Aufgaben im Mathematikunterricht

Transkript

1 Aufgaben im Mathematikunterricht K I N G A S Z Ü C S F R I E D R I C H - S C H I L L E R - U N I V E R S I T Ä T J E N A F A K U L T Ä T F Ü R M A T H E M A T I K U N D I N F O R M A T I K A B T E I L U N G D I D A K T I K

2 Inhalt Rolle der Aufgaben im MU Forderungen an Aufgaben einige Aufgabentypen Aufgabenmerkmale Schwerpunkt: Differenzierung Literatur

3 Rolle der Aufgaben im MU Häufigste Anlässe für math. Aktivitäten im Unterricht Ausgangspunkt für Entdecken, Problemlösen, Anwenden, Modellieren In Klassenarbeiten Instrument der Leistungsmessung und rückmeldung Elementare Gliederungseinheiten in Schulbüchern ( latenter Lehrplan) Didaktische Sinneinheiten in der Kommunikation über MU Unerlässliches Instrument der Unterrichtsentwicklung (z.b. bei Lehrerfortbildungen)

4 Forderungen an Aufgaben Möglichkeit zum aktiventdeckenden Lernen ( Konstruktivismus!) Vermittlung eines stimmigen, authentischen Bildes von Mathematik (Sinnzusammenhänge, aber auch Grenzen der Mathematik. Anwendungen, Modellierung) Möglichkeit, Mathematik in einem sozialen Kontext zu lernen (kommunizieren, argumentieren, voneinander lernen)

5 Einige Aufgabentypen Modellierungsaufgaben

6 Einige Aufgabentypen Problemlöseaufgaben Gegeben ist ein Halbkreis mit Radius r. Gesucht ist ein Quadrat, das derart in den Halbkreis einbeschrieben werden kann, dass zwei benachbarte Ecken auf dem Durchmesser und zwei weitere Ecken auf dem Kreisbogen liegen. Gegeben ist eine Halbkugel mit Radius r. Gesucht ist ein Würfel, der derart in die Halbkugel einbeschrieben werden kann, dass eine Seitenfläche auf der Grundfläche der Halbkugel und vier weitere Ecken auf der Kugeloberfläche liegen. Gegeben ist ein Dreieck. Gesucht ist ein Quadrat, das derart ins Dreieck einbeschrieben werden kann, dass zwei benachbarte Ecken auf einer Seite und zwei weitere Ecken auf je einer Seite des Dreiecks liegen.

7 Einige Aufgabentypen Argumentationsaufgaben

8 Einige Aufgabentypen Aufgaben zur Begriffsbildung Erfahrungen sammeln: Untersuche die Buchstaben des Alphabets! Welche Buchstaben sind deiner Meinung nach symmetrisch, welche nicht? Strukturieren: Fertige eine Übersicht über deine Ergebnisse an! Sortiere deine Ergebnisse bzw. fasse sie in Gruppen zusammen! Wähle typische Beispiele der Gruppen aus!

9 Einige Aufgabentypen Abgrenzen, Definieren Hier ist der Buchstabe B. Gehört er in die Gruppe der symmetrischen Buchstaben? In welche Gruppe hast du den Buchstaben Z eingeordnet? Was haben alle Dinge in einer Gruppe zusammen? Woran erkennt man, ob ein Ding zu dieser Gruppe gehört? Wie könnte man entscheiden, ob ein Ding in diese Gruppe gehört?

10 Einige Aufgabentypen Einordnen, Vernetzen, Systematisieren Wie viele punktsymmetrische Buchstaben gibt es, die eckig sind (keine runde Linien enthalten)? Gibt es Buchstaben, die punktsymmetrisch, aber nicht achsensymmetrisch sind? Übertragen, reflektieren Untersuche, inwieweit die Begriffe Achsensymmetrie und Punktsymmetrie auf ebene Figuren, Körper, Funktionen usw. angewendet werden können. Finde eine andere Definition der Punktsymmetrie! Zeige die Äquivalenz der beiden Definitionen!

11 Aufgabenmerkmale Authentizität Authentisch vs. Gekünstelt, sog. eingekleidete Aufgabe Kriterien: Bild von Mathematik, Bildungsziele, Qualität der Tätigkeiten)

12 Aufgabenmerkmale

13 Aufgabenmerkmale Offenheit Offene vs. geschlossene Aufgaben Kriterium: Ausgangszustand, Endzustand, Weg dazwischen nicht alle eindeutig bestimmt

14 Offene Aufgaben im weiteren Sinne Offene Aufgaben nach Bruder 1 Ausgang s- zustand Weg Endzustand Aufgabentyp Vollständig gelöste Aufgabe Grundaufgabe Umkehrung einer bekannten Aufgabe Begründungs-, Beweisoder Strategiefindungsaufgabe Problemaufgabe Umkehrung einer Problemaufgabe Aufforderung zum Erfinden einer Aufgabe zu einem math. Thema Problemsituation (offene A. im engeren Sinne) Bruder, 2000

15 Vollständig gelöste Aufgabe - Musteraufgabe Bestimme die Lösungsmenge durch eine Tabelle: 2x+1=x+3 2 x x x X=2, da die Werte der Terme in der Spalte von 2 übereinstimmen. Schnittpunkt 5, Mathematik für Regelschulen in Thüringen, Leