Analysis Lehrbuch. Skriptum zum Vorbereitungskurs

Transkript

1 Analysis Lehrbuch Skriptum zum Vorbereitungskurs

2 WICHTIGER HINWEIS: Ich bitte den Eigentümer dieses Skriptes, weder das gesamte Skript noch Teilauszüge daraus zu kopieren, einzuscannen oder auf andere Art und Weise zu vervielfältigen, um es an andere weiterzugeben. Ich bitte um Fairness und danke dafür Alexander Schwarz

3 Vorwort Dieses Lehrbuch dient sowohl zur Vorbereitung auf die Abiturprüfung als auch auf Klausuren in der Oberstufe. In jedem Kapitel werden die wesentlichen Inhalte zu jedem Thema ausführlich wiederholt. Die vielen Beispielrechnungen und Schaubilder dienen dazu, die Beschreibungen noch konkreter zu erläutern. Dabei werden auch die wichtigsten Themen und Formeln, die bereits in der Mittelstufe behandelt wurden und die man für die Abiturprüfung noch kennen sollte, wiederholt. Wichtige Regeln werden durch graue Unterlegungen gekennzeichnet. Dieses Zeichen taucht auf, wenn gerne Fehler gemacht werden! Es werden in dem Lehrbuch auch typische Irrtümer dargestellt. Wer die Fettnäpfchen kennt, kann ihnen besser ausweichen. Hinweis zum GTR: Die GTR-Befehlsangaben im Skript orientieren sich am GTR von Texas Instruments (TI -8 Plus). Da die Bedienung des GTR von Sharp ähnlich ist wie bei Texas Instruments, können auch die Nutzer eines Sharp-Rechners die Befehlsangaben zum größten Teil nutzen. Dieses Zeichen im Skript deutet darauf hin, dass dargestellt wird, wie die Lösung einer Aufgabenstellung mit Hilfe des GTR durchgeführt wird. Viel Erfolg bei der Bearbeitung dieses Skriptes und alles Gute für eure Abiturprüfung! Alexander Schwarz Taschenrechner: Texas Instruments und Sharp

4 Inhaltsverzeichnis 1. Gleichungslehre 1.1 Lösen von Gleichungen ohne GTR Polynomgleichungen 1.1. Bruchgleichungen 1.1. Exponentialgleichungen 1.1. Logarithmengleichungen 1. Gleichungen lösen mit dem GTR 1. Lösung von Ungleichungen 1..1 Ungleichungen lösen ohne GTR 1.. Ungleichungen lösen mit dem GTR. Definition Sinus und Kosinus und trigonometrische Gleichungen.1 Sinus und Kosinus an rechtwinkligen Dreiecken und am Einheitskreis. Exakte Lösung von trigonometrischen Gleichungen..1 Gleichungen vom Typ cos(x) = a.. Gleichungen vom Typ sin(x) = a.. Trigonometrische Gleichungen lösen durch Substitution/Ausklammern. Trigonometrische Gleichungen lösen mit dem GTR. Ableitungen und ihre Bedeutung.1 Begriff der Funktion. Definition der Ableitungsfunktion. Ableitungsregeln..1 Grundlegende Ableitungsregeln.. Kettenregel.. Produktregel.. Kombination Produkt- und Kettenregel. Ableiten mit dem GTR.5 Veranschaulichung der ersten und zweiten Ableitung.5.1 Anschauliche Bedeutung der 1. Ableitungsfunktion.5. Anschauliche Bedeutung der. Ableitungsfunktion.6 Bedeutung der ersten Ableitung in der Praxis. Ausgewählte Elemente einer Funktionsuntersuchung.1 Einfache Symmetrieuntersuchung des Schaubildes. Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen..1 Schnittpunkt mit der y-achse.. Schnittpunkte mit der x-achse (Nullstellen). Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte). Monotonie.5 Wendepunkte 5. Verschiebung und Symmetrie von Schaubildern 5.1 Verschiebung/Spiegelung/Streckung von Schaubildern 5. Nicht einfache Symmetrie von Schaubildern 6. Spezielle Funktionstypen und ihre Besonderheiten 6.1 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) Definitionsmenge von ganzrationalen Funktionen 6.1. Verhalten für x von ganzrationalen Funktionen 6.1. Typische Eigenschaften von ganzrationalen Funktionen 6. Gebrochenrationale Funktionen 6..1 Definitionsmenge von gebrochenrationalen Funktionen

