Intervallschätzung II 2

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1 Itervallschätzug Kofidezitervall für die Variaz Kofidezitervall für de Ateilswerte Kofidezitervall für die Differez zweier Ateile Bestimmug des Stichrobeumfags Itervallschätzug II Bibliografie Bleymüller / Gehlert / Gülicher Verlag Vahle Statistik für Wirtschaftswisseschaftler Bleymüller / Gehlert Verlag Vahle Statistische Formel, Tabelle ud rogramme oweroiträsetatioe (rof. Mohr/ Dr. Ricabal Vorlesugsskrit für Statistik I (Dr. u Che Vorlesugsskrit für Statistik II (rof. Mohr, rivate Haseuiversität Rostock htt:// Itervallschätzug II

2 Verteilug der Schätzer für de Mittelwert ud die Variaz eier Normalverteilug Seie µe(x ud Var (X die ubekate arameter eier Normalverteilug X i eier Grudgesamtheit. Sei (X, X,.... X eie ufallsstichrobe vom Umfag aus dieser Grudgesamtheit. Die beste Schätzer (erwartugstreu ud kosistet für de arameter µ ud sid: Stichrobemittelwert µˆ X X i S (X i bzw. Modifizierte Stichrobevariaz i X i Für eifache ufallsstichrobe bzw. /N < 0,05 gelte: X ² ~ N(µ, X µ ~ N(0, ud S ² Itervallschätzug II 3 ~ Kofidezitervall für die Variaz eier ormalverteilte Grudgesamtheit S ² ~ W[ S ² W[ ; ; S ² ] W[ S ² ; ] ; ] W[ ² ( S ; ; ] ( S ( S W[ ² ; ; ] ( S ( S ² [ ; ; ] Itervallschätzug II 4

3 Kofidezitervall für die Stadardabweichug eier ormalverteilte GG ( S ( S W[ ² ; ; ] ( S ( S W[ ; ; ] ( S ( S [ ] ; ; Itervallschätzug II 5 Beisiel: Itervallschätzug der Variaz Die Motagedauer (X vo Geräte eies Tys i eier Großserieroduktio wird statistisch mittels Stichrobe überwacht. Sie ka für die Gesamtroduktio (äherugsweise als ormalverteilt vorausgesetzt werde. Die Berechuge aus 6 zufällig gezogee Stichrobemessuge lieferte eie mittlere Motagedauer vo 05 mi ud eie Stadardabweichug vo 0 mi. u bestimme ist eie 95%ige Itervallschätzug für die Variaz ud die Stadardabweichug der Motagedauer. Itervallschätzug II 6

4 Beisiel: Itervallschätzug der Variaz für die Motagedauer vo Geräte X: Motagedauer (i Miute vo Geräte i der Großserieroduktio arameter I der GG I der S Mittelwert µ (ubekat 05 mi Stadardabweichug (ubekat s0 mi Variaz ² (ubekat s²400 mi² ( S ( S W[ ² ( S ; ; ; ( S ² ; ² 7,488 6,6 ] ; 6,6 ; 0,05 0,05 ; 6 ; 6 8,8 ² 958,6 0,975 0,05 ; 5 ; 5-0,95 6 7,488 (Tab. 5 Itervallschätzug II 7 Itervallschätzug der Streuug für die Motagedauer vo Geräte - Iterretatio ( S ; ( S ² ; ( S ; ( S ; 8,8 ² 958,6 4,77 30,95 Iterretatio: Da das Kofideziveau 0,95 ahe bei Eis gewählt wurde, vertraut ma darauf, die Itervalle [8,8 ; 958,6] ud [4,77 ; 30,95] erhalte zu habe, so dass sie die Variaz ² bzw. die Stadardabweichug überdecke. Ob i diesem Fall diese Aahme richtig oder falsch ist, ka icht gesagt werde. Bekat ist jedoch der mittlere rozetuale Fehlerateil mit 5 %, der sich bei wiederholter Beobachtug vo Stichrobe des Umfags 6 ergibt. Itervallschätzug II 8

