Vorlesung Diskrete Strukturen Transportnetze

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1 Vorlesung Diskrete Strukturen Transportnetze Bernhard Ganter WS 2013/14 1 Transportnetze Gerichtete Graphen Ein schlingenloser gerichteter Graph ist ein Paar (V, A), wobei V eine beliebige Menge ist, deren Elemente wir Knoten nennen und A {(v, w) v w V } eine Menge von Knotenpaaren ist, die wir Bögen nennen. Ist (v, w) ein Bogen, dann nennen wir w einen Nachfolger von v und v einen Vorgänger von w. Einen Knoten v V eines gerichteten Graphen (V, A) nennen wir eine Quelle, wenn er keinen Vorgänger hat, und eine Senke, wenn er keinen Nachfolger hat. Transportnetze Ein Transportnetz (V, A, s, q, wt) ist ein gerichteter Graph (V, A), in dem es genau eine Quelle gibt, nämlich q, und genau eine Senke, nämlich s, zusammen mit einer positiven Gewichtsfunktion wt : A R >0. Statt vom Gewicht spricht man bei Transportnetzen gern von der Kapazität eines Bogens. 1

2 Fluss Ein Fluss in einem Transportnetz (V, A, s, q, wt) ist eine nichtnegative Kantenbewertung f : A R 0 mit der Eigenschaft, dass für alle Knoten v V \{q, s} die folgende Gleichung gilt: f(w, v) = f(v, w). w Vorgänger von v w Nachfolger von v ( Was in v hineinfließt, fließt auch heraus. ) Ein Fluss f heißt zulässig, wenn f(v, w) wt(v, w) für alle (v, w) A gilt. Verallgemeinerung der Flusserhaltung In jedem endlichen Transportnetzwerk gilt die oben formulierte Bedingung nicht nur für einzelne Knoten, sondern für Teilmengen: Hilfssatz 1. Ist T V \ {q, s} eine endliche Teilmenge der Knotenmenge eines Transportnetzes, die weder die Quelle noch die Senke enthält, dann gilt f(w, v) = f(v, w) für jeden Fluss f. (w, v) A w / T, v T (v, w) A v T, w / T Das beweist man durch Induktion über die Mächtigkeit von T. Die Stärke eines Flusses Wählt man im Hilfssatz die Menge T maximal, also T := V \{q, s}, dann ergibt sich Hilfssatz 2. w Nachfolger der Quelle q f(q, w) = w Vorgänger der Senke s f(w, s). Was aus der Quelle herausfließt, fließt in die Senke hinein. Man gibt dieser Summe die Abkürzung f und nennt f die Stärke des Flusses f. 2

3 Partitionierung Man erhält noch folgendes: Partitioniert man die Knotenmenge V in irgendeiner Weise in zwei Mengen M, N, von denen die eine die Quelle und die andere die Senke enthält, also für V = M N, q M, s N, dann ergibt sich als Differenz genau die Stärke des Flusses: f = f(v, w) f(w, v). (v, w) A v M, w N (w, v) A v M, w N Was von M nach N fließt und nicht zurück, ist genau so viel, wie von der Quelle zur Senke fließt. Summen von Flüssen Summen von Flüssen eines Netzwerkes sind stets wieder Flüsse. Allerdings muss eine Summe zulässiger Flüsse nicht wieder zulässig sein. Ein Fluss f heißt eingleisig, wenn es einen gerichteten Weg von der Quelle zur Senke gibt mit der Eigenschaft, dass f den Wert Null hat für alle Bögen, die nicht zu diesem Weg gehören. Hilfssatz 3. Jeder Fluss eines endlichen Transportnetzwerkes lässt sich als Summe eingleisiger Flüsse darstellen. Schnitt Ein Schnitt in einem Transportnetzwerk (V, A, q, s, wt) ist eine Menge S A mit der Eigenschaft, dass es im gerichteten Graphen (V, A\S) keinen gerichteten Weg von q zu s gibt. Anders formuliert ist ein Schnitt eine Bogenmenge, die aus jedem gerichteten Weg von q nach s mindestens einen Bogen enthält. Die Kapazität eines Schnitts S ist definiert als wt(s) := wt(v, w). (v,w) S 3

4 Beobachtung Hilfssatz 4. Ist S ein Schnitt des endlichen Transportnetzwerks (V, A, q, s, wt) und f ein zulässiger Fluss, dann gilt f wt(s). Beweisidee: Der gegebene Fluss f lässt sich als Summe f = f f r eingleisger Flüsse schreiben. Ein eingleisiger Fluss hat Werte ungleich Null nur auf einem gerichteten Weg von der Quelle zur Senke, er durchläuft also einen Bogen des Schnitts. Wird ein Bogen des Schnitts von mehreren Summandenflüssen durchlaufen, dann müssen sich diese den Bogen teilen : Die Summe der Stärken dieser eingleisigen Flüsse darf die Kapazität des Bogens nicht überschreiten. Daraus folgt das Weitere. Der Schnitt-Fluss Satz (max flow = min cut) Satz 1. Es sei (V, A, q, s, wt) ein endliches Transportnetz. Dann gilt max f = min wt(s). f zul. Fluss S Schnitt Der stärkste zulässige Fluss ist also genau so stark wie die Kapazität des kleinsten Schnitts. Zum Beweis dieses Satzes geben wir einen Algorithmus an, der zu einem gegebenen Netzwerk einen zulässigen Fluss f und einen Schnitt S der Kapazität wt(s) = f konstruiert. Nach dem Hilfssatz muss dieser Fluss maximal stark und der Schnitt von minimaler Kapazität sein. Der Satz ist damit also bewiesen. Flussverbesserung Genauer gesagt leistet der Algorithmus bei einem Durchlauf folgendes: Ausgehend von einem zulässigen Fluss im gegebenen Netzwerk konstruiert der Algorithmus einen stärkeren zulässigen Fluss oder einen Schnitt, dessen Kapazität gleich der Stärke des gegebenen Flusses ist. Sind die auftretenden Gewichte und Flussstärken ganzzahlig, dann ist auch die Verbesserung ganzzahlig. Damit kann man zeigen, dass der Algorithmus irgendwann (nach endlich vielen Durchläufen) den Fluss nicht mehr verbessern kann und deshalb einen minimalen Schnitt gefunden haben muss. 4

5 Markierung Beim Markierungsalgorithmus werden die Knoten des Netzwerkes, ausgehend von der Quelle, nach bestimmten Regeln nacheinander markiert. Erreicht man dabei die Senke, kann der vorliegende Fluss verbessert werden, wenn nicht, wird der gesuchte Schnitt gefunden. Eine Marke der Markierung ist ein Paar, in dem die jeweilige Vorgängerecke notiert ist sowie die mögliche Flussverbesserung. Zu Beginn, bei der Quelle, gibt es allerdings keine Vorgängerecke und die Verbesserung ist noch potenziell unbegrenzt. Gegeben sei nun also ein endliches Transportnetz (V, A, q, s, wt) und ein zulässiger Fluss f, z.b. der Fluss f(v, w) := 0 für alle (v, w) A. 2 Markierungsalgorithmus 2.1 Der Markierungsalgorithmus 1. Markiere die Quelle q mit der Marke (, ). 2. Sobald die Senke s markiert wurde, stopp. Solange die Senke nicht markiert ist, wiederhole die Schritte (3) und (4), bis weder (3) noch (4) zu einer weiteren Marke führen. 3. Falls es einen Bogen (v, w) A gibt, so dass v markiert, w unmarkiert und wt(v, w) f(v, w) > 0 ist, markiere w mit der Marke (v +, (w)), wobei (w) := min{ (v), wt(v, w) f(v, w)}. 4. Falls es einen Bogen (v, w) A gibt, so dass w markiert, v unmarkiert ist und f(v, w) > 0 ist, markiere v mit der Marke (w, (v)), wobei (v) := min{ (w), f(v, w)}. Zum Verständnis Es wird von der Quelle aus versucht, den gegebenen Fluss zu verstärken. Die markierten Knoten sind solche, bis zu denen eine Flussverbesserung schon gefunden wurde. Schritt (3) treibt diese Verbesserung nach Möglichkeit noch weiter, vorwärts 5

