Beispiel-Abiturprüfung. Fach Mathematik

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Beispiel-Abiturprüfung. Fach Mathematik"

Transkript

1 Beispiel-Abiturprüfung in den Bildungsgängen des Berufskollegs. Leistungskurs Fch Mthemtik Fchbereich Technik mthe_lk_tech_beispielufg09_0085.doc Seite von 9

2 Konstruktionsmerkmle der Aufgbe rten Aufgbe Aufgbe Aufgbe 3 Aufgbe 4 Anlysis Informtionstechnik, Lichtwellenleiter Anlysis Mschinenbutechnik, Thoms-Birne Anlytische Geometrie Konstruktions- und Fertigungstechnik, Schräglenker Stochstik Informtionstechnik, Dten-Generierung mthe_lk_tech_beispielufg09_0085.doc Seite von 9

3 stellung Aufgbe : Im Rhmen der Netzwerktechnik werden heute neben den klssischen Kupferleitungen zunehmend Lichtwellenleiter (LWL) eingesetzt. Bei dem hier betrchten Unternehmen geschieht dies zur Verbindung benchbrter Gebäude. Um die elektrischen Signle uf die LWL umzusetzen, benötigt mn einen sogennnten Medienkonverter, dieser erzeugt einen kurzen Lichtimpuls in der Form einer Gußschen Glocken-Kurve. Betrchtet mn die Wellenlänge, so kommt es durch verschiedene Dämpfungs- Effekte uf dem LWL nch einer gewissen Lufstrecke zu einer Verzerrung des Lichtsignls (s. Abbildungen). (x In der Abbildung wird ds ursprüngliche Signl durch die Funktion f(x) = e beschrieben. Dbei gibt x die Wellenlänge n, f(x) ist die Energiedichte, beschreibt lso, welche Energie pro (infinitesimlem) Wellenlängenbschnitt gemessen wurde. Die Einheiten der x-achse sind hier in Nnometer (nm) gewählt, die Einheiten uf der f(x)-achse sind nicht von Bedeutung und sind so gewählt, dss gilt: f(300)=. 300). Bestimmen Sie die Wellenlänge, bei der ds Mximum der Energiedichte f(x) liegt. ( Punkte). Berechnen Sie die Stellen, n denen die Funktion f(x) Wendepunkte hben knn. ( Punkte).3 Ermitteln Sie die Breite b des Signls. Für die Breite b muss gelten: f(300 ± 0,5 b) = 0,5 f(300), d bei 300 nm ds Mximum der Energiedichte liegt. ( Punkte) mthe_lk_tech_beispielufg09_0085.doc Seite 3 von 9

4 v.4 Ds Integrl f(x)dx beschreibt die Energie des Signls zwischen den Wellenlängen u und v. Begründen Sie ohne Rechnung, dss ds uneigentliche Inte- u + grl f (x)dx einen endlichen Wert nnimmt. ( Punkte) Ds verzerrte Signl in der Abbildung lässt sich für durch eine bschnittsweise definierte prmetrisierte Funktion beschreiben: g,b (x) = 0 ( x b) ( x b) e mit,b R + für x 98 für x < 98.5 Weisen Sie nch, dss für b = 98 ds Mximum der Energiedichte des verzerrten Signls bei x m = 300 liegt und bestimmen Sie den Prmeter so, dss die Energiedichte des verzerrten Signls n dieser Stelle uf g(x m ) = 0,4 bgesunken ist. ( Punkte).6 Vergleichen Sie den Energieinhlt des verzerrten Signls mit dem Energieinhlt des Ausgngssignls. Wie viel Prozent der Ausgngsenergie sind noch vorhnden? ( Punkte) Anleitung: - Weisen Sie nch, dss die gesmte Ausgngs-Energie gilt: f (x)dx = π. Dzu können Sie ds Ergebnis für ds Gußsche Fehler-Integrl + e x dx = π und die Substitutionsregel verwenden. - Berechnen Sie in einem nächsten Schritt die prozentul verbleibende Energie (Bechten Sie bei der Integrtion: g(x) = 0 für x < 98). Flls Sie in Aufgbe.5 zu keinen Werten gekommen sind, rechnen Sie mit den Werten = 0,39 und b = 98 weiter. + mthe_lk_tech_beispielufg09_0085.doc Seite 4 von 9

5 Aufgbe : Ds Thoms-Verfhren ist ein so gennntes Bls- oder Windfrischverfhren, bei dem durch Bodendüsen eines Konverters ( Thoms-Birne ) Luft in flüssiges Roheisen geblsen wird. Ds Foto zeigt eine Thoms-Birne, ds Digrmm den Längsschnitt durch eine liegende Thoms-Birne. (Im Modell gilt: Längeneinheit = m). Die obere Begrenzung der Fläche knn im. Qudrnten durch die Funktion f mit der Gleichung f (x) x = x e mit 0 x beschrieben werden.. Berechnen Sie, für welchen Wert von der Durchmesser der oberen Öffnung der Birne 6 m beträgt und ermitteln Sie den mximlen Durchmesser der Birne in Abhängigkeit von. ( Punkte). Untersuchen Sie den Grphen der Funktion f (x) uf Wendepunkte und geben Sie deren Koordinten n. (9 Punkte) Im Folgenden wird ein spezielle Birne mit dem Wert =/4 betrchtet..3 Skizzieren Sie den Grphen von f /4 (x) für 0 x in ein geeignetes Koordintensystem! ( Punkte).4 Berechnen Sie die Fläche, die entsteht, wenn der Körper längs der x-y-ebene ufgeschnitten wird! (0 Punkte) Zur Vereinfchung wird im Folgenden die Näherungsformel V E (h) = -4,4h 3 + 5h + 36h ; 0 < h < für die Berechnung des Volumens in Abhängigkeit der Füllhöhe h verwendet..5 Vergleichen Sie diesen Näherungswert für ds Birnenvolumen mit dem mittels b Integrtionsformel für Rottionskörper ( V = π (f(x)) dx ) berechneten Wert und geben Sie die prozentule Abweichung n! ( Punkte).6 Ds Gesmtvolumen einer Stndrd Thoms-Birne beträgt 030 m 3. Zeigen Sie mit einem Näherungsverfhren, in welcher Füllhöhe die Birne zu einem Viertel gefüllt ist (Berechnen Sie 4 Stellen hinter dem Komm)! ( Punkte) mthe_lk_tech_beispielufg09_0085.doc Seite 5 von 9

6 Aufgbe 3: Die Achsufhängung von Personenkrftwgen muss wie z.b. Federungskomfort, Gerdeusluf und Kurvenseitenführung erfüllen. Die Abbildung zeigt schemtisch den Aufbu einer Schräglenker-Aufhängung für die Hinterchse eines dort ngetriebenen Autos. Der Schräglenker selbst ist ein mssives Buteil, ds uf der einen Seite die Rdchse führt. Auf der nderen Seite ist der Schräglenker in den Punkten A und B über einen Zpfen so verbunden, dss er sich um die Achse AB drehen knn. Der Rdmittelpunkt R bildet lso mit den Punkten A und B ein strres Dreieck, ds sich beim Einfedern des Rdes um die Achse AB dreht. Gegeben sind die Punkte A(4 3 3), B(5 6 4) und R(0 3) in einem krtesischen Koordintensystem. Mit der Einheit 00 mm entsprechen diese Zhlen ungefähr der Wirklichkeit. Der Ursprung des Koordintensystems liegt uf Strßenhöhe unter der Mitte der Hinterchse, die x -Achse zeigt in Fhrtrichtung. Ausgngspunkt ist die Normlstellung des Hinterrdes, bei der die Rdchse prllel zur x -Achse ist. Mn betrchtet zunächst den unbelsteten Zustnd: 3. Stellen Sie die Gerdengleichungen für die Lenkerchse l und die Rdchse g uf und zeigen Sie, dss die beiden Gerden windschief sind. ( Punkte) 3. Wie schräg ist der Schräglenker? Bestimmen Sie die Winkel α und β zwischen den Grundrissen g und l bzw. den Aufrissen g und l! (Der Grundriss einer technischen Zeichnung ist die Abbildung ller Elemente in die x - x -Ebene, der Aufriss ist die Abbildung in die x - x 3 -Ebene.) (6 Punkte) mthe_lk_tech_beispielufg09_0085.doc Seite 6 von 9

7 3.3 Der Schnittpunkt der Lenkerchse l mit der Rdebene E sei N. Diesen Punkt nennt mn Nickpol. Berechnen Sie die Koordinten von N! (Flls Sie in 3. kein Ergebnis für die Lenkerchse l bekommen hben, rechnen Sie mit folgender Gleichung weiter: l: ( Punkte) 4 x r = 3 + λ 6 ; λ R ) Der Abstnd d des Rdmittelpunktes von der Lenkerchse l wird Lenkerlänge gennnt. Berechnen Sie d! ( Punkte) Ds Rd fährt über eine Bodenwelle. Ddurch wird der Rdmittelpunkt um,4 Einheiten in x 3 - Richtung ngehoben. 3.5 Leiten Sie die Koordinten des neuen Rdmittelpunktes R her! (Denken Sie drn, dss ds Dreieck ABR strr ist und dher gilt: ' AR = AR und Rdmittelpunktes! ( Punkte) BR ' = BR. Es ändern sich lso x und x des neuen 3.6 Begründen Sie ohne Rechnung: Wrum muss der Nickpol N uch Punkt der neuen Rdebene E sein? ( Punkte) 3. Der neue Verluf der Rdchse ist durch die Gerdengleichung g bestimmt: g : 0 5 x = 6, + λ 44 mit λ R. 5,4 8 Stellen Sie in Koordintenform eine Gleichung der neuen Rdebene E uf (Flls Sie in 3.5 kein Ergebnis bekommen hben, rechnen Sie mit R (0 6, 5,4) weiter). (6 Punkte) Angelehnt n: Strk Verlgsgesellschft: Unterrichtsmterilien Anlytische Geometrie. Freising: Strk Verlg 003, Kpitel S.3 mthe_lk_tech_beispielufg09_0085.doc Seite von 9

