KAPITEL 4. Lineare Ausgleichsrechnung Beispiel 4.1. Das Ohmsche Gesetz: U = RI. Eine Meßreihe von Daten:

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "KAPITEL 4. Lineare Ausgleichsrechnung Beispiel 4.1. Das Ohmsche Gesetz: U = RI. Eine Meßreihe von Daten:"

Transkript

1 KAPITEL 4 Lineare Ausgleichsrechnung Beispiel 41 Das Ohmsche Gesetz: Eine Meßreihe von Daten: U = RI (U i, I i ) (Spannung, Stromstärke), i = 1,, m Aufgabe: man bestimme aus diesen Meßdaten den Widerstand R im Stromkreis Theoretisch: U i = RI i, i = 1,, m Aber Daten sind mit Fehlern behaftet U U i I i I Dahmen-Reusken Kapitel 4 1

2 Man kann hierzu versuchen, die durch eine Wahl von R bedingten Residuen U i RI i zu quadrieren, aufzusummieren und dasjenige R zu suchen, das diesen Ausdruck minimiert: f(r) := m i=1 (RI i U i ) 2 = min Da f eine quadratische Funktion ist, kann nur ein Extremum vorliegen, das durch die Nullstelle der Ableitung gegeben ist: 0 = f (R) = m i=1 ( m 2(RI i U i )I i = 2R Ii 2 i=1 Hier ergibt sich diese Nullstelle R als ) 2 m i=1 U i I i R = ( m i=1 U i I i )/( m Ii 2 i=1 ) Dahmen-Reusken Kapitel 4 2

3 Beispiel 42 In der Fourieranalyse wird eine T-periodische Funktion f durch eine Linearkombination der T-periodischen trigonometrischen Polynome 1, cos(ct), sin(ct), cos(2ct), sin(2ct),, cos(nct), sin(nct) mit c := 2π T in der Form approximiert g N (t) = 1 2 a 0 + N k=1 (a k cos(kct) + b k sin(kct)), Annahme: nicht f, sondern nur eine Reihe von Meßdaten b i f(t i ), 0 t 1 < t 2 < < t m T, ist bekannt, wobei m > 2N + 1 Ansatz zur Bestimmung der Koeffizienten a 0, a 1, b 1, a 2, b 2,, a N, b N : m i=1 (g N (t i ) b i ) 2 = min Dahmen-Reusken Kapitel 4 3

4 Das allgemeine lineare Ausgleichsproblem Das Minimierungsproblem m i=1 (y(t i ; x 1,, x n ) b i ) 2 = m i=1 (a i,1 x a i,n x n b i ) 2 = min wird in Matrixform dargestellt Setzt man A = (a i,j ) m,n i,j=1 Rm n, b R m, nimmt das Minimierungsproblem eine kompakte Form an: Also: Ax b 2 2 = min x R n Zu gegebenem A R m n und b R n, bestimme x R n, für das gilt Ax b 2 = min x R n Ax b 2 Dahmen-Reusken Kapitel 4 4

5 Beispiel 43 Man vermutet, daß die Meßdaten einer Gesetzmäßigkeit der Form t y y = f(t) = α t + β mit noch zu bestimmenden Parametern α, β R gehorchen Das zugehörige lineare Ausgleichsproblem hat die Gestalt (414), mit x = ( ) α, A = β , b = Dahmen-Reusken Kapitel 4 5

6 Normalgleichungen Die Lösung von (414) läßt sich auf die Lösung des linearen Gleichungssystems A T Ax = A T b reduzieren, das häufig als Normalgleichungen bezeichnet wird Beachte: für A R m n ist die Matrix A T A R n n stets quadratisch Kernaussage: Satz 45 x R n ist genau dann Lösung des linearen Ausgleichsproblems (414), wenn x Lösung der Normalgleichungen A T Ax = A T b ist Das System der Normalgleichungen hat stets mindestens eine Lösung Sie ist genau dann eindeutig, wenn Rang(A) = n gilt Dahmen-Reusken Kapitel 4 6

7 Geometrische Interpretation Anschaulich ist klar, daß die Differenz b Ax gerade senkrecht auf dem Bildraum Bild(A) = {Ax x R n } stehen muß, damit der Abstand Ax b 2 minimal ist Also gilt: Ax b 2 = min Ax b Bild(A), R m n b Ax b Ax x R n Bild(A) = {Ax x R n } R n Dahmen-Reusken Kapitel 4 7

8 In Beispiel 332 wurde bereits folgende Tatsache gezeigt: Bemerkung 46 Falls A R m n vollen (Spalten-)Rang n hat, so ist die Matrix A T A R n n symmetrisch positiv definit Annahme: Wir beschränken uns in den Abschnitten 43 und 44 auf den Fall, daß A vollen Spaltenrang hat: Rang(A) = n Der Fall Rang(A) < n wird in Abschnitt 47 diskutiert Dahmen-Reusken Kapitel 4 8

9 Kondition des linearen Ausgleichsproblems κ 2 (A) := max x 0 Ausgleichsproblem mit Störungen: Ax 2 x 2 / min x 0 A x b 2 = min Ax 2 x 2 δb b b Θ Ax A x Satz 47 Für die Kondition des linearen Ausgleichsproblems bezüglich Störungen in b gilt x x 2 x 2 κ 2(A) b b 2 cosθ b 2 Dahmen-Reusken Kapitel 4 9

10 A := Beispiel , b := Man kann einfach nachrechnen, daß κ 2 (A) 262 und ( ) x = (A T A) 1 A T 001 b = 0 gilt Für b = (001,1,001) T erhält man Daraus folgt x = (A T A) 1 A T b = ( ) x x 2 x b b 2 b 2, also eine schlechte Kondition Es gilt cosθ = Ax 2 b 2 = 001 Dahmen-Reusken Kapitel 4 10

11 Kondition des linearen Ausgleichsproblems Satz 49 Für die Kondition des linearen Ausgleichsproblems bezüglich Störungen in A gilt x x 2 x 2 ( κ 2 (A) + κ 2 (A) 2 tanθ ) Ã A 2 A 2 Dahmen-Reusken Kapitel 4 11

12 Numerische Lösung des linearen Ausgleichsproblems Lösung der Normalgleichungen Die Matrix A T A ist symmetrisch positiv definit Folglich ergibt sich die Methode: Berechne A T A, A T b Berechne die Cholesky-Zerlegung von A T A Löse LDL T = A T A Ly = A T b, L T x = D 1 y durch Vorwärts- bzw Rückwärtseinsetzen Dahmen-Reusken Kapitel 4 12

13 Nachteile dieser Vorgehensweise Die Berechnung von A T A ist für große m aufwendig und birgt die Gefahr von Genauigkeitsverlust durch Auslöschungseffekte Die Einträge von A T A sind also mit (möglicherweise erheblichen relativen) Fehlern behaftet Bei der Lösung des Systems A T Ax = A T b über das Cholesky- Verfahren werden die Rundungsfehler in A T A und A T b mit verstärkt Es gilt κ 2 (A T A) κ 2 (A T A) = κ 2 (A) 2 Folglich wird die Rundungsfehlerverstärkung durch κ 2 (A) 2 beschrieben Dahmen-Reusken Kapitel 4 13

14 Beispiel 412 A = 3 3 δ 0 0 δ, b = 2 3 δ, 0 < δ 1 δ Das lineare Ausgleichsproblem Ax b 2 = min hat die Lösung x = (1,1) T (für alle δ > 0) Außerdem gilt Θ = 0 Daher wird die Kondition dieses Problems durch κ 2 (A) beschrieben Man rechnet einfach nach, daß 6 κ 2 (A) δ gilt Ein stabiles Verfahren sollte ein Resultat x liefern, mit x x 2 x 2 κ 2 (A) eps Dahmen-Reusken Kapitel 4 14

15 Die Lösung dieses Problems über die Normalgleichungen und das Cholesky-Verfahren auf einer Maschine mit eps ergibt: δ = 10 4 : x x 2 x κ 2(A) 2 eps δ = 10 6 : x x 2 x κ 2(A) 2 eps Dahmen-Reusken Kapitel 4 15

