Formelsammlung spezieller Funktionen

Transkript

1 Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, en Prof Dr E Görlich Formelsammlung spezieller Funktionen Logarithmus, Eponential- un Potenzfunktionen Natürlicher Logarithmus Der Logarithmus ist auf (0, ) efiniert urch log : (0, ) R log = lim n( ) n = lim n n n n ( ) Der Logarithmus ist stetig, streng monoton wachsen un besitzt eine Nullstelle in = Verhalten am Ran es Definitionsbereiches () lim 0 + log =, lim log = () log = 0, log e = ; wobei e = ie Eulersche Zahl ist Funktionalgleichung (3) log() = log + log, > 0 Abschätzungen (4) (5) < log < > 0, ; ( ) < log < ( ) > 0, Für = gilt natürlich Gleichheit ( ) (6) log = log log, log a = a log, > 0, a R Ableitung un Integral (7) log =, log = log > 0 Reihenarstellungen un Grenzwerte ( ) k+ (8) log = (k + )( + ) k+ > 0 ; (9) (0) () ( ) k log = k k k= > ; ( ) k+ k log( + ) = k k= < ; k log( ) = k < ; k=

2 LOGARITHMUS, EXPONENTIAL- UND POTENZFUNKTIONEN ( n ) () lim n k log n = C C = 0, k= Die Konstante C heißt Euler Mascheroni Konstante Eponential- un Potenzfunktionen a : R (0, ), p : (0, ) R a > 0, p R Für a > 0 un b R ist a b mit a 0 := wohlefiniert Die Eponentialfunktion ist auf R gegeben urch a : R (0, ), a a > 0 Die Potenzfunktion ist auf (0, ) gegeben urch p : (0, ) R, p p R Für rationale Eponenten p = r/s, mit r Z un ungeraem s N, kann er Definitionsbereich er Potenzfunktion erweitert weren urch p := ( ) r+s+ p R, falls p 0 un R \ {0}, falls p < 0 Die Eponentialfunktion ist stetig, streng monoton wachsen un besitzt keine Nullstellen in R Die Potenzfunktion ist stetig auf (0, ), für p > 0 streng monoton wachsen, für p < 0 streng monoton fallen un für p = 0 konstant auf (0, ) Ist ie Potenzfunktion auf ganz R efiniert, so besitzt sie für p > 0 genau eine Nullstelle in = 0 Verhalten am Ran es Definitionsbereiches (3) lim a = 0, lim a = ; { (4) lim p 0, p > 0 = 0 +, p < 0, {, p > 0 lim p = 0, p < 0 (5) a 0 =, a = a, p = Funktionalgleichungen (6) a + = a a, a b = (ab), (a ) = a a, b > 0,, R Abschätzungen (7) (8) + e R ; e < (9) (0) a = e log a log a = log a a > 0, R ; e log = für > 0, log e = für R Die e Funktion ist somit ie Umkehrfunktion es Logarithmus Die Umkehrfunktion von a wir mit log a bezeichnet un heißt Logarithmus zur Basis a Es gilt () log a = log log a, a > 0

3 ARCUSFUNKTIONEN 3 Ableitung un Integral () (3) (4) (5) a = a log a, e = e a > 0, R ; p = p p p R, > 0 ; a = a a > 0, a ; log a p+ p = p +, p R \ { } log, p = Reihenarstellungen un Grenzwerte (6) (7) e = lim e = n ( + n) n R ; k k! 6 R e = log Arcusfunktionen Arcustangens Der Arcustangens ist auf R efiniert urch arctan: R (, ) arctan := lim n n n, wobei 0 :=, n+ := n + + n n N 0 Der Arcustangens ist stetig, streng monoton wachsen un besitzt eine Nullstelle in = 0 Verhalten am Ran es Definitionsbereiches (8) lim arctan =, lim arctan =

4 ARCUSFUNKTIONEN 4 (9) arctan 0 = 0, arctan = 4 (30) arctan( ) = arctan Abschätzungen (3) ( + + < arctan < + ) + > 0 + Für < 0 kehrt sich ie Ungleichungskette um, un für = 0 gilt natürlich Gleichheit Aitionstheoreme (3) (33) (34) arctan + arctan = arctan + < ; arctan + arctan = + arctan + > 0, > ; arctan + arctan = + arctan + < 0, > (35) arctan = arctan 0 Ableitung un Integral (36) arctan = +, Reihenarstellungen un Grenzwerte (37) (38) arctan = arctan = arctan log( + ) ( ) k k+ (k + ) arctan = ± + < ; ( ) k+ (k + ) k+ > Dabei trägt as erste Glie as Vorzeichen + für > un für < arctan (39) lim = 0 Arcuscotangens Der Arcuscotangens ist auf R efiniert urch arccot: R (0, ) arccot := arctan Der Arcuscotangens ist stetig, streng monoton fallen un besitzt keine Nullstellen Verhalten am Ran es Definitionsbereiches (40) lim arccot =, lim arccot = 0 (4) arccot 0 =, arccot = 4, arccot( ) = 3 4