6 längs eines nicht ausgelasteten Bogens. Schritt (4) untersucht, ob es Bögen gibt, bei denen der Fluss in die falsche Richtung, d.h. von einem nicht markierten Knoten zu einem markierten fließt, und vermindert nach Möglichkeit solchen Rückfluss. Es kommt nicht auf die Reihenfolge der Schritte (3) und (4) an. Die invariante Bedingung Hilfssatz 5. Wenn beim Markierungsalgorithmus einen Knoten v mit (v) markiert wurde, dann gibt es eine Folge (q = v 0,..., v r = v) von Knoten mit der Eigenschaft, dass für alle i {0,... r 1} einer der beiden folgenden Fälle eintritt: 1. v i+1 ist mit (v + i, (v i+1)) markiert und der Fluss durch den Bogen (v i, v i+1 ) ist um mindestens (v) kleiner als die Kapazität dieses Bogens, oder 2. v i ist mit (v i+1, (v i)) markiert und der Fluss durch den Bogen (v i+1, v i ) ist mindestens (v). Dies beweist man per Induktion über die Anzahl der Schritte im Algorithmus. Was der Hilfssatz bedeutet In Worten: Wenn v markiert ist, dann gibt einen ungerichteten Weg von der Quelle zu v, längs dem der Fluss um (v) verbessert werden kann: Die Vorwärtskanten haben noch freie Kapazität und der Fluss kann erhöht werden, bei den Rückwärtskanten wird der Fluss entsprechend erniedrigt. q f < wt f < wt f > 0 f < wt f > 0 f < wt v Die Erhaltungsbedingung ist allerdings für den verbesserten Fluss bei dem Knoten v nicht gewährleistet. 6

7 Falls der Markierungsalgorithmus die Senke erreicht Falls die Senke s erreicht wird, gibt es eine Folge (q = v 0,..., v r = s) mit den im Hilfssatz angegebenen Eigenschaften. Definiert man nun eine Abbildung f + : A R durch f(x, y) + (s) falls (x, y) = (v i, v i+1 ) für ein i {0,..., r 1} und Fall (1) des Hilfssatzes eintritt, f + (x, y) := f(x, y) (s) falls (x, y) = (v i+1, v i ) für ein i {0,..., r 1} und Fall (2) des Hilfssatzes eintritt, f(x, y) sonst, dann ist f + ein zulässiger Fluss und f + = f + (s). Falls der Markierungsalgorithmus die Senke nicht erreicht Wenn der Markierungsalgorithmus die Senke nicht erreicht, dann beginnt jeder gerichtete Weg von der Quelle zur Senke mit einem markierten Knoten (nämlich q) und endet mit einem unmarkierten (nämlich s). Deshalb enthält jeder solche Weg einen Bogen, der von einem markierten Knoten zu einem unmarkierten führt. Die Menge ist deshalb ein Schnitt. S := {(v, w) A v markiert, w unmarkiert } Sei nun M die Menge der markierten Knoten und N die Menge der nicht markierten. Wir untersuchen im Einzelnen, wie sich der Fluss auf diesen Bögen verhält. Die Bögen von M nach N Die Bögen, die von M nach N führen, also von einem markierten zu einem unmarkierten Knoten, bilden genau den Schnitt S. Ist (v, w) eine solcher Bogen, dann muss, weil Schritt (3) des Markierungsalgorithmus nicht ausgeführt werden konnte, wt(v, w) = f(v, w) sein. Daraus erhalten wir wt(s) = f(v, w). (v,w) S 7

