8. Intervallschätzung

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1 8. Itervallschätzug 8.1 Begriff des Kofidezitervalls Mit uterschiedliche Stichprobe lasse sich verschiedee Puktschätzer θ für de Parameter der Grudgesamtheit erziele. We m Stichprobe aus der Grudgesamtheit etomme werde, da lasse sich daraus bis zu m verschiedee Schätzwerte θ bereche. Die Puktschätzer werde aufgrud des Stichprobefehlers im Allgemeie vo abweiche. Beispiel: Gegebe sid m = 4 Stichprobe. Für de ubekate Erwartugswert µ der Grudgesamtheit wird die Schätzfuktio X betrachtet. Die beobachtete Realisatioe vo X sid die arithmetische Mittel X j der etsprechede Stichprobewerte, wobei j = 1,..., 4. Dabei wurde folgede Ergebisse erzielt: x 1 = 14,5 x = 16,0 x 3 = 15,5 x 4 = 14,8 Zu erkee ist, dass sich alle Realisatioe der erwartugstreue, effiziete ud kosistete Schätzfuktio X uterscheide. Falls darüber hiaus µ = 15 ist, wird mit keier Puktschätzug der wahre Parameter getroffe. 1

2 Die Gütekriterie für Schätzfuktioe beziehe sich ur auf de Durchschitt vo Stichprobe, icht aber auf eie kokrete Stichprobe. Außerdem ist die Wahrscheilichkeit, dass ei Puktschätzer θ eie Schätzwert liefert, der mit dem ubekate Parameter der Grudgesamtheit übereistimmt, klei (bei stetige Zufallsvariable gleich 0). Ma ka aber isbesodere icht beurteile, wie verlässlich der kokrete Schätzwert für ist. Um eie Bereich abzugreze, i dem der ubekate Parameter erwartet werde ka, geht ma zu eier Itervallschätzug über. Ausgehed vo eier Puktschätzug wird bei der Itervallschätzug ei Itervall [c 1 ; c ] mit c 1 < c agegebe, i dem der ubekate Parameter bei viele Wiederholuge der Stichprobeziehug mit hoher Wahrscheilichkeit liegt. Die Greze dieses Itervall c 1 = θ - d 1 ud c = θ + d werde dabei aus derselbe Stichprobe wie der Schätzwert ermittelt, d.h. c 1 ud c sid Realisatioe vo Zufallsvariable, die im Allgemeie vo Stichprobe zu Stichprobe schwake. Beispiel: We im vorherige Beispiel d 1 = d = 0,8, erhält ma folgede Itervalle [c 1, c ]: [13,7; 15,3], [15,; 16,8], [14,7; 16,3], [14,0; 15,6] Das arithmetische Mittel µ i der Grudgesamtheit beträgt aahmegemäß15. Damit stimmt kei Puktschätzer (= Stichprobemittel) mit µ überei. Jedoch wird der wahre Parameter µ = 15 i drei vo vier Itervalle, d.h. vo 75% der Itervalle überdeckt.

3 Graphisch lässt sich dies folgedermaße veraschauliche: Stichprobe 4 Stichprobe 3 Stichprobe Stichprobe Ei Itervall [C 1 ; C ], das mit eier Wahrscheilichkeit vo 1- de ubekate Parameter der Grudgesamtheit ethält, heißt Kofidez- oder Vertrauesitervall für zum Kofideziveau 1-. Dabei gilt: P(C 1 C ) = 1- Für das Kofideziveau wird zumeist 1- = 0,95 oder 1- = 0,99 gewählt. Die Itervallgreze C 1 ud C sid hierbei Stichprobefuktioe, d.h. Zufallsvariable, die sich aus de Stichprobevariable X 1, X,..., X ergebe. Die obige Wahrscheilichkeit gibt die Situatio vor der Stichprobeziehug wieder. c, 1 c 3

4 Nach der Stichprobeziehug liege kokrete Werte c 1 ud c für die Itervallgreze vor. [c 1 ; c ] ist also das realisierte Kofidezitervall zum Kofideziveau 1-. Da die Greze c 1 ud c feste Größe sid ud der Parameter eie Kostate ist, lässt sich ach Ziehe der Stichprobe keie Wahrscheilichkeitsaussage mehr mache. Vielmehr ist das kokrete Kofidezitervall mit eier Häufigkeitsaussage verbude. Ei auf diese Weise kostruiertes Kofidezitervall wird i (1-) 100% aller Fälle de ubekate Parameter der Grudgesamtheit überdecke. Arbeitsschritte bei der Berechug des Kofidezitervalls Arbeitsschritte 1. Schritt: Festlegug des Kofideziveaus 1-. Schritt Wahl eies (1-)-Kofidezitervalls 3. Schritt: Ermittlug des (1-/)-Quatils 4. Schritt: Bestimmug des kokrete (1-)- Kofidezitervalls 4

