PYRAMIDEN. Arbeitsauftrag: Die Schüler lesen einen kurzen Text und lösen Rechenaufgaben.

Transkript

1 Posten 4 Anleitung LP Ziel: Die Schüler eignen sich Grundwissen über ägyptische Pyramiden an, schulen ihr räumliches Sehen und erlernen bzw. repetieren geometrische Kenntnisse. Arbeitsauftrag: Die Schüler lesen einen kurzen Text und lösen Rechenaufgaben. Material: Auftragsbeschreibung Text Arbeitsblatt 1 und 2 Lösung 1 und 2 Zweiergruppen 40 Minuten Zusätzliche Informationen Für diesen Posten sind geometrische Grundkenntnisse und Begriffe nötig. Sind diese nicht vorhanden, kann der Posten abgewandelt werden. Es können z. B. verschiedene Pyramiden gezeichnet werden. Bei den Aufgaben 2 und 3b, d ist der Satz von Pythagoras zu gebrauchen. Wurde dieser noch nicht eingeführt, kann eine kleine Hilfestellung an die Wandtafel geschrieben werden, so dass die Schüler nur noch das richtige Dreieck in der Pyramide finden müssen und die Formel von der Wandtafel ablesen können.

2 Für die Aufgabe 3e sind trigonometrische Kenntnisse nötig. Die Aufgabe ist mit einem Sternchen gekennzeichnet, so dass die Lehrperson den Schülern mitteilen kann, dass Sternchen-Aufgaben freiwillig bzw. schwere Knacknüsse sind. Vielleicht kann sie trotzdem jemand lösen? Weiterführende Ideen Exkurs zu Pharaonen und Pyramiden Weitere Rechenbespiele aus dem Rechenbuch lösen

3 Posten 4 Auftrag PYRAMIDEN Auftragsbeschreibung Posten 1 1. Lies den Text. 2. Löse anschliessend die Aufgaben. Nehmt die Rechenbretter hervor!, donnerte der Tutor in die morgendliche Stille des Schulraumes. Draussen zeigte sich die Sonne. Lieber wären alle unter den Strahlen des ewigen Re herumgetollt oder auf dem Nil mit den schnellen Papyrusbooten auf Entenjagd gegangen. Nicht träumen! Hier sind die Aufgaben. Jedem flatterte ein Stück Papyrus auf den flachen Tisch, einige mussten sogar am Boden arbeiten, denn drei mehrere Schritt lange Papyri lagen ebenfalls zum Lesen bereit. schi, Im Banne des alten Gottes l 1o Nun sollten sie wieder Pyramideninhalte berechnen und den rechten Winkel nutzen, um Quadrate über Dreiecken zu beschreiben. Alles war genau zu berechnen: a 2 + b 2 = c 2. Wegen der vielen laufenden Bauvorhaben drehte sich alles um Material, um Steine, Säulen. Zusammenzählen, endlos Abzählen und Bruchrechnen. Jeschi und drei andere Knaben widmeten sich Aufgaben praktischer Natur. Sie betrafen die Verteilung von Lohnsummen auf mehrere Arbeiter, die Berechnung des Getreidebedarfs für die Zubereitung grosser Brotmengen, die Berechnung der Anzahl Salzsäcke, die eine Salzanlage im Laufe eines

4 Posten 4 Text PYRAMIDEN AUFGABE Die wohl bekanntesten Überbleibsel des antiken Ägyptens sind die Pyramiden. Sie dienten vor allem als spirituelle Einweihungsstätten. Daneben wurden auch die ägyptischen Herrscher, die Pharaonen, in Pyramiden beerdigt. Um an die Grabräume zu gelangen, musste man in der Pyramide durch lange dunkle Tunnels gehen. Da den Toten viele wertvolle Geschenke mitgegeben wurde, mussten die Grabräume gesichert werden. Dies geschah dadurch, dass die Tunneleingänge versteckt lagen und sorgfältig versperrt wurden. Weil der Pyramidenbau mit Manneskraft allein bewältigt werden musste, wurden die Pyramiden in der Nähe des Nils erbaut, damit die Steinblöcke wenigstens bis dorthin auf dem Wasserweg transportiert werden konnten. Das letzte Stück zog man sie auf Schlitten, genau so wurden die Leichen der Pharaonen zu den Pyramiden gebracht. Die wohl beeindruckendsten Ruhestätten Ägyptens sind die Gräber im Tal der Könige bei Luxor. Hier wurden vorwiegend die Pharaonen des neuen Reichs (z. B. Ramses, Hatschepsut und Tutanchamun) beerdigt, heute hat man Kenntnis von 62 Gräbern und Gruben. Trotz jahrtausendlangen Plünderungen lieferten diese Grabstätten den Ägyptologen wertvolle Hinweise. Unter anderem wurde 1922 das weitgehend unversehrte Grab von Tutanchamun entdeckt. Die Geometrie der Pyramiden Eine allgemeine Pyramide wird begrenzt durch ein beliebiges n-eck als Grundfläche und n Dreiecken als Seitenflächen. Die Kanten, welche durch die Seitenflächen gebildet werden, nennt man Seitenkanten, diejenigen, die an die Grundfläche grenzen, heissen Grundkanten. Die Seitenkanten stossen in der Spitze der Pyramide zusammen, der senkrechte Abstand der Spitze zur Grundfläche ist die Höhe der Pyramide und die Seitenhöhe ist die Höhe eines Seitenflächendreiecks. Man unterscheidet Pyramiden nach der Art der Grundfläche (regelmässige und unregelmässige Pyramide) und nach der Lage der Spitze zum Basismittelpunkt (gerade

