Übungen zu Physik 1 für Ingenieure Musterlösung Blatt 6

Transkript

1 Übungen zu Physik 1 für Ingenieure Musterlösung Blatt 6 Aufgabe 1 Hook sches Gesetz für ein Federpendel Bei einer Feder, für die das Hook sche Gesetz gilt, ist die rücktreibende Kraft F F proportional zur Auslenkung x : F F = k x (a) Im Gleichgewicht wird die Gewichtskraft F G der Masse m durch F F ausgeglichen, d.h. F G = F F m g = k x x = m g k = m (b) Die Auslenkung aus der neuen Ruhelage sei jetzt mit x bezeichnet. Dann ist die rücktreibende Kraft gegeben durch F F = k x. Eingesetzt in F = mẍ erhlt man m ẍ + k x = 0 (1) (c) Ansatz zu Lösung: Dieser Ansatz eingesetzt in Gleichung 1 ergibt x(t) = x 0 sin(ωt) ẋ(t) = ωx 0 cos(ωt) ẍ(t) = ω 2 x 0 sin(ωt) mω 2 x 0 sin(ωt) kx 0 sin(ωt) = 0 ( mω 2 x 0 kx 0 ) sin(ωt) = 0 mω 2 x 0 kx 0 = 0 k ω = m Die Schwingungsfrequenz ω hängt folglich nicht von der Amplitude x 0 ab. (d) Betrachte die Parabel h = x 2 in jedem Punkt als schiefe Ebene, bei der die Hangabtriebskraft F H = mg sin α (vrgl. Aufgaben zur schiefen Ebene) vom Mittelpunkt aus gesehen als Rücktreibende Kraft wirkt. Der Winkel α hängt allerdings von x ab. Die Steigung der Parabel ist in jedem Punkt gegeben durch die Ableitung h = 2x, und im Steigungsdreieck sieht man tan α = 2x. Um einen Ausdruck für die Schwingungsfrequenz zu erhalten, linearisiert man die trigonometrischen Funktionen, analog zum Sekundenpendel gemäß. tan α = α sin α = α (gültig für kleine Winkel). Insgesamt ergibt sich für die Rücktreibende Kraft F H = mg2x und nach einsetzen in die Grundgleichung 1

2 Abbildung 1: zu Aufgabe 2 der Mechanik erhält man analog zu (c) die Schwingungsfrequenz ω = 2g (e) Die Schwingungsfrequenz hängt gemäß ω = g l Aufgabe 2 Druckverteilung von der Erdbeschleunigung und der Fadenlänge ab. (a) Herleitung der barometrischen Höhenformel: Gewicht der Luftsäule in der Höhe z 0 : ρgah 0 Abnahme des Gewichts von z 0 nach z 0 + dz: ρgadz d.h. der Druck nimmt um dp = ρgdz ab. In diese Gleichung setzt man das Gesetz von Boyle und Mariotte in der Form p ρ = p0 liefert Durch Trennung der Variablen folgt die Höhenformel gemäß dp p dp p ρ 0 = konstant ein, was dp = ρ 0 gpdz (2) = ρ 0 gdz p 0 = ρ 0 gdz ln(p) = ρ 0 gz + C ( p(z) = exp ρ ) 0 gz + C ( p(z) = exp ρ ) 0 gz 2