5 8. Kofidezitervalle für de Erwartugswert Kofidezitervall für µ bei bekater Variaz Zuächst wird uterstellt, dass die Variaz i der Grudgesamtheit bekat ist. Außerdem wird ageomme, dass die betrachtete Zufallsvariable X ormalverteilt ist. Aahme 1: Variaz bekat Aahme : Stichprobevariable ormalverteilt Als Puktschätzer für µ wird das Stichprobemittel X verwedet, das ei erwartugstreuer, effizieter ud kosisteter Schätzer für de Erwartugswert ist. Da X ormalverteilt ist, d.h. X ~ N(µ; /), ist folgedes stadardisierte Stichprobemittel stadardormalverteilt: Z = X - μ σ ~ N(0;1) 5

6 Dichtefuktio der Stadardormalverteilug / 1- / Die Wahrscheilichkeit, dass die stadardormalverteilte Zufallsvariable Z i das symmetrische Itervall zwische -z 1-/ ud z 1-/ fällt, beträgt: α 1-α 1-α 1-α P z Z z = P -z Z z = 1-α Daraus folgt: X - μ P-z 1-α z 1-α = 1-α σ 6

7 Durch verschiedee Umformuge erhält ma daraus das gesuchte Kofidezitervall für µ zum Kofideziveau 1-: X - μ P-z z σ 1-α 1-α σ = P-z X - μ z 1-α 1-α σ = P-X - z -μ -X + z 1-α 1-α σ = PX + z μ X - z σ 1-α 1-α Daraus folgt schließlich: σ σ PX - z 1-α μ X + z 1-α = 1-α σ σ Das Itervall ist das Kofidezitervall für de ubekate Erwartugswert µ eier Grudgesamtheit zum Kofideziveau 1-, sofer die zugrude liegede Stichprobevariable ormalverteilt sid ud die Variaz bekat ist. 7

8 Diese Aussage, die eie Schluss vo der Stichprobe auf die ubekate Grudgesamtheit wiedergibt (idirekter Schluss), bezieht sich auf die Situatio vor der Ziehug der Stichprobe. We die Stichprobe etomme wird, da wird im Kofidezitervall die Schätzfuktio X durch de etsprechede realisierte Stichprobemittelwert x ersetzt. Auf diese Weise erhält ma folgedes kokrete (1-α)-Kofidezitervall: x - z σ ; x + z 1-α 1-α σ I diesem Itervall ist der ubekate Parameter µ im Durchschitt i (1-) 100% aller Fälle ethalte. Das vorherige Kofidezitervall ist approximativ gültig, falls die Stichprobevariable icht ormalverteilt sid ud we die Aahme durch folgede Aahme ersetzt wird: Aahme : Großer Stichprobeumfag (Faustregel: >30) I diesem Fall wird der Zetrale Grezwertsatz agewedet. 8

9 Beispiel: I eier Brauerei ist eie Abfüllalage für Bier auf eie Sollmege vo 1 hl (= 100 l) pro Fass eigestellt. Der Hersteller der Alage hat agegebe, dass die Stadardabweichug der Abfüllmege 0,3 l beträgt. Im Zeitablauf ist es aber möglich, dass die Sollmege vo 1 hl icht kostat bleibt, so dass die Abfüllmaschie eu justiert werde muss. Der Produktiosleiter hat Bedeke, ob die Sollmege tatsächlich och 1 hl beträgt, achdem bei eier Stichprobe vo 50 Fässer Bier eie durchschittliche Abfüllmege vo 100, l gemesse wurde. Er möchte ei 95%-Kofidezitervall für die durchschittliche Abfüllmege bereche, um zu überprüfe, ob der Produktiosprozess och uter de gesetzte Bediguge verläuft. Festlegug des Kofideziveaus 1-: Das Kofideziveau 1- ist hier vorgegebe ud beträgt 0,95. 95%-Kofidezitervall für µ: Gesucht ist ei Kofidezitervall für de Mittelwert der Grudgesamtheit (Sollmege). Als Puktschätzer wird daher das Stichprobemittel X verwedet, die Stadardabweichug ist hier aufgrud der Herstelleragabe vorgegebe. Aufgrud des Zetrale Grezwertsatzes (Faustregel: = 50 > 30) ist folgedes Kofidezitervall azuwede: σ σ PX - z 0,975 μ X + z 0,975 = 0,95 9

