Teil 2: Graphenalgorithmen
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- Elke Kerner
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1 Teil : Grphenlgorithmen Anwenungen Definitionen Dtentrukturen für Grphen Elementre Algorithmen Topologihe Sortieren Kürzete Wege Miniml ufpnnene Bäume Flüe in Netzwerken Zummenhngkomponenten M.O.Frnz, Dezemer 007 Algorithmen un Dtentrukturen - Grphenlgorithmen -
2 Prolemtellung () Netzwerk: Ein Netzwerk it ein gewihteter, gerihteter Grph mit zwei peziellen Knoten: Quelle (engl. oure): Knoten ohne eingehene Knten Senke (engl. ink): Knoten, ohne ugehene Knten. Die Gewihte (v,w) weren uh l Kpzitäten ezeihnet. Beipiel: 4 Netzwerk mit Quelle, Senke un Kpzitäten. Anwenungen: Strßenverkehrnetz: Kpzitäten geen mximl möglihe Verkehrihte je Strße n. Knlitionyytem: Kpzitäten geen mximle Wermenge n, ie je Zeiteinheit urh ein Rohr fließen knn. M.O.Frnz, Dezemer 007 Algorithmen un Dtentrukturen - Grphenlgorithmen -
3 Flüe Prolemtellung () Ein Fluß f in einem Netzwerk G ornet jeer Knte (v,w) eine Zhl f(v,w) mit folgenen Eigenhften zu: () Kpzitätehränkung: 0 f(v,w) (v,w); () für jeen Knoten (ußer Quelle un Senke) gilt ie Erhltungeigenhft: ie Summe er eingehenen Flüe it gleih er Summe er ugehenen Flüe. Folgerung: Die Summe er Flüe, ie u er Quelle gehen, mu gleih er Summe er Flüe ein, ie n er Senke nkommen. Wert eine Flue: Der Wert eine Flue it gleih er Summe er Flüe, ie ie Quelle verlen. Ziel: Betimme en mximlen Flu Genuer: etimme einen Flu mit mximlem Wert. M.O.Frnz, Dezemer 007 Algorithmen un Dtentrukturen - Grphenlgorithmen -
4 Prolemtellung () Beipiel für Netzwerk mit mximlen Flu: / / 0/ / / /4 / / Flu / Kpzität Mximler Flu ht en Wert 5. Anwenungen: Welhen Verkehrflu verkrftet eine Stt, für ie ein Strßenverkehrnetz gegeen it. Welhe Wermenge lät ih urh eine Knlition höhten trnportieren. M.O.Frnz, Dezemer 007 Algorithmen un Dtentrukturen - Grphenlgorithmen -4
5 Algorithmu () Grotruktur: Strte mit Null-Flu,.h. f(v,w) = 0 für lle Knten (v,w); o { () // Erweiterungweg uhen: Suhe einen Weg von nh, ei em jee Knte um einen Flu f vergrößert weren knn; () // Fluerweiterung: vergrößere für jee Knte e Wege f um f; } while (Flu konnte erweitert weren); 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ 0/4 0/ 0/ Null-Flu.,,, it ein mögliher Erweiterungweg: jee Knte knn um en Flu f = vergrößert weren. M.O.Frnz, Dezemer 007 Algorithmen un Dtentrukturen - Grphenlgorithmen -5
6 Prolem: Algorithmu () Die Whl eine Erweiterungwege knn in eine Skge führen (uoptimle Löung). Beipiel: 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ 0/4 0/ 0/ Erweiterungweg, ei em jee Knte um f = vergrößert weren knn. / 0/ 0/ Nh Fluerweiterung: 0/ 0/ 0/ /4 / Flu ht nun en Wert. Prolem: E git nun keinen weiteren Erweiterungweg, owohl e eine Löung mit einem Fluwert von 5 git (iehe S. 09) M.O.Frnz, Dezemer 007 Algorithmen un Dtentrukturen - Grphenlgorithmen -6