5 6.. Verhalten für x von gebrochenrationalen Funktionen 6.. Verhalten an Definitionslücken von gebrochenrationalen Funktionen 6.. Typische Eigenschaften von gebrochenrationalen Funktionen 6. Exponentialfunktionen 6..1 Definitionsmenge von Exponentialfunktionen 6.. Verhalten für x von Exponentialfunktionen 6.. Verhalten an Definitionslücken von Exponentialfunktionen 6.. Typische Eigenschaften von Exponentialfunktionen 6. Trigonometrische Funktionen 6..1 Definitionsmenge von trigonometrischen Funktionen 6.. Verhalten für x von trigonometrischen Funktionen 6.. Verhalten an Definitionslücken von trigonometrischen Funktionen 6.. Typische Schaubilder und Eigenschaften von trigonometrischen Funktionen 6.5 Logarithmusfunktionen Definitionsmenge einer Logarithmusfunktion 6.5. Verhalten für x von Logarithmusfunktionen 6.5. Verhalten an Definitionsrändern bei Logarithmusfunktionen 6.5. Typische Eigenschaften von Logarithmusfunktionen 6.6 Wurzelfunktionen Definitionsmenge einer Wurzelfunktion 6.6. Verhalten für x von Wurzelfunktionen 6.6. Verhalten an Definitionsrändern und -lücken bei Wurzelfunktionen 6.6. Typische Eigenschaften von Wurzelfunktionen 6.7 Zusammenfassung der Grundfunktionen 7. Tangenten, Normalen, Schnittwinkel und Berührung 7.1 Aufstellen von Tangenten- und Normalengleichungen bei gegebenem Berührpunkt oder gegebener Steigung 7. Aufstellen von Tangentengleichungen bei gegebenem Tangentenpunkt 7. Schnittwinkel zweier Geraden 7. Schnittwinkel zweier Schaubilder 7.5 Berührung zweier Schaubilder 8. Aufstellen von Funktionsgleichungen / Funktionsanpassungen 8.1 Aufstellen von Funktionsgleichungen ganzrationaler Funktionen 8. Aufstellen von Funktionsgleichungen gebrochenrationaler Funktionen 8. Aufstellen von Funktionsgleichungen von trigonometrischen Funktionen 8. Funktionsanpassungen / Regressionsrechnung 9. Funktionsscharen: Ortskurve und gemeinsame Punkte 10. Integralrechnung 10.1 Berechnung von Stammfunktionen und Veranschaulichung 10. Integrale 10. Anwendungen der Integralrechnung Flächenberechnung zwischen Schaubildern 10.. Unbegrenzte Flächen 10.. Volumen von Rotationskörpern 10.. Mittelwertberechnung einer Funktionen Flächen unterhalb von Änderungsraten-/Geschwindigkeitsfunktionen 10. Die Integralfunktion 11. Zusammenhang zwischen Ableitungs- und Stammfunktionen 11.1 Eigenschaften der Ableitungsfunktion f (x) bei gegebener Funktion f(x) erkennen 11. Eigenschaften der Stammfunktion/Integralfunktion F(x) bei gegebener Funktion f(x) erkennen 1. Optimierungsaufgaben / Extremwertaufgaben

6 1.1 Globales Minimum/Maximum 1. Optimierungsaufgaben / Extremwertaufgaben 1. Wachstum 1.1 Differenzialgleichungen 1. Wachstums- und Zerfallsmodelle und ihre Besonderheiten 1..1 Etwas Prozentrechnen 1.. Exponentielles Wachstum 1.. Beschränktes Wachstum/Zerfall 1.. Sonstiges zum Wachstum

