Grundwissen Jahrgangsstufe 7

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1 GM 7.1 chsensymmetrie Grundwissen Jhrgngsstufe 7 Definition Zwei unkte liegen symmetrisch bezüglich einer chse, wenn ihre Verbindungsstrecke von der chse senkrecht hlbiert wird. M und liegen symmetrisch bezüglich der chse, weil M = ' M und ' Konstruktionen 1. Konstruktion des Spiegelpunkts, wenn und die chse gegeben sind Wähle uf der chse zwei beliebige unkte und. Zeichne einen Kreis um mit Rdius und einen Kreis um mit Rdius. Die beiden Kreise schneiden sich in und im gesuchten unkt. '. Konstruktion der Symmetriechse wenn und sein ildpunkt gegeben sind Zeichne einen Kreis um mit genügend großem Rdius r. Zeichne einen Kreis um mit dem gleichen Rdius r. Die gesuchte chse ist die Gerde, die durch die zwei Schnittpunkte dieser Kreise verläuft. ' 16

2 Eigenschften der chsenspiegelung In der folgenden Figur wurde ds Dreieck n der chse gespiegelt. ' ' ' ei einer chsenspiegelung gilt: Zueinnder symmetrische Strecken sind gleich lng. z.. ' ' = Zueinnder symmetrische Winkel sind gleich groß. z.. = Zueinnder symmetrische Gerden schneiden sich uf der Symmetriechse oder sind zu ihr prllel. z.. und schneiden sich uf der chse Jeder unkt der Symmetriechse ist von zueinnder symmetrischen unkten gleich weit entfernt. z.. ' = Jeder unkt der Symmetriechse ist zu sich selbst symmetrisch, ein sog. Fixpunkt. Die Symmetriechse ist zu sich selbst symmetrisch, eine sog. Fixgerde. z.. ist ein Fixpunkt Wichtige Folgerungen us den Eigenschften der chsenspiegelung lle unkte, die von zwei gegebenen unkten und gleich weit entfernt sind, liegen uf der Mittelsenkrechten m von [] lle unkte, die von zwei prllelen Gerden g und h gleich weit entfernt sind, liegen uf der Mittelprllelen p von g und h. lle unkte, die von zwei sich schneidenden Gerden g und h gleich weit entfernt sind, liegen uf den Winkelhlbierenden w1 und w von g und h. h h w1 m p g w g 17

3 GM 7. unktsymmetrie Definition Zwei unkte liegen symmetrisch bezüglich eines unktes (Zentrums) Z, wenn Z der Mittelpunkt ihrer Verbindungsstrecke ist. Z ' und liegen symmetrisch bezüglich Z, weil Z [ ] und Z' Z =. Konstruktionen 1. Konstruktion des Spiegelpunktes, wenn und ds Zentrum Z gegeben sind Zeichne die Hlbgerde [Z. Zeichne einen Kreis um Z mit Rdius Z Die Hlbgerde und der Kreis schneiden sich im unkt und im gesuchten unkt. Z '. Konstruktion des Zentrums Z, wenn und gegeben sind Zeichne die Strecke [ ]. Konstruiere die Symmetriechse von und, d.h. die Mittelsenkrechte von [ ] (vgl. GM7.1). Der Schnittpunkt von [ ] mit der chse ist der Mittelpunkt von [ ], lso der gesuchte unkt Z. Z ' Eigenschften der unktspiegelung Zueinnder punktsymmetrische Strecken sind stets gleich lng und zueinnder prllel. Zueinnder punktsymmetrische Winkel sind stets gleich groß. Jede Gerde durch ds Symmetriezentrum ist eine Fixgerde. Zwei zueinnder punktsymmetrische Gerden sind zueinnder prllel. eispiel für eine punktsymmetrische Figur: Weil zueinnder punktsymmetrische Strecken stets uch zueinnder prllel sind, ist jedes punktsymmetrische Viereck ein rllelogrmm. Ds Symmetriezentrum ist der Schnittpunkt Z der beiden Digonlen. D Z 18