10 Ermittlug des (1-/)-Quatils z 0,975 der Stadardormalverteilug: Zu dem Kofideziveau 1- = 0,95 beötigt ma zur Bestimmug der Greze des Kofidezitervalls das 0,975-Quatil der Stadardormalverteilug: Bestimmug des kokrete 95%-Kofidezitervalls: Mit = 50, x = 100, ud = 0,3 erhält ma folgedes kokrete 95%- Kofidezitervall: σ σ x - z 0,975 ; x + z 0,975 = 0,3 0,3 100, - 1,96 ;100, + 1,96 = , - 0,083 ;100,+0,083 = 100,117 ;100,83 z = 1,96 Iterpretatio: Aufgrud der vorliegede Stichprobe erstreckt sich das 95%-Kofidezitervall auf de Bereich vo 100,117 l bis 100,83 l. Da dieses Itervall die eigestellte Soll- Abfüllmege vo 100 l icht ethält, ka (bei eiem Kofideziveau vo 0,95) icht mehr davo ausgegage werde, dass der Produktiosprozess och uter de ge- setzte Bediguge verläuft. Die Brauerei sollte daher die Abfüllalage eu justiere. 10 0,975

11 Kofidezitervall für µ bei ubekater Variaz (kleie Stichprobe) Aahme 1: Variaz ubekat Aahme : Stichprobevariable ormalverteilt I diesem Fall werde Puktschätzer für µ ud zur Bestimmug des Kofidezitervalls beötigt. Als Puktschätzer für µ wird wiederum das Stichprobemittel X verwedet. Als Puktschätzer für die Variaz wird die etsprechede erwartugstreue Schätzfuktio betrachtet: S = 1-1 i=1 X - X i Da die Stichprobevariable ormalverteilt sid, ihre Variaz jedoch geschätzt werde muss, ist folgede Fuktio des Stichprobemittels t-verteilt mit -1 Freiheitsgrade: T = X - μ S ~ t -1 11

12 Wahrscheilichkeit, dass die Zufallsvariable T i das symmetrische Itervall zwische -t -1;1-/ ud t -1;1-/ fällt: -1;α -1;1-α -1;1-α -1;1-α P t T t = P -t T t = 1-α t -1;1-/ ist das (1-/)-Quatil eier t-verteilug mit -1 Freiheitsgrade. Daraus ergibt sich: X - μ P-t -1;1-α t -1;1-α = 1-α S Daraus erhält ma das Kofidezitervall für µ zum Kofideziveau 1-: S S PX - t -1;1-α μ X + t -1;1-α = 1-α Dieses Itervall ist das Kofidezitervall für de ubekate Erwartugswert µ eier Grudgesamtheit zum Sicherheitsgrad 1-, sofer die Stichprobevariable ormalverteilt sid ud ihre Variaz ubekat ist. Da die t-verteilug für gege die Stadardormalverteilug strebt, kommt dieses Kofidezitervall bei kleie Stichprobe zur Awedug, sofer die Variaz ubekat ist (Faustregel: 30). 1

13 Kokretes (1-)-Kofidezitervall für µ bei ubekater Variaz (kleier Stichprobeumfag): s x - t ; x + t -1;1-a -1;1-a s I dem kokrete Kofidezitervall sid die Zufallsvariable X ud S durch ihre Realisatioe ersetzt worde. Es ethält im Durchschitt i (1-) 100% aller Fälle de ubekate Parameter µ der Grudgesamtheit. Vergleich eiiger (1-/)-Quatile der t-verteilug (die tabelliert sid) bei alterative Stichprobeumfäge mit de etsprechede Quatile z 1-/ der Stadardormalverteilug: t -1,1-/ 1- = 5 = 10 = 30 = 60 = z 1-/ 0,95,776,6,045,000 1,960 1,960 0,99 4,604 3,50,756,660,576,576 13

14 Beispiel: Wie im vorherige Beispiel soll eie Abfüllalage für Bier daraufhi überprüft werde, ob sie korrekt auf eie Sollmege vo 1 hl (= 100 l) pro Fass eigestellt ist. Im Uterschied zum vorherige Beispiel fehlt eie Herstelleragabe über die Stadardabweichug der ormalverteilte Abfüllmege. Sie ist vielmehr aus eier Stichprobe vo 5 Fässer Bier berechet worde. Hierbei ergab sich eie durchschittliche Abfüllmege vo 100, l bei eier Stadardabweichug vo 0,8 l. Wie lautet u das 95%-Kofidezitervall für die durchschittliche Abfüllmege (= Sollmege)? Festlegug des Kofideziveaus 1-: Das Kofideziveau 1- ist vorgegebe ud beträgt 0,95. 95%-Kofidezitervall für µ: Gesucht ist ei Kofidezitervall für de Mittelwert der Grudgesamtheit (Sollmege). Als Puktschätzer wird daher das Stichprobemittel X verwedet, die Stadardabweichug der Grudgesamtheit wird aufgrud der fehlede Herstelleragabe durch S geschätzt. Aufgrud des kleie Stichprobeumfags (Faustregel: = 5 < 30) ist folgedes Kofidezitervall azuwede: S S PX - t 4;0,975 μ X + t 4;0,975 = 0,95 14

15 Ermittlug des (1-/)-Quatils t 4;0,975 der t-verteilug: Zu dem Kofideziveau 1- = 0,95 beötigt ma zur Bestimmug der Greze des Kofidezitervalls das 0,975-Quatil der t-verteilug mit -1 = 4 Freiheitsgrade: t 4;0,975 =,06 Bestimmug des kokrete 95%-Kofidezitervalls: Mit = 5, x = 100, ud s = 0,8 erhält ma folgedes kokretes 95%- Kofidezitervall: s s x - t 4;0,975 ; x + t 4;0,975 = 0,8 0,8 100, -,06 ; 100, +,06 = , - 0,115 ; 100,+0,115 = 100,085 ;100,315 Iterpretatio: Da das kokrete 95%-Kofidezitervall die ursprügliche Sollmege vo 100 l icht überdeckt, sollte die Abfüllalage eu adjustiert werde. 15

16 Kofidezitervall für µ bei ubekater Variaz (große Stichprobe) Aahme 1: Variaz ubekat Aahme : Großer Stichprobeumfag (Faustregel: >30) Da die t-verteilug für gege die Stadardormalverteilug strebt, köe bei großem Stichprobeumfag (Faustregel: > 30) Quatile aus der Stadardormalverteilug verwedet werde: S S PX - z 1-α μ X + z 1-α = 1-α Die Aahme ormalverteilter Stichprobevariable ist hier icht mehr erforderlich. Kokretes (1-)-Kofidezitervall für µ bei ubekater Variaz (großer Stichprobeumfag): s x - z ; x + z 1-α 1-α s 16

17 Beispiel: Eie Stichprobeerhebug bei 30 Eizelhadelsuterehme i eier Regio ergab, dass bei 1600 Ladediebstähle i eiem Geschäftsjahr im Durchschitt Ware im Wert vo 101,50 etwedet worde sid. Die Stadardabweichug der etwedete Werte bei de 1600 Ladediebstähle beträgt 60. Wie lautet das 99%-Kofidezitervall für de durchschittliche Wert der Kudediebstähle? Festlegug des Kofideziveaus 1-: Das Kofideziveau 1- ist hier vorgegebe ud beträgt 0,99. 99%-Kofidezitervall für µ: Gesucht ist ei Kofidezitervall für de durchschittliche Wert der Kudediebstähle. Als Puktschätzer für µ wird daher das Stichprobemittel X verwedet, die Stadardabweichug des Wertes aller Kudediebstähle wird durch die Stadardabweichug S i der Stichprobe geschätzt. Aufgrud des große Stichprobeumfags ( = 1600 > 30) ka trotz fehleder Ketis der Variaz folgedes Kofidezitervall verwedet werde: S S PX - z 0,995 μ X + z 0,995 = 0,99 17

18 Ermittlug des (1-/)-Quatils z 0,995 der Stadardormalverteilug: Zu dem Kofideziveau 1- = 0,99 beötigt ma zur Bestimmug der Greze des Kofidezitervalls das 0,995-Quatil der Stadardormalverteilug: Bestimmug des kokrete 99%-Kofidezitervalls: Mit = 1600, x = 101,50 ud s = 60 erhält ma folgedes kokretes 99%- Kofidezitervall: s s x - z 0,995 ; x + z 0,995 = ,50 -,5758 ; 101,50 +,5758 = ,50-3,86 ; 101,50 + 3,86 = 97,64 ; 105,36 Iterpretatio: z =,5758 Als Itervallschätzug für die durchschittliche Höhe der Diebstähle erhält ma bei eiem Sicherheitsgrad vo 99% eie Bereich vo 97,64 bis 105,36. 0,995 18

19 8.3 Kofidezitervall für de Ateilswert Gesucht ist ei Kofidezitervall für de ubekate Ateil p der Merkmalsträger mit eier Eigeschaft A. Da p zugleich die Wahrscheilichkeit agibt, dass a eiem zufällig ausgewählte Merkmalsträger die Eigeschaft A festgestellt wird, lässt sich dieses Kofidezitervall auch als eie Itervallschätzug für eie ubekate Wahrscheilichkeit P(A) iterpretiere. Die uabhägige ud idetisch verteilte Stichprobevariable X 1,..., X köe ur die Werte 0 oder 1 aehme, sid also Beroulli-verteilt. Als Puktschätzer für de ubekate Ateilswert p der Grudgesamtheit wird der Stichprobeateilswert verwedet: P = 1 X i=1 i P ist eie erwartugstreue, effiziete ud kosistete Schätzfuktio für p. Die folgede stadardisierte Zufallsvariable (= stadardisierter Stichprobeateilswert) ist bei große Stichprobe aufgrud des Zetrale Grezwertsatzes asymptotisch stadardormalverteilt (Faustregel: > 9/[p(1- p)]: P - p Z = ~ N(0; 1) p 1-p 19

20 Daraus folgt: P - p P -z z = 1-α 1-α p1-p 1-α Die Stadardabweichug des Stichprobeateilswertes ka uter Verwedug folgeder Schätzfuktio für die Variaz des Stichprobeateils-. wertes P geschätzt werde: ˆσ = P P 1-P P σ = p 1-p Damit erhält ma das Kofidezitervall für de Ateilswert p zum Kofideziveau 1-: P(1-P) P(1-P) P P - z 1-α p P + z 1-α = 1-α Für das kokrete Kofidezitervall für p ergibt sich: p(1-p) p - z ; p + z 1-α 1-α p(1-p) 0

21 Beispiel: Bei eier Qualitätskotrolle wurde a 100 vo 500 Stücke ei Magel festgestellt. Wie lautet das 95%-Kofidezitervall für de Ateil p der mit eiem Magel behaftete Teile i der Produktio? Festlegug des Kofideziveaus 1-: Das Kofideziveau 1- ist vorgegebe ud beträgt 0,95. 95%-Kofidezitervall für p: Zu bestimme ist ei Kofidezitervall für die Wahrscheilichkeit p, dass ei produziertes Stück eie Magel aufweist. Als Puktschätzer für p verwede wir de Stichprobeateilswert P, mit dem auch die Stadardabweichug σ P geschätzt wird. Da p = 100/500 = 0, ergibt sich: 9 9 ( = 500) > = = 56,5 p(1-p) 0,(1-0,) Demach lässt sich folgedes Kofidezitervall für die ubekate Wahrscheilichkeit p ableite: P(1-P) P(1-P) P P - z 0,975 p P + z 0,975 = 0,95 1

22 Ermittlug des (1-/)-Quatils z 0,975 der Stadardormalverteilug: Zu dem Kofideziveau 1- = 0,95 beötigt ma zur Bestimmug der Greze des Kofidezitervalls das 0,975-Quatil der Stadardormalverteilug: z = z = 1,96 1-α/ 0,975 Bestimmug des kokrete 95%-Kofidezitervalls: Mit = 500 ud p = 0, erhält ma folgedes kokretes 95%-Kofidezitervall: p(1-p) p(1-p) p - z 0,975 ; p + z 0,975 = 0,(1-0,) 0,(1-0,) 0, - 1,96 ; 0, + 1,96 = , - 1,960,018 ; 0, + 1,96 0,018 = [0,165 ; 0,35]

