Fluß. Flußnetzwerk. Definition 6.2. Es sei N = (G, c, s, t) ein Flußnetzwerk. Für einen Knoten

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1 6. Flüe un Zuornungen Fluß In ieem Kapiel weren Bewerungen von Kanen al maximale Kapaziäen inerpreier, ie üer iee Kane pro Zeieinhei ranporier weren können. Wir können un einen Graphen al Verorgungnezwerk vorellen, z.b. al Daennez. Die enheiene Frage i, welhen maximalen Durhaz wir erreihen können. Wieviele Einheien können wir maximal von einem Knoen zu einem aneren pro Zeieinhei ranporieren? Definiion 6.2. E ei N = (G,,, ) ein Flußnezwerk. Für einen Knoen v V ei A in (v) := {(u, v) A} un A ou (v) := {(v, u) A}. Eine Ailung f : A IR heiß Fluß auf N, wenn ie folgenen Beingungen erfüll in: 1. 0 f(e) (e) für alle e A,.h. ie Kapaziä wir für keine Kane üerhrien un 2. e A in (v) f(e) = e A ou (v) f(e) für alle v V \ {, },.h. au jeem Knoen fließ genauoviel herau wie hinein, mi Aunahme er Quelle un Senke. Einführung in ie Graphenheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/ Einführung in ie Graphenheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/ Flußnezwerk Ein Flußnezwerk N i ein Tupel N = (G,,, ) ee- Definiion 6.1. hen au: G = (V, A), einem geriheen Graphen, : A IR +, einer Kapaziäfunkion auf en geriheen Kanen mi nihnegaiven Weren un, V, zwei augezeihneen Knoen, er Quelle un er Senke mi. Lemma 6.1. Φ(f) := Definiion 6.3. f auf N. Für einen Fluß f eine Flußnezwerk N = (G,,, ) gil e A ou () f(e) e A in () f(e) = e A in () f(e) e A ou () f(e) Der Wer Φ(f) au Lemma 6.1 heiß Wer e Flue Ein Fluß f mi Φ(f) Φ(f ) für alle Flüe f auf N heiß Maximalfluß auf N. Da Maximalflußprolem eeh arin, zu einem gegeenen Flußnezwerk einen Maximalfluß zu eimmen. Bemerkung: Da Maximalflußprolem kann al LP formulier weren. Einführung in ie Graphenheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/ Einführung in ie Graphenheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/05 201

2 Zunehmener Weg Weg erreihar in, un ei T := V \ S. Für jee Kane (v, w), v S, w T gil: f(v, w) = (v, w) Definiion 6.4. Gegeen ei ein Flußnezwerk N = (G,,, ) mi einem Fluß f. Eine Folge (v 0,..., v k ) heiß zunehmener Weg zgl. f gw. für jee i = 1,..., k eine er folgenen Beingungen erfüll i: Für jee Kane (w, v), w T, v S gil: f(w, v) = 0 Anhaulih: Die Kanen zwihen S un T ilen einen Engpaß, er eine Flußerhöhung verhiner. 1. (v i 1, v i ) A un f(v i 1, v i ) < (v i 1, v i ) Vorwärkane 2. (v i, v i 1 ) A un f(v i, v i 1 ) > 0 Rükwärkane Vorwärkane 1 Rükwärkane Einführung in ie Graphenheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/ Einführung in ie Graphenheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/ Offenihlih können wir en Fluß erhöhen, wenn wir einen zunehmenen Weg gefunen haen. Die Exienz eine zunehmenen Wege i alo hinreihen für eine Flußerhöhung. Der folgene Saz zeig, aß iee Krierium auh nowenig i. Saz 6.2. Ein Fluß f in einem Flußnezwerk N i genau ann ein Maximalfluß, wenn kein zunehmener Weg von nah exiier. Bewei. : Wenn ein zunehmener Weg W von nah exiier, ann kann Φ(f) um a Minimum er Were (e) f(e) für Vorwärkanen von W zw. f(e) für Rükwärkanen von W erhöh weren. : E gee keinen zunehmenen Weg von nah. E ei S ie Menge er Knoen, ie von au mi einem zunehmenen Berehnung eine Maximalflue Saz 6.2 liefer ie Bai zur Berehnung eine Maximalflue. 1. Wir aren mi einem elieigen Fluß, z.b. f(e) = 0 für alle e A. Weier mi Wenn e keinen zunehmenen Weg zgl. f gi, ann STOP. Anonen weier mi Sei W = ( = v 0, v 1,..., v k = ) ein zunehmener Weg von nah zgl. f un ei z := min( {(v i 1, v i ) f(v i 1, v i ) (v i 1, v i ) Vorwärkane von W} {f(v i, v i 1 ) (v i, v i 1 ) Rükwärkane von W} ) Einführung in ie Graphenheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/ Einführung in ie Graphenheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/05 205