4 GM 7.3 Winkelgesetze Winkel n einer Gerdenkreuzung Nebenwinkel Scheitelwinkel γ und sind Nebenwinkel. Sie hben einen Schenkel gemeinsm. Ihre beiden nderen Schenkel bilden eine Gerde. Nebenwinkel ergänzen sich zu = 180 und γ sind Scheitelwinkel. Sie hben einen gemeinsmen Scheitel. Ihre Schenkel ergänzen sich jeweils zu einer Gerden. Scheitelwinkel sind gleich groß. = γ Winkel n prllelen Gerden Stufenwinkel g Wechselwinkel γ g g1 g1 s und sind Stufenwinkel. Sie liegen uf der gleichen Seite von s und uf einnder entsprechenden Seiten von g1 und g. Stufenwinkel n prllelen Gerden sind gleich groß. = Umgekehrt gilt: Wenn Stufenwinkel gleich groß sind, dnn sind die zugehörigen Gerden prllel. s und γ sind Wechselwinkel. Sie liegen uf verschiedenen Seiten von s und uf entgegengesetzten Seiten von g1 und g. Wechselwinkel n prllelen Gerden sind gleich groß. = γ Umgekehrt gilt: Wenn Wechselwinkel gleich groß sind, dnn sind die zugehörigen Gerden prllel. Innenwinkel Innenwinkel im Dreieck Innenwinkel im Viereck γ γ δ In jedem Dreieck beträgt die Summe der Innenwinkel γ = 180 Mn knn ein Viereck durch eine Digonle in zwei Dreiecke zerlegen. In jedem Viereck beträgt die Summe der Innenwinkel lso 180 = γ + δ =

5 GM 7.4 Terme Terme und Vriblen In Termen können uch Vriblen uftreten. Die Vriblen sind Stellvertreter für Zhlen oder für Größen. Wird in einen Term für jede vorkommende Vrible eine Zhl eingesetzt, knn mn den Termwert berechnen. eispiele: T(x) = x 4x T(3) = = 9 1 = 3 T( 3) = ( 3) 4( 3) = = 1 = T (0; ) = ( ) = T(; b) 1 + b T(5;) = =,5 + 4 = 6, 5 ufstellen und Interpretieren von Termen Viele Schverhlte lssen sich kurz und präzise durch Terme beschreiben. Dbei ist es sinnvoll den Schverhlt zunächst nhnd konkreter Zhlenbeispiele zu untersuchen. Dnn knn mn eine Vrible einführen und einen Term ufstellen, der den betreffenden Zusmmenhng llgemein beschreibt. eispiel: us Würfeln wird ein Turm zusmmengeklebt. Wie viele Würfelflächen sind insgesmt neinnder geklebt? 1. Schritt: etrchtung konkreter eispiel, z.. mit Hilfe einer Tbelle nzhl der Würfel nzhl der geklebten Flächen Schritt: Suchen und egründen einer Gesetzmäßigkeit und ufstellen eines Terms ei 4 Würfeln sind 3 Klebeflächen vorhnden. n jeder Klebefläche sind zwei Würfelflächen beteiligt. lso gibt es in diesem Fll 3 = 6 geklebte Flächen. ei n Würfeln sind (n 1) Klebeflächen vorhnden, n denen jeweils zwei Würfelflächen beteiligt sind. Es gibt lso (n 1) = (n 1) geklebte Flächen. Umformen von Termen 1. Umformungen in rodukten In einem rodukt können gleiche Fktoren zu otenzen zusmmengefsst werden eispiel: 4 b 3b = 4 3 b b b b = 4 b. ddieren und Subtrhieren gleichrtiger Terme Zwei rodukte, in denen die gleichen Vriblen in jeweils gleicher otenz uftreten, nennt mn gleichrtig. Sie können ddiert bzw. subtrhiert werden. eispiel: 6 b + 4 b = 10 b 3. Klmmerregeln Steht vor der Klmmer ein luszeichen, knn die Klmmer einfch weggelssen werden. 3x + x 4y 8y = 3x + x 4y 8y = 5x 1 eispiel: ( ) y Steht vor der Klmmer ein Minuszeichen, so ändert mn die Vorzeichen in der Klmmer und lässt die Klmmer und ds Minuszeichen vor der Klmmer weg. 3x x 4y 8y = 3x x + 4y 8y = x 4 eispiel: ( ) y 4. usmultiplizieren: Fktor ml Klmmer Eine Summe wird mit einem Fktor multipliziert, indem mn jeden Summnden mit dem Fktor multipliziert und die entstehenden roduktwerte ddiert. 3 4b = 3 4b = 6 8 eispiel: ( ) b 5. usmultiplizieren: Klmmer ml Klmmer Zwei Summen werden multipliziert, indem mn jeden Summnden der ersten Summe mit jedem Summnden der zweiten Summe multipliziert und die entstehenden roduktwerte ddiert. eispiele: + 3b 4 b = 4 + ( b) + 3b 4 + 3b ( b) = 8 b + 1b 3b = b 3b ( )( ) Vorsicht, wenn vor der ersten Klmmer ein Minuszeichen steht, dnn muss ds gesmte rodukt subtrhiert werden. Setze sicherheitshlber zunächst eine zusätzliche Klmmer: = = = ( )( ) ( ) 0