23 8.4 Kofidezitervall für die Variaz Ausgagspukt sid ereut uabhägig ud idetisch verteilte Stichprobevariable X 1, X,..., X. Nu soll ei Kofidezitervall zum Kofideziveau 1- für die ubekate Variaz uter folgede Voraussetzuge kostruiert werde: Aahme 1: Erwartugswert µ ubekat Aahme : Stichprobevariable ormalverteilt Betrachtet wird der Stichprobemittelwert X sowie die folgede Schätzfuktio für die ubekate Variaz : S = 1-1 i=1 X - X i Daraus ergibt sich, dass die Zufallsvariable (-1)S / -verteilt ist mit -1 Freiheitsgrade: (-1)S σ ~ χ -1 Alterative Darstellug für (-1)S / : * (X i - X) (-1)S S i=1 = = ~ χ σ σ σ -1 3

24 χ -1;α/ χ -1;1-α/ Es bezeiche ud die / ud 1-/-Quatile der -Verteilug mit -1 Freiheitsgrade. Daraus ergibt sich: (-1)S Pχ -1;α χ -1;1-α = 1-α σ Dichtefuktio ud Quatile eier -Verteilug mit Freiheitsgrade Nach verschiedee Umformuge erhält ma das (1-)-Kofidezitervall für die ubekate Variaz : -1 S -1 S P σ = 1-α χ-1;1-α χ -1;α Kokretes Kofidezitervall für zum Kofideziveau 1-: -1 s -1 s ; χ-1;1-α χ-1;α 4

25 Beispiel: Ei Uterehme stellt Schraube her. Eie Zufallsstichprobe vom Umfag 91 ergibt für de Durchmesser der Schraube ei arithmetisches Mittel vo 5 mm bei eier Stadardabweichug vo 0,03 mm. Führe Sie eie Itervallschätzug für die mit der Stadardabweichug gemessee Präzisio des Schraubedurchmessers (der als ormalverteilt ageomme wird) bei eiem Sicherheitsgrad vo 90% durch! Zu bestimme ist zuächst ei 90%-Kofidezitervall für die Variaz, aus dem da das etsprechede Itervall für die Stadardabweichug bestimmt wird. Festlegug des Kofideziveaus 1-: Das Kofideziveau 1- ist vorgegebe ud beträgt 0,90. 90%-Kofidezitervall für : Gesucht ist ei Kofidezitervall für die Variaz des Schraubedurchmessers der vo dem Uterehme produzierte Schraube: -1 S -1 S P σ = 0,90 χ-1;0,95 χ -1;0,05 5

26 Ermittlug der Quatile ud der -Verteilug : Zu dem Kofideziveau 1- = 0,90 beötigt ma zur Bestimmug der Greze des Kofidezitervalls die 0,05- ud 0,95-Quatile der -Verteilug mit -1 Freiheitsgrade. Für -1 = 90 ergebe sich folgede Tabellewerte: χ = 113,15 χ 90;0,05 = 69,13 90;0,95 Bestimmug des kokrete 90%-Kofidezitervalls für : Mit = 91 ud s = 0,03 erhält ma folgedes kokretes 90%-Kofidezitervall für : Das 90%-Kofidezitervall für die Stadardabweichug ergibt sich ach Ziehe der Wurzel i de Itervallgreze: -1 s -1 s ; = χ90;0,95 χ90;0,05 900, ,03 ; = 113,145 69,16 0,081 0,081 ; = 113,145 69,16 [0, ; 0,00117] χ -1;α/ 0, ; 0,00117 = 0,07 ; 0,034 χ -1;1-α/ 6

27 8.5 Notwediger Stichprobeumfag Zielkoflikt zwische Sicherheit ud Geauigkeit: Der Zielkoflikt zwische Sicherheit ud Geauigkeit soll ahad des Kofidezitervalls für de Erwartugswert µ bei bekater Variaz ud ormalverteilte Stichprobevariable aufgezeigt werde. Läge L des Kofidezitervalls: Differez zwische Itervallober- ud -utergreze σ σ σ L = X + z 1-α - X - z 1-α = z1-α Falls ma de Sicherheitsgrad 1- erhöht, hat ma eie größere Sicherheit, dass der ubekate Parameter µ i dem Kofidezitervall liegt. Mit eiem höhere Kofideziveau 1- wird allerdigs auch das Quatil z 1-/ größer, so dass das Itervall läger wird. Ei lägeres (bzw. breiteres) Itervall bedeutet aber eie ugeauere Itervallschätzug. Stichprobeumfag ud Geauigkeit: Bei gegebeem Kofideziveau 1- hägt die Läge des Kofidezitervalls allei vom Stichprobeumfag ab. Bei gleichem Stichprobeumfag ergibt sich eie gleiche Läge der Kofidezitervalle. Mit wachsedem Stichprobeumfag erhöht sich die Geauigkeit, wird also das Kofidezitervall kürzer. 7