16 Lösung über QR-Zerlegung Satz 413 Sei A R m n mit Rang(A) = n und b R m Sei Q R m m eine orthogonale Matrix und R R n n eine obere Dreiecksmatrix, so daß QA = R := ) ( R } n } m n Dann ist die Matrix R regulär Schreibt man ( ) b1 } n Qb = b 2 } m n, dann ist x = R 1 b 1 die Lösung des linearen Ausgleichsproblems (414) Die Norm Ax b 2 ist gerade durch b 2 2 gegeben Grundidee: Ax b 2 2 = QAx Qb 2 2 = Rx Qb 2 2 = Rx b b Dahmen-Reusken Kapitel 4 16

17 Aus Satz 413 ergibt sich nun folgende Methode: Bestimme von A die QR-Zerlegung ) ( R QA = ( R R n n ), zb mittels Givens-Rotationen oder Householder-Spiegelungen und berechne Qb = ( b 1 b2 ) Löse mittels Rückwärtseinsetzen Rx = b 1 Die Norm des Residuums min x R n Ax b 2 = Ax b 2 ist gerade durch b 2 2 gegeben Dahmen-Reusken Kapitel 4 17

18 Beispiel 415 Sei A = , b = , dh m = 3, n = 2 Man bestimme die Lösung x R 2 von Ax b 2 = min Annullierung von a 3,1 : A (2) = G 1,3 A = , b (2) = G 1,3 b = 0 5 (In der Praxis werden die Transformationen G 1,3 A und G 1,3 b ausgeführt, ohne daß G 1,3 explizit berechnet wird) Dahmen-Reusken Kapitel 4 18

19 Annullierung von a (2) 3,2 : A (3) = G 2,3 A (2) = Lösung von = ( durch Rückwärtseinsetzen: x = ) ( R, b (3) = G 2,3 b (2) = ) ( x 1 x 2 ) = ( ( , 37 ) T 169 ) Als Norm des Residuums ergibt sich: b 2 2 = Dahmen-Reusken Kapitel 4 19

20 Wegen Satz 341 gilt κ 2 (A) = κ 2 ( R), dh, das Quadrieren der Kondition, das bei den Normalgleichungen auftritt, wird vermieden Außerdem ist die Berechnung der QR-Zerlegung über Givens- oder Householder-Transformationen ein sehr stabiles Verfahren, wobei die Fehlerverstärkung durch κ 2 (A) (und nicht κ 2 (A) 2 ) beschrieben wird Dahmen-Reusken Kapitel 4 20

21 Beispiel 416 Wir nehmen A und b wie in Beispiel 412 Die Methode über die QR- Zerlegung von A, auf einer Maschine mit eps 10 16, ergibt δ = 10 4 : δ = 10 6 : x x 2 x , x x 2 x Wegen der sehr guten Stabilität dieser Methode sind diese Resultate viel besser als die Resultate in Beispiel 412 Dahmen-Reusken Kapitel 4 21

22 45 Zum statistischen Hintergrund - lineare Regression Gegeben seien Daten (t 1, y 1 ),,(t m, y m ) mit t i : feste (deterministische) Meßpunkte, y i : Realisierungen von Zufallsvariablen Y i Lineare Regression basiert auf dem Ansatz Y i = n k=1 a k (t): geeignete Ansatzfunktionen, F i : Meßfehler (Zufallsvariablen) a k (t i )x k + F i, i = 1,, m, Ziel: eine Schätzung ˆx = (ˆx 1,,ˆx n ) T für den unbekannten Parametersatz x = (x 1,, x n ) T R n bestimmen Einen solchen Schätzer liefert die lineare Ausgleichsrechnung Sei nämlich ˆx die Lösung des linearen Ausgleichsproblems Ax y 2 2 min Dann ist ˆx ebenfalls eine Zufallsvariable Dahmen-Reusken Kapitel 4 22

23 ˆx als Best Linear Unbiased Estimator (BLUE) Annahmen: - F i unabhängig, identisch verteilt mit Erwartungswert E(F i ) = 0 - Varianz-Kovarianzmatrix Dann gilt V (F) := E(FF T ) = ( E(F i F j ) ) m i,j=1 = σ2 I E(ˆx) = x, V (ˆx) = E ( (ˆx x)(ˆx x) T ) = σ 2 (A T A) 1 Der Schätzer ist erwartungstreu und hat minimale Varianz Man spricht von einem Best Linear Unbiased Estimator (BLUE) Dahmen-Reusken Kapitel 4 23

24 ˆx als Maximum-Likelihood-Schätzer Annahmen: - F i unabhängig, identisch verteilt mit Erwartungswert 0 - Varianz-Kovarianzmatrix V (F) = σ 2 I - F i normalverteilt : Y i normalverteilt, E(Y ) = Ax, V (Y ) = σ 2 I Dichtefunktion von Y i : ( z (Ax)i σ f i (z) = 1 σ 1 2π e 2 Für die Meßreihe y 1,, y m ist die Likelihood-Funktion definiert durch L(x; y 1,, y m ) := m i=1 f i (y i ) = ) 2 ( )m e 2πσ 2 2σ 2 y Ax 22 Ein Parameterwert x heißt Maximum-Likelihood-Schätzwert, wenn L( x; y 1,, y m ) L(x; y 1,, y m ) für alle x R n Der Maximum-Likelihood-Schätzer ist gerade der Schätzer ˆx aus dem linearen Ausgleichsproblem, weil y A x 2 = min x R n y Ax 2 Dahmen-Reusken Kapitel 4 24

25 46 Orthogonale Projektion auf einem Teilraum Gegeben: ein Vektorraum V über R mit einem Skalarprodukt, Durch v := v, v 1 2 wird eine Norm auf V definiert Aufgabe Sei U V ein n-dimensionaler Teilraum von V Zu v V bestimme u U, für das gilt u v = min u U u v Im Falle des linearen Ausgleichsproblems ist U = Bild(A), A R m n, V = R m, u, v = m j=1 u j v j, Dh = 2 Bemerkung 418 Weil U ein endlich-dimensionaler Teilraum ist, existiert ein Element in U mit minimalem Abstand zu v, dh es existiert u U, für das u v = min u U u v gilt Dahmen-Reusken Kapitel 4 25

26 Satz 420 Unter den Bedingungen von Aufgabe 417 existiert ein eindeutiges u U, das u v = min u v u U erfüllt Ferner gilt das genau dann, wenn u v, u = 0 u U, dh, u v senkrecht (bzgl, ) zu U ist u ist somit die orthogonale Projektion (bzgl, ) von v auf U Die Lösung der Aufgabe 417 ist also die orthogonale Projektion (bzgl, ) von v auf den Unterraum U v U u Dahmen-Reusken Kapitel 4 26

27 Eigenschaften der Projektion Zu v V existiert ein eindeutiges P U (v) U, so daß v P U (v) U, dh, v P U (v), u = 0 u U Mit P U : V U ist also eine wohldefinierte Abbildung gegeben (i) Die Abbildung P U : V U ist linear (ii) P U ist ein Projektor, dh P U (u) = u für alle u U (P 2 U = P U) (iii) Die Abbildung P U ist symmetrisch, dh P U (v), w = v, P U (w), v, w V (iv) P U is beschränkt und zwar gilt P U = sup v =1 P U (v) = 1 Dahmen-Reusken Kapitel 4 27

28 Wie kann man P U (v) berechnen? Sei {φ 1,, φ n } eine Basis für U Dann hat û = P U (v) eine eindeutige Darstellung P U (v) = n j=1 c j φ j mit gewissen Koeffizienten c j = c j (v) Es gilt 0 = v P U (v), φ k = v, φ k n j=1 Definiert man die Gram-Matrix G := ( φ k, φ j ) n c j φ j, φ k, k = 1,, n j,k=1 c = (c 1,, c n ) T, v = ( v, φ 1,, v, φ n ) T so ergibt sich Gc = v und die Vektoren Die Berechnung einer orthogonalen Projektion läuft also im allgemeinen auf die Lösung eines symmetrisch positiv definiten Gleichungssystems hinaus Dahmen-Reusken Kapitel 4 28