5 Ateil i der Grudgesamtheit Der Ateil vo Elemete i eier GG, die eie bestimmte Eigeschaft aufweise, wird mit bezeichet ud etsricht der Wahrscheilichkeit dafür, dass ei zufällig ausgewähltes Elemet der GG diese Eigeschaft besitzt. Die Ateilswerte werde für dichotome Merkmale (Biärmerkmale ausgewiese. X 0 W(X W(X 0 - Eie solche ufallsvariable geügt eier wei-ukt bzw. Beroulli-Verteilug. M Erwartugswert: E(X N Variaz: Var(X ( Itervallschätzug II 9 Schätzer des arameters eier Beroulli-Verteilug Sei X eie Beroulli-Verteilug mit dem ubekate arameter (Ateilswert. Sei (X, X,... X eie ufallsstichrobe vom Umfag. Der beste Schätzer für ist: i i ˆ X X mit X i 0 für i,,, Dieser Schätzer wird Stichrobeateil geat. Die Summe der X i stellt die Azahl der Erfolge der iehuge der Stichrobe dar. Diese Summe ist eie ufallsvariable ud geügt eier Biomialverteilug mit de arameter ud (iehug mit Wiederholuge bzw. Hyergeometrischer Verteilug mit de arameter N, ud M (iehug ohe urücklege. Itervallschätzug II 0

6 Verteilug des Schätzers für der arameter eier Beroulli-Verteilug für große Sei X eie Beroulli -Verteilug mit dem ubekate arameter (Ateil. Sei (X, X,... X eie ufallsstichrobe vom Umfag. Der Schätzer für ist der Stichrobeateil. Für große Stichrobeumfäge ( - 9 geügt der Stichrobeateil asymtotisch eier Normalverteilug mit dem Erwartugswert ud der Variaz (-/. ˆ i Xi ( N(, Xi E(X i i i i E( E( Xi i ( Var( Var( VarXi ( ( i i Faustregel: (- 9 Itervallschätzug II Schätzug der Stadardabweichug des Stichrobeateils für große Var( Var( i Xi ( ( ( ( ubekat ( N N beim iehe ohe urücklege ( beim iehe mit urücklege Itervallschätzug II

7 Kofidezitervall für de Ateil bei großem Stichrobeumfag W( + ( beim iehe mit urücklege ( N N beim iehe ohe urücklege Faustregel: (- 9 Itervallschätzug II 3 Beisiel: Schätzug des Ateils I eiem Vorort mit Familie soll der Ateil der Familie mit mehr als eiem kw geschätzt werde. I eier Stichrobe vom Umfag 00 Familie möge sich 30 Familie mit mehr als eiem kw befide. Gehe wir vo eiem 95%ige Sigifikaziveau aus. 30 ˆ 0,30 00 * ( 0,3 0,7 0, 0,00 0, Faustregel: (- 00 0,3 0,7 9 ( + (0,3,96 0,046 0,3 +,96 0,046 (0,3 0,0903 0,3 + 0,0903 (0,097 0,3903 0,05 0,975 *bei /N0,0 < 0,05 Itervallschätzug II 4 (Tab.,96

8 Kofidezitervall für de Ateil für kleie Stichrobeumfäge, (- < 9 Die Itervallschätzug eies ubekate Ateilswertes mit kleie Stichrobe ist äußerst roblematisch, weil der ubekate arameter i de dazu geutzte Verteiluge auftaucht. Normalerweise werde folgede Verteiluge als ivotgröße eigesetzt: Biomialverteilug beim iehe mit urücklege Hyergeometrische Verteilug beim iehe ohe urücklege Fisherverteilug F v, v Die allgemeie Formel für die Greze eies Kofidezitervalls [K u ; K o ] zum Kofideziveau - für de Ateil werde folgedermaße defiiert: K u F ( + + F, ( + ;, ( + ; K o ( F (, + ; Itervallschätzug II 5 Kofidezitervalle für de Ateil - usammefassug - arameter Kofidezitervall Stadardfehler ( ohe urücklege ( mit urücklege Azuwedede Verteilug kleie S große S + ( ( ( ( N N * [K u ; K o ] Faustregel: (- < 9 Normalverteilug Faustregel: (- 9 K u F ( + + F, ( + ; * Für /N < 0,05 ka der Korrekturfaktor für eie edliche Gesamtheit verachlässigt werde., ( + ; K o ( F (, + ; N N Itervallschätzug II 6