8 Aufgbe 4: Ein Computer druckt Buchstben und Ziffern in zufälliger Reihenfolge unbhängig voneinnder us. Die Whrscheinlichkeit für ds Auftreten eines Buchstbens betrge p = 0,4. Der Computer druckt die Zeichen in so gennnten Oktden us, ds sind Gruppen zu je 8 Zeichen. 4. Berechnen Sie, mit welcher Whrscheinlichkeit in einer beliebigen Oktde die ersten drei Zeichen Buchstben und der Rest Ziffern sind! ( Punkte) 4. Bestimmen Sie, mit welcher Whrscheinlichkeit in einer beliebigen Oktde mehr ls und weniger ls 5 Buchstben sind! (0 Punkte) 4.3 Ermitteln Sie, mit welcher Whrscheinlichkeit in einer beliebigen Oktde mindestens 5 Buchstben sind! ( Punkte) 4.4 Begründen Sie rechnerisch: Wie viele Oktden müssen mindestens gedruckt werden, dmit mit einer Whrscheinlichkeit von mehr ls 60 % mindestens eine Oktde erscheint, die nur us Ziffern besteht? ( Punkte) Der Computer wird nun so progrmmiert, dss die Oktden in zwei Ordnern BU und ZI gespeichert werden. Überwiegt in einer Oktde die Anzhl der Buchstben, so wird die Oktde in den Ordner BU gespeichert, ndernflls in den Ordner ZI. 4.5 Zeigen Sie, dss die bedingte Whrscheinlichkeit dfür, dss bei einer beliebigen Oktde us BU die letzten zwei Zeichen Buchstben sind, etw 4 % entspricht! ( Punkte) 4.6 Durch einen technischen Fehler sind sämtliche Oktden in dem Ordner BU gespeichert worden. Bei einer zufällig herusgegriffenen Oktde sind die beiden letzten Zeichen Buchstben. Bestimmen Sie die Whrscheinlichkeit dfür, dss es sich um eine Oktde hndelt, die zu Recht in dem Ordner BU gespeichert worden ist? (9 Punkte) Binomil-Verteilung, Summenfunktion Fn;p(k) = Bn;p(k) Bn;p(k) n k 0,0 0,03 0,04 0,05 0, 0,5 /6 0, 0,5 0,3 /3 0,4 0, Angelehnt n: Otmr Fltheiner:Mthemtik Abitur Whrscheinlichkeitsrechnung Sttistik Leistungskurs. München: Mns Verlg 988 mthe_lk_tech_beispielufg09_0085.doc Seite 8 von 9

9 3 Mterilgrundlge keine 4 Bezüge zu den Prüfungsvorgben für ds Zentrlbitur m Berufskolleg im Jhr 009 Die sind vollständig us den Gebieten entnommen, die in den Prüfungsvorgben für ds Abitur 009 im Fch Mthemtik, Fchbereich Technik, ufgeführt sind. Anlysis Funktionsklssen: Gnzrtionle Funktionen, ntürliche Exponentil-/Logrithmus- Funktionen, deren Verknüpfungen und Funktionenschren Funktionseigenschften - Extrem- und Wendepunkte - hinreichendes / notwendiges Kriterium (ohne Beweis der Kriterien) - Anwendung der Ableitungsregeln - Nullstellen, Newtonverfhren Deutung und Anwendung des Integrls - Integrtionsregeln - Orientierter Flächeninhlt - Anwendung des Integrls uf technische Frgestellungen - Prtielle Integrtion / Linere Substitution Linere Algebr / Anlytische Geometrie Objekte im dreidimensionlen Rum - Gerden und Ebenen im Rum (Lgebeziehungen, Prmeter-/Koordinten-/Normlenform) - Metrik (Winkel und Abstände) - Sklr- und Vektorprodukt mthe_lk_tech_beispielufg09_0085.doc Seite 9 von 9

10 Stochstik Whrscheinlichkeiten - Whrscheinlichkeitsbegriff / Zufllsgrößen / Rechenregeln - Zählstrtegien zur Bestimmung von Whrscheinlichkeiten - Vierfeldertfeln / Bedingte Whrscheinlichkeit / Stz von Byes Whrscheinlichkeitsverteilung - Zufllsgrößen und Verteilungen - Bernoulli Experiment - Binomilverteilung 5 Zugelssene Hilfsmittel Für diesen stz sind zugelssen: - Gedruckte Formelsmmlungen der Schulbuchverlge, die keine Beispielufgben enthlten. Die Formelsmmlungen sind vor Ausgbe n die Schülerinnen und Schüler zu überprüfen. - Tbellierte kumulierte Binomilverteilung (s. Vorgben für die Abiturprüfung 009) - nicht progrmmierbre wissenschftliche Tschenrechner. Für diesen stz sind nicht zugelssen: - Schulinterne eigene Druckwerke, mthemtische Fchbücher und mthemtische Lexik - Computerlgebrsysteme - Tschenrechner, die über eines der folgenden Leistungsmerkmle verfügen: Erstellen von Wertetbellen Drstellen von Funktionsgrphen Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen Numerisches Integrieren oder Differenzieren Rechnen mit Mtrizen und Vektoren mthe_lk_tech_beispielufg09_0085.doc Seite 0 von 9

11 6 Hinweise zur uswhl durch die Lehrkrft/den Prüfling Für die Abiturprüfung 009 erhält die Schule insgesmt vier, dvon zwei zur Anlysis, eine Aufgbe zur Lineren Algebr/Anlytischen Geometrie und eine Aufgbe zur Stochstik. Die beiden zur Anlysis sind verbindlich zu berbeiten. Von den zur Lineren Algebr/Anlytischen Geometrie und zur Stochstik wählt die Fchlehrerin/der Fchlehrer eine Aufgbe zur Berbeitung us. Somit erhlten die Schülerinnen und Schüler drei voneinnder unbhängig lösbre Prüfungsufgben zur Berbeitung. Sie erhlten keine zur Auswhl. mthe_lk_tech_beispielufg09_0085.doc Seite von 9

12 Vorgben für die Bewertung der Schülerleistungen. Allgemeine Hinweise Die Bewertung erfolgt nhnd des folgenden Bewertungsschems. Als Grundlge einer kriteriengeleiteten Beurteilung werden zu erbringende Teilleistungen usgewiesen, die die mit der jeweiligen Aufgbe verbundenen en ufschlüsseln. Die Lösungserwrtungen dienen der Orientierung der Korrektoren und sind nicht ls exkte Vorformulierungen von Schülerlösungen zu verstehen. Zusätzliche Leistungen sind ngemessen zu berücksichtigen. Dies betrifft etw Lösungen, die bei den Lösungserwrtungen nicht ufgeführt sind, ber dennoch eine richtige Lösung sind. Der ufgeführte Anteil der Punkte je Teilufgbe ist eine Orientierungshilfe für die vorgesehene Berbeitungszeit je Aufgbe. Beispiel: Für 0 % der Gesmtpunktzhl sollte etw 0 % der gesmten Berbeitungszeit eingeplnt werden. Die Anordnung der Kriterien folgt einer plusiblen logischen Abfolge von Lösungsschritten, die ber keineswegs llgemein vorusgesetzt werden knn und soll. Die Teilleistungen werden den in Teil I der Bildungspläne definierten sn I bis III zugeordnet. Dnch werden den Lösungen der Teilufgben Punkte zugewiesen, die den Schwierigkeitsgrd, die Komplexität und den Zeitufwnd für die Berbeitung der einzelnen Teilufgbe repräsentieren. Die für jede Teilleistung ngegebenen Punktwerte entsprechen einer mximl zu erwrtenden Lösungsqulität. Hinzu kommt die Art der Berbeitung in den verschiedenen sn, wobei Aspekte der Qulität, Quntität und der Drstellungsweise berücksichtigt werden. Die folgenden Bewertungskriterien werden in einen für jede Klusur gesondert uszufüllenden 'Bewertungsbogen' ufgenommen, der den Fchlehrerinnen und Fchlehrern zur Verfügung gestellt wird. In diesen trägt die erstkorrigierende Lehrkrft den entsprechend der Lösungsqulität jeweils ttsächlich erreichten Punktwert für die Teilleistung in der Bndbreite von 0 bis zur vorgegebenen Höchstpunktzhl ein. mthe_lk_tech_beispielufg09_0085.doc Seite von 9

13 . Teilleistungen Kriterien ) inhltliche Leistung Teilufgben s- Erwrtete Lösung I II III. Mximum f (x) = -(x 300) e f (x) = - e ( x 300) ( x 300) ( x ) ( ) x 300 f (x) = 0 x = 300 f (300) = -. f (x) = - e e ( x 300) ( x ) ( ) x 300 e.3 0 = - e ( x 300 ) ( x ) ( ) x = - + 4(x 300)² x, = 300 ± Nur n diesen beiden Stellen knn ein Wendepunkt existieren. e Die Breite ergibt sich us f(x) =. = e ( x 300) ln = ( x 300) ln() = ( x 300) Drus folgt us Symmetriegründen für die Breite b = ln..4 Ds uneigentliche Integrl gibt den gesmten Energieinhlt n und muss somit einen endlichen Wert hben. mthe_lk_tech_beispielufg09_0085.doc Seite 3 von 9