29 47 Singulärwertzerlegung (SVD) und Pseudoinverse Wir definieren die Lösungsmenge L(b) := {x R n x ist Lösung des linearen Ausgleichproblems} Lemma 424 Die Lösungsmenge L(b) hat folgende Eigenschaften: (i) Es existiert ein eindeutiges x R n, so daß x = L(b) Kern(A), wobei Kern(A) := {z R n y T z = 0, y Kern(A)} (ii) Für alle x L(b) \ {x } gilt x 2 > x 2, dh, x hat die kleinste Euklidische Norm in L(b) Folgerung 425 Sei b R m, A R m n Die Aufgabe bestimme x mit minimaler Euklidischer Norm, für das Ax b 2 = min x R n Ax b 2 gilt, hat eine eindeutige Lösung Dahmen-Reusken Kapitel 4 29

30 Singulärwertzerlegung Satz 427 Zu jeder Matrix A R m n existieren orthogonale Matrizen U R m m, V R n n und eine Diagonalmatrix mit so daß Σ := diag(σ 1,, σ p ) R m n, p = min{m, n}, σ 1 σ 2 σ p 0, U T AV = Σ Die σ i heißen Singulärwerte von A (singular values) Die Spalten der Matrizen U, V nennt man die Links- bzwrechtssingulärvektoren Dahmen-Reusken Kapitel 4 30

31 Pseudoinverse Satz 428 Sei U T AV = Σ eine Singulärwertzerlegung von A R m n mit Singulärwerten σ 1 σ r > σ r+1 = = σ p = 0, p = min{m, n} Definiere A + R n m durch A + = V Σ + U T mit Σ + = diag(σ 1 1,, σ 1 r,0,,0) R n m Dann ist A + b = x die Lösung des allgemeinen linearen Ausgleichproblems A + heißt Pseudoinverse von A Dahmen-Reusken Kapitel 4 31

32 Lemma 429 Sei U T AV = Σ eine Singulärwertzerlegung von A mit Singulärwerten σ 1 σ r > σ r+1 = = σ p = 0, p = min{m, n} Die Spalten der Matrizen U und V werden mit u i bzw v i notiert Dann gilt: (i) Av i = σ i u i, A T u i = σ i v i, i = 1,, p (ii) Rang(A) = r (iii) Bild(A) = span{u 1,, u r }, Kern(A) = span{v r+1,, v n } (iv) A 2 = σ 1 (v) Sei κ 2 (A) := A 2 A + 2 = σ 1 σ r Falls Rang(A) = n m, so gilt (vi) { σ i i = 1,, r} = { κ 2 (A) = κ 2(A) = max x 2 =1 Ax 2 min x 2 =1 Ax 2 λ i (A T A) i = 1,, n } \ {0} Dahmen-Reusken Kapitel 4 32

33 Abb 46 Orthogonale Basis in R n und R m span{v r+1,, v n } = Kern(A) R n span{v 1,, v r } 0 = Bild(A T ) A R m span{u r+1,, u m } = Kern(A T ) A T 0 span{u 1,, u r } = Bild(A) Dahmen-Reusken Kapitel 4 33

34 Abb 47 Geometrische Interpretation der Singulärwertzerlegung v i R n x v T i x vj Tx v j A σ i v T i x u i R m Ax σ j vj Tx u j Dahmen-Reusken Kapitel 4 34

35 471 Berechnung von Singulärwerten Lemma 430 Sei A R m n, und seien Q 1 R m m, Q 2 R n n orthogonale Matrizen Dann haben A und Q 1 AQ 2 die gleichen Singulärwerte Transformation auf Bidiagonalgestalt; Beispiel: Eine Householder-Transformation Q 1, so daß Q 1 A = ( v T = 1 ) Dahmen-Reusken Kapitel 4 35

36 Sei Q 1 R 3 3 eine Householder-Transformation, so daß Q 1 v 1 = ( 0 0) T Mit ˆQ 1 := ( v T Q 1 AˆQ 1 = 1 ( 1 Q 1 ) ( 1 ) Q 1 ) erhält man = Auf ähnliche Weise können Nulleinträge erzeugt werden in der 2 Spalte, 2 Zeile, 3 Spalte und 4 Spalte: Q 1 AˆQ 1 Q 2 Q 1 AˆQ 1 = Q 2Q 1 AˆQ 1 ˆQ 2 = Q 3 Q 2 Q 1 AˆQ 1 ˆQ 2 = Q 4Q 3 Q 2 Q 1 AˆQ 1 ˆQ 2 = Dahmen-Reusken Kapitel 4 36

37 Bemerkung 431 Der Aufwand zur Berechnung der oberen Bidiagonalmatrix B in 465 beträgt mn 2 + O(mn) Operationen Die Matrix A und die sich ergebende Bidiagonalmatrix B haben die gleichen Singulärwerte Die Singulärwerte der Matrix A sind die Wurzeln der Eigenwerte der Tridiagonalmatrix B T B Für die Berechnung der Eigenwerte dieser Matrix werden im allgemeinen sehr viel weniger arithmetische Operationen benötigt als für die Berechnung der Eigenwerte der (vollbesetzten) Matrix A T A Dahmen-Reusken Kapitel 4 37

38 472 Rangbestimmung Lemma 432 Sei U T AV = Σ eine Singulärwertzerlegung von A mit Singulärwerten σ 1 σ r > σ r+1 = = σ p = 0, p = min{m, n} Für 0 k p 1 gilt: min{ A B 2 B R m n, Rang(B) k } = σ k+1 Folgerung 433 Für A und à = A + A R m n mit Singulärwerten σ 1 σ p bzw σ 1 σ p, p = min{m, n}, gilt σ k σ k σ 1 A 2 A 2, für k = 1,, p In diesem Sinne ist das Problem der Singulärwertbestimmung gut konditioniert Dahmen-Reusken Kapitel 4 38

39 Der Numerische Rang Sei à = (ã i,j ) eine mit Rundungsfehlern behaftete Annäherung von A, wobei ã i,j = a i,j (1 + ǫ i,j ) mit ǫ i,j eps Mit E := (a i,j ǫ i,j ) R m n ergibt sich A à 2 = E 2 m E m A eps mn A 2 eps Deswegen definieren wir: BÃ(eps) := { C R m n à C 2 à 2 mn eps } Der numerische Rang Rang num (Ã) der Matrix à ist: Rang num (Ã) := min{rang(b) B BÃ(eps) } Dieser numerische Rang hängt von der Maschinengenauigkeit eps ab Dahmen-Reusken Kapitel 4 39

40 Bestimmung des numerischen Ranges: Seien σ 1 σ p die Singulärwerte der Matrix à Es gilt min Rang(B) k à B 2 à 2 = σ k+1 σ 1, 1 k < p Die Umgebung BÃ(eps) enthält also eine Matrix B mit Rang(B) = k genau dann, wenn σ k+1 / σ 1 mn eps Der numerische Rang der Matrix à ist deshalb: Rang num (Ã) = min{1 k p σ k+1 σ 1 mn eps } Dahmen-Reusken Kapitel 4 40

41 434 Beispiel Wir betrachten die Matrizen A 1 = , A 2 = A eps ( ), wobei eps Es gilt Rang(A 1 ) = 2, Rang(A 2 ) = 3 Die berechneten Singulärwerte dieser Matrizen sind 7776, 1082, bzw 7776, 1082, In beiden Fällen sind die drei berechneten Singulärwerte strikt positiv, jedoch gilt Rang num (A 1 ) = Rang num (A 2 ) = 2 In der Praxis würde man hieraus schließen, daß beide Matrizen den Rang 2 haben Dahmen-Reusken Kapitel 4 41

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Aufgabe 35: Thema: Singulärwertzerlegung und assoziierte Unterräume Sei A eine m n Matrix mit Rang r und A = UDV T ihre Singulärwertzerlegung.

