Netzwerkfluß. Gegeben ist ein System von Wasserrohren: Die Kapazität jedes Rohres ist 3, 5 oder 8 l/s.

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1 Netzwerkfluß (Folie, Seite 78 im Skript) Gegeben ist ein System von Wasserrohren: Quelle s t Senke Die Kapazität jedes Rohres ist, oder 8 l/s. Frage: Wieviel Wasser kann von der Quelle zur Senke fließen?

2 Netzwerkfluß (Folie 6, Seite 78 im Skript) Antwort: Maximal 11 l/s sind möglich. s t

3 Netzwerkfluß Aufgabe (Folie 7, Seite 78 im Skript) Quellen Senken Die Kapazitäten sind und 8.

4 (Folie 8, Seite 78 im Skript) Netzwerkfluß Lösung Der maximale Fluß beträgt 0.

5 s-t-netzwerke (Folie 9, Seite 78 im Skript) Definition Ein s-t-netzwerk (flow network) ist ein gerichteter Graph G = (V, E), wobei 1 jede Kante (u, v) E eine Kapazität c(u, v) 0 hat, 2 es eine Quelle s V und eine Senke t V gibt. Es ist bequem, anzunehmen daß jeder Knoten auf einem Pfad von s nach t liegt. Falls (u, v) / E setzen wir c(u, v) = 0. Es kann Kanten (u, v) und (v, u) mit verschiedener Kapazität geben.

6 Beispiel eines s-t-netzwerks (Folie 40, Seite 78 im Skript) v 1 12 v s t 1 4 v 2 14 v 4 Die Kanten sind mit den Kapazitäten c(u, v) beschriftet.

7 Flüsse (Folie 41, Seite 78 im Skript) Definition Ein Fluß ist eine Funktion f : V V R, die Paare von Knoten auf reelle Zahlen abbildet und diese Bedingungen erfüllt: Zulässigkeit: Für u, v V gilt f (u, v) c(u, v). Symmetrie: Für u, v V gilt f (u, v) = f (v, u). Flußerhaltung: Für u V {s, t} gilt v V f (u, v) = 0. Der Wert f eines Flusses ist definiert als f = u V f (s, u). Dies ist gerade der Gesamtfluß aus der Quelle heraus.

8 Maximale Flüsse (Folie 42, Seite 78 im Skript) Das Problem des maximalen Flusses: Gegeben: Ein s-t-netzwerk. Gesucht: Ein Fluß mit maximalem Wert. Viele Anwendungen Beispiel: Wieviele Leitungen müssen zerstört sein, damit zwei Computer nicht mehr miteinander kommunizieren können. Weiteres Beispiel: ISS-Problem

9 (Folie 4, Seite 78 im Skript) Weltraumtouristen machen Angebote Sie benötigen spezielle Ausrüstung Ausrüstung kann mehrfach benutzt werden Wer soll mitgenommen werden?

10 Was ist der maximale Fluß? (Folie 44, Seite 78 im Skript) v 1 12/12 v 12/16 19/20 s /7 t 11/1 4/4 v 2 11/14 v 4 Der maximale Fluß ist 2. Die Kanten sind mit c(u, v) beschriftet oder mit f (u, v)/c(u, v), falls f (u, v) > 0.

11 Andere optimale Lösungen (Folie 4, Seite 78 im Skript) 14/16 v 1 12/12 v 19/20 s 2/ /7 t 9/1 4/4 v 2 11/14 10/16 v 4 v 1 12/12 v 19/20 s 10 2/4 9 7/7 t 1/1 4/4 v 2 11/14 v 4

12 Mehrfache Quellen oder Senken (Folie 46, Seite 78 im Skript) s 10 t 6 s 2 10 t 2 6 s 1 10 t 1 Mehrfache Quellen oder Senken sind eine Verallgemeinerung des Problem des maximalen Flusses.

13 Mehrfache Quellen oder Senken (Folie 47, Seite 78 im Skript) s 10 t 6 s s 2 10 t 2 t 6 s 1 10 t 1 Neue Superquelle und Supersenke hinzufügen.