9 Verteilug der Differez zweier Stichrobeateile ˆ Seie X ud X zwei beroulliverteilte ufallsgröße mit de arameter bzw. i zwei Grudgesamtheite. Seie (X, X,..., X ud (X, X,..., X zwei uabhägig voeiader gezogee Stichrobe. Die Differez - wird mit der Differez der Stichrobeateile - geschätzt. Bei große Stichrobe gelte folgede Beziehuge: Xi i ( ~ N(, ud ˆ E( ( ( ~ N( ; + E( E( ( ( Var( Var( + Var( + ud i X ( ~ N(, Itervallschätzug II 7 i Normalverteilug, Faustregel: ( - 9 ( - 9 Kofidezitervall für die Differez zweier Ateilswerte bei große Stichrobe Seie X ud X zwei beroulliverteilte ufallsgröße mit de arameter bzw. i zwei Grudgesamtheite. Seie (X, X,..., X ud (X, X,..., X zwei uabhägig voeiader gezogee Stichrobe. Bei große Stichrobe, ( - 9 ud ( - 9, lässt sich für die Differez - folgedes Kofidezitervall herleite: ( ( ~ N( ; + ( ( ( ( + ( - D ( D ~ N(0, D ( ( + Itervallschätzug II 8

10 Beisiel: Itervallschätzug für die Differez der Ateilswerte u eier wichtige kommualolitische Frage werde 00 Eiwoher der Altstadt (Grue ud 500 Bewoher der Neubaugebiete (Grue befragt. I der. Grue beträgt der Ateil der ustimmede 60 % ud i der. Grue 48 %. Das Schätzitervall zum Kofideziveau 0,99 für die Differez der Ateilswerte der beide Grudgesamtheite lautet: W[( - D ( + D ] 0, ,995 0,0,58 ( ( 0,60 0,40 0,48 0,5 D + + 0, (Tab. [(0,6 0,48 -,58 0,04 (0,6 0,48 +,58 0,04] [0, 0,063 [0,037 0,63] 0, + 0,063] Itervallschätzug II 9 usammefassug - Itervallschätzug Mit eier Itervallschätzug wird ei arameter derart geschätzt, dass ei Itervall etsteht ud die Wahrscheilichkeit dafür agegebe werde ka, dass der wahre arameterwert der Grudgesamtheit i diesem Itervall liegt. Diese Aussage erfolgt uter dem Vorbehalt eier Irrtumswahrscheilichkeit auf eiem Kofideziveau -. Itervallschätzug II 0

11 Itervallschätzug des Mittalwertes Bisher stellte sich die Aufgabe, aus eier Stichrobe vom gegebee Umfag bei gegebeem Sicherheitsgrad - ei Kofidezitervall für eie arameter γ (z. B. µ, ² oder zu bestimme. Für de Mittelwert µ eier Normalverteilug mit bekater Variaz ² erhält ma das Kofidezitervall: [X µ X+ ] mit dem absolute Schätzfehler: µ [(X+ (X ] Itervallschätzug II Bestimmug des Stichrobeumfags Aus der Relatio zwische de Größe vo: absolutem Schätzfehler µ (Geauigkeit Sigifikaziveau - (Sicherheitsgrad Stichrobeumfag lässt sich eie dieser Größe aus der Keug der adere bestimme. Häufig stellt sich i der raxis die Aufgabe, de otwedige Stichrobeumfag so zu bestimme, dass eie vorgegebee Geauigkeit ud eie vorgegebee Sicherheit bei der arameterschätzug zu gewährleiste sid. Itervallschätzug II

12 Stichrobeumfag bei der Schätzug des Mittelwertes µ (Fall Bediguge: Normalverteilug des Merkmals i der Grudgesamtheit oder >30 Bekate Variaz ² iehe mit urücklege oder /N<0,05. µ µ ² ( µ ² Vorgegebe: - : Sicherheitsgrad der Schätzug µ: Geauigkeit bzw. absoluter Schätzfehler : Stadardabweichug des Merkmals Gesucht: Stichrobeumfag Itervallschätzug II 3 Stichrobeumfag bei der Schätzug des Mittelwertes µ (Fall Bediguge: Normalverteilug des Merkmals i der Grudgesamtheit oder große Bekate Variaz ² iehe ohe urücklege ud /N 0,05. Vorgegebe: N µ - : Sicherheitsgrad der Schätzug N : Geauigkeit bzw. absoluter Schätzfehler : Stadardabweichug ² N N: Umfag der Grudgesamt ( µ ²(N + ² Gesucht: Stichrobeumfag Itervallschätzug II 4