7 Löung: Algorithmu () Mn erlut nh er Vergrößerung uh wieer eine Verkleinerung von Kntenflüen. Verwlte zu ußer Grph G mit en ktuellen Flüen zuätzlih einen ogennnten Reiulgrphen G r (reiul = l Ret zurükleien). Im Reiulgrph wir gepeihert, um welhen Wert er Flu jeer Knte noh veränert weren rf (Reiulflu): () f(v,w) > 0 rf verkleinert weren: Ht eine Knte (v,w) en Flu f(v,w) > 0, nn wir im Reiulgrphen ie Knte (w,v) mit em Reiulflu f(v,w) gepeihert. Behte: Knte in G r verläuft in umgekehrter Rihtung. (Fluerhöhung in umgekehrter Rihtung verkleinert en Flu.) () f(v,w) < (v,w) rf vergrößert weren: Ht eine Knte (v,w) en Flu f(v,w) < (v,w), nn wir im Reiulgrphen ie Knte (v,w) mit Reiulflu (v,w) - f(v,w) gepeihert. M.O.Frnz, Dezemer 007 Algorithmen un Dtentrukturen - Grphenlgorithmen -7
8 Beipiel: Reiulgrph für Nullflu Algorithmu () 0/ 0/ 0/ 0/4 0/ 0/ 0/ 0/ Grph G mit Nullflu. 4 Reiulgrph G mit r Reiulflüen Beipiel: Reiulgrph nh Fluerweiterung,,, wir l Erweiterungweg gewählt. Flu lät ih um f = vergrößern. 0/ / 0/ 0/ /4 0/ / 0/ Grph G mit Fluwert. Reiulgrph G mit r Reiulflüen Flu von nh rf um i zu verringert weren. Flu von nh rf um i zu erhöht un i zu verringert weren. Flu von nh rf um i zu verringert weren. M.O.Frnz, Dezemer 007 Algorithmen un Dtentrukturen - Grphenlgorithmen -8
9 Engültige Formulierung: Algorithmu (4) Initiliiere Grph G mit Null-Flu,.h. f(v,w) = 0 für lle Knten (v,w); Initiliiere Reiulgrph G r ; o { () // Erweiterungweg uhen: Suhe im Reiulgrphen G r einen Weg p von nh ; f = Minimum ller Reiul-Flüe im Weg p; () // Flu vergrößern: vergrößere für jee Knte (v,w) im Weg p en Flu um f (ehte ei, umgekehrte Reiulflüe en Flu verkleinern); führe entprehene Änerungen im Reiulgrphen urh; } while (Flu konnte vergrößert weren); Anätze, um einen Erweiterungweg von nh im Reiulgrphen zu uhen: uhe en Weg mit em größten f (wie ei kürzete Wege in Ditnzgrphen; iehe Algorithmu von Dijktr) uhe Weg mit kleinter Kntenzhl (wie kürzete Wege in ungewihteten Grphen urh erweiterte Breitenuhe) M.O.Frnz, Dezemer 007 Algorithmen un Dtentrukturen - Grphenlgorithmen -9
10 Beipiel () Strte mit Nullflu 0/ 0/ 0/ 0/ 0/4 4 0/ 0/ 0/ Grph G mit Nullflu Reiulgrph G r mit Reiulflüen M.O.Frnz, Dezemer 007 Algorithmen un Dtentrukturen - Grphenlgorithmen -0
11 Beipiel () Suhe Weg mit größten f im Reiulgrphen: 4,,, it Weg mit größtem f. f = Minimum er Reiul-Flüe im Weg =. Reiulgrph G r Fluerweiterung um f: / 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ /4 / Grph G mit Fluwert Reiulgrph G r M.O.Frnz, Dezemer 007 Algorithmen un Dtentrukturen - Grphenlgorithmen -