14 Teilufgben s- Erwrtete Lösung I II III.5 Aus der Forderung g (300) = 0 ergibt sich mit: g (x) ( x b) ( x b) = ( x b) e ( x b) e x b ( x b) ( x b) e ( ) ( ) die Gleichung: (300 b) = (300 b)². Mn erhält die Lösung b = 300 oder b = 98. Zweite Ableitung: g (x) = = ( x b) ( x b) ( ( x b) ) e ( ( x b) ( x b) ) e ) x b 4 ( x b) + ( x b) e ( ) ( ) Dies zeigt für b = 98: g (300) = - e - < 0, lso Mximum. Der Prmeter ergibt sich mit g(300) = 0,4 zu 0,39. = mthe_lk_tech_beispielufg09_0085.doc Seite 4 von 9

15 Teilufgben s- Erwrtete Lösung I II III.6 + Erster Schritt: Zeige: f (x)dx Integrtion per Substitution: + f (x)dx = ϕ ϕ ( b) f( ϕ( x) ) ϕ ( x) ( ) dx x e und ( x) = ( x 300) mit f(x) = ϕ ergibt sich: + + x ( ( x 300) ) e dx = e dx + e x dx = + + e ( x 300) ( ( x 300) ) π = e dx Zweiter Schritt: Berechne die Energie (prtielle Integrtion) mit den Werten 0,39 und b = 98. E g = g (x)dx = + 98 ( x b) = ( ) x b e g(x)dx dx = dx π ( ) ( ) x b x b = ( ) ( ) x b e + x b e dx Bechte b = 98 und nochmlige prtielle Integrtion: ( ) ( ) x b x b = 0 + ( ) x b e + 98 e dx 98 ( ) = - x b e 98 = Eg Dmit ergibt sich = 0, 834, EungestörtesSignl π dementsprechend c. 83,4 %. Summe Aufgbe mthe_lk_tech_beispielufg09_0085.doc Seite 5 von 9

16 Teilufgben s- Erwrtete Lösung I II III. f() = 3 = 4 e 3 = e 4 3 ln( ) = 4 ln = f f = e 3 4 f (x) = xe x 0,363 x (x) = e Extrem f '(x) = 0 x = 0 x = xe x = ( 4 + x + ( x)( )e x)e = ( x)e x x x f ( )x = ( 4 + )e = e 0 < 0 rel. Mx f( ) = e = H ( ) mthe_lk_tech_beispielufg09_0085.doc Seite 6 von 9

17 Teilufgben s- Erwrtete Lösung I II III. Wendepunkt.3 " f (x) = x = 0 4 x = = Vorzeichenwechsel n der Stelle x 4 f ( ) = e =,4,4 W ( ) 9 mthe_lk_tech_beispielufg09_0085.doc Seite von 9

18 Teilufgben s- Erwrtete Lösung I II III.4 0 xe x 4 dx Stmmfunktion F (x) f (x) = xe xe x dx x x x = [ xe + e dx] x x = [ xe e ] x x = ( )e = F (x) u = x u' = ;v' = e x ;v = e x 0 xe x 4 = ( 8x 3)e 45,4 dx x mthe_lk_tech_beispielufg09_0085.doc Seite 8 von 9

19 Teilufgben s- Erwrtete Lösung I II III.5 V E (h)=-4,4h 3 +5h -36h V E ()=-4, =03,8 f 4 (f (x) = xe 4 4π (x)) = 4π x 4 = 4x 0,5x ( x e ) 0 u = 4x u' = 4 = 4π x = 4π x e x 0,5x ( x 8x 6)e ) 008,99 ;v' = e ;v = e e e dx 0,5x 0,5x 0,5x 0,5x xe 8xe 0,5x 0,5x 0 dx e 0,5x dx 008,99 03,8 p = = 0,03 008,99 Abweichung : p =,3%.6 Newtonverfhren h 0 =,8443 (Beim Strtwert 3 benötigt mn 3 Rechenschritte) Summe Aufgbe mthe_lk_tech_beispielufg09_0085.doc Seite 9 von 9

20 Teiluf gben s- Erwrtete Lösung I II III 3 3. Eine Gleichung der Lenkerchse lutet 4 l: x r = 3 + λ 3 ; λ R 3 Für die Rdchse findet mn g: 0 0 x r = + λ ; λ R 3 0 Flls ein Schnittpunkt existiert, muss die Vektorgleichung 4 0 r τ 4 + λ 3 μ = eine nichttrivile Lösung besitzen, die drei Vektoren müssen lso liner bhängig sein. Die Gleichung ht die einzige Lösung τ = λ = μ = 0. Die beiden Gerden besitzen keinen Schnittpunkt und sind nicht prllel, sie sind lso windschief. 3. Die Gleichung des Grundrisses einer Gerden erhält mn, indem mn x 3 = 0 setzt, die des Aufrisses, indem mn x = 0 setzt. Dmit ergibt sich für die Winkel α und β : cos ( α ) = = 3 0 und der gleiche Winkel für cos (β ). Dmit ist α =β = 8,4. 6 mthe_lk_tech_beispielufg09_0085.doc Seite 0 von 9

21 Teiluf gben s- Erwrtete Lösung I II III 3.3 Die Koordintengleichung der Rdebene E lutet: E: x = 0 Für den Schnittpunkt N von l mit E ergibt sich: λ - = 0 λ = und dmit N( ) Für den Lotfuß L muss gelten: RL u r = [ 3 + λ 3 ] 3 = λ 4 = 0 λ = 8 5 Der Lotfußpunkt ist lso L 5 4. Für die Lenkerlänge d = RL folgt d = LE mthe_lk_tech_beispielufg09_0085.doc Seite von 9

22 Teiluf gben s- Erwrtete Lösung I II III 3.5 Der Rdmittelpunkt bewegt sich um,4 Einheiten nch oben, lso R (x x 5,4). Es gilt ' AR = AR und BR ' = BR x 5 x 6,4 5 = x 0x + x x = -35,96 x 4 x 3,4 4 = 4 0 x 8x + x 6x =,4 Subtrhiert mn die erste Gleichung von der zweiten, so erhält mn x + 6x = 3, Löst mn diese Gleichung nch x uf und setzt dieses in die erste Gleichung ein, so erhält mn die qudrtische Gleichung 0x - 93,6x + 95,9 = 0 Diese ht die Lösungen: x = 6, und x = 3,6 Für x = 3,6 erhält mn x = 9,. Dmit würde der Rdmittelpunkt in Fhrtrichtung x vor der Lenkerchse liegen. Diese Lösung fällt lso us technischen Gründen us. Der neue Rdmittelpunkt ist lso R (0 6, 5,4). 3.6 Die Lge des Nickpols N ist bezüglich des strren Schräglenkers fest. Als Punkt der Drehchse rotiert er bei Drehung des Dreiecks ABR nicht mit. mthe_lk_tech_beispielufg09_0085.doc Seite von 9

23 Teiluf gben s- Erwrtete Lösung I II III 3. Die neue Rdebene ergibt sich in Normlenform: 5 0 r E ': 44 x 6, = 0 und in Koordintenform: 8 5,4 E : -5x + 44x + 8x 3 = 36 6 Summe Aufgbe mthe_lk_tech_beispielufg09_0085.doc Seite 3 von 9

24 Teilufgben s- Erwrtete Lösung I II III 4 4. Wenn die Whrscheinlichkeit für ds Auftreten eines Buchstbens p B = 0,4 beträgt, dnn ist die Whrscheinlichkeit für ds Auftreten einer Ziffer ( Nicht- Buchstbe ) p Z = p B = 0,6. Für die Whrscheinlichkeit einer Oktde der Form bbbzzzzz gilt dnn: p = 0,4³ 0,6 5 0, Mehr ls zwei und weniger ls fünf Buchstben bedeutet, dss für die Anzhl n B der Buchstben < n B < 5 bzw. 3 n B 4 gilt. Bezeichnet mn ds Auftreten eines Buchstbens ls Treffer, dnn bildet jede Oktde eine Bernoulli-Kette der Länge n = 8 mit der Trefferwhrscheinlichkeit p B = 0,4. Die Gesmtwhrscheinlichkeit ist deshlb gegeben ls die Summe der Bernoulli-Ausdrücke B(n = 8; p B = 0,4; k = 3) sowie B(n = 8; p B = 0,4; k = 4). Ihre Zhlenwerte sind dnn: 8 0, ,6 5 sowie 8 0, ,6 Dmit erhält mn p = 56 0, ,0033 0, mthe_lk_tech_beispielufg09_0085.doc Seite 4 von 9

25 Teilufgben s- Erwrtete Lösung I II III 4.3 Ds Auftreten von mindestens 5 Buchstben, d. h. n B 5, ist ds Gegenereignis zum Auftreten von höchstens 4 Buchstben. Die Whrscheinlichkeit für Letzteres ist gegeben durch: 4 k= 0 B(n = 8;p B = 0,4;k) = p 8 0,4 (n B 4) = 0,8633 (s. Tbelle) p(n B 5) = 0,8633 = 0,36. mthe_lk_tech_beispielufg09_0085.doc Seite 5 von 9