5 Posten 4 Arbeitsblatt 1 1. Beschrifte und vervollständige die gerade, quadratische Pyramide mit den wichtigsten Angaben: Grundfläche AG Seitenfläche AS Spitze S Seitenkante s Grundkante a Pyramidenhöhe h Seitenflächenhöhe ha Diagonale d Böschungswinkel α 2. Mit welchem bekannten Satz der Geometrie kannst du die Höhe der Pyramide berechnen, wenn die Grundkantenlänge und die Seitenflächenhöhe gegeben ist? Erkläre anhand einer Skizze und notiere die Formel.

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7 Posten 4 Arbeitsblatt 2 3. Eine gerade, quadratische Pyramide hat die Grundkante 60m und die Seitenflächenhöhe beträgt 50m. Löse folgende Aufgaben inklusive Skizze und Formel. a)wie gross ist die gesamte Oberfläche der Pyramide? b) Wie hoch ist die Pyramide? c) Welches Volumen besitzt die gesamte Pyramide? d) Wie lang sind die Seitenkanten dieser Pyramide? e)*wie gross ist der Böschungswinkel dieser Pyramide?

8 Posten 4 Lösung 1 PYRAMIDEN LÖsung 1. Beschrifte und vervollständige die gerade, quadratische Pyramide mit den wichtigsten Angaben: Grundfläche G Seitenfläche AS Spitze S Seitenkante s Grundkante a Pyramidenhöhe h Seitenflächenhöhe ha Diagonale d Böschungswinkel α S s ha s h s s a α a/2 d d a a As G a 2. Mit welchem bekannten Satz der Geometrie kannst du die Höhe der Pyramide berechnen, wenn die Seitenkantenlänge und die Seitenflächenhöhe gegeben ist? Erkläre anhand einer Skizze und notiere S die Formel. Satz des Pythagoras h 2 + (a/2) 2 = h = ha 2 ha h h 2 = ha h 2 - (a/2) 2

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10 Posten 4 Lösung 2 PYRAMIDEN 3. Eine gerade, quadratische Pyramide hat die Grundkante 60m und die Seitenflächenhöhe beträgt 50m. Löse folgende Aufgaben inklusive Skizze und Formel. a)wie gross ist die gesamte Oberfläche der Pyramide? Die gesamte Oberfläche O setzt sich zusammen aus der Grundfläche G und den 4 Seitenflächen As. O = G + 4 As A = a (ha a / 2) = ( / 2) = 9600 m 2 b) Wie hoch ist die Pyramide? Für diese Rechnung wird das Dreieck aus Seitenflächenhöhe, halber Grundkante und Höhe der Pyramide betrachtet und die Formel von Pythagoras angewendet. h 2 + (a/2) 2 = ha h 2 h 2 = ha h 2 (a/2) 2 = 50 2 (60/2) 2 = 1600 h = 40m c) Welches Volumen besitzt die gesamte Pyramide? Das Volumen einer Pyramide hat dreimal im Quader aus Grundkante und Höhe der Pyramide Platz. V = (G h) / 3 = ( ) / 3 = m 3 d) Wie lange sind die Seitenkanten dieser Pyramide? Für diese Rechnung wird das Dreieck aus Seitenkante, halber Diagonale und Höhe der Pyramide betrachtet und die Formel von Pythagoras angewendet. Die Diagonale d wird berechnet durch a ( 2). s 2 = (d/2) 2 + h 2 = (60 ( [2]/2) ( ) / s = 58.3m

11 e)*wie gross ist der Böschungswinkel dieser Pyramide? Für diese Rechnung benötigt man trigonometrische Grundkenntnisse. Es wird dasselbe Dreieck wie in 3d betrachtet. Die Höhe entspricht der Gegenkathete, die halbe Diagonale der Ankathete. Der Tangens α wird berechnet aus Gegenkathete / Ankathete und mit der Rechenfunktion arctan aus dem Tangens der Böschungswinkel α errechnet. tan α = H/(a [2]/2) = 40 / (30 [2]) = 0.94