13 Beisiel: Bestimmug des Stichrobeumfags für die Schätzug des Mittelwertes µ Das Durchschittsgewicht vo.000 Koservedose ist mit eiem Sicherheitsgrad vo 0,99 ud bei eiem absolute Fehler vo maximal g zu schätze. Aus voragegagee Studie ka ageomme werde, dass das Gewicht der Dose ormalverteilt ist mit eier Variaz vo 36 g². Wie groß soll der Stichrobeumfag sei, um diese Bediguge zu erfülle? ² N Gegebe: ( µ ²(N + ² ²( N , ,58² µ ,58² 47960,8 ²36 4, ,6 0,995 0,995 Itervallschätzug II 5 robleme bei der Bestimmug des Stichrobeumfags bei ubekater Variaz µ S [X t We die Variaz ² der Grudgesamtheit ubekat ist, ka die Formel für de otwedige Stichrobeumfag icht eigesetzt werde: ; ² ( µ ² S ; X+ t Aus dem Kofidezitervall für de Mittelwert eier Normalverteilug bei ubekater Variaz folgt für µ ud : ] ; µ [(X S + t ; S (X t ; S ] t ; S (Xi X i S t ; ( µ ² roblematisch dabei ist, dass sowohl die t-verteilug als auch die Stichrobevariaz selbst vom zu bestimmede Stichrobeumfag abhäge. Itervallschätzug II 6

14 Bestimmug des otwedige Stichrobeumfags bei ubekater Variaz Bei ubekater ² ka folgedes iteratives Verfahre eigesetzt werde:. Es wird eie kleie Stichrobe (ilotstichrobe mit dem Umfag (m3, 4 oder 5 gezoge.. Aus dieser ilotstichrobe wird s² ud t berechet ud daraus der etsrechede Stichrobeumfag bestimmt. S m m (Xi X m i S m t ; m ( µ ² 3. Ma zieht eie Stichrobe vom Umfag -m, um zusamme eie S mit dem Umfag zu bilde. Mit dieser S berechet ma de Schätzfehler µ. Ist µ kleier oder gleich µ, da reicht dieser Stichrobeumfag. Gilt diese Relatio icht, da utzt ma die vorhadee Stichrobe als ilotstichrobe ud wiederholt de Algorithmus ab Schritt. µ Itervallschätzug II 7 s t ; Bestimmug des Stichrobeumfags bei der Schätzug eies Ateilswertes Soll ei Ateilswert mit vorgegebeer Geauigkeit ud vorgegebeem Sicherheitsgrad - bestimmt werde, so geht ma folgedermaße vor. Uter der Aahme eies große Stichrobeumfags ka die Normalverteilug eigesetzt werde. + ( ( N N [( + ( ( ² Itervallschätzug II 8 ( ( N ( ²(N + ( ] beim iehe mit urücklege iehe ohe urücklege roblematisch ist es hier, dass i beide Bestimmugsgleichuge der ubekate Ateil auftaucht. Ma ka i diesem Fall wie bei ubekater ² vorgehe. Ma fägt aber mit eier größere ilotstichrobe (m > 30 a.

15 Obere Schrake für de Stichrobeumfag bei der Schätzug eies Ateilswertes ( ( ² ( d( ² d Beim iehe mit urücklege ud große Stichrobe Diese Formel als Fuktio vo erreicht ihr Maximum a der Stelle /. ( 0 ² beim iehe ohe urücklege ( d ²( ( ² d ² < 0 ( ² ( N e ²(N + ( Diese Formel als Fuktio vo erreicht auch ihr Maximum a der Stelle /. Itervallschätzug II 9 Beisiel: Bestimmug des Stichrobeumfag für die Schätzug des Ateilswertes Ei Markeartikelhersteller will de Bekatheitsgrad seies rodukts i der Budesreublik bestimme. Der absolute Schätzfehler soll % ud der Sicherheitsgrad 0,95 betrage. Wie groß ist der otwedige Stichrobeumfag zu wähle? Gegebe: N: sehr groß - 0,95 0,0 Ma ka /N<0,05 uterstelle (iehe mit urücklege 0,5 0,5,96² Obere Schrake: 40 ² 0,0² We aus eier frühere Utersuchug (ilotstichrobe mit eiem Bekatheitsgrad vo 0,4 gerechet werde ka, da gilt: m ( m ² 0,4 0,58,96² 340 0,0² Itervallschätzug II 30