26 Teilufgben s- Erwrtete Lösung I II III 4.4 Die Whrscheinlichkeit für eine nur us Ziffern bestehende Oktde ist nch den Regeln der Bernoulli-Kette p(n Z = 8) = p(n B = 0) = 0,6 8 0,068. Die Whrscheinlichkeit, eine Oktde zu erhlten, die dieser Bedingung nicht genügt, ist dnn: p(n Z < 8) = - p(n Z = 8) = 0,6 8 0,983. Die Whrscheinlichkeit, bei n Druckvorgängen luter Oktden mit n Z < 8 zu erhlten, ist dnn: [p(n Z < 8)] n = 0,983 n. Die Whrscheinlichkeit, bei n Druckvorgängen mindestens eine Oktde mit n Z = 8 zu erhlten, ist dnn wegen der Whrscheinlichkeit des Gegenereignisses: p(n Z = 8) = 0,983 n. Diese Whrscheinlichkeit soll nun nch Angbe über 60 % liegen: 0,983 n > 0,6 bzw. 0,983 n < 0,4. Drus erhält mn: n lg(0,983) < lg(0,4) n > 54,08. Dmit muss die Anzhl der Druckvorgänge mindestens 55 betrgen, d. h. es ist n 55. mthe_lk_tech_beispielufg09_0085.doc Seite 6 von 9

27 Teilufgben s- Erwrtete Lösung I II III 4.5 Ds hier zu betrchtende Ereignis Die letzten zwei Zeichen sind Buchstben werde mit L bezeichnet, ds Ereignis Die Oktde ist im Ordner BU gespeichert entsprechend mit BU. Für die bedingte Whrscheinlichkeit gilt: P BU (L) = P(BU L). P(BU) Ds Ereignis BU L tritt genu dnn ein, wenn in der betrchteten Oktde die letzten zwei Zeichen Buchstben sind (und dmit die ersten sechs Zeichen keine Buchstben, lso Ziffern) und wenn sie in dem Ordner BU gespeichert sind, d. h. wenn n B > n Z gilt. Wegen n = 8 bedeutet dies n B 5. Die Durchschnittsmenge der hier gennnten Ereignisse L und BU enthält dnn lle Oktden, deren zwei letzte Zeichen Buchstben sind und bei denen unter den restlichen ersten sechs Zeichen noch mindestens drei weitere Buchstben uftreten. Die Whrscheinlichkeit für ds Ereignis L und BU ist dnn ds Produkt der Whrscheinlichkeiten P(L) und P(BU mit n B 3 unter den ersten sechs Zeichen), d. h.: 6 0,4² B (n = 6;p = 0,4;k) k= 3 = 0,4² ( k 3) p 6 0, = 0,4² [ p ( k 6) p ( k ) ] 0,4 0,4 0,6 [ 0,5443] = 0,09. mthe_lk_tech_beispielufg09_0085.doc Seite von 9

28 Teilufgben s- Erwrtete Lösung I II III Die Whrscheinlichkeit für ds Ereignis BU ohne Einschränkungen ist 8 P(BU) = B (n = 8;p B = 0,4;k ) k= 5 = p , 4 ( k 5) = p0,4 ( k 8) p0,4 ( k 4) = 0,8633 = 0,36 Dmit ergibt sich die bedingte Whrscheinlichkeit zu P BU (L) 0,09 0,498 0, Auch hier hndelt es sich um eine bedingte Whrscheinlichkeit, nämlich um die des Ereignisses BU unter der Bedingung L. P L (BU) = P(L BU) 0,09 P(L) 0,4 0, Summe Aufgbe Summe Aufgbe 4 Summe Aufgbe 4 Summe Aufgbe 3 4 Summe Aufgbe 4 4 Summe für 3 von 4 Teilufgben 4 mthe_lk_tech_beispielufg09_0085.doc Seite 8 von 9

29 b) Drstellungsleistung Kriterien Verwendung korrekter mthemtischer Fchsprche und Symbolik, strukturierte Drstellung Punkte je Aufgbe 3 Summe Drstellungsleistung 9 Gesmtsumme us. und.b: 50.3 Bewertung (Notenfindung) Note Punkte erreichte Prozentzhl erreichte Punktzhl sehr gut plus sehr gut sehr gut minus gut plus gut gut minus befriedigend plus befriedigend befriedigend minus usreichend plus usreichend usreichend minus mngelhft plus mngelhft mngelhft minus ungenügend mthe_lk_tech_beispielufg09_0085.doc Seite 9 von 9

Beispiel-Abiturprüfung

Beispiel-Abiturprüfung Mthemtik BeispielAbiturprüfung Prüfungsteile A und B Bewertungsschlüssel und Lösungshinweise (nicht für den Prüfling bestimmt) Die Bewertung der erbrchten Prüfungsleistungen ht sich für jede Aufgbe nch

Mehr

1 Kurvendiskussion /40

1 Kurvendiskussion /40 009 Herbst, (Mthemtik) Aufgbenvorschlg B Kurvendiskussion /0 Gegeben ist eine Funktion f mit der Funktionsgleichung: f ( ) 0 6 = ; mit.. Untersuchen Sie ds Verhlten der Funktionswerte von f im Unendlichen.

Mehr

Informationen zu den gemeinsamen Fächern im Zentralabitur 2010 in Berlin und Brandenburg. Nr. 1 Mathematik

Informationen zu den gemeinsamen Fächern im Zentralabitur 2010 in Berlin und Brandenburg. Nr. 1 Mathematik Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Sentsverwltung für Bildung, Wissenschft und Forschung Informtionen zu den gemeinsmen Fächern im Zentrlbitur 00 in Berlin und Brndenburg Nr..0.009 Beispielufgben

Mehr

Abiturprüfung 2007. Mathematik, Leistungskurs 0,02

Abiturprüfung 2007. Mathematik, Leistungskurs 0,02 M LK HT Seite von Nme: Abiturprüfung 007 Mthemti, Leistungsurs Aufgbenstellung: Gegeben ist die Funtion f mit Ein Teil des Grphen von f ist für 0,0 t ft () = t e, t IR. 0 t 5 m Ende der Aufgbe uf Seite

Mehr

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wirtschftsmthemtik für Interntionl Mngement (BA) und Betriebswirtschft (BA) Wintersemester 2013/14 Stefn Etschberger Hochschule Augsburg Mthemtik: Gliederung 1 Aussgenlogik 2 Linere Algebr 3 Linere

Mehr

Abitur - Leistungskurs Mathematik. Sachsen-Anhalt 1999

Abitur - Leistungskurs Mathematik. Sachsen-Anhalt 1999 Abitur - Leistungskurs Mthemtik Schsen-Anhlt 999 Gebiet L - Anlysis Augbe.. y, D, R,. Die Funktionenschr sei gegeben durch Die Grphen der Funktionen der Schr werden mit G bezeichnet. ) Ermitteln Sieden

Mehr

Elemente der Analysis II: Zusammenfassung der wichtigsten Definitionen und Ergebnisse

Elemente der Analysis II: Zusammenfassung der wichtigsten Definitionen und Ergebnisse Elemente der Anlysis II: Zusmmenfssung der wichtigsten Definitionen und Ergebnisse J. Wengenroth Dies ist die einzige zugelssene Formelsmmlung, die bei der Klusur benutzt werden drf. Es dürfen Unterstreichungen

Mehr

UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2009

UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2009 UNIVERSIÄ KARLSRUHE Institut für Anlysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmnn Dipl.-Mth. M. Uhl Sommersemester 9 Höhere Mthemti II für die Fchrichtungen Eletroingenieurwesen, Physi und Geodäsie inlusive Komplexe Anlysis

Mehr

Matrizen und Determinanten

Matrizen und Determinanten Mtrizen und Determinnten Im bschnitt Vektorlgebr Rechenregeln für Vektoren Multipliktion - Sklrprodukt, Vektorprodukt, Mehrfchprodukte wurde in einem Vorgriff bereits eine interessnte mthemtische Konstruktion

Mehr

Schriftliche Prüfungsarbeit zum mittleren Schulabschluss 2007 im Fach Mathematik

Schriftliche Prüfungsarbeit zum mittleren Schulabschluss 2007 im Fach Mathematik Sentsverwltung für Bildung, Wissenschft und Forschung Schriftliche Prüfungsrbeit zum mittleren Schulbschluss 007 im Fch Mthemtik 30. Mi 007 Arbeitsbeginn: 10.00 Uhr Berbeitungszeit: 10 Minuten Zugelssene

Mehr

Grundwissen Abitur Analysis

Grundwissen Abitur Analysis GYMNASIUM MIT SCHÜLERHEIM PEGNITZ mthem-technolog u sprchl Gmnsium WILHELM-VON-HUMBOLDT-STRASSE 7 9257 PEGNITZ FERNRUF 0924/48333 FAX 0924/2564 Grundwissen Abitur Anlsis Ws sind Potenzfunktion mit ntürlichen

Mehr

Mathematik schriftlich

Mathematik schriftlich WS KV Chur Abschlussprüfungen 00 für die Berufsmtur kufmännische Richtung Mthemtik schriftlich LÖSUNGEN Kndidtennummer Nme Vornme Dtum der Prüfung Bewertung mögliche erteilte Punkte Punkte. Aufgbe 0. Aufgbe

Mehr

Mathematik. Name, Vorname:

Mathematik. Name, Vorname: Kntonsschule Zürich Birch Fchmittelschule Aufnhmeprüfung 2007 Nme, Vornme: Nr.: Zeit: 90 Minuten erlubte Hilfsmittel: Tschenrechner us der Sekundrschule, lso weder progrmmierbr noch grfik- oder lgebrfähig

Mehr

Mathematik Brückenkurs

Mathematik Brückenkurs Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs /86 Mthemtik Brückenkurs im Fchbereich Informtik & Elektrotechnik Rumpfskript V7 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs /86 Inhltsverzeichnis Mengen...