5 ARCUSFUNKTIONEN 5 (4) arccot( ) = arccot Abschätzungen (43) + + < arccot < ( ) > 0 Für < 0 kehrt sich ie Ungleichungskette um, un für = 0 gilt Gleichheit Aitionstheoreme (44) arccot + arccot = arccot + + > 0 (45) arctan + arccot = R Ableitung un Integral (46) arccot = +, Reihenarstellungen un Grenzwerte (47) arccot = + 3 Arcussinus un Arcuscosinus arccot = arccot + log( + ) ( ) k+ k+ (k + ) < arcsin: [, ] [ /, /], arccos: [, ] [0, ] Der Arcussinus ist für efiniert urch arcsin := arctan, < ; arcsin(±) := ± Der Arcuscosinus ist für efiniert urch arccos := arccot, < ; arccos := 0, arccos( ) := Der Arcussinus ist stetig, streng monoton wachsen un besitzt eine Nullstelle in = 0 Der Arcuscosinus ist stetig, streng monoton fallen un besitzt eine Nullstelle in = (48) arcsin 0 = 0, arcsin(±) = ± ; (49) arccos 0 =, arccos( ) =, arccos = 0 (50) arcsin( ) = arcsin, arccos( ) = arccos Aitionstheoreme (5) (5) (53) (54) (55) arcsin + arcsin = arcsin ( + ) 0 oer + ; arcsin + arcsin = arcsin ( + ) > 0, > 0, + > ; arcsin + arcsin = arcsin ( + ) < 0, < 0, + > ; arccos + arccos = arccos ( ) + 0 ; arccos + arccos = arccos ( ) + < 0

6 3 TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN 6 (56) arcsin + arccos = [, ] Ableitung un Integral (57) arcsin =, arccos = ; (58) arcsin = arcsin +, arccos = arccos Reihenarstellungen un Grenzwerte (59) (60) arcsin = arccos = (k )!! k+ (k)!!(k + ) (k )!! k+ (k)!!(k + ) < ; < Dabei sin für n N ie Doppelfakultäten gegeben urch (n + )!! := (n + )(n ) 3, (n)!! := (n)(n ) 4, 0!! := un ( )!! := arccot arccos arcsin arctan Trigonometrische Funktionen 3 Tangens un Cotangens tan: R \ {(/ + k) ; k Z} R, cot: R \ {k ; k Z} R Der Tangens ist auf ( /, /) efiniert als ie Umkehrfunktion es Arcustangens tan := arctan ( /, /), un wir auf R \ {(/ + k) ; k Z} fortgesetzt urch tan := tan( k) ( ( / + k), (/ + k) ) Ebenso ist er Cotangens auf (0, ) efiniert als ie Umkehrfunktion es Arcuscotangens cot := arccot (0, ), un wir auf R \ {k ; k Z} fortgesetzt urch cot := cot( k) ( k, (k + ) )

7 3 TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN 7 Der Tangens ist stetig, streng monoton wachsen auf seinem Definitionsbereich un besitzt Nullstellen in = k, k Z Der Cotangens ist stetig, streng monoton fallen auf seinem Definitionsbereich un besitzt Nullstellen in = (/ + k), k Z Verhalten am Ran es Definitionsbereiches Für k Z gilt (6) (6) lim ( +k) tan =, lim cot =, lim k lim tan = ; ( +k)+ cot = k + (63) (64) tan 0 = tan = 0, tan(/6) = 3 3, tan(/4) =, tan(/3) = 3 ; cot(/6) = 3, cot(/4) =, cot(/3) = 3 3, cot(/) = 0 Weitere erhält man unter Ausnutzung er (65) tan( ) = tan, tan = tan( + ), cot( ) = cot, cot = cot( + ) Aitionstheoreme (66) (67) (68) (69) (70) tan ± tan tan( ± ) = tan tan ; cot cot cot( ± ) = cot ± cot ; tan + tan tan tan = cot + cot cot + cot cot cot = tan + tan tan cot = = tan tan cot cot ; = cot cot tan tan ; tan + cot cot = tan cot + tan cot tan Die Ausrücke gelten für iejenigen, R, für ie ie Brüche wohlefiniert sin Ableitung un Integral (7) tan = + tan = cos, cot = cot = sin ; (7) tan = log cos, cot = log sin 3 Sinus un Cosinus Der Sinus ist auf (, ] efiniert als sin: R [, ], cos: R [, ] sin := tan + tan, (, ) sin := 0 Dann wir er Sinus -perioisch auf R fortgesetzt urch Der Cosinus ist auf (, ] efiniert als sin := sin( k) ( (k ), (k + ) ] cos := tan + tan, (, ) cos :=

8 3 TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN 8 Dann wir er Cosinus -perioisch auf R fortgesetzt urch cos := cos( k) ( (k ), (k + ) ] Der Sinus ist stetig un besitzt Nullstellen in = k, k Z Der Cosinus ist stetig un besitzt Nullstellen in = (/ + k), k Z sin 0 = 0, sin(/6) =, sin(/4) = (73), sin(/3) = 3, sin(/) = ; (74) cos 0 =, cos(/6) = 3, cos(/4) =, cos(/3) =, cos(/) = 0 Weitere erhält man unter Ausnutzung er (75) sin( ) = sin, sin = sin( + ), cos( ) = cos, cos = cos( + ) Abschätzungen (76) sin, sin ; (77) (78) sin 0 ; cos, cos R ; (79) n sin(k) sin k= n N, j, j Z Genauere Abschätzungen von sin un cos erhält man urch Talor-Entwicklungen Aitionstheoreme Es gelten für, R (80) (8) (8) (83) (84) sin( + ) = sin cos + cos sin ; sin + sin = sin + cos ; cos( + ) = cos cos sin sin ; cos + cos = cos + cos ; sin sin = ( cos( ) cos( + ) ) ; (85) (86) cos cos = ( cos( ) + cos( + ) ) ; sin cos = ( sin( ) + sin( + ) ) (87) sin = cos( ) R ; (88) sin + cos = R Ableitung un Integral (89) (90) sin = cos, sin = cos, cos = sin ; cos = sin

9 3 TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN 9 Reihenarstellungen un Grenzwerte (9) (9) sin = cos = ( ) k k+ (k + )! ( ) k k (k)! R ; R ; sin (93) lim 0 =, lim cos 0 = Umrechnungstabelle er trigonometrischen Funktionen sin cos tan cot sin = sin cos cos = sin cos tan + tan + tan + cot cot + cot tan = sin sin cos cos tan cot cot = sin sin cos cos tan cot

10 4 HYPERBOLISCHE FUNKTIONEN 0 cos sin 3 3 tan 5 tan cot 4 cot tan 4 Hperbolische Funktionen 4 Sinus hperbolicus un Cosinus hperbolicus sinh: R R, cosh: R [, ) Der Sinus hperbolicus ist auf R efiniert urch sinh := e e Der Cosinus hperbolicus ist auf R efiniert urch cosh := e + e Der Sinus hperbolicus ist stetig, monoton wachsen un besitzt eine Nullstelle in = 0 Der Cosinus hperbolicus ist stetig un besitzt keine Nullstellen Verhalten am Ran es Definitionsbereiches (94) lim sinh =, lim (95) lim cosh =, sinh = ; lim cosh =

11 4 HYPERBOLISCHE FUNKTIONEN (96) sinh 0 = 0, cosh 0 = (97) sinh( ) = sinh, cosh( ) = cosh Abschätzungen (98) sinh < e < cosh R Aitionstheoreme Es gilt für, R (99) (00) (0) (0) sinh( + ) = sinh cosh + cosh sinh ; sinh + sinh = sinh + cosh ; cosh( + ) = cosh cosh + sinh sinh ; cosh + cosh = cosh + cosh (03) (04) cosh sinh = R ; (cosh ± sinh ) n = cosh(n) ± sinh(n) R, n N Ableitung un Integral (05) (06) sinh = cosh, sinh = cosh, cosh = sinh ; cosh = sinh Reihenarstellungen un Grenzwerte (07) (08) sinh = cosh = k+ (k + )! k (k)! R R ; (09) (0) lim e sinh =, lim e cosh =, lim sinh lim e = ; cosh e = 4 Tangens hperbolicus un Cotangens hperbolicus tanh: R (, ), coth: R \ {0} R \ [, ] Der Tangens hperbolicus ist auf R efiniert urch tanh := e e e + e Entsprechen ist er Cotangens hperbolicus auf R \ {0} efiniert urch coth := e + e e e

