quadrate der Regresso... 6 Formel : Regressosgerade... 6 Formel 3: Expoetelle Regressoskurve... 6 Formel 4: Mttelwert der Glechvertelug... 6 Formel 5: Varaz der Glechvertelug... 6 Formel 6: Mttelwert für Beroullvertelug... 6 Formel 7: Varaz für Beroullvertelug... 6 Formel 8: Bomalvertelug... 6 Formel 9: Mttelwert für Bomalvertelug... 6 Formel 30: Varaz für Bomalvertelug... 6 Formel 3: Dchtefukto eer ormalvertelte Zufallsvarable... 6 Formel 3: Z-Trasformato (Stadard-Normalvertelug)... 6 Formel 33: Berechug der Itervallbrete... 6 Formel 34: Berechug der Itervallgreze... 6 Formel 35: Varaz der Mttelwertsdfferez... 6 Formel 36: Vertrauestervall für ee Mttelwertsdfferez... 6 Formel 37: Berechug der Testgrösse bem z-test... 6 Formel 38: Chquadratwert der Vertelug... 6 Formel 39:Testgrösse des BergudTal-Tests... 6 zf_statstk.doc Sete 37

41 Statstk adre.maurer.ame Formel 40: Stchprobeumfag (uedlch vele Elemete)... 6 Formel 4: Stchprobeumfag (edlch vele Elemete)... 6 zf_statstk.doc Sete 38