Mehr

2 Lineare Gleichungssysteme

2 Lineare Gleichungssysteme Beispiel.5: Funktion von Runge (V) Beispiel Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg, NWF III, Institut für Mathematik Martin Arnold: Grundkurs Numerische Mathematik (WiS 27/8) Abbildung.3: Interpolation

Mehr

3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung

3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung 3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung Definition und Lemma 3.3.1. Sei V ein K-Vektorraum, φ End K (V ), λ K. Wir defnieren den zu λ gehörigen Eigenraum von φ als Dies ist ein Unterraum von V.

Mehr

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s Nachtrag zur allgemeinen Vektorraum-Theorie. 1.5.15. Direkte Summen. Sei V ein Vektorraum, seien U 1,..., U t Unterräume, wir schreiben V = U 1 U 2 U t = t i=1 U i falls die folgenden beiden Bedingungen

Mehr

Elemente der Analysis II

Elemente der Analysis II Elemente der Analysis II Kapitel 3: Lineare Abbildungen und Gleichungssysteme Informationen zur Vorlesung: http://www.mathematik.uni-trier.de/ wengenroth/ J. Wengenroth () 15. Mai 2009 1 / 35 3.1 Beispiel

Mehr

Lösung des Kleinste-Quadrate-Problems

Lösung des Kleinste-Quadrate-Problems Lösung des Kleinste-Quadrate-Problems Computergestützte Statistik Lisakowski, Christof 15.05.2009 Lisakowski, Christof ()Lösung des Kleinste-Quadrate-Problems 15.05.2009 1 / 34 Themen 1 Problemstellung

Mehr

Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung. Matrizen

Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung. Matrizen Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung Matrizen Definition einer Matrix Unter einer (reellen) m x n Matrix A versteht man ein rechteckiges Schema aus reellen Zahlen, die wie folgt angeordnet sind:

Mehr

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt - 17 - Die Frage ist hier also: Für welche x R gilt x = x + 1? Das ist eine quadratische Gleichung für x. Es gilt x = x + 1 x x 3 = 0, und man kann quadratische Ergänzung machen:... ( ) ( ) x x + = 3 +

Mehr

LINEARE ALGEBRA Ferienkurs. Hanna Schäfer Philipp Gadow

LINEARE ALGEBRA Ferienkurs. Hanna Schäfer Philipp Gadow LINEARE ALGERA Ferienkurs Hanna Schäfer Philipp Gadow INHALT Eigenwerte und Eigenvektoren. asiswechsel.2 Eigenwertgleichung 2.3 Diagonalisierbarkeit 5.4 Trigonalisierung 8.5 Zusatzmaterial 8 Aufgaben 9

Mehr

Basis und Dimension. Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren.

Basis und Dimension. Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren. Basis und Dimension Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren. Definition. Sei V ein K-Vektorraum und (v i ) i I eine Familie von Vektoren

Mehr

Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren

Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren Kapitel 5 Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren 5.1 Einführung Bemerkung 5.1 Aufgabenstellung. Diese Kapitel behandelt numerische Verfahren zur Lösung des Eigenwertproblems. Gegeben sei A R n n.

Mehr

Multivariate Statistik

Multivariate Statistik Hermann Singer Multivariate Statistik 1 Auflage 15 Oktober 2012 Seite: 12 KAPITEL 1 FALLSTUDIEN Abbildung 12: Logistische Regression: Geschätzte Wahrscheinlichkeit für schlechte und gute Kredite (rot/blau)

Mehr

6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen

6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag. $Id: quadrat.tex,v.5 9//5 ::59 hk Exp $ $Id: orthogonal.tex,v.4 9// ::54 hk Exp $ $Id: fourier.tex,v. 9// :: hk Exp $ Symmetrische Matrizen und quadratische

Mehr

Seminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie

Seminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie Seminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie Der binäre Rang, der symplektische Graph, die Spektralzerlegung und rationale Funktionen Vortrag am 24.01.2012 Heike Farkas 0410052 Inhaltsverzeichnis

Mehr

Lineare Algebra - alles was man wissen muß

Lineare Algebra - alles was man wissen muß Statistik für Bioinformatiker SoSe 3 Rainer Spang Lineare Algebra - alles was man wissen muß Der Titel ist natürlich gelogen, aber was wir hier zusammengetragen haben ist zumindest ein Anfang. Weniger

Mehr

Risikomessung und Value at Risk Wintersemester 2013/14

Risikomessung und Value at Risk Wintersemester 2013/14 Risikomessung und Value at Risk Wintersemester 2013/14 Walter Sanddorf-Köhle Statistik und Ökonometrie Foliensatz Nr. 11 Version vom 24. Januar 2014 1 / 45 6.5.1 Bisherige Vorgehensweise zur Berechnung

Mehr

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 9.. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 Die Grundfrage bei der Anwendung des Satzes über implizite Funktionen betrifft immer die folgende Situation: Wir haben eine Funktion f : V W und eine Stelle x

Mehr

MATTHIAS GERDTS NUMERISCHE MATHEMATIK I. Universität Würzburg WiSe 2009/2010

MATTHIAS GERDTS NUMERISCHE MATHEMATIK I. Universität Würzburg WiSe 2009/2010 MATTHIAS GERDTS NUMERISCHE MATHEMATIK I Universität Würzburg WiSe 2009/2010 Addresse des Authors: Matthias Gerdts Institut für Mathematik Universität Würzburg Am Hubland 97074 Würzburg E-Mail: gerdts@mathematik.uni-wuerzburg.de

Mehr

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema 2x 4 + x 3 + x + 3 div x 2 + x 1 = 2x 2 x + 3 (2x 4 + 2x 3 2x 2 ) x 3 + 2x 2 + x + 3 ( x

Mehr

Kapitel 4: Binäre Regression

Kapitel 4: Binäre Regression Kapitel 4: Binäre Regression Steffen Unkel (basierend auf Folien von Nora Fenske) Statistik III für Nebenfachstudierende WS 2013/2014 4.1 Motivation Ausgangssituation Gegeben sind Daten (y i, x i1,...,

Mehr

(λ Ri I A+BR)v Ri = 0. Lässt sich umstellen zu

(λ Ri I A+BR)v Ri = 0. Lässt sich umstellen zu Herleitung der oppenecker-formel (Wiederholung) Für ein System ẋ Ax + Bu (B habe Höchstrang) wird eine Zustandsregelung u x angesetzt. Der geschlossene egelkreis gehorcht der Zustands-Dgl. ẋ (A B)x. Die

Mehr

Computer Vision: 3D-Geometrie. D. Schlesinger () Computer Vision: 3D-Geometrie 1 / 17

Computer Vision: 3D-Geometrie. D. Schlesinger () Computer Vision: 3D-Geometrie 1 / 17 Computer Vision: 3D-Geometrie D. Schlesinger () Computer Vision: 3D-Geometrie 1 / 17 Lochkamera Modell C Projektionszentrum, Optische Achse, Bildebene, P Hauptpunkt (optische Achse kreuzt die Bildebene),

Mehr

7. Numerik mit MATLAB

7. Numerik mit MATLAB Start Inhalt Numerik mit MATLAB 1(24) 7. Numerik mit MATLAB 7.1 Lineare Algebra Normen. Matrixzerlegungen. Gleichungssysteme. 7.2 Lineare Ausgleichsrechnung qr, svd, pinv, \. 7.3 Interpolation interp1,

Mehr

Computer Vision I. Nikos Canterakis. Lehrstuhl für Mustererkennung, Universität Freiburg

Computer Vision I. Nikos Canterakis. Lehrstuhl für Mustererkennung, Universität Freiburg Nikos Canterakis Lehrstuhl für Mustererkennung, Universität Freiburg Gliederung 7 Projektionen und Rückprojektionen Der Punkt Die Gerade Die Quadrik Die Ebene Zusammenhang Kalibriermatrix - Bild des absoluten

Mehr

2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen

2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen 2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen V und V seien Vektorräume über einem Körper K. Hom K (V, V ) bezeichnet die Menge der K linearen Abbildungen von V nach V. Wir machen Hom K (V, V )

Mehr

Projektive Moduln. Lemma/Definition 1.1. Folgende Aussagen für einen R-Modul P sind äquivalent: (i) P erfüllt folgende Liftungseigenschaft:

Projektive Moduln. Lemma/Definition 1.1. Folgende Aussagen für einen R-Modul P sind äquivalent: (i) P erfüllt folgende Liftungseigenschaft: Seminar Summen von Quadraten und K-Theorie Projektive Moduln Im Folgenden sei R ein assoziativer Ring mit Eins, nicht notwendigerweise kommutativ. R-Modul ist im Folgenden stets ein Rechts-R-Modul. Ein

Mehr

Aufgabe 1. Sei A Mat(n n, R) mit Eigenwert 3. Dann gilt: Eig(A, 3) = Kern(A + 3E n ).