6 GM 7.5 Linere Gleichungen Eine Gleichung besteht us zwei Termen, die durch ein Gleichheitszeichen miteinnder verbunden sind. x 4 = 5 x + 1 eispiel: ( ) Wenn mn nstelle der Vriblen eine Zhl in die Gleichung einsetzt, knn sich eine whre oder eine flsche ussge ergeben. Im Flle einer whren ussge ist die eingesetzte Zhl eine Lösung der Gleichung. 4 = eispiel: Einsetzen der Zhl : ( ) Einsetzen der Zhl ( 3): ( ) ( ) 0 = 15 ist keine whre ussge. Die Zhl ist keine Lösung der Gleichung. 3 4 = = 10 ist eine whre ussge. Die Zhl 3 ist eine Lösung der Gleichung. lle Lösungen einer Gleichung fsst mn zur Lösungsmenge zusmmen. Gleichungen, die die gleiche Lösungsmenge besitzen, heißen äquivlent. Komplizierte Gleichungen knn mn mit Hilfe von Äquivlenzumformungen, d.h. Umformungen, welche die Lösungsmenge nicht verändern, vereinfchen. Äquivlenzumformungen sind: uf beiden Seiten der Gleichung wird dieselbe Zhl bzw. derselbe Term ddiert (subtrhiert). uf beiden Seiten der Gleichung wird mit derselben von Null verschiedenen Zhl multipliziert (durch dieselbe von Null verschiedene Zhl dividiert). eispiel: 15( x 1) 16x = x( x) + x Klmmern uflösen und zusmmenfssen 15 x 15 16x = x x + x x 15 = x + x x isolieren 15 = 3x 5 = x x = 5 nwendungen Viele Textufgben lssen sich mit Hilfe von Gleichungen lösen. Dzu legt mn die edeutung der Vriblen fest, übersetzt die roblemstellung in eine Gleichung, löst diese und formuliert einen ntwortstz. eispiel: In einem Dreieck mit den Innenwinkeln, und γ ist doppelt so groß wie und γ um 5 größer ls. Wie groß sind die Winkel? x = Größe des Winkels (in ) x + x + x + 5 = 180 5x + 5 5x x ( ) x + x + x + 5 = 180 = 180 = 175 = 35 5 : 5 : 3 Die Winkelgrößen sind = 35, = 70 und γ = 75. ufgben zur rozentrechnung lssen sich oft mit Hilfe von Gleichungen besonders einfch lösen. eispiel: Der reis von Skiern wird um 15% gesenkt. Die Skier kosten dnn 33. Wie hoch wr der ursprüngliche reis? x = ursprünglicher reis Der neue reis beträgt 85 % des ursprünglichen reises, lso 0,85 x = 33 : 0,85 x = 380 Die Skier kosteten ursprünglich