12 Beipiel () Suhe Weg mit größten f im Reiulgrphen:,,,,, it Weg mit größtem f. f = Minimum er Reiul-Flüe im Weg =. Reiulgrph G r Fluerweiterung um f: / / / Behte: Flu wure verkleinert! / 0/ /4 / / Grph G mit Fluwert 5 Reiulgrph G r Ene: E git im Reiulgrphen keine Wege mehr von nh. Mximler Flu gefunen! M.O.Frnz, Dezemer 007 Algorithmen un Dtentrukturen - Grphenlgorithmen -
13 Anlye: T = O( E log V ) Anlye un Bemerkungen (Bewei iehe [Turu 004]). Bemerkungen: Der hier ehrieene Algorithmu geht zurük uf For un Fulkeron (956). Anlye von Krp un Emon (97). Mn ehte, ei einem ihten Grphen ( E = O( V ) ie Lufzeit nwäht uf T = O( V 4 log V ) E git inzwihen weentlih hnellere Algorithmen: Preflow-Puh-Algorithmu von Golerg, 985: T = O( V ). Mittel pezieller Dtentrukturen erreihte Golerg 988 ogr: T = O( E V log( V / E ). Anere Fluproleme: Kotenminimle Flüe M.O.Frnz, Dezemer 007 Algorithmen un Dtentrukturen - Grphenlgorithmen -
14 Teil : Grphenlgorithmen Anwenungen Definitionen Dtentrukturen für Grphen Elementre Algorithmen Topologihe Sortieren Kürzete Wege Miniml ufpnnene Bäume Flüe in Netzwerken Zummenhngkomponenten M.O.Frnz, Dezemer 007 Algorithmen un Dtentrukturen - Grphenlgorithmen -4
15 Zummenhngkomponenten () Definitionen: Ein ungerihteter Grph heißt zummenhängen (engl. onnete), fll e zu jeem Knoten einen Weg zu jeen neren Knoten git. Eine Zummenhngkomponente eine ungerihteten Grphen G it ein mximl zummenhängener Teilgrph. Ein Knoten heißt Artikultionpunkt (Artikultion me. = Gelenk; engl. rtiultion point), wenn ein Wegfll ie Anzhl er Zummenhngkomponenten erhöht. Ein Grph heißt zweifh zummenhängen (engl. ionnete), fll er keinen Artikultionpunkt eitzt. Prolem: Betimme in einem ungerihteten Grphen lle Artikultionpunkte. Beipiel: B A Ein ungerihteter Grph G mit en Artikultionpunkten C un D. C D F G \ {C} zerfällt in Zummenhngkomponenten un G H E G \ {D} zerfällt in Zummenhngkomponenten. M.O.Frnz, Dezemer 007 Algorithmen un Dtentrukturen - Grphenlgorithmen -5
16 Zummenhngkomponenten () Tiefenuhum mit Rükwärtknten (TSB) Stellt mn ie Tiefenuhe grphih r, ergit ih ein Bum, er Tiefenuhum. Rükwrtknten in Knten, ie einen Knoten mit einem ereit früher euhten Knoten verinen (jeoh niht en unmittelr vor euhten Knoten) Beipiel: A B A B C C D F D G E G E F Tiefenuhum, er mit Knoten A eginnt. Rükwärtknten in getrihelt. Die hwrzen Knten weren uh Vorwärtknten gennnt. M.O.Frnz, Dezemer 007 Algorithmen un Dtentrukturen - Grphenlgorithmen -6
17 Zummenhngkomponenten () Artikultionpunkte len ih in einem TSB wie folgt erkennen: () Die Wurzel it ein Artikultionpunkt, genu nn wenn ie mehr l einen Nhfolger ht. (Betrhte z.b. für en unten geileten Grphen ein TSB, er mit Knoten C eginnt.) () Ein Knoten v it ein Artikultionpunkt, fll v im TSB einen Nhfolger ht, von em e keinen Weg üer eine Rükwrtknte zu einem Vorgänger von v git. Beipiel: B A A B C C D F D G G E E F C un D in wegen Regel () Artikultionpunkte. M.O.Frnz, Dezemer 007 Algorithmen un Dtentrukturen - Grphenlgorithmen -7