Aufgabe 1. Sei A Mat(n n, R) mit Eigenwert 3. Dann gilt: Eig(A, 3) = Kern(A + 3E n ). Aufgabe Sei A Mat(n n, R) Eigenwert 3. Dann gilt: Eig(A, 3) = Kern(3A E n ). Sei A Mat(n n, R) Eigenwert 3. Dann gilt: Eig(A, 3) = Kern(A 3E n ). Sei A Mat(n n, R) Eigenwert 3. Dann gilt: Eig(A, 3) = Bild(A

Mehr

Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9

Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9 Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9 2 Optimale Codes Optimalität bezieht sich auf eine gegebene Quelle, d.h. eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den Symbolen s 1,..., s q des Quellalphabets

Mehr

17. Penalty- und Barriere-Methoden

17. Penalty- und Barriere-Methoden H.J. Oberle Optimierung SoSe 01 17. Penalty- und Barriere-Methoden Penalty- und Barriere Methoden gehören zu den ältesten Ansätzen zur Lösung allgemeiner restringierter Optimierungsaufgaben. Die grundlegende

Mehr

2.1 Codes: einige Grundbegriffe

2.1 Codes: einige Grundbegriffe Gitter und Codes c Rudolf Scharlau 2. Mai 2009 51 2.1 Codes: einige Grundbegriffe Wir stellen die wichtigsten Grundbegriffe für Codes über dem Alphabet F q, also über einem endlichen Körper mit q Elementen

Mehr

Numerisches Programmieren

Numerisches Programmieren Technische Universität München SS 2012 Institut für Informatik Prof Dr Thomas Huckle Dipl-Inf Christoph Riesinger Dipl-Math Alexander Breuer Dipl-Math Dipl-Inf Jürgen Bräckle Dr-Ing Markus Kowarschik Numerisches

Mehr

Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V

Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V ist die Menge A = Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V ist die Menge A = mit einer Abbildung + : A V A,

Mehr

Schleswig-Holsteinische Ergänzung der Musteraufgaben für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015

Schleswig-Holsteinische Ergänzung der Musteraufgaben für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015 ische Ergänzung der für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015 Ministerium für ildung und Wissenschaft des Landes Juni 2013 1 für Aufgabenpool 1 Analysis

Mehr

Austausch- bzw. Übergangsprozesse und Gleichgewichtsverteilungen

Austausch- bzw. Übergangsprozesse und Gleichgewichtsverteilungen Austausch- bzw. Übergangsrozesse und Gleichgewichtsverteilungen Wir betrachten ein System mit verschiedenen Zuständen, zwischen denen ein Austausch stattfinden kann. Etwa soziale Schichten in einer Gesellschaft:

Mehr

Absolute Stetigkeit von Maßen

Absolute Stetigkeit von Maßen Absolute Stetigkeit von Maßen Definition. Seien µ und ν Maße auf (X, Ω). Dann heißt ν absolut stetig bezüglich µ (kurz ν µ ), wenn für alle A Ω mit µ(a) = 0 auch gilt dass ν(a) = 0. Lemma. Sei ν ein endliches

Mehr

Teil II. Nichtlineare Optimierung

Teil II. Nichtlineare Optimierung Teil II Nichtlineare Optimierung 60 Kapitel 1 Einleitung In diesem Abschnitt wird die Optimierung von Funktionen min {f(x)} x Ω betrachtet, wobei Ω R n eine abgeschlossene Menge und f : Ω R eine gegebene

Mehr

Institut für Soziologie. Methoden 2. Regressionsanalyse I: Einfache lineare Regression

Institut für Soziologie. Methoden 2. Regressionsanalyse I: Einfache lineare Regression Institut für Soziologie Methoden 2 Regressionsanalyse I: Einfache lineare Regression Programm Anwendungsbereich Vorgehensweise Interpretation Annahmen Zusammenfassung Übungsaufgabe Literatur # 2 Anwendungsbereich

Mehr

OPERATIONS-RESEARCH (OR)

OPERATIONS-RESEARCH (OR) OPERATIONS-RESEARCH (OR) Man versteht darunter die Anwendung mathematischer Methoden und Modelle zur Vorbereitung optimaler Entscheidungen bei einem Unternehmen. Andere deutsche und englische Bezeichnungen:

Mehr

Matrixalgebra. mit einer Einführung in lineare Modelle. Stefan Lang Institut für Statistik Ludwigstrasse 33 email: lang@stat.uni-muenchen.

Matrixalgebra. mit einer Einführung in lineare Modelle. Stefan Lang Institut für Statistik Ludwigstrasse 33 email: lang@stat.uni-muenchen. Matrixalgebra mit einer Einführung in lineare Modelle Stefan Lang Institut für Statistik Ludwigstrasse 33 email: lang@statuni-muenchende 25 August 24 Vielen Dank an Christiane Belitz, Manuela Hummel und

Mehr

Amerikanischen Optionen

Amerikanischen Optionen Die Bewertung von Amerikanischen Optionen im Mehrperiodenmodell Universität-Gesamthochschule Paderborn Fachbereich 17 Seminar Finanzmathematik SS 2001 Referentin: Christiane Becker-Funke Dozent: Prof.

Mehr

PRAKTIKUM REGELUNGSTECHNIK 2

PRAKTIKUM REGELUNGSTECHNIK 2 FACHHOCHSCHULE LANDSHUT Fachbereich Elektrotechnik Prof. Dr. G. Dorn PRAKTIKUM REGELUNGSTECHNIK 2 1 Versuch 2: Übertragungsfunktion und Polvorgabe 1.1 Einleitung Die Laplace Transformation ist ein äußerst

Mehr

Geometrische Mannigfaltigkeiten

Geometrische Mannigfaltigkeiten Geometrische Mannigfaltigkeiten Thilo Kuessner Abstract Kurzfassung der Vorlesung: Definitionen, Beispiele und Sätze, keine Beweise. Definition 1. Ein topologischer Raum ist eine Menge X mit einer Familie

Mehr

Multiple Regression. Ziel: Vorhersage der Werte einer Variable (Kriterium) bei Kenntnis der Werte von zwei oder mehr anderen Variablen (Prädiktoren)

Multiple Regression. Ziel: Vorhersage der Werte einer Variable (Kriterium) bei Kenntnis der Werte von zwei oder mehr anderen Variablen (Prädiktoren) Multiple Regression 1 Was ist multiple lineare Regression? Ziel: Vorhersage der Werte einer Variable (Kriterium) bei Kenntnis der Werte von zwei oder mehr anderen Variablen (Prädiktoren) Annahme: Der Zusammenhang

Mehr

Credit Risk+: Eine Einführung

Credit Risk+: Eine Einführung Credit Risk+: Eine Einführung Volkert Paulsen December 9, 2004 Abstract Credit Risk+ ist neben Credit Metrics ein verbreitetes Kreditrisikomodell, dessen Ursprung in der klassischen Risikotheorie liegt.