7 1. Gleichungslehre Bei vielen Aufgaben der Analysis müssen Gleichungen gelöst werden. Im Wahlteil sollte man komplizierte Gleichungen mit Hilfe des GTR lösen (Ausnahme: Die Lösung ohne GTR ist ausdrücklich in der Aufgabe vermerkt (z.b. Lösen Sie exakt ) oder es tauchen in der Gleichung neben der Variablen noch weitere Parameter auf). Im Pflichtteil müssen Gleichungen ohne GTR gelöst werden. 1.1 Lösen von Gleichungen ohne GTR Für die Lösung von Gleichungen kann man häufig folgenden Satz verwenden: Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt a b ergibt genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist (also a = 0 oder b = 0). Beispiel 1.1: Gib die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen an: x a) ( x+ ) (x ) (x+ 5) = 0 b) e x = 0 Bei Teil a) wäre es schlecht, die Klammern auszumultiplizieren. Die Klammern bilden ein Produkt, deren Ergebnis 0 ist, also kann der Satz vom Nullprodukt direkt angewandt und die Lösungsmenge ohne weitere Rechnung hingeschrieben werden. zu a): L = {- ; ; -5} (setze jede einzelne Klammer = 0 und löse nach x auf) x zu b): L = {0} ( x = 0 x= 0 und e kann nie Null werden) Ansonsten hängt das Verfahren zum Lösen einer Gleichung vom Typ der Gleichung ab. In den Kapiteln werden zu den genannten Gleichungstypen die jeweiligen Verfahren vorgestellt Polynomgleichungen Polynomgleichungen (oder auch ganzrationale Gleichungen) besitzen die allgemeine Bauart a x + a x + a x a x + a x+ a = 0 mit n {0,1,, }. n n 1 n n n 1 n 1 0 Polynom Die größte Hochzahl n wird als Grad der Gleichung (Ordnung der Gleichung) bezeichnet. Beispiel 1.: a) x x + = 0 : Polynomgleichung dritten Grades / dritter Ordnung b) ( ) c) x x 1 + x= 0 : Polynomgleichung vierten Grades (ausmultiplizieren notwendig) 5 0,5x+ x = 7 : Polynomgleichung fünften Grades / fünfter Ordnung d) ( x 1) ( x+ ) ( x 7) = 0 : Polynomgleichung dritten Grades /dritter Ordnung

8 Gleichungen 1. und. Grades Gleichungen vom Grad 1 kann man direkt nach x auflösen. Wie dies funktioniert, wird als bekannt vorausgesetzt. Für Gleichungen vom Grad (quadratische Gleichung) steht die Lösungsformel für quadratische Gleichungen (auch Mitternachtsformel genannt) zur Verfügung. Lösungsformel für quadratische Gleichungen ( Mitternachtsformel ) : Die Gleichung ax ² + bx+ c = 0 besitzt die Lösungsformel b± b² ac 1 = a Der Ausdruck b² ac unter der Wurzel heißt Diskriminante. Diskriminante > 0: Es existieren zwei verschiedene Lösungen. Diskriminante = 0: Es existiert genau eine Lösung. Diskriminante < 0: Es existiert keine Lösung. x, Gleichungen.Grades Zunächst muss die Gleichung = 0 gesetzt werden. In der Abiturprüfung können folgende Gleichungen.Grades vorkommen: 1.Fall: Typ ax b= 0 Hier kann die Gleichung direkt nach x aufgelöst werden. Beispiel 1.: a) x = 5 x=,5 b) x = x= Hinweis zu b): Da unter einer Wurzel keine negative Zahl stehen darf, wird das Minuszeichen vor die Wurzel geschrieben. Bei einer geraden Hochzahl hätte die Gleichung bei b) keine Lösung..Fall: Typ a ( x b) ( x c) ( x d) = 0 Hier wird direkt der Satz vom Nullprodukt angewandt die Klammern auszumultiplizieren führt hier nicht zum Ziel! Beispiel 1.: a) (x )(x+ )(x 6) = 0 besitzt die Lösungen x = oder x = - oder x = 6. b) ( ) ( ) x x+ 8 = 0 besitzt die Lösungen x = oder x = -8..Fall: Typ ax + bx + cx= 0 Hier muss x ausgeklammert (und wenn der Ausdruck c x fehlen würde sogar die Gleichung danach mit dem Satz vom Nullprodukt gelöst werden. x ) und