28 Determiate des otwedige Stichprobeumfags Kofideziveau 1- Variaz i der Grudgesamtheit Geauigkeit Fehlermarge (= halbe Läge des Kofidezitervalls): 1 z1-α e = L = σ Notwediger Stichprobeumfag bei eier Itervallschätzug vo µ: Nach Auflöse des obige Asatzes ach erhält ma de Stichprobeumfag, der midestes erforderlich ist, damit eie vorgegebee Fehlermarge e bei gegebeem Kofideziveau 1- icht überschritte wird: z1-α σ = = e z 1-α e σ 8

29 Eie Reduktio der Fehlermarge (= Stichprobefehler) um die Hälfte wird icht durch eie Verdoppelug, soder eie Vervierfachug des Stichprobeumfags erreicht: z σ z σ 1-α 1-α = = = 4 e/ e (e/) (1/4)e e : Stichprobeumfag bei ursprüglicher Fehlermarge e e/ : Stichprobeumfag bei halber Fehlermarge Allgemei ka eie Verrigerug der Fehlermarge ur durch eie überproportioale Erhöhug des Stichprobeumfags erreicht werde. I der Regel ist die Variaz der Grudgesamtheit ubekat. Ma ka de Stichprobeumfag i diesem Fall icht eifach uter Verwedug der Stichprobevariaz S bestimme, da die Stichprobe ja erst och gezoge werde soll. Vielmehr ist durch eie Vorabiformatio * zu ersetze: = z * 1-α e σ Eie Vorabiformatio * über die Variaz der Grudgesamtheit ka sich z.b. aus vorherige Utersuchuge ergebe. 9

30 Beispiel: Ei Marktforschugsistitut führt eie Utersuchug über die Eikommessituatio der deutsche Bevölkerug durch. Aufgrud ählicher Utersuchuge i Frakreich ud de Niederlade wird eie Stadardabweichug i der Grudgesamtheit vo * = 000 uterstellt. Wie groß muss der Stichprobeumfag midestes sei, we die Fehlermarge bei 00 ud der Sicherheitsgrad 1- bei 95% liege solle? Für de otwedige Stichprobeumfag ergibt sich: z σ 1, e 00 * 0,975 = = = 384,16 Aufgrud der Midestbedigug ist der ächst höhere gazzahlige Wert zu bestimme. Der otwedige Stichprobeumfag muss also midestes 385 Persoe umfasse. 30

31 Notwediger Stichprobeumfag bei eier Itervallschätzug vo p: Bei eier Schätzug des Ateilswerts oder der Wahrscheilichkeit p ist die Variaz der Grudgesamtheit (= Variaz der Beroulli-Verteilug) durch = p(1-p) gegebe. Damit erhält ma folgede spezifische Fehlermarge: 1 e = L = z1-α p(1-p). Nach Auflöse ach ergibt sich hieraus: = z 1-α p(1-p) e Ersetzt ma hieri die ubekate Wahrscheilichkeit p durch die Vorabifomatio p*, erhält ma de otwedige Stichprobeumfag: = z 1-α p*(1-p*) e Sofer keierlei Vorabiformatioe vorhade sid, geht ma bei der Festlegug des Stichprobeumfags vom ugüstigste Fall p* = 0,5 aus (maximale Variaz): z = 4e 1-α 31

32 Beispiel: Ei Meiugsforschugsistitut soll ermittel, ob die Mehrheit der Budesbürger für eie Direktwahl des Budespräsidete bzw. der Budespräsideti ist. Wie groß ist der Stichprobeumfag midestes zu wähle, we die Geauigkeit der Schätzug bei eiem Kofideziveau vo 90% bei ±3 Prozetpukte liege soll? Da keie Vorabiformatioe über p vorhade sid, gehe wir vom ugüstigste Fall p* = 0,5 aus. Damit beträgt der otwedige Stichprobeumfag: z0,95 1,6449,7057 = = = = 751,6 4e 40,03 0,0036 Das Meiugsforschugsistitut muss also midestes 75 Persoe befrage. 3