Mehr

Canon Nikon Sony. Deutschland 55 45 25. Österreich 40 35 35. Schweiz 30 30 20. Resteuropa 60 40 30 55 45 25 40 35 35 J 30 30 20 60 40 30

Canon Nikon Sony. Deutschland 55 45 25. Österreich 40 35 35. Schweiz 30 30 20. Resteuropa 60 40 30 55 45 25 40 35 35 J 30 30 20 60 40 30 15 Mtrizenrechnung 15 Mtrizenrechnung 15.1 Mtrix ls Zhlenschem Eine Internetfirm verkuft über einen eigenen Shop Digitlkmers. Es wird jeweils nur ds Topmodel der Firmen Cnon, Nikon und Sony ngeboten. Verkuft

Mehr

Versuchsplanung. Grundlagen. Extrapolieren unzulässig! Beobachtungsbereich!

Versuchsplanung. Grundlagen. Extrapolieren unzulässig! Beobachtungsbereich! Versuchsplnung 22 CRGRAPH www.crgrph.de Grundlgen Die Aufgbe ist es Versuche so zu kombinieren, dss die Zusmmenhänge einer Funktion oder eines Prozesses bestmöglich durch eine spätere Auswertung wiedergegeben

Mehr

Thema 13 Integrale, die von einem Parameter abhängen, Integrale von Funktionen auf Teilmengen von R n

Thema 13 Integrale, die von einem Parameter abhängen, Integrale von Funktionen auf Teilmengen von R n Them 13 Integrle, die von einem Prmeter bhängen, Integrle von Funktionen uf Teilmengen von R n Wir erinnern drn, dß eine Funktion h : [, b] R eine Treppenfunktion ist, flls es eine Unterteilung x < x 1

Mehr

Vorlesung. Einführung in die mathematische Sprache und naive Mengenlehre

Vorlesung. Einführung in die mathematische Sprache und naive Mengenlehre Vorlesung Einführung in die mthemtische Sprche und nive Mengenlehre 1 Allgemeines RUD26 Erwin-Schrödinger-Zentrum (ESZ) RUD25 Johnn-von-Neumnn-Hus Fchschft Menge ller Studenten eines Institutes Fchschftsrt

Mehr

FernUniversität Gesamthochschule in Hagen

FernUniversität Gesamthochschule in Hagen FernUniversität Gesmthochschule in Hgen FACHBEREICH MATHEMATIK LEHRGEBIET KOMPLEXE ANALYSIS Prof. Dr. Andrei Dum Proseminr 9 - Anlysis Numerische Integrtion Ulrich Telle Mtrikel-Nr. 474 Köln, den 7. Dezember

Mehr

Großübung zu Kräften, Momenten, Äquivalenz und Gleichgewicht

Großübung zu Kräften, Momenten, Äquivalenz und Gleichgewicht Großübung u Kräften, omenten, Äuivlen und Gleichgewicht Der Körper Ein mterielles Teilgebiet des Universums beeichnet mn ls Körper. Im llgemeinen sind Körper deformierbr. Sonderfll strrer Körper (odellvorstellung)

Mehr

Aufgaben zur Vorlesung Analysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 2012 Lösungen zu Blatt 6

Aufgaben zur Vorlesung Analysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 2012 Lösungen zu Blatt 6 Aufgben zur Vorlesung Anlysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 0 Lösungen zu Bltt 6 Aufgbe. Die Funktion f : [, ) R sei in jedem endlichen Teilintervll von [, ) Riemnnintegrierbr. Für n N sei I n := f() d.

Mehr

LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN. 7. Übung/Lösung Mathematik für Studierende der Biologie 25.11.2015

LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN. 7. Übung/Lösung Mathematik für Studierende der Biologie 25.11.2015 LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR BIOLOGIE Prof. Anres Herz, Dr. Stefn Häusler emil: heusler@biologie.uni-muenchen.e Deprtment Biologie II Telefon: 089-280-74800 Großhernerstr. 2 Fx:

Mehr

Volumen von Rotationskörpern

Volumen von Rotationskörpern Volumen von Rottionskörpern Beispiele: [ Es stellt sich die Frge: Wie entstehen solche Rottionskörper bzw wie lssen sich solche Rottionskörper er zeugen? Rotiert eine Fläche z.b. um die x-achse, so entsteht

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mthemtik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Aufge 69. Quizz Integrle. Es sei Höhere Mthemtik für Informtiker II (Sommersemester

Mehr

Einführung in Mathcad 14.0 2011 H.

Einführung in Mathcad 14.0 2011 H. Einführung in Mthc. H. Glvnik Eitieren von Termen Tet schreiben mit Shift " + + Nvigtion mit Leertste un Cursor + Löschen mit Shift + Entf + + 5 sin( ) + Arten von Gleichheitszeichen Definition eines Terms

Mehr

Schriftliche Überprüfung Mathematik. Gymnasien, Klasse 10

Schriftliche Überprüfung Mathematik. Gymnasien, Klasse 10 Schriftliche Überprüfung Mthemtik, Klsse 0 Schuljhr 009/00 6. Februr 00 Unterlgen für die Lehrerinnen und Lehrer Diese Unterlgen enthlten: I II III Allgemeine Hinweise zur Arbeit Aufgben Erwrtungshorizonte,

Mehr

Für den Mathe GK, Henß. - Lineare Algebra und analytische Geometrie -

Für den Mathe GK, Henß. - Lineare Algebra und analytische Geometrie - Für den Mthe GK, Henß - Linere Alger und nlytische Geometrie - Bis uf die Astände ist jetzt lles drin.. Ich h noch ne tolle Seite entdeckt mit vielen Beispielen und vor llem Aufgen zum Üen mit Lösungen..

Mehr

Analysis mit dem Voyage 1

Analysis mit dem Voyage 1 Anlysis mit dem Voyge 1 1. Kurvendiskussion Gegeben ist die Funktionschr Den Nenner erhält mn mit Hilfe der Funktion getdenom. Zeros liefert die Nullstellen des Nenners und dmit die Werte, die us dem Definitionsbereich

Mehr

Integralrechnung. www.mathe-total.de. Aufgabe 1

Integralrechnung. www.mathe-total.de. Aufgabe 1 Integrlrechnung Aufgbe Bestimme die Fläche zwischen der Kurve der Funktion f() = und -Achse über dem Intervll I = [; 3] näherungsweise. Bestimme die Obersumme und Teile ds Intervll I in drei gleich große

Mehr

Es soll der Betrag eines Vektors berechnet werden, wenn dieser in Komponenten oder Koordinatenschreibweise gegeben ist. a 3. x 2

Es soll der Betrag eines Vektors berechnet werden, wenn dieser in Komponenten oder Koordinatenschreibweise gegeben ist. a 3. x 2 R. Brinkmnn http://brinkmnn-du.de Seite 8.. Vektoren im krtesischen Koordintensystem Betrg eines Vektors Es soll der Betrg eines Vektors berechnet werden, wenn dieser in Komponenten oder Koordintenschreibweise

Mehr

Übungen zur Vorlesung Physikalische Chemie I Lösungsvorschlag zu Blatt 3

Übungen zur Vorlesung Physikalische Chemie I Lösungsvorschlag zu Blatt 3 Übungen zur Vorlesung Physiklische Chemie I Lösungsvorschlg zu Bltt 3 Prof. Dr. Norbert Hmpp 1. Aufgbe ) Die gegebene Verteilung besteht nur us diskreten Werten! Die durchgezogene Linie würde nur bei einer

Mehr

Brückenkurs MATHEMATIK

Brückenkurs MATHEMATIK Brückenkurs MATHEMATIK Professor Dr. rer. nt. Bernd Bumnn Professor Dr. rer. nt. Ulrich Stein Hochschule für Angewndte Wissenschften Hmburg 5. März 008 VO R B E M E R K U N G E N Liebe Studentin, lieber

Mehr

Reader. für den Einsatz in der Wiederholungsphase im Mathematikunterricht der Jahrgangsstufe 11

Reader. für den Einsatz in der Wiederholungsphase im Mathematikunterricht der Jahrgangsstufe 11 Reder für den Einstz in der Wiederholungsphse im Mthemtikunterricht der Jhrgngsstufe Anhng zur schriftlichen Husrbeit zur Zweiten Sttsprüfung für ds Lehrmt n öffentlichen Schulen von Andres Rschke Vorwort

Mehr

Übungsheft Mittlerer Schulabschluss Mathematik

Übungsheft Mittlerer Schulabschluss Mathematik Ministerium für Bildung und Kultur des Lndes Schleswig-Holstein Zentrle Abschlussrbeit 011 Übungsheft Mittlerer Schulbschluss Mthemtik Korrekturnweisung Impressum Herusgeber Ministerium für Bildung und

Mehr

Präfixcodes und der Huffman Algorithmus

Präfixcodes und der Huffman Algorithmus Präfixcodes und der Huffmn Algorithmus Präfixcodes und Codebäume Im Folgenden werden wir Codes untersuchen, die in der Regel keine Blockcodes sind. In diesem Fll können Codewörter verschiedene Länge hben

Mehr

Kapitel 10. Integration. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2015/16 10 Integration 1 / 35

Kapitel 10. Integration. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2015/16 10 Integration 1 / 35 Kpitel 0 Integrtion Josef Leydold Mthemtik für VW WS 205/6 0 Integrtion / 35 Flächeninhlt Berechnen Sie die Inhlte der ngegebenen Flächen! f (x) = Fläche: A = f (x) = +x 2 Approximtion durch Treppenfunktion