9 Beispiel 1.5: Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung x = x SO NICHT: x = x x = 1 (Division durch x auf beiden Seiten) Dadurch würde eine Lösung verloren gehen, nämlich x = 0. RICHTIG IST ES SO: x = x x x = 0 (Gleichung muss gleich Null gesetzt werden) Nun kann x ausgeklammert werden: x (x 1) = 0 Nach dem Satz vom Nullprodukt gilt: x = 0 oder x ² 1= 0 Aus der quadratischen Gleichung ergeben sich die Lösungen x=± 1, also = {0 ; 1 ; -1} Hinweis: Eine Gleichung der Form ax + bx + cx+ d= 0, bei der x nicht ausgeklammert werden kann, müsste man mit Hilfe einer Polynomdivision lösen. Da dies nicht prüfungsrelevant ist, wird die Vorstellung dieser Lösungsmethode hier nicht vorgestellt. Gleichungen. Grades Für Gleichungen vom Grad gibt es mehrere Lösungsansätze, die je nach konkreter Gleichung angewandt werden müssen. Mit folgenden Schritten kommt man zum Ziel: 1.Schritt: Gleichung = 0 setzen.schritt: Prüfung, ob x, x², ausgeklammert werden kann. Falls ja, kann der Satz vom Nullprodukt angewandt werden. Falls nein, dann.schritt..schritt: Besitzt die Gleichung die Bauart ax + bx + c = 0, dann Substitution x = u Beispiel 1.6: a) x = x=± (in der Gleichung kommt nur x vor, daher kann direkt nach x aufgelöst werden; da die Hochzahl gerade ist, gibt es Lösungen) 1 b) x = 1 x = besitzt keine Lösung, da bei gerader Hochzahl kein negatives Ergebnis entstehen kann. c) x 9x = 0 x (x 9) = 0 Mit dem Satz vom Nullprodukt ergibt sich x = 0 oder = {0 ; ; - } d) x + x² 5= 0 hier kann kein x ausgeklammert werden x 9= 0 x=± und damit Substitution: x ² = u ergibt u + u 5= 0 (quadratische Gleichung) ± + 60 ± 8 Mitternachtsformel : u 1, = = und damit u 1 = 1, 6 6 Rücksubstitution: u 1 = 1 x² = 1 x= ± 1 ( Lösungen!) 5 5 u = x² = nicht lösbar, also = {1; -1} u 5 =

10 Gleichungen vom Grad 5 und höher 1.Schritt: Gleichung = 0 setzen.schritt: Prüfung, ob x, x², ausgeklammert werden kann. Falls ja, kann der Satz vom Nullprodukt angewandt werden. Falls nein, dann.schritt..schritt: Besitzt die Gleichung die Bauart Besitzt die Gleichung die Bauart 6 ax + bx + c = 0, dann Substitution 8 ax + bx + c = 0, dann Substitution x x = u = u Beispiel 1.7: Löse die Gleichung 6 x x 1= 0 Substitution: x = u ergibt u u 1= 0 (quadratische Gleichung) 1± 1 ( 1) 1± Mitternachtsformel : u1, = = und damit u1 = 1, u Rücksubstitution: u = 1 x = 1 x= 1= u = x = x=, also = {1; 1 } 1 = Linearfaktorzerlegung eines Polynoms Das quadratische Polynom Das Polynom (.Grades) Das Polynom (. Grades) x 10x+ 1 entspricht dem Term (x ) (x ). x x x entspricht dem Term x ( x+ 1) ( x ) x x x + entspricht dem Term x ( x 1) Diese Produkte nennt man die Linearfaktorzerlegung des Polynoms. Wie ermittelt man die Linearfaktorzerlegung eines gegebenen Polynoms? Dies soll am Beispiel des Polynoms x 10x+ 1 gezeigt werden: 1. Schritt: Setze das gegebene Polynom gleich Null: x 10x+ 1= 0 Die Lösungen lauten x = oder x = ( Mitternachtsformel ). Schritt: Aus den Lösungen können nun durch Änderung der Vorzeichen die Klammerinhalte bestimmt werden: (x )(x ) Der Faktor vor den Klammern wird übernommen von der Zahl, die beim Polynom vor dem höchsten Grad anmultipliziert ist. Kommt eine Lösung mehrfach vor (siehe Beispiel 1.8 a)), dann müssen die Klammern auch mehrfach multipliziert werden. In diesem Fall spricht man auch von doppelten Nullstellen oder dreifachen Nullstellen Besitzt eine quadratische Gleichung keine Lösung, kann das entsprechende Polynom nicht in Linearfaktoren zerlegt werden (siehe Beispiel 1.8 b))

11 Beispiel 1.8: a) Zerlege das Polynom x 6x + 9x in Linearfaktoren 1.Schritt: ( ) x 6x + 9x= 0 x x 6x+ 9 = 0 x = 0 oder x 6x+ 9= 0. 6± 6 6 Lösung der quadratischen Gleichung: x, = =.Schritt: x 6x + 9x= x ( x ) ( x ) = x ( x ) b) Prüfe, ob das Polynom x + x+ 10 in Linearfaktoren zerlegt werden kann: ± Schritt: x + x+ 10= 0 x1, = ist nicht lösbar Damit gibt es keine Linearfaktorzerlegung des Polynoms c) Zerlege das Polynom x + 7x in Linearfaktoren. 1.Schritt: ( ) x + 7x = 0 x x + 9 = 0 Als Lösung folgt x = 0 oder x + 9= 0 x=±.schritt: Aus den Lösungen folgt als Zerlegung x (x ) (x+ ) d) Zerlege das Polynom x + x x in Linearfaktoren. x + x x= 0 x x + x = 0 1.Schritt: ( ) Daraus folgt x = 0 oder x x 0 x 1 + = = oder x = - x x 1 x+.schritt: Aus den Lösungen folgt als Zerlegung ( ) ( ) Hinweis: Mit Hilfe von Linearfaktorzerlegungen können auch umgekehrt aus vorgegebenen Lösungen Gleichungen aufgestellt werden. Eine Polynomgleichung, die die Lösungen x = -1, x = und x = besitzt lautet beispielsweise x+ 1 x x = 0 ( ) ( ) ( ) 1.1. Bruchgleichungen Bruchgleichungen erkennt man daran, dass sie Brüche enthalten, bei denen in mindestens einem Nenner die Variable auftritt. Beispiel 1.9: x 1 + x 0 a) Bei der Gleichung = handelt es sich um keine Bruchgleichung sondern 1 1 um die ganzrationale Gleichung (x ) + x = 0 (kein x im Nenner) 1 b) Die Gleichung x + x = ist eine Bruchgleichung, da sie umgeschrieben werden kann in + = ( x im Nenner) x x x c) Die Gleichung 5 0 x + = ist eine Bruchgleichung. Da bei manchen Bruchgleichungen die Anwendung der binomischen Formeln erforderlich ist, werden diese im folgenden dargestellt.

12 Binomische Formeln 1. binomische Formel: ( ) a+ b = a + ab+ b (außerdem gilt ( a b) ( a b) + = ). binomische Formel: ( ) a b = a ab+ b (außerdem gilt ( ) a b ( a b). binomische Formel: ( a+ b)( a b) = a b = + ) Die Binome muss man von links nach rechts und umgekehrt umformen können. Beispiel 1.10: Binome auflösen (x y) = 9x 1xy+ y (.Binom) ( x ) = 16x + x+ 9 (1.Binom) ( ) ( ) x+ 6 = x 6 = x 1x+ 6 (. Binom) (0,5a+ ) = 0,5a + a+ (1. Binom) (b+ 6a)(6a b) = 6a 9b (. Binom) Beispiel 1.11: Summen/Differenzen in Binome umwandeln 9x 8x (7x ) 100x 16= 10x+ 10x (. Binom) + = (.Binom) ( )( ) x x + + = x 9 + (1. Binom) Eine Bruchgleichung wird nun durch folgende Schritte gelöst: x + x+ keine binomische Formel 1.Schritt: Berechnung des Hauptnenners (diesen erhält man mit Hilfe der Zerlegung der einzelnen Nenner in Produkte durch Ausklammern, Anwendung von binomischen Formeln oder einer Linearfaktorzerlegung).Schritt: Ermittlung der Definitionsmenge D = \ {a, }, wobei die Nullstellen der einzelnen Nenner aus der Definitionsmenge auszuschließen sind. Die Definitionsmenge enthält alle Zahlen, die als mögliche Lösungen in Frage kommen..schritt: Bruchgleichung mit dem Hauptnenner durchmultiplizieren (Gleichung liegt dann bruchfrei vor) und die entstehende Polynomgleichung lösen..schritt: Ermittlung der Lösungsmenge, in der nur solche Lösungen stehen dürfen, die auch in der Definitionsmenge D enthalten sind. Beispiel 1.1: Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung 5 9 x,5 = x x+ 1 x 1 1.Schritt: x = (x 1) (Ausklammern) x+ 1= x+ 1 (keine weitere Zerlegung möglich) x 1 = (x+ 1)(x 1) (.Binom) Der Hauptnenner lautet HN= ( x+ 1)( x 1).Schritt: Die Nullstellen der Nenner sind x = 1 und x = -1, also D = \ {1; -1} 5 9 x,5.schritt: = (x 1)(x + 1) x x+ 1 x 1 5 (x+ 1)(x 1) 9 (x+ 1)(x 1) (x,5) (x+ 1)(x 1) = (x 1) x+ 1 (x+ 1)(x 1) Brüche kürzen: 5( x+ 1) 18( x 1) = (x,5) 15x= 0 x=

13 .Schritt: Da x = aus der Definitionsmenge nicht ausgeschlossen ist, gilt für die Lösungsmenge: = {}