3 Seze f(v i 1, v i ) := f(v i 1, v i ) + z für jee Vorwärkane (v i 1, v i ). Seze f(v i, v i 1 ) := f(v i, v i 1 ) z für jee Rükwärkane (v i, v i 1 ). Weier mi 2. Beipiel 6.1. Wir erahen a folgene Flußnezwerk. Die Kapaziä i für alle Kanen 1. Der Fluß i zunäh auf allen Kanen 0. a (,,, ) i ein zunehmener Weg mi z = 1. Alle Kanen e Wege in Vorwärkanen. Markierungalgorihmu Der Markierungalgorihmu von For un Fulkeron (1956) konkreiier a Verfahren zur Berehnung maximaler Flüe. Man markier ukzeive ie Knoen w auf einem zunehmenen Weg mi rei Weren v(w), r(w), z(w). v(w) i er Vorgänger von w in em zunehmenen Weg. r(w) gi ie Rihung er verweneen Kane an ( = Vorwärkane, = Rükwärkane). z(w) i er möglihe zuäzlihe Fluß auf em Weg nah w. Einführung in ie Graphenheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/ Einführung in ie Graphenheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/ Flußerhöhung auf em zunehmenen Weg ergi en Graphen: a Auf er Rükwärkane wir er Fluß verringer, anonen erhöh. a Algorihmu 6.1. Gegeen ei ein Flußnezwerk N = (G,,, ) un ein iniialer Fluß f(e) Seze S := {}, R := {}, z() :=. mi Φ(f) = 1. (, a,,,, ) i nun ein zunehmener Weg mi z = 1, woei (, ) eine Rükwärkane i. Wir haen Φ(f) = 2 un e exiier kein zunehmener Weg. Dami i er angegeene Fluß ein Maximalfluß. 2. Wähle einen Knoen u R. Seze R := R \ {u}. 3. Für alle w V \ S mi (u, w) A un f(u, w) < (u, w): S := S {w}, R := R {w}, v(w) := u, r(w) :=, z(w) := min{z(u), (u, w) f(u, w)} 4. Für alle w V \ S mi (w, u) A un f(w, u) > 0: S := S {w}, R := R {w}, v(w) := u, r(w) :=, z(w) := min{z(u), f(w, u)} Einführung in ie Graphenheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/ Einführung in ie Graphenheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/05 209

4 5. Fall R =, ann STOP. Fall S, ann weier mi 6, anonen weier mi z := z(); w :=. 7. Fall r(w) = : u := v(w), f(u, w) := f(u, w) + z Fall r(w) = : u := v(w), f(w, u) := f(w, u) z Saz 6.4. Erez man in Algorihmu 6.1 en Shri 2 urh 2a. Wähle en Knoen u R, er zuer in R eingefüg wure. Seze R := R \ {u}. ann erehne er Markierungalgorihmu für elieige Kapaziäfunkionen in O( V E 2 ) einen Maximalfluß. 8. w := v(w). Fall w =, ann weier mi 1, anonen weier mi 7. Saz 6.3. Sei N = (G,,, ) ein Flußnezwerk mi raionaler Kapaziäfunkion. Dann erehne Algorihmu 6.1 einen maximalen Fluß f auf N. Beipiel 6.2. Anwenung e Markierungalgorihmu. Tafel Einführung in ie Graphenheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/ Einführung in ie Graphenheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/ Bemerkung Flüe un Zuornungen max-flow min-u Trennener Shni Bei irraionalen Kapaziäen kann e vorkommen, aß er Markierungalgorihmu immer weiere Vereerungen e Flußwere fine, ohne jemal zu erminieren. Auh ei ganzzahligen Kapaziäen i ie Laufzei e Markierungalgorihmu nih polynomial, a ie Anzahl er Shrie von ahängen kann. Eine polynomiale Lauzei erhäl man aer, wenn man für ie Suhe nah einem zunehmenen Weg ie Breienuhe einez (Emon un Karp, 1972). Wie groß kann er Fluß in em folgenen Flußnezwerk h öhen ein? a Der Fluß kann nih größer al ie Kapaziä er er Kane (, ) ein, a jeer Weg von nah iee Kane enhäl. Die Kane (, ) i ein ogenanner rennener Shni. e f Einführung in ie Graphenheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/ Einführung in ie Graphenheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/05 213

5 6. Flüe un Zuornungen max-flow min-u Definiion 6.5. E ei N = (G,,, ) ein Flußnezwerk mi G = (V, A). 6. Flüe un Zuornungen max-flow min-u Beipiel 6.3. Wie groß i er Maximalfluß in em folgenen Graphen? Für eine Teilmenge S V heiß A S := {(v, w) A v S, w V \ S} Shni von G. Fall S, V \ S, o i A S ein rennener Shni. Ein rennener Shni A S mi minimaler Kapaziä (A S ) := e A S (e) heiß minimaler Shni. f(s, B) = f(b, T) = 3, f(s, A) = 5, f(a, C) = f(c, T) = 2, f(a, D) = f(d, T) = 3 alo Φ(f) = 8. Die Kapaziä e rennenen Shnie {(S, B), (C, T), (D, T)} i 8. Alo i f ein Maximalfluß. Einführung in ie Graphenheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/ Einführung in ie Graphenheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/ Flüe un Zuornungen max-flow min-u Saz 6.5. [max-flow-min-u-theorem] In einem Flußnezwerk N = (G,,, ) i er Wer eine maximalen Flue gleih er Kapaziä eine minimalen Shnie. Bewei. Tafel. Bemerkung 6.2. Kennen wir einen Fluß f un finen wir einen rennenen Shni A S mi Φ(f) = (A S ), o i f ein Maximalfluß. Für ie Menge S ei Terminierung von Algorihmu 6.1 i A S ein minimaler Shni (vgl. Bewei zu Saz 6.2). Der Markierungalgorihmu erehne alo nih nur einen maximalen Fluß onern auh einen minimalen Shni. Einführung in ie Graphenheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/05 215