3 Die Höhe z p, in der der Druck auf p = p0 gesunken ist, liefert die Höhenformel gemäß: ( = exp g ρ ) 0 z p ( ) 1 ln = g ρ 0 z p z p = ρ 0 g ln Für die verschiedenen Planeten erhält man folgende Werte: Venus: z p = m Erde: z p = m Mars: z p = 85.9m (b) Die Herleitung geht analog zu (a) von ( 1 ) dp = ρgdz (3) aus. Da aber für Flüssigkeiten in guter Näherung gilt, dass ρ = konstant,also unabhängig von z ist, ergibt Integration der Gleichung 3 p(z) = ρgz Gesucht ist nun die Tiefe z t, in der der Druck p zweimal dem Atmosphärendruck aus (a) entspricht. Für z t auf den verschieden Planeten liefert Gleichung Venus: z t = m Erde: z t = 20.65m Mars: z t = 0.323m Aufgabe 3 Glas im See Der Auftrieb F A, den ein Körper in einer Flüssigkeit erfährt ist gleich der Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit, d.h. F A = ρ W gv mit ρ W =Dichte Wasser, V = Volumen der verdrängten Flüssigkeit. (a) Im Gleichgewicht wird die Auftriebskraft durch die Gewichtskraft F G = m G g des Glases kompensiert, d.h. wobei A die Grundfläche des Glases bezeichnet F A = F G ρ W gv = m G g m G = ρ W V m G = h ρ W 2 A (b) Im folgenden wird die Luft im Glas als ideales Gas bei konstanter Temperatur behandelt. Dann gilt das Gesetz von Boyle und Mariotte P V = konstant (4) Außerdem sei der Atmosphärendruck P 1 = kPa, sowie die Dichte von Luft und Wasser ρ L = 1.293kg/m 3 und ρ W = kg/m 3 Da sich das Glas nicht bewegt, ist der Druck im Glas P 2 gleich dem Wasserdruck in der Tiefe x 1, d.h. Ausserdem liefert Gleichung 4 P 2 = ρ W gx 1 (5) V 1 P 1 = (h x 2 ) AP 2 (6) 3

4 Abbildung 2: zu 3b (erster Teil) 4

5 Abbildung 3: zu 3b (zweiter teil) 5

6 mit P 1 = Atmosphärendruck und V 1 = A h Und weil die Gewichtskraft F G = m G g des Glases gerade durch den Auftrieb ausgeglichen wird gilt F A = ρ W gx 1 A = m g g (7) Die Gleichungen 5, 6, 7 liefern die gesuchte Eintauchtiefe. Aus Gleichung 7 folgt x 1 = mg ρ W A. Eingesetzt in Gleichung 5 ergibt P 2 = gm G A. Diesen Ausdruck in Gleichung 6 eingesetzt ergibt: x 2 = h V1P1 g m G Für die Eintauchtiefe erhält man insgesamt x 1 + x 2 = m G ρ W A + h V 1P 1 m G g (8) Wenn das Glas vollständig unter Wasser gedrückt wurde, stehen die zusätzliche Kraft F Z plus die Gewichtskraft des Glases im Gleichgewicht mit dem Auftrieb, d.h. Ausserdem sagt Gleichung 4 Und analog zum ersten Teil von (b) herrscht der Druck F Z + m G g = ρ W gx 1 A (9) V 1 P 1 = V 2 P 2 = x 1 AP 2 (10) P 2 = ρ W gx 1 (11) im Glas Eliminiert man aus Gleichung 10 und 11 die Unbekannte P 2 so erhält man folgenden Ausdruck für x 1 V 1 P 1 x 1 = (12) ρ W ga Setzt man diesen Ausdruck in Gleichung 9 ein so folgt für die zusätzliche Kraft V 1 P 1 F Z = ρ W g ρ W ga A m G g (13) (c) Das Glas beginnt zu sinken, wenn die Gewichtskraft des Glases gerade die Auftriebskraft überwiegt. Im Grenzfall gilt F G = F A m g g = ρ W gv 2 V 2 = m G ρ W Der Druck P 2 in dieser Tiefe wird wieder durch Gleichung 4 errechnet zu P 2 = P 1 V 1 V 2 P 2 = P 1V 1 m G ρ W mit P 1 =Atmosphärendruck und V 1 = Ah Die Tiefe z, ab der das Glas sinkt, lässt sich aus der Formel für den hydrostatischen Druck errechenen zu z = P 2 ρ W g 6