Mehr

Schleswig-Holsteinische Ergänzung der Musteraufgaben für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015

Schleswig-Holsteinische Ergänzung der Musteraufgaben für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015 ische Ergänzung der für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015 Ministerium für ildung und Wissenschaft des Landes Juni 2013 1 Inhaltsverzeichnis Vorbemerkungen

Mehr

GF(2 2 ) Beispiel eines Erweiterungskörpers (1)

GF(2 2 ) Beispiel eines Erweiterungskörpers (1) GF(2 2 ) Beispiel eines Erweiterungskörpers (1) Im Kapitel 2.1 wurde bereits gezeigt, dass die endliche Zahlenmenge {0, 1, 2, 3} q = 4 nicht die Eigenschaften eines Galoisfeldes GF(4) erfüllt. Vielmehr

Mehr

Binäre abhängige Variablen

Binäre abhängige Variablen Binäre abhängige Variablen Thushyanthan Baskaran thushyanthan.baskaran@awi.uni-heidelberg.de Alfred Weber Institut Ruprecht Karls Universität Heidelberg Einführung Oft wollen wir qualitative Variablen

Mehr

4 Runge-Kutta-Verfahren

4 Runge-Kutta-Verfahren Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen 43 4 Runge-Kutta-Verfahren 4. Konstruktion Ausgangspunkt wie immer (Substitution: s = t + τh, 0 τ ) y(t + h) = y(t) + [y(t + h) y(t)] = y(t) + = y(t) + h 0

Mehr

Modellordnungsreduktion für strukturmechanische FEM-Modelle von Werkzeugmaschinen

Modellordnungsreduktion für strukturmechanische FEM-Modelle von Werkzeugmaschinen Modellordnungsreduktion für strukturmechanische FEM-Modelle von Werkzeugmaschinen Professur Mathematik in Industrie und Technik Fakultät für Mathematik, Technische Universität Chemnitz Arbeitsbericht zum

Mehr

Modellbildung und Simulation

Modellbildung und Simulation Modellbildung und Simulation 5. Vorlesung Wintersemester 2007/2008 Klaus Kasper Value at Risk (VaR) Glossar Portfolio: In der Ökonomie bezeichnet der Begriff Portfolio ein Bündel von Investitionen, das

Mehr

Beispiel 11.2. Wenn p ein Polynom vom Grad größer gleich 1 ist, ist q : C Ĉ definiert durch q (z) =

Beispiel 11.2. Wenn p ein Polynom vom Grad größer gleich 1 ist, ist q : C Ĉ definiert durch q (z) = Funktionentheorie, Woche Funktionen und Polstellen. Meromorphe Funktionen Definition.. Sei U C offen und sei f : U gilt, nennt man f meromorph auf U: Ĉ eine Funktion. Wenn folgendes. P := f hat keine Häufungspunkte;.

Mehr

Übungsklausur. Bitte wählen Sie fünf Aufgaben aus! Aufgabe 1. Übungsklausur zu Mathematik I für BWL und VWL (WS 2008/09) PD Dr.

Übungsklausur. Bitte wählen Sie fünf Aufgaben aus! Aufgabe 1. Übungsklausur zu Mathematik I für BWL und VWL (WS 2008/09) PD Dr. Übungsklausur zu Mathematik I für BWL und VWL (WS 2008/09) PD Dr. Gert Zöller Übungsklausur Hilfsmittel: Taschenrechner, Formblatt mit Formeln. Lösungswege sind stets anzugeben. Die alleinige Angabe eines

Mehr

Einführung. Vorlesungen zur Komplexitätstheorie: Reduktion und Vollständigkeit (3) Vorlesungen zur Komplexitätstheorie. K-Vollständigkeit (1/5)

Einführung. Vorlesungen zur Komplexitätstheorie: Reduktion und Vollständigkeit (3) Vorlesungen zur Komplexitätstheorie. K-Vollständigkeit (1/5) Einführung 3 Vorlesungen zur Komplexitätstheorie: Reduktion und Vollständigkeit (3) Univ.-Prof. Dr. Christoph Meinel Hasso-Plattner-Institut Universität Potsdam, Deutschland Hatten den Reduktionsbegriff

Mehr

Multivariate Analyse: FS 2012. Ergänzungen zur Mitschrift der Vorlesung über Multivariate Datenanalyse von Prof. A. Barbour

Multivariate Analyse: FS 2012. Ergänzungen zur Mitschrift der Vorlesung über Multivariate Datenanalyse von Prof. A. Barbour Multivariate Analyse: FS 2012 Ergänzungen zur Mitschrift der Vorlesung über Multivariate Datenanalyse von Prof. A. Barbour by PD Dr. Daniel Mandallaz Chair of Land Use Engineering Department of Environmental

Mehr

Mathematik III für Ingenieure

Mathematik III für Ingenieure Mathematik III für Ingenieure im Bachelor-Studiengang Maschinenbau Vorlesung Wintersemester 21/211 B. Schuster aktualisert am 27. Januar 211 Inhalt I. Eigenwerte und Eigenvektoren 1 1. Komplexe Matrizen

Mehr

Die Verteilung dieser Werte y ist eine Normalverteilung. hängt nicht von u ab

Die Verteilung dieser Werte y ist eine Normalverteilung. hängt nicht von u ab Einfache lineare Regression als Beispiel für das ALM ALM : Allgemeines Lineares Modell Y : Kriterium U : Prädiktor Modell : Erwartungswert von Y ist lineare Funktion von U Genauer : Für festes u gilt für

Mehr

Codes und Codegitter. Katharina Distler. 27. April 2015

Codes und Codegitter. Katharina Distler. 27. April 2015 Codes und Codegitter Katharina Distler 7. April 015 Inhaltsverzeichnis 1 Codes 4 Codegitter 14 Einleitung Die folgende Seminararbeit behandelt das Konzept von Codes und Codegittern. Da sie bei der Informationsübertragung

Mehr

Grundlagen der Inferenzstatistik: Was Ihnen nicht erspart bleibt!

Grundlagen der Inferenzstatistik: Was Ihnen nicht erspart bleibt! Grundlagen der Inferenzstatistik: Was Ihnen nicht erspart bleibt! 1 Einführung 2 Wahrscheinlichkeiten kurz gefasst 3 Zufallsvariablen und Verteilungen 4 Theoretische Verteilungen (Wahrscheinlichkeitsfunktion)

Mehr

Statistische Verfahren für das Data Mining in einem Industrieprojekt

Statistische Verfahren für das Data Mining in einem Industrieprojekt Statistische Verfahren für das Data Mining in einem Industrieprojekt Thorsten Dickhaus Forschungszentrum Jülich GmbH Zentralinstitut für Angewandte Mathematik Telefon: 02461/61-4193 E-Mail: th.dickhaus@fz-juelich.de

Mehr

Kochen mit Jordan. Vorbereitungen. Schnellzubereitung. JNF für Genießer wenn s noch etwas mehr sein darf

Kochen mit Jordan. Vorbereitungen. Schnellzubereitung. JNF für Genießer wenn s noch etwas mehr sein darf Kochen mit Jordan Vorbereitungen Man nehme eine Matrix A R n n und bestimme ihr charakteristisches Polynom p(λ) = (λ c ) r (λ c j ) rj C[X] Dabei gilt: algebraische Vielfachheit r j ˆ= Länge des Jordanblocks

Mehr

(2) (x 2 1 + x 2 2 + + x 2 n)(y 2 1 + y 2 2 + + y 2 n) = z 2 1 + z 2 2 + + z 2 n

(2) (x 2 1 + x 2 2 + + x 2 n)(y 2 1 + y 2 2 + + y 2 n) = z 2 1 + z 2 2 + + z 2 n Über die Komposition der quadratischen Formen von beliebig vielen Variablen 1. (Nachrichten von der k. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-physikalische Klasse, 1898, S. 309 316.)