18 Zummenhngkomponenten (4) Zwei Nummerierungen, mit eren Hilfe Artikultionpunkte etimmt weren: TSNr[v]: git für jeen Knoten v, en Beuhzeitpunkt ei er Tiefenuhe n. MinNr[v]: ie kleinte TSNr eine Knoten w, o w von v erreiht wir, inem keine, eine oer mehrere Vorwärtknten un nn eventuell eine Rükwärtknte genommen weren: Beipiel: A, B A B, C, C D F D 4, G 7,7 G E F E 6,4 5,4 TSB mit TSNr un MinNr Regel () lät ih mit wie folgt umetzen: Knoten v (ußer Wurzel) it ein Artikultionpunkt gw. v ein Kin w ht mit MinNr[w] TSNr[v]. M.O.Frnz, Dezemer 007 Algorithmen un Dtentrukturen - Grphenlgorithmen -8
![MinNr[v]: ie kleinte TSNr eine Knoten w, o w von v erreiht wir, inem keine, eine oer mehrere Vorwärtknten un nn eventuell eine Rükwärtknte genommen](/docs-images/41/22653386/images/page_18.jpg "weren: Beipiel: A, B A B, C, C D F D 4, G 7,7 G E F E 6,4 5,4 TSB mit TSNr un MinNr Regel () lät ih mit wie folgt umetzen: Knoten v (ußer Wurzel)")
19 Zummenhngkomponenten (5) Berehnung von MinNr: MinNr[v] = Minimum von (M) TSNr[v], (M) kleinter TSNr[w] für lle Rükwärtknten (v,w) (M) kleinter MinNr[w] für lle Vorwärtknten (v,w) Beipiel: B A A, B, C, C D F D 4, G 7,7 G E E 5,4 F 6,4 TSB mit TSNr un MinNr M.O.Frnz, Dezemer 007 Algorithmen un Dtentrukturen - Grphenlgorithmen -9
20 Zummenhngkomponenten (6) ool viite[n] = fle; int TSNr[n]; int ounter = ; int MinNr[n]; int p[n]; voi finartpoint(vertex v) { viite[v] = true; TSNr[v] = ounter++; MinNr[v] = TSNr[v]; // Regel (M) } for (jeen Nhr w von v ) if (! viite[w]) { p[w] = v; finartpoint(w); if (MinNr[w] >= TSNR[v]) out << v << it ein Artikultion-Punkt << enl; MinNr[v] = Minimum(MinNr[v], MinNr[w]); // Regel (M) } ele if (p[v]!= w) // (v,w) it Rükwärtknte MinNr[v] = Minimum(MinNr[v], TSNr[w]); // Regel (M) Wähle elieigen Knoten v; finartpoint(v); Glole Vrilen: ounter ient zum Hohzählen er Beuhzeitpunkte. p[v] peihert en im TSB zu v gehörenen Elternknoten. Die rekurive Funktion finartpoint it ein erweiterter Tiefenuh-Algorithmu. Die Prüfung, o ie Wurzel ein Artikultionpunkt it (Regel ()), wure einfhheithler weggelen. M.O.Frnz, Dezemer 007 Algorithmen un Dtentrukturen - Grphenlgorithmen -0
![viite[w]) { p[w] = v; finartpoint(w); if (MinNr[w] >= TSNR[v]) out << v << it ein Artikultion-Punkt << enl; MinNr[v] = Minimum(MinNr[v], MinNr[w]); // Regel (M) } ele if (p[v]!](/docs-images/41/22653386/images/page_20.jpg "= w) // (v,w) it Rükwärtknte MinNr[v] = Minimum(MinNr[v], TSNr[w]); // Regel (M) Wähle elieigen Knoten v; finartpoint(v); Glole Vrilen: ounter ient zum Hohzählen er Beuhzeitpunkte.")
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