Mehr

1.2 Der goldene Schnitt

1.2 Der goldene Schnitt Goldener Schnitt Psclsches Dreieck 8. Der goldene Schnitt Beim Begriff Goldener Schnitt denken viele Menschen n Kunst oder künstlerische Gestltung. Ds künstlerische Problem ist, wie ein Bild wohlproportioniert

Mehr

Differenzial- und Integralrechnung III

Differenzial- und Integralrechnung III Differenzil- und Integrlrechnung III Riner Huser April 2012 1 Einleitung 1.1 Polynome und Potenzfunktionen Die Polynome oder Polynomfunktionen lssen sich durch die endliche Anzhl von n+1 Prmetern i R in

Mehr

Hamburg Kernfach Mathematik Zentralabitur 2013 Erhöhtes Anforderungsniveau Analysis 2

Hamburg Kernfach Mathematik Zentralabitur 2013 Erhöhtes Anforderungsniveau Analysis 2 Hmburg Kernfch Mhemik Zenrlbiur 2013 Erhöhes Anforderungsniveu Anlysis 2 Smrphones Die Mrkeinführung eines neuen Smrphones vom Elekronikherseller PEAR wird ses ufgereg erwre. Zur Modellierung der Enwicklung

Mehr

Grundwissen am Ende der Jahrgangsstufe 9. Wahlpflichtfächergruppe II / III

Grundwissen am Ende der Jahrgangsstufe 9. Wahlpflichtfächergruppe II / III Grundwissen m Ende der Jhrgngsstufe 9 Whlpflichtfächergruppe II / III Funktionsbegriff Gerdengleichungen ufstellen und zu gegebenen Gleichungen die Grphen der Gerden zeichnen Ssteme linerer Gleichungen

Mehr

2 Berechnung von Flächeninhalten unter Kurvenstücken

2 Berechnung von Flächeninhalten unter Kurvenstücken Übungsmteril 1 Berechnung von Flächeninhlten unter Kurvenstücken.1 Annäherung durch Rechtecke Um die Fläche zu berechnen, die zwischen dem Funktionsgrphen einer Funktion und der -Achse eingeschlossen wird,

Mehr

Teilfachprüfung Mathematik Studiengang: Wirtschaft Neue Diplomprüfungsordnung (NPO)

Teilfachprüfung Mathematik Studiengang: Wirtschaft Neue Diplomprüfungsordnung (NPO) Fchhochschule Düsseldorf SS 2007 Teilfchprüfung Mthemtik Studiengng: Wirtschft Neue Diplomprüfungsordnung (NPO) Prüfungsdtum: 29..2007 Prüfer: Prof. Dr. Horst Peters / Dipl. Volkswirt Lothr Schmeink Prüfungsform:

Mehr

Grundwissen Mathematik 8. Klasse. Eigenschaften Besonderheiten - Beispiele

Grundwissen Mathematik 8. Klasse. Eigenschaften Besonderheiten - Beispiele Themen Direkte Proportionlität Eigenschften Besonderheiten - Beispiele Zwei Größen und y heißen direkt proportionl, wenn gilt: Zum k-fchen Wert von gehört der k-fche Wert von y; Der Quotient q = y ht für

Mehr

Def.: Sei Σ eine Menge von Zeichen. Die Menge Σ* aller Zeichenketten (Wörter) über Σ ist die kleinste Menge, für die gilt:

Def.: Sei Σ eine Menge von Zeichen. Die Menge Σ* aller Zeichenketten (Wörter) über Σ ist die kleinste Menge, für die gilt: 8. Grundlgen der Informtionstheorie 8.1 Informtionsgehlt, Entropie, Redundnz Def.: Sei Σ eine Menge von Zeichen. Die Menge Σ* ller Zeichenketten (Wörter) über Σ ist die kleinste Menge, für die gilt: 1.

Mehr

f (x) UNTERRICHTSENTWICKLUNG

f (x) UNTERRICHTSENTWICKLUNG UNTERRICHTSENTWICKLUNG y f (x) S Integrlrechnung Rekonstruktion von Beständen Didktisch-methodische Hinweise zur Unterrichtsgestltung im Fch Mthemtik der Sekundrstufe II b x Bildungsregion Berlin-Brndenburg

Mehr

Lösung: a) 1093 1100 b) 1093 1090

Lösung: a) 1093 1100 b) 1093 1090 OvTG Guting, Grundwissen Mthemtik 5. Klsse 1. Ntürliche Zhlen Dezimlsystem Mn nennt die Zhlen, die mn zum Zählen verwendet, 10963 = 1 10000+ 0 1000+ 9 100+ 6 10 + 3 1 ntürliche Zhlen. Der Stellenwert der

Mehr

6. Integration 6.1 Das Riemann-Integral

6. Integration 6.1 Das Riemann-Integral 6. Integrtion 6. Ds Riemnn-Integrl 6. Integrtion 6. Ds Riemnn-Integrl Mthemtik für Chemiker 6. Integrtion 6. Ds Riemnn-Integrl Flächenberechnung: Problemstellung und Lösungsidee Sei f : [, b] [0, ) eine

Mehr

TE- und TM-Moden im Wellenleiter. Bachelorarbeit

TE- und TM-Moden im Wellenleiter. Bachelorarbeit TE- und TM-Moden im Wellenleiter Sebstin Rubitzek 30. September 2014 in Grz Bchelorrbeit betreut von Ao.Univ.-Prof. Mg. Dr.rer.nt. Ulrich Hohenester 1 Inhltsverzeichnis 1 Einleitung 3 1.1 Ws ist ein Wellenleiter?......................

Mehr

Musterlösung zur Musterprüfung 2 in Mathematik

Musterlösung zur Musterprüfung 2 in Mathematik Musterlösung zur Musterprüfung in Mthemtik Diese Musterlösung enthält usführliche Lösungen zu llen Aufgben der Musterprüfung in Mthemtik sowie Hinweise zum Selbstlernen. Literturhinweise ) Bosch: Brückenkurs

Mehr

Seminar Quantum Computation - Finite Quanten-Automaten und Quanten-Turingmaschinen

Seminar Quantum Computation - Finite Quanten-Automaten und Quanten-Turingmaschinen Seminr Quntum Computtion - Finite Qunten-Automten und Qunten-Turingmschinen Sebstin Scholz sscholz@informtik.tu-cottbus.de Dezember 3. Einleitung Aus der klssischen Berechenbrkeitstheorie sind die odelle

Mehr

-25/1- DIE RÖHRENDIODE

-25/1- DIE RÖHRENDIODE -25/1- DIE RÖHRENDIODE ufgben: Messverfhren: Vorkenntnisse: Lehrinhlt: Litertur: ufnhme der Kennlinie einer Röhrendiode und einiger rbeitskennlinien. Bestimmung des Exponenten der Schottky-Lngmuirschen

Mehr

Nutzung der Abwärme aus Erneuerbare-Energie-Anlagen

Nutzung der Abwärme aus Erneuerbare-Energie-Anlagen 5 2014 Sonderdruck us BWK 5-2014 Wichtige Kennzhlen und effiziente Plnung für die dezentrle Wärmewende Nutzung der Abwärme us Erneuerbre-Energie-Anlgen Wichtige Kennzhlen und effiziente Plnung für die

Mehr

Verbrauchswerte. 1. Umgang mit Verbrauchswerten

Verbrauchswerte. 1. Umgang mit Verbrauchswerten Verbruchswerte Dieses Unterkpitel ist speziell dem Them Energienlyse eines bestehenden Gebäudes nhnd von Verbruchswerten (Brennstoffverbräuche, Wrmwsserverbruch) gewidmet. BEISPIEL MFH: Ds Beispiel des

Mehr

1 Räumliche Darstellung in Adobe Illustrator

1 Räumliche Darstellung in Adobe Illustrator Räumliche Drstellung in Adobe Illustrtor 1 1 Räumliche Drstellung in Adobe Illustrtor Dieses Tutoril gibt Tips und Hinweise zur räumlichen Drstellung von einfchen Objekten, insbesondere Bewegungspfeilen.

Mehr

3. Ganzrationale Funktionen

3. Ganzrationale Funktionen 3. Gnzrtionle Funktionen ) Definitionen und Beispiele Definition: Eine gnzrtionle Funktion n-ten Grdes ht ls Definitionsterm ein Polynom n-ten Grdes, d.h. y = f() = n n n-1 n-1 1 0. n 0, i ( i = 1, n)

Mehr

http://www.tfh-wildau.de/gerking/arbeiten.html 2005

http://www.tfh-wildau.de/gerking/arbeiten.html 2005 Hllo Ilse, gut nch Huse gekommen? Ich htte Glück, die U-Bhnnschlüsse wren gut. http://www.tfh-wildu.de/gerking/arbeiten.html 5 Sonntgs hbe ich mich dnn erstml mit der Frge beschäftigt, ob Mthemtik und

Mehr

3 Wiederholung des Bruchrechnens

3 Wiederholung des Bruchrechnens 3 Wiederholung des Bruchrechnens Ein Bruch entsteht, wenn ein Gnzes in mehrere gleiche Teile zerlegt wird. Jeder Bruch besteht us dem Zähler, der Zhl über dem Bruchstrich, und dem Nenner, der Zhl unter

Mehr

Analysis II. Universität Stuttgart, SS 06 M. Griesemer

Analysis II. Universität Stuttgart, SS 06 M. Griesemer Anlysis II Universität Stuttgrt, SS 06 M. Griesemer Inhltsverzeichnis 9 Ds Riemnnsche Integrl 3 9.1 Definition und Beispiele........................... 3 9.2 Elementre Eigenschften..........................

Mehr

ARBEITSBLATT 5L-6 FLÄCHENBERECHNUNG MITTELS INTEGRALRECHNUNG

ARBEITSBLATT 5L-6 FLÄCHENBERECHNUNG MITTELS INTEGRALRECHNUNG Mthemtik: Mg. Schmid WolfgngLehrerInnentem RBEITSBLTT 5L-6 FLÄHENBEREHNUNG MITTELS INTEGRLREHNUNG Geschichtlich entwickelte sich die Integrlrechnug us folgender Frgestellung: Wie knn mn den Flächeninhlt

Mehr

Kapitel 13. Taylorentwicklung Motivation

Kapitel 13. Taylorentwicklung Motivation Kpitel 13 Tylorentwicklung 13.1 Motivtion Sei D R offen. Sie erinnern sich: Eine in D stetig differenzierbre Funktion f : D R wird durch die linere Funktion g(x) = f() + f ()(x ) in einer Umgebung von

Mehr

v P Vektorrechnung k 1

v P Vektorrechnung k 1 Vektorrechnung () Vektorielle Größen in der hysik: Sklren Größen wie Zeit, Msse, Energie oder Tempertur werden in der hysik mit einer Mßzhl und einer Mßeinheit ngegeen: 7 sec, 4.5 kg. Wichtige physiklische

Mehr

Falls die Werte von X als Ergebnisse eines Zufallsvorgangs resultieren, wird X zu einer stetigen Zufallsvariable.

Falls die Werte von X als Ergebnisse eines Zufallsvorgangs resultieren, wird X zu einer stetigen Zufallsvariable. Sttistik I für Sttistiker, Mthemtiker und Informtiker Lösungen zu Bltt 11 Gerhrd Tutz, Jn Ulbricht, Jn Gertheiss WS 7/8 Theorie: Stetige Zufllsvriblen Begriff Stetigkeit: Eine Vrible oder ein Merkml X

Mehr

Brückenkurs Mathematik

Brückenkurs Mathematik Prof. Dr.Ing. W. Scheideler Brückenkurs Mthemtik WS 0/ us und überrbeitet von B. Eng. Sevd Hppel und Dipl.Ing. Jun Rojs Prof. Dr.Ing. W. Scheideler Inhltsverzeichnis Brüche, Potenzen und Wurzeln. Brüche..

Mehr

Bruchterme und gebrochen rationale Funktionen ================================================================== Der Quotient zweier Terme

Bruchterme und gebrochen rationale Funktionen ================================================================== Der Quotient zweier Terme Bruchterme und gebrochen rtionle Funktionen Der Quotient zweier Terme Es ist ist 3 : 4 3 und. 4 : 3 4 3 4 Dehnt mn die Bruchschreibweise uf Terme us, dnn erhält mn sog. Bruchteme. ² ( + ) : (3 + 4) + 3

Mehr

Grundwissen Mathematik 10. Klasse. Eigenschaften Besonderheiten - Beispiele

Grundwissen Mathematik 10. Klasse. Eigenschaften Besonderheiten - Beispiele Themen Eigenschften Besonderheiten - Beispiele Kreis beknnt us Klsse 8: U Kreis = 2 π r A Kreis = r 2 π Kreissektor Bogenlänge b Flächeninhlt Kreissektor: Die Länge b des Kreisbogens und der Flächeninhlt

Mehr

Mathematik PM Rechenarten

Mathematik PM Rechenarten Rechenrten.1 Addition Ds Pluszeichen besgt, dss mn zur Zhl die Zhl b hinzuzählt oder ddiert. Aus diesem Grunde heisst diese Rechenrt uch Addition. + b = c Summnd plus Summnd gleich Summe Kommuttivgesetz

Mehr

STATUS DES WINDENERGIEAUSBAUS AN LAND IN DEUTSCHLAND

STATUS DES WINDENERGIEAUSBAUS AN LAND IN DEUTSCHLAND Jhr STATUS DES WINDENERGIEAUSBAUS AN LAND Im Auftrg von: Deutsche WindGurd GmbH - Oldenburger Strße 65-26316 Vrel 4451/9515 - info@windgurd.de - www.windgurd.de jährlich zu- / bgebute Leistung kumulierte

Mehr

Mathe Warm-Up, Teil 1 1 2

Mathe Warm-Up, Teil 1 1 2 Mthe Wrm-Up, Teil 1 1 2 HEUTE: 1. Elementre Rechenopertionen: Brüche, Potenzen, Logrithmus, Wurzeln 2. Summen- und Produktzeichen 3. Gleichungen/Ungleichungen 1 orientiert sich n den Kpiteln 3,4,6,8 des

Mehr

Vorlesungsskript Mathematik I für Wirtschaftsingenieure

Vorlesungsskript Mathematik I für Wirtschaftsingenieure Vorlesungsskript Mthemtik I für Wirtschftsingenieure Verfsserin: HSD Dr. Sybille Hndrock TU Chemnitz Fkultät für Mthemtik e-mil: hndrock@mthemtik.tu-chemnitz.de Wintersemester 2005/06 Litertur [] Dllmnn,

Mehr

Formelsammlung. Folgen und Reihen

Formelsammlung. Folgen und Reihen Lehrstuhl für BWL, insb. Mthemtik und Sttistik Dipl.-Mth. Mrie Hielscher Mthemtik für Betriebswirte II Formelsmmlung Folgen und Reihen en Folge n ) n N0 : D R, n n := n) mit D N 0 n-te Prtilsumme von n

Mehr

Musterlösung zu Aufgabe 1 (Klassenstufe 9/10)

Musterlösung zu Aufgabe 1 (Klassenstufe 9/10) Musterlösung zu Aufgbe 1 (Klssenstufe 9/10) Aufgbe. Drei Freunde spielen mehrere Runden eines Spiels, bei dem sie je nch Rundenpltzierung in jeder Runde einen festen, gnzzhligen Betrg x, y oder z usgezhlt

Mehr

8 Integralrechnung. 8.1 Das Riemann-Integral

8 Integralrechnung. 8.1 Das Riemann-Integral 8 Integrlrechnung Der Integrlbegriff ist wie der Ableitungsbegriff motiviert durch die physiklische Beschreibung von Bewegungsbläufen (Geschwindigkeit, Beschleunigung). Er ist u.. uch von Bedeutung bei

Mehr

Geraden im Raum Vektoren

Geraden im Raum Vektoren Seite 8 Gerden im Rum Vektoren Punkte im Rum Seite 8 B A C D x D A B O C x x x x x b) A ( ); B ( ); C ( ); D ( ); E ( ); F ( ); G ( ); H ( ) ) Diese Punkte liegen in der x x -Ebene (x x -Ebene; x x -Ebene).

Mehr

Boole'sche Algebra. Inhaltsübersicht. Binäre Funktionen, Boole'sche Algebren, Schaltalgebra. Verknüpfungen der mathematischen Logik

Boole'sche Algebra. Inhaltsübersicht. Binäre Funktionen, Boole'sche Algebren, Schaltalgebra. Verknüpfungen der mathematischen Logik Boole'sche Algebr Binäre Funktionen, Boole'sche Algebren, Schltlgebr Inhltsübersicht Verknüpfungen der mthemtischen Logik Boole sche Algebren Grundelemente der Schltlgebr Regeln der Schltlgebr Normlformen

Mehr

Die Regelungen zu den Einsendeaufgaben (Einsendeschluss, Klausurzulassung) finden Sie in den Studien- und Prüfungsinformationen Heft Nr. 1.

Die Regelungen zu den Einsendeaufgaben (Einsendeschluss, Klausurzulassung) finden Sie in den Studien- und Prüfungsinformationen Heft Nr. 1. Modul : Grundlgen der Wirtschftsmthemtik und Sttistik Kurs 46, Einheit, Einsendeufge Die Regelungen zu den Einsendeufgen (Einsendeschluss, Klusurzulssung) finden Sie in den Studien- und Prüfungsinformtionen

Mehr

t 1 t cos(t) sin(t) haben als Spur jeweils den Einheitshalbkreis in der oberen Halbebene.

t 1 t cos(t) sin(t) haben als Spur jeweils den Einheitshalbkreis in der oberen Halbebene. Kpitel Kurvenintegrle Kurven Sei I = [, b] R ein Intervll Eine Weg ist eine Abbildung dieses Intervlls in den R d, d, : I R d Dbei nennt mn () den Anfngspunkt, (b) den Endpunkt und ds Bild ([, b]) die

Mehr

Leitfaden für die Berechnung des Netzentgeltes bei der Rhein-Ruhr Verteilnetz GmbH

Leitfaden für die Berechnung des Netzentgeltes bei der Rhein-Ruhr Verteilnetz GmbH Leitfden für die Berechnung des Netzentgeltes bei der Rhein-Ruhr Verteilnetz GmbH Stnd: 20.01.2012 Gültig b: 01.01.2012 Inhltsverzeichnis 1 Benötigte Dten... 3 2 Netzentgelte... 4 2.1 Entgelt für Entnhme

Mehr

b f(x)p(x) dx = f(ξ) 2e 2 , Hess f (2, 0) =

b f(x)p(x) dx = f(ξ) 2e 2 , Hess f (2, 0) = Es seien U R n offen und ψ : U R n stetig differenzierbr. Weiter sei f : U R zweiml stetig differenzierbr. Kennzeichnen Sie whre Aussgen mit W und flsche Aussgen mit F. F Flls dψ(x) ein Isomorphismus für

Mehr

Vorkurs Mathematik Fachhochschule Frankfurt, Fachbereich 2. Fachhochschule Frankfurt am Main Fachbereich Informatik und Ingenieurwissenschaften

Vorkurs Mathematik Fachhochschule Frankfurt, Fachbereich 2. Fachhochschule Frankfurt am Main Fachbereich Informatik und Ingenieurwissenschaften Vorkurs Mthemtik Fchhochschule Frnkfurt, Fchereich Fchhochschule Frnkfurt m Min Fchereich Informtik und Ingenieurwissenschften Vorkurs Mthemtik Sie finden lle Mterilien sowie ergänzende Informtionen unter

Mehr

Taylorreihen - Uneigentlische Integrale

Taylorreihen - Uneigentlische Integrale Anlysis II für M, LG und Ph, WS 2006/07, Übung 2, Lösungsskizze Gruppenübung Tylorreihen - Uneigentlische Integrle G 5 Berechnen Sie die Tylorreihe mit der Entwicklungsmitte 0 von f (x) = log(x + ), f

Mehr

Wo liegen die Unterschiede?

Wo liegen die Unterschiede? 0 VERGLEICH VON MSA UND VDA BAND 5 Wo liegen die Unterschiede? MSA steht für Mesurement System Anlysis. Dieses Dokument wurde erstmls 1990 von der Automotive Industry Action Group (AIAG) veröffentlicht.

Mehr

311 Leistungsanpassung

311 Leistungsanpassung Physiklisches Grundprktikum 311 Leistungsnpssung 1. Aufgben 1.1 Mit einem Wechselspnnungsgenertor ist ein Verbrucher (Schiebewiderstnd) zu speisen. Dessen Leistungsufnhme P ist in Abhängigkeit seines Widerstndswertes

Mehr

A.25 Stetigkeit und Differenzierbarkeit ( )

A.25 Stetigkeit und Differenzierbarkeit ( ) A.5 Stetigkeit / Differenzierbrkeit A.5 Stetigkeit und Differenzierbrkeit ( ) Eine Funktion ist wenn die Kurve nicht unterbrochen wird, lso wenn mn sie zeichnen knn, ohne den Stift vom Bltt bzusetzen.

Mehr

JUSTUS-LIEBIG-UNIVERSITÄT GIESSEN

JUSTUS-LIEBIG-UNIVERSITÄT GIESSEN JUSTUS-LIEBIG-UNIVERSITÄT GIESSEN Professur für VWL II Wolfgng Scherf Die Exmensklusur us der Volkswirtschftslehre Erschienen in: WISU 8-9/2000, S. 1163 1166. Fchbereich Wirtschftswissenschften Prof. Dr.

Mehr

Analysis 2. Mitschrift von www.kuertz.name

Analysis 2. Mitschrift von www.kuertz.name Anlysis 2 Mitschrift von www.kuertz.nme Hinweis: Dies ist kein offizielles Script, sondern nur eine privte Mitschrift. Die Mitschriften sind teweilse unvollständig, flsch oder inktuell, d sie us dem Zeitrum

Mehr

Entwurf und Realisierung analoger und digitaler Filter

Entwurf und Realisierung analoger und digitaler Filter Signl- und Messwert- Verrbeitung Dr. K. Schefer Entwurf und Relisierung nloger und digitler Filter Im Rhmen dieses Versuchs wollen wir uns mit der Dimensionierung von nlogen und digitlen Filtern und mit

Mehr

Wurzeln. bestimmen. Dann braucht man Wurzeln. Treffender müsste man von Quadratwurzeln sprechen. 1. Bei Quadraten, deren Fläche eine Quadratzahl ist,

Wurzeln. bestimmen. Dann braucht man Wurzeln. Treffender müsste man von Quadratwurzeln sprechen. 1. Bei Quadraten, deren Fläche eine Quadratzahl ist, Seitenlängen von Qudrten lssen sich mnchml sehr leicht und mnchml etws schwerer Wurzeln bestimmen. Dnn brucht mn Wurzeln. Treffender müsste mn von Qudrtwurzeln sprechen. Sie stehen in enger Beziehung zu

Mehr

Das Coulombsche Gesetz

Das Coulombsche Gesetz . ei r = 0 befindet sich eine Ldung Q = 4,0nC und bei r = 40cm eine Ldung Q = 5,0nC ortsfest, so dss sie sich nicht bewegen können. Ds Coulombsche Gesetz Q = 4,0nC Q = 5,0nC r Lösung: Wo muss eine Ldung

Mehr

Ü b u n g s b l a t t 13. Organisatorisches:

Ü b u n g s b l a t t 13. Organisatorisches: MATHEMATIK FÜ INFOMATIKE I WINTESEMESTE 7/8 POF. D. FIEDICH EISENBAND D. KAI GEHS Ü b u n g s b l t t 13 Orgnistorisches: Dieses Übungsbltt wir nicht mehr korrigiert. D ie Aufgben ennoch klusurrelevnt

Mehr

Analysis 2. Vorlesungsskript Sommersemester 2014. Bernd Schmidt. Version vom 15. Oktober 2014

Analysis 2. Vorlesungsskript Sommersemester 2014. Bernd Schmidt. Version vom 15. Oktober 2014 Anlysis 2 Vorlesungsskript Sommersemester 214 Bernd Schmidt Version vom 15. Oktober 214 Institut für Mthemtik, Universität Augsburg, Universitätsstr. 14, 86135 Augsburg, bschmidt@mth.uni-ugsburg.de 1 Inhltsverzeichnis

Mehr

Analysis I Probeklausur 2

Analysis I Probeklausur 2 WS /2 Mriescu/ Ert Alysis I Probeklusur 2. Aufgbe Die Folge (x ) N sei rekursiv defiiert durch x =, x + = 2+x. () Beweise, dss die Folge (x ) N streg mooto wchsed ist. (b) Beweise, dss (x ) N durch 2 ch

Mehr

Kapitel 4. Duale Vektorräume. 4.1 Elementare Vorbemerkungen

Kapitel 4. Duale Vektorräume. 4.1 Elementare Vorbemerkungen Kpitel 4 Dule Vektorräume Zu jedem Vektorrum V gehört der Vektorrum ller lineren Abbildungen von V in seinen Sklrkörper; diese Abbildungen heißen uch Linerformen und bilden den zu V dulen Vektorrum V.

Mehr

Automaten und Formale Sprachen alias Theoretische Informatik. Sommersemester 2012. Sprachen. Grammatiken (Einführung)

Automaten und Formale Sprachen alias Theoretische Informatik. Sommersemester 2012. Sprachen. Grammatiken (Einführung) Wörter, Grmmtiken und die Chomsky-Hierrchie Sprchen und Grmmtiken Wörter Automten und Formle Sprchen lis Theoretische Informtik Sommersemester 2012 Dr. Snder Bruggink Üungsleitung: Jn Stückrth Alphet Ein

Mehr

Numerische Mathematik I

Numerische Mathematik I Numerische Mthemtik I Dr. Wolfgng Metzler Universität Kssel unter Mitwirkung von Dipl.-Mth. Mrtin Steigemnn Sommersemester 2005 ii c 2005 Dr. Wolfgng Metzler, Fchbereich Mthemtik und Informtik der Universität

Mehr

x usw., wie oben unter 1.) behauptet.]

x usw., wie oben unter 1.) behauptet.] [Anmerkung zur Berechnung im Beispiel: Ersetzen wir die Zhlen der AzM durch die Koeffizienten, 2, 2 und 22, so lässt sich die Rechnung sowohl für ) ls uch b) gnz nlog durchführen, und es ergibt sich z.

Mehr

Definition Suffixbaum

Definition Suffixbaum Suffix-Bäume Definition Suche nch einer Menge von Mustern Längste gemeinsme Zeichenkette Pltzreduktion Suffixbäume für Muster Alle Pre Suffix-Präfix Übereinstimmung Sich wiederholende Strukturen Definition

Mehr

9 Das Riemannsche Integral

9 Das Riemannsche Integral 1 9 Ds Riemnnsche Integrl 9.1 Definition und Beispiele Sei I = [, ] R mit

Mehr

Analysis I im SS 2011 Kurzskript

Analysis I im SS 2011 Kurzskript Anlysis I im SS 2011 Kurzskript Prof. Dr. C. Löh Sommersemester 2011 Inhltsverzeichnis -2 Literturhinweise 2-1 Einführung 4 0 Grundlgen: Logik und Mengenlehre 5 1 Zählen, Zhlen, ngeordnete Körper 14 2

Mehr

4 Stetigkeit. 4.1 Intervalle

4 Stetigkeit. 4.1 Intervalle 4 Stetigkeit Der Grenzwertbegriff für Zhlenfolgen lässt sich uf Funktionen übertrgen. Funktionen (oder Abbildungen) wren bereits im Kpitel über Mengen ufgetreten. Hier wird nun der Fll betrchtet, dss Definitionsbereich

Mehr

Versuchsumdruck. Schaltungsvarianten des Operationsverstärkers

Versuchsumdruck. Schaltungsvarianten des Operationsverstärkers Hchschule STDIENGANG Wirtschftsingenieurwesen Bltt n 6 Aschffenburg Prf. Dr.-Ing.. Bchtler, Armin Huth Versuch 2 Versin. m 23.3.2 Versuchsumdruck Schltungsrinten des Opertinserstärkers Inhlt Verwendete

Mehr