Mehr

Charakteristikenmethode im Beispiel

Charakteristikenmethode im Beispiel Charakteristikenmethode im Wir betrachten die PDE in drei Variablen xu x + yu y + (x + y )u z = 0. Das charakteristische System lautet dann ẋ = x ẏ = y ż = x + y und besitzt die allgemeine Lösung x(t)

Mehr

34 5. FINANZMATHEMATIK

34 5. FINANZMATHEMATIK 34 5. FINANZMATHEMATIK 5. Finanzmathematik 5.1. Ein einführendes Beispiel Betrachten wir eine ganz einfache Situation. Wir haben einen Markt, wo es nur erlaubt ist, heute und in einem Monat zu handeln.

Mehr

Geoadditive Regression

Geoadditive Regression Seminar: Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen - Zufallsfelder Universität Ulm 27.01.2009 Inhalt Einleitung 1 Einleitung 2 3 Penalisierung 4 Idee Variogramm und Kovarianz Gewöhnliches Ansatz für

Mehr

Kapitel 3. Erste Schritte der Datenanalyse. 3.1 Einlesen und Überprüfen der Daten

Kapitel 3. Erste Schritte der Datenanalyse. 3.1 Einlesen und Überprüfen der Daten Kapitel 3 Erste Schritte der Datenanalyse 3.1 Einlesen und Überprüfen der Daten Nachdem die Daten erfasst worden sind, etwa mit Hilfe eines Fragebogens, ist die nächste Frage, wie ich sie in den Rechner

Mehr

Statistik im Bachelor-Studium der BWL und VWL

Statistik im Bachelor-Studium der BWL und VWL Max C. Wewel Statistik im Bachelor-Studium der BWL und VWL Methoden, Anwendung, Interpretation Mit herausnehmbarer Formelsammlung ein Imprint von Pearson Education München Boston San Francisco Harlow,

Mehr

6 Fehlerkorrigierende Codes

6 Fehlerkorrigierende Codes R. Reischuk, ITCS 35 6 Fehlerkorrigierende Codes Wir betrachten im folgenden nur Blockcodes, da sich bei diesen das Decodieren und auch die Analyse der Fehlertoleranz-Eigenschaften einfacher gestaltet.

Mehr

2: Zahlentheorie / Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik

2: Zahlentheorie / Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 57 2: Zahlentheorie / Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik Uhr: Stunden mod 24, Minuten mod 60, Sekunden mod 60,... Rechnerarithmetik: mod 2 w, w {8, 16, 32,

Mehr

Approximationsalgorithmen

Approximationsalgorithmen Ausarbeitung zum Thema Approximationsalgorithmen im Rahmen des Fachseminars 24. Juli 2009 Robert Bahmann robert.bahmann@gmail.com FH Wiesbaden Erstellt von: Robert Bahmann Zuletzt berarbeitet von: Robert

Mehr

Kapitel 3. Zufallsvariable. Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichte und Verteilungsfunktion. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung

Kapitel 3. Zufallsvariable. Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichte und Verteilungsfunktion. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung Kapitel 3 Zufallsvariable Josef Leydold c 2006 Mathematische Methoden III Zufallsvariable 1 / 43 Lernziele Diskrete und stetige Zufallsvariable Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichte und Verteilungsfunktion

Mehr

0, v 6 = 2 2. 1, v 4 = 1. 2. span(v 1, v 5, v 6 ) = span(v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 ) 4. span(v 1, v 2, v 4 ) = span(v 2, v 3, v 5, v 6 )

0, v 6 = 2 2. 1, v 4 = 1. 2. span(v 1, v 5, v 6 ) = span(v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 ) 4. span(v 1, v 2, v 4 ) = span(v 2, v 3, v 5, v 6 ) Aufgabe 65. Ganz schön span(n)end. Gegeben sei folgende Menge M von 6 Vektoren v, v,..., v 6 R 4 aus Aufgabe P 6: M = v =, v =, v =, v 4 =, v 5 =, v 6 = Welche der folgenden Aussagen sind wahr? span(v,

Mehr

Entwurf robuster Regelungen

Entwurf robuster Regelungen Entwurf robuster Regelungen Kai Müller Hochschule Bremerhaven Institut für Automatisierungs- und Elektrotechnik z P v K Juni 25 76 5 OPTIMALE ZUSTANDSREGELUNG 5 Optimale Zustandsregelung Ein optimaler

Mehr

http://www.mathematik.uni-kl.de/ gramlich

http://www.mathematik.uni-kl.de/ gramlich Vorwort MATLAB ist inzwischen in vielen Hochschulen, Universitäten und Fachhochschulen gleichermaßen ein etabliertes Programmsystem, das sowohl im Fach Mathematik selbst als auch in noch stärkerem Maße

Mehr

Funktionen (linear, quadratisch)

Funktionen (linear, quadratisch) Funktionen (linear, quadratisch) 1. Definitionsbereich Bestimme den Definitionsbereich der Funktion f(x) = 16 x 2 2x + 4 2. Umkehrfunktionen Wie lauten die Umkehrfunktionen der folgenden Funktionen? (a)

Mehr

Definition:Eine meromorphe Modulform vom Gewicht k Z ist eine meromorphe. f : H C. (ii) C > 0, so daß f(z) im Bereich Im z > C keine Singularität hat.

Definition:Eine meromorphe Modulform vom Gewicht k Z ist eine meromorphe. f : H C. (ii) C > 0, so daß f(z) im Bereich Im z > C keine Singularität hat. Die k/2 - Formel von Renate Vistorin Zentrales Thema dieses Vortrages ist die k/2 - Formel für meromorphe Modulformen als eine Konsequenz des Residuensatzes. Als Folgerungen werden danach einige Eigenschaften

Mehr

Optimierung I. 1 Einführung. Luise Blank. Wintersemester 2012/13. Universität Regensburg

Optimierung I. 1 Einführung. Luise Blank. Wintersemester 2012/13. Universität Regensburg Universität Regensburg Wintersemester 2012/13 1 Einführung Anwendungen Finanzwirtschaft: maximale Gewinnrate unter Beschränkungen an das Risiko; Portfolio von Investments Produktion: maximiere Gewinn bei

Mehr

Finanzmathematik - Wintersemester 2007/08. http://code.google.com/p/mitgetexed/

Finanzmathematik - Wintersemester 2007/08. http://code.google.com/p/mitgetexed/ Finanzmathematik - Wintersemester 2007/08 http://code.google.com/p/mitgetexed/ Stand: 4. November 2007 Inhaltsverzeichnis 1 Motivation und erste Begriffe 2 2 Endliche Finanzmärkte 4 3 Das Cox-Ross-Rubinstein-Modell

Mehr

ax 2 + bx + c = 0, (4.1)

ax 2 + bx + c = 0, (4.1) Kapitel 4 Komplexe Zahlen Wenn wir uns auf die reellen Zahlen beschränken, ist die Operation des Wurzelziehens (also die Umkehrung der Potenzierung) nicht immer möglich. Zum Beispiel können wir nicht die

Mehr

Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K

Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K Satz 25 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m. Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen

Mehr

Stochastische Analysis. Zufallsmatrizen. Roland Speicher Queen s University Kingston, Kanada

Stochastische Analysis. Zufallsmatrizen. Roland Speicher Queen s University Kingston, Kanada Stochastische Analysis für Zufallsmatrizen Roland Speicher Queen s University Kingston, Kanada Was ist eine Zufallsmatrix? Zufallsmatrix = Matrix mit zufälligen Einträgen A : Ω M N (C) Was ist eine Zufallsmatrix?