12 4 HYPERBOLISCHE FUNKTIONEN Der Tangens hperbolicus ist stetig, streng monoton wachsen auf seinem Definitionsbereich un besitzt eine Nullstelle in = 0 Der Cotangens hperbolicus ist stetig, streng monoton fallen auf seinem Definitionsbereich un besitzt keine Nullstellen Verhalten am Ran es Definitionsbereiches () lim () lim (3) lim coth =, 0 + lim tanh = ; coth = ; lim lim coth = 0 (4) tanh 0 = 0 (5) tanh( ) = tanh, coth( ) = coth Aitionstheoreme (6) (7) (8) (9) Ableitung un Integral tanh + tanh tanh( + ) = + tanh tanh, R ; + coth coth coth( + ) = coth + coth,, + 0 ; sinh( ± ) tanh ± tanh = cosh cosh, 0 ; sinh( ± ) coth ± coth = sinh sinh, 0 (0) tanh = tanh = cosh, coth = coth = sinh ; () tanh = log(cosh ), coth = log sinh Umrechnungstabelle er hperbolischen Funktionen sinh cosh tanh coth sinh = sinh cosh cosh = + sinh cosh tanh + tanh tanh coth coth coth tanh = sinh + sinh cosh cosh tanh coth coth = + sinh sinh cosh cosh tanh coth

13 5 AREAFUNKTIONEN 3 5 cosh 4 3 e coth tanh 3 sinh coth Areafunktionen 5 Areasinushperbolicus un Areacosinushperbolicus arsinh: R R, arcosh: [, ) [0, ) Der Areasinushperbolicus ist für R efiniert als ie Umkehrfunktion es Sinus hperbolicus: arsinh := sinh R Der Areacosinushperbolicus ist für [, ) efiniert als ie Umkehrfunktion es Cosinus hperbolicus: arcosh := ( cosh [0, ) ) [, ) Der Areasinushperbolicus ist stetig, streng monoton wachsen un besitzt eine Nullstelle in = 0 Der Areacosinushperbolicus ist stetig, streng monoton wachsen un besitzt eine Nullstelle in = Verhalten am Ran es Definitionsbereiches () lim arsinh =, lim (3) lim arcosh = arsinh = ; (4) arsinh 0 = 0, arcosh = 0 (5) arsinh( ) = arsinh

14 5 AREAFUNKTIONEN 4 Abschätzungen (6) (7) log() < arsinh, > 0 ; arcosh < log(), Aitionstheoreme (8) (9) arsinh + arsinh = arsinh ( ), R ; arcosh + arcosh = arcosh ( + ), (30) (3) arsinh = log ( + + ) 0 ; arcosh = log ( + ) Ableitung un Integral (3) arsinh = +, arcosh = ; (33) (34) arsinh = arsinh +, arcosh = arcosh Reihenarstellungen un Grenzwerte (35) (36) arsinh = arcosh = log() ( ) k (k )!! k+ (k)!!(k + ) k= < ; (k )!! (k)!!k k > 5 Areatangenshperbolicus un Areacotangenshperbolicus artanh: (, ) R, arcoth: R \ [, ] R \ {0} Der Areatangenshperbolicus ist für (, ) efiniert als ie Umkehrfunktion es Tangens hperbolicus: artanh := tanh (, ) Der Areacotangenshperbolicus ist für R \ [, ] efiniert als ie Umkehrfunktion es Cotangens hperbolicus: arcoth := coth R \ [, ] Der Areatangenshperbolicus ist stetig, streng monoton wachsen un besitzt eine Nullstelle in = 0 Der Areacotangenshperbolicus ist stetig, streng monoton fallen un besitzt keine Nullstellen Verhalten am Ran es Definitionsbereiches (37) lim artanh =, (38) lim arcoth = 0, (39) lim arcoth =, + lim artanh = ; + lim arcoth = 0 ; lim arcoth = (40) artanh 0 = 0

15 5 AREAFUNKTIONEN 5 (4) artanh( ) = artanh, arcoth( ) = arcoth Aitionstheoreme (4) (43) artanh + artanh = artanh + + arcoth + arcoth = arcoth + +, (, ) ;, R \ [, ] (44) (45) Ableitung un Integral artanh = log + arcoth = log +, (, ) ;, R \ [, ] (46) artanh =, arcoth = ; (47) (48) artanh = artanh + log( ), arcoth = arcoth + log( ) Reihenarstellungen un Grenzwerte (49) (50) artanh = arcoth = k+ k + < ; (k + ) k+ > arcoth arsinh artanh log() arcosh arcoth 3 4 5