7 GM 7.6 esondere Dreiecke Kongruenzsätze für Dreiecke Dreiecke, die sich vollständig miteinnder zur Deckung bringen lssen, heißen kongruent. Ein Dreieck ist in Form und Größe bereits durch drei geeignete estimmungsstücke festgelegt. Dreiecke, die us diesen estimmungsstücken konstruiert werden, sind kongruent. Kongruenzsätze: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in den Längen ller drei Seiten übereinstimmen. (SSS- Stz) Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in den Längen von zwei Seiten und in der Größe von deren Zwischenwinkel übereinstimmen. (SWS-Stz) Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in der Länge einer Seite und in den Größen der beiden dieser Seite nliegenden Winkel übereinstimmen. (WSW-Stz) Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in den Längen zweier Seiten und in der Größe des der längeren der beiden Seiten gegenüberliegenden Winkels übereinstimmen. (SsW-Stz) Gleichschenklige Dreiecke Ein Dreieck, in dem zwei Seiten gleich lng sind, heißt gleichschenkliges Dreieck. Die beiden gleichlngen Seiten heißen Schenkel, die dritte Seite sis des Dreiecks. Die der sis nliegenden Innenwinkel heißen siswinkel. Der Eckpunkt, welcher der sis gegenüberliegt, heißt Spitze. b Schenkel Eigenschften: Die siswinkel sind gleich groß. Jedes gleichschenklige Dreieck besitzt eine Symmetriechse, die Mittelsenkrechte der sis. Sie ist zugleich die Winkelhlbierende des Winkels n der Spitze. Schenkel sis = b = Rechtwinklige Dreiecke Ein Dreieck, bei dem ein Innenwinkel 90 groß ist, heißt rechtwinkliges Dreieck. Die den rechten Winkel einschließenden Seiten heißen Ktheten. Die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, heißt Hypotenuse. Stz des Thles: Wenn ein Dreieck bei rechtwinklig ist, dnn liegt uf dem Thleskreis über []. Der Thleskreis über [] ist der Kreis, dessen Mittelpunkt die Mitte M von [] ist und der [] ls Durchmesser besitzt. Umgekehrt gilt: Wenn die Ecke eines Dreiecks uf dem Thleskreis über [] liegt, dnn ist ds Dreieck bei rechtwinklig. M Hypotenuse [], Ktheten [] und []

8 GM 7.7 esondere Linien im Dreieck Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks lle unkte, die von zwei vorgegebenen unkten und gleich weit entfernt sind, liegen uf der Mittelsenkrechten m[] der Strecke []. Die drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in genu einem unkt, dem Umkreismittelpunkt M des Dreiecks. M Die Winkelhlbierenden eines Dreiecks lle unkte, die von zwei sich schneidenden Gerden gleich weit entfernt sind, liegen uf den Winkelhlbierenden dieser beiden Gerden. Die drei Winkelhlbierenden eines Dreiecks schneiden sich in genu einem unkt, dem Inkreismittelpunkt W des Dreiecks. W Die Höhen eines Dreiecks Ds Lot vom Eckpunkt eines Dreiecks uf die gegenüberliegende Dreiecksseite oder deren Verlängerung heißt Höhe des Dreiecks. Der Schnittpunkt einer Höhe mit der zugehörigen Dreiecksseite oder deren Verlängerung heißt Höhenfußpunkt. Die drei Höhen eines Dreiecks schneiden sich in genu einem unkt H. H Die Seitenhlbierenden eines Dreiecks D ie Verbindungslinie vom Eckpunkt eines Dreiecks zum Mittelpunkt der gegenüberliegenden Dreiecksseite heißt Seitenhlbierende des Dreiecks. Die drei Seitenhlbierenden eines Dreiecks schneiden sich in genu einem unkt, dem Schwerpunkt S des Dreiecks. S 3