14 Existenz des maximalen Flusses (Folie 48, Seite 78 im Skript) Existiert stets der maximale Fluß max { f f ist ein s-t-fluß in G }? Ja, denn die Menge aller Flüsse ist abgeschlossen im R m und sie ist nicht leer. Die stetige Funktion, die einen Fluß auf ihren Wert abbildet, hat daher ein Maximum: f = u V f (s, u) ist stetig! (Satz von Weierstrass)

15 Einige Notationen (Folie 49, Seite 78 im Skript) Es ist bequem einige Abkürzungen zu verwenden: f (x, y) für X, Y V f (X, Y ) = x X y Y f (x, Y ) = y Y f (x, y) für Y V f (X, y) = x X f (x, y) für X V X y statt X {y}

16 (Folie 0, Seite 78 im Skript) Lemma A Falls f ein s-t-fluß für G = (V, E) ist, dann gilt: 1 f (X, X ) = 0 für X V 2 f (X, Y ) = f (Y, X ) für X, Y V f (X Y, Z) = f (X, Z) + f (Y, Z) für X, Y, Z V mit X Y = 4 f (Z, X Y ) = f (Z, X ) + f (Z, Y ) für X, Y, Z V mit X Y = Dieses Lemma ist sehr nützlich, um wichtige Eigenschaften über Flüsse abzuleiten.

17 Lemma A (Folie 1, Seite 78 im Skript) Um Lemma A zu beweisen, dürfen wir nur die Eigenschaften eines s-t-flusses verwenden, also Zulässigkeit, Symmetrie und Flußerhaltung. Beweis für f (X, X ) = 0: f (X, X ) = 1 ( f (x 1, x 2 ) + ) f (x 1, x 2 ) 2 x 1 X x 2 X x 1 X x 2 X = 1 ( f (x 1, x 2 ) + ) f (x 2, x 1 ) 2 = 1 2 x 1 X x 1 X x 2 X x 2 X x 1 X x 2 X ( ) f (x 1, x 2 ) + f (x 2, x 1 ) = 0 Hier genügt die Symmetrie allein! (Rest als Übungsaufgabe.)

18 Anwendung des Lemmas (Folie 2, Seite 78 im Skript) Der Fluß in die Senke sollte intuitiv dem Fluß aus der Quelle entsprechen: f (s, V ) = f (V, t) Beweis mit Lemma A: f (s, V ) = f (V, V ) f (V s, V ) = f (V s, V ) = f (V, V s) = f (V, t) + f (V, V s t) = f (V, t) wegen Flußerhaltung

19 Residualnetzwerke (Folie, Seite 78 im Skript) Definition Netzwerk minus Fluß = Residualnetzwerk Gegeben ist ein Netzwerk G = (V, E) und ein Fluß f. Das Residualnetzwerk G f = (V, E f ) zu G und f ist definiert vermöge E f = { (u, v) V V c f (u, v) > 0 }, wobei c f (u, v) = c(u, v) f (u, v). c f ist die Restkapazität. Das s-t-netzwerk G f hat die Kapazitäten c f.

20 Beispiel (Folie 4, Seite 78 im Skript) 11/16 v 1 12/12 v 1/20 s 10 1/4 4/9 7/7 t 8/1 v 2 11/14 s-t-netzwerk mit Fluß f v 4 4/4 v 1 Residualnetzwerk G f 12 v 11 1 s 11 8 v v t

21 Augmentierende Pfade (Folie, Seite 78 im Skript) Ein s-t-pfad p in G f heißt augmentierender Pfad. c f (p) = min{ c f (u, v) (u, v) ist auf p } heißt Restkapazität von p. Beispiel: 11 s v v 2 12 v 1 7 t 4 11 Die Restkapazität dieses Pfades ist 4. v 4 4

22 Die Ford Fulkerson Methode (Folie 6, Seite 78 im Skript) Algorithmus Initialisiere Fluß f zu 0 while es gibt einen augmentierenden Pfad p do augmentiere f entlang p return f f p (u, v) = c f (p) falls (u, v) auf p c f (p) falls (v, u) auf p 0 sonst Augmentiere f entlang p: f := f + f p f p ist ein Fluß in G f

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