Mehr

Statistik II. Universität Ulm Abteilung Stochastik. Vorlesungsskript Prof. Dr. Volker Schmidt Stand: Wintersemester 2007/08

Statistik II. Universität Ulm Abteilung Stochastik. Vorlesungsskript Prof. Dr. Volker Schmidt Stand: Wintersemester 2007/08 CURANDO UNIVERSITÄT ULM SCIENDO DOCENDO Statistik II Universität Ulm Abteilung Stochastik Vorlesungsskript Prof Dr Volker Schmidt Stand: Wintersemester 2007/08 Ulm, im Februar 2008 INHALTSVERZEICHNIS 2

Mehr

Mathematik-Dossier. Die lineare Funktion

Mathematik-Dossier. Die lineare Funktion Name: Mathematik-Dossier Die lineare Funktion Inhalt: Lineare Funktion Lösen von Gleichungssystemen und schneiden von Geraden Verwendung: Dieses Dossier dient der Repetition und Festigung innerhalb der

Mehr

1 Ordnung muß sein. 1.1 Angeordnete Körper. 1.2 Folgerungen aus den Anordnungsaxiomen. ( c) (b a) > 0. Somit a c b c > 0.

1 Ordnung muß sein. 1.1 Angeordnete Körper. 1.2 Folgerungen aus den Anordnungsaxiomen. ( c) (b a) > 0. Somit a c b c > 0. 1 Ordnung uß sein 1.1 Angeordnete Körper Wir nehen einal an, daß es in eine Körper Eleente gibt, die wir positiv nennen. Welche Eigenschaften sollen diese haben? O1) Wenn x und y positiv sind, dann auch

Mehr

Praktische Mathematik I

Praktische Mathematik I Praktische Mathematik I ausgearbeitet von Sandra Görke und Simon Jörres nach einer Vorlesung von Prof Dr Angela Kunoth im Wintersemester 2002/2003 an der Rheinischen Friedrich Wilhelms Universität Bonn

Mehr

Kronecker-Produkte und multivariate Tensorprodukt Splines auf gestreuten Daten

Kronecker-Produkte und multivariate Tensorprodukt Splines auf gestreuten Daten Kronecker-Produkte und multivariate Tensorprodukt Splines auf gestreuten Daten Dissertation zur Erlangung des akademischen Grades Doktor der Naturwissenschaften (Dr. rer. nat.) am Fachbereich Mathematik

Mehr

Satz 2.8.3: Sei Q eine Intensitätsmatrix. Dann hat die

Satz 2.8.3: Sei Q eine Intensitätsmatrix. Dann hat die Satz 2.8.3: Sei Q eine Intensitätsmatrix. Dann hat die Rückwärtsgleichung P (t) = QP (t), P (0) = E eine minimale nicht negative Lösung (P (t) : t 0). Die Lösung bildet eine Matrix Halbgruppe, d.h. P (s)p

Mehr

Regressionsanalysen. Zusammenhänge von Variablen. Ziel der Regression. ( Idealfall )

Regressionsanalysen. Zusammenhänge von Variablen. Ziel der Regression. ( Idealfall ) Zusammenhänge von Variablen Regressionsanalysen linearer Zusammenhang ( Idealfall ) kein Zusammenhang nichtlinearer monotoner Zusammenhang (i.d.regel berechenbar über Variablentransformationen mittels

Mehr

Umsetzung von DEA in Excel

Umsetzung von DEA in Excel Umsetzung von DEA in Excel Thorsten Poddig Armin Varmaz 30. November 2005 1 Vorbemerkungen In diesem Dokument, das als Begleitmaterial zum in der Zeitschrift,,Controlling, Heft 10, 2005 veröffentlichten

Mehr

Aufgabe 1 (Excel) Anwendungssoftware 1 / 11 Semesterschlussprüfung 21.06.2004

Aufgabe 1 (Excel) Anwendungssoftware 1 / 11 Semesterschlussprüfung 21.06.2004 Anwendungssoftware 1 / 11 Dauer der Prüfung: 90 Minuten. Es sind alle fünf Aufgaben mit allen Teilaufgaben zu lösen. Versuchen Sie, Ihre Lösungen soweit wie möglich direkt auf diese Aufgabenblätter zu

Mehr

Allgemeine Regressionsanalyse. Kovariablen / Prädiktoren / unabhängige Variablen X j R d, evtl. deterministisch

Allgemeine Regressionsanalyse. Kovariablen / Prädiktoren / unabhängige Variablen X j R d, evtl. deterministisch Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 9.1 Allgemeine Regressionsanalyse Daten (X j, Y j ), j = 1,..., N unabhängig Kovariablen / Prädiktoren / unabhängige Variablen X j R d, evtl.

Mehr

Übungsaufgaben mit Lösungsvorschlägen

Übungsaufgaben mit Lösungsvorschlägen Otto-Friedrich-Universität Bamberg Lehrstuhl für Medieninformatik Prof. Dr. Andreas Henrich Dipl. Wirtsch.Inf. Daniel Blank Einführung in das Information Retrieval, 8. Mai 2008 Veranstaltung für die Berufsakademie

Mehr

Korrelation - Regression. Berghold, IMI

Korrelation - Regression. Berghold, IMI Korrelation - Regression Zusammenhang zwischen Variablen Bivariate Datenanalyse - Zusammenhang zwischen 2 stetigen Variablen Korrelation Einfaches lineares Regressionsmodell 1. Schritt: Erstellung eines

Mehr

Microsoft Excel 2010 Matrix-Funktionen

Microsoft Excel 2010 Matrix-Funktionen Hochschulrechenzentrum Justus-Liebig-Universität Gießen Microsoft Excel 2010 Matrix-Funktionen Matrix-Funktionen in Excel 2010 Seite 1 von 7 Inhaltsverzeichnis Einleitung... 2 Integrierte Matrixfunktionen...

Mehr

Seminar Analysis Konvexe Funktionen und einige wichtige Ungleichungen

Seminar Analysis Konvexe Funktionen und einige wichtige Ungleichungen Seminar Analysis Konvexe Funktionen und einige wichtige Ungleichungen Michael Schaeer 3.04.03 Abstract This seminar is about convex functions and several imortant ineualities. At the beginning the term

Mehr

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1 Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.

Mehr

2. Deskriptive Statistik 2.1. Häufigkeitstabellen, Histogramme, empirische Verteilungsfunktionen

2. Deskriptive Statistik 2.1. Häufigkeitstabellen, Histogramme, empirische Verteilungsfunktionen 4. Datenanalyse und Modellbildung Deskriptive Statistik 2-1 2. Deskriptive Statistik 2.1. Häufigkeitstabellen, Histogramme, empirische Verteilungsfunktionen Für die Auswertung einer Messreihe, die in Form

Mehr

GNS-Konstruktion und normale Zustände. 1 Rückblick. 2 Beispiel für einen Typ-II 1 -Faktor

GNS-Konstruktion und normale Zustände. 1 Rückblick. 2 Beispiel für einen Typ-II 1 -Faktor GNS-Konstruktion und normale Zustände 1 Rückblick Wir betrachten von-neumann-algebren M B(H), d.h. Unteralgebren mit 1 H M, die in der schwachen Operatortopologie (und damit in jeder der anderen) abgeschlossen

Mehr

Lösung des Hedging-Problems mittels Stochastischer Dynamischer Optimierung

Lösung des Hedging-Problems mittels Stochastischer Dynamischer Optimierung Lösung des Hedging-Problems mittels Stochastischer Dynamischer Optimierung Ausarbeitung zum Vortrag im Seminar Stochastische Dynamische Optimierung vom 18.01.2008 Datum : 18.01.2008 Verfasser: Martin Schymalla

Mehr

2. Korrelation, lineare Regression und multiple Regression

2. Korrelation, lineare Regression und multiple Regression multiple 2.2 Lineare 2.2 Lineare 1 / 130 2.2 Lineare 2 / 130 2.1 Beispiel: Arbeitsmotivation Untersuchung zur Motivation am Arbeitsplatz in einem Chemie-Konzern 25 Personen werden durch Arbeitsplatz zufällig

Mehr

Verteilungsmodelle. Verteilungsfunktion und Dichte von T

Verteilungsmodelle. Verteilungsfunktion und Dichte von T Verteilungsmodelle Verteilungsfunktion und Dichte von T Survivalfunktion von T Hazardrate von T Beziehungen zwischen F(t), S(t), f(t) und h(t) Vorüberlegung zu Lebensdauerverteilungen Die Exponentialverteilung

Mehr