8 Der Schnitt S ist also voll ausgelastet. Aber Vorsicht: Das bedeutet nicht zwingend, dass der Schnitt minimal ist! Dazu müssen wir noch weiter argumentieren. Die Bögen von N nach M Die Bögen (v, w), die von v N nach w M führen, also von unmarkierten zu markierten Knoten, werden vom Schritt (4) des Markierungsalgorithmus angesprochen. Der Algorithmus stoppt nur, wenn all diese Bögen den Fluss f(v, w) = 0 haben. Führt man die Gleichung von der vorigen Folie mit den Überlegungen von Folie 7 zusammen, erhält man wt(s) = f(v, w) 0 = (v,w) S (v, w) A v M, w N = f. f(v, w) (w, v) A v M, w N f(w, v) Die Kapazität dieses Schnitts ist die Stärke des Flusses f!. Beispiel (1) Die Graphik zeigt ein sehr einfaches Transportnetzwerk mit einem zulässigen Fluss f der Stärke f = 13. Die Bögen (v, w) sind in der Form wt(v, w) f(v, w) beschriftet, also mit Gewicht Fluss. q 12 8 d 10 8 c d s q 6 5 s c a b a b Im ersten Lauf markiert der Algorithmus z.b. einen Weg von der Quelle zur Senke, längs dem der Fluss um 2 verbessert werden kann. Beispiel (2) Wendet man den Algorithmus auf den verbesserten Fluss an und verwendet zunächst nur Schritt (3), dann werden die Knoten q, a und d markiert. 8

9 q d c d s q 6 5 s c a b a b Anwenden von Schritt (4) des Algorithmus auf den Bogen (c, a) führt schließlich zur Markierung der Senke und zu einem ungerichteten Weg (q, a, c, s), längs dem der Fluss um 3 verbessert werden kann. Beispiel (3) Der verbesserte Fluss hat nun die Stärke 18. Er ist optimal, denn erneutes Anwenden des Markierungsalgorithmus erreicht die Senke nicht. q d c d s q 6 2 s c a b a b Die Bögen von markierten zu unmarkierten Knoten bilden den Schnitts S := {(a, b), (c, s)}, dessen Kapazität gleich 18, also gleich der Stärke des Flusses und damit minimal ist. Literaturhinweis Das Max-Flow-Min-Cut Theorem und der Markierungsalgorithmus wurden vor gut 50 Jahren von den Autoren Ford und Fulkerson vorgestellt. Eine sorgfältige Darstellung mit Angabe von Laufzeitabschätzungen findet man in dem Buch Graphentheoretische Konzepte und Algorithmen von Sven Oliver Krumke und Hartmut Noltemeier. Der Markierungsalgorithmus ist sehr schnell, wenn man bei der Wahl der flussverbessernden Wege etwas vorsichtig ist. Der so modifizierte Algorith- 9

10 mus wird auch der Edmonds-Karp-Algorithmus genannt und ebenfalls in dem oben genannten Buch vorgestellt. 3 Matchings usw. Successful Dating Gegeben sei ein formaler Kontext (F, M, I), der wie folgt interpretiert wird: die Elemente von F nennen wir Frauen, die von M Männer und die Inzidenzerelation I lesen wir als haben aneinander Interesse. m 1 m 2 m 3 m 4 m 5 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 Der Einfachheit halber setzen wir voraus, dass die Mengen F und M disjunkt und endlich sind. Nicht vorausgesetzt wird, dass die Mengen gleichmächtig sind. Matchings Als ein Matching in (F, M, I) bezeichnet man jede monogame Teilrelation der Inzidenzrelation, d.h. jede Teilmenge H I, die die Bedingung (f1,m 1 ),(f 2,m 2 ) H f 1 = f 2 m 1 = m 2 erfüllt. m 1 m 2 m 3 m 4 m 5 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 Eine Standardaufgabe besteht nun darin, zu vorgegebener Inzidenzrelation möglichst große Matchings zu finden. Man unterscheidet gesättigte Matchings, maximale Matchings und perfekte Matchings. 10

11 Bipartite Graphen Matchings kann man in beliebigen Graphen definieren. Wir beschränken uns hier auf bipartite (ungerichtete) Graphen. Eine unabhängige Knotenmenge in eine Graphen (V, E) ist eine Menge U V von paarweise nicht adjazenten Knoten. Ein Graph (V, E) heißt bipartit, wenn sich seine Knotenmenge als (disjunkte) Vereinigung V = U 1 U 2 zweier unabhängiger Mengen schreiben lässt. m 1 m 2 m 3 m 4 m 5 m 1 m 2 m 3 m 4 m 5 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 Matchings in Graphen m 1 m 2 m 3 m 4 m 5 m 1 m 2 m 3 m 4 m 5 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 Ein Matching in einem Graphen ist eine Menge von paarweise disjunkten Kanten. m 1 m 2 m 3 m 4 m 5 m 1 m 2 m 3 m 4 m 5 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 Vertex Covers Eine Knotenüberdeckung (engl.: vertex cover) ist eine Menge C V von Knoten, deren Wegnahme den Graphen kantenlos macht. C V ist also genau dann eine Knotenüberdeckung, wenn folgendes gilt: {v,w} E C {v, w}. 11

12 Hilfssatz 6. C V ist genau dann eine Knotenüberdeckung, wenn die Komplementärmenge V \ C unabhängig ist. Die Aufgaben, für einen vorgelegten Graphen eine möglichst kleine Knotenüberdeckung, eine möglichst große unabhängige Menge oder einen möglichst großen vollständigen Teilgraphen zu finden, sind eng verwandt (und allesamt N P-schwer). Champions League Auslosung 2013 Regeln: 1. Gruppenzweite besitzen im Achtelfinale zuerst Heimrecht. 2. Jeder Gruppenzweite spielt gegen einen Gruppenersten. 3. Kein Gruppenzweiter spielt gegen den Ersten der gleichen Gruppe. 4. Keine Mannschaft spielt gegen eine andere aus dem gleichen Land. 12

13 Der Satz von König Satz 2 (von König). In jedem endlichen bipartiten Graphen ist die größtmögliche Mächtigkeit eines Matchings gleich der kleinsten Anzahl von Knoten, deren Wegnahme den Graphen kantenlos macht. m 1 m 2 m 3 m 4 m 5 Die gefüllten Kreise markieren einen Vertex Cover, die roten Linien ein Matching. f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 Übersetzung in ein Transportnetz Man verwandelt den gegebenen bipartiten Graphen in ein Transportnetz, indem man eine Quelle q und eine Senke s hinzufügt, alle Kanten von q nach s richtet und Kantengewichte definiert. Die Bögen, die von q ausgehen und die, die in s enden, erhalten das Gewicht 1, die anderen ein Gewicht, welches größer ist als die Anzahl der Knoten. s Gewicht 1 Gewicht V + 1 q Gewicht 1 Fluss Matching 13

14 s q Weil der Markierungsalgorithmus bei ganzzahligen Kapazitäten auch ganzzahlige Flüsse liefert, erhält man Flüsse, die sich aus eingleisigen Flüssen der Stärke 1 auf kantendisjunkten Wegen zusammensetzen. Diese durchlaufen den bipartiten Teil auf disjunkten Kanten, also auf einem Matching. Die Anzahl der Kanten in einem solchen Matching ist gleich der Stärke des Flusses. Umgekehrt erhält man aus jedem Matching einen Fluss der entsprechenden Stärke. Der Markierungsalgorithmus findet also ein maximales Matching! Minimaler Schnitt Knotenüberdeckung Weil die Bögen im Mittelteil so großes Gewicht haben, kann keiner von ihnen an einem minimalen Schnitt beteiligt sein. Ein minimaler Schnitt besteht als nur aus Bögen, die in der Quelle starten oder in der Senke enden. Setze für eine solche Bögenmenge C A X := {v V (q, v) C} Y = {v V (v, s) C}. Dann ist C genau dann ein Schnitt, wenn es keinen Bogen von X nach Y gibt, also wenn X Y eine Knotenüberdeckung des bipartiten Graphen ist. Beweis des Satzes 14

15 s Die von q und s verschiedenen Endpunkte der Bögen eines minimalen Schnitts bilden eine Knotenüberdeckung des bipartiten Graphen. Die Anzahl der Elemente dieser Knotenüberdeckung ist gleich der Kapazität des Schnitts und gleich der Anzahl der Kanten im zugehörigen Matching. q Damit ist der Satz von König bewiesen und zugleich ein Algorithmus angegeben, ein maximales Matching zu konstruieren. Alle verkuppeln? Im Beispiel war die maximale Größe eines Matchings kleiner als die Anzahl der Frauen und die der Männer. Zur leichteren Formulierung machen wir die Sache asymmetrisch und fragen, unter welchen Bedingungen es dann möglich ist, alle Männer zu verkuppeln, also ein Matching der Größe M zu finden? Ein solches Matching nennen wir eine Heirat. (Die einfachste Methode besteht darin, die Inzidenzrelation zu vergrößern. Das stößt aber vielleicht nicht auf Zustimmung der Betroffenen.) Der Heiratssatz Gegeben sei wieder ein endlicher formaler Kontext (F, M, I) mit F M =. Für beliebige Teilmengen P M definiere F (P ) := {f F m P f I m}. Satz 3 (Heiratssatz). Die folgenden Aussagen sind äquivalent: 1. Es gibt mindestens eine Heirat. 2. Für jede Teilmenge P M gilt F (P ) P. Dass aus (1) die Bedingung (2) folgt, ist einfach zu sehen. 15

16 Beweis des Heiratssatzes, Beweisteil (2) (1) Ein Beweis des Heiratssatzes kann leicht aus dem Satz von König abgeleitet werden. Dazu betrachten wir wieder das oben definierte Transportnetz. Die Menge {m, s) m M} ist natürlich ein Schnitt der Kapazität M. Nun betrachte einen Schnitt C minimaler Kapazität. Wir hatten schon argumentiert, dass C = {(q, f) f X} {(m, s) m Y } für geeignete Teilmengen X F, Y M sein muss. Wenn nun Y := M\Y gilt, dann muss F (Y ) X sein, insgesamt also C Y + F (Y ) M, wenn die Bedingung (2) des Heiratssatzes erfüllt ist. Die minimale Schnittkapazität ist also gleich M. 4 Stable Marriage 4.1 Dauerhaft daten! Mit dem Heiratssatz ist der Beitrag der Graphentheorie zum Glück der Geschlechter natürlich längst noch nicht ausgeschöpft. Es soll hier noch kurz auf einen weiteren Satz hingewiesen werden, der für die Praxis viel beruhigender ist als der Heiratssatz. Dazu werden die Annahmen leicht geändert: Statt einer passt/ passt nicht Entscheidung kommt im neuen Modell jeder Mann für jede Frau infrage (und umgekehrt), allerdings hat jede beteiligte Person eine individuelle Präferenzliste, eine lineare Ordnung aller Personen des anderen Geschlechts. Nimmt man an, dass es gleichviele Männer und Frauen gibt, dann gibt es natürlich ein vollständiges Matching. Stabile Matchings Ein Matching H heißt instabil, wenn es Paare (f, m), (f, m ) H gibt, so dass f lieber m als m mag und m lieber f als f mag. Das Paar (f, m ) 16

17 heißt dann unzufrieden in H. Ein Matching heißt folglich stabil, wenn es keine unzufriedenne Paare enthält. Das Stable Marriage Theorem besagt, dass es (bei gleich vielen Männern und Frauen) stets ein vollständiges stabiles Matching gibt. Also los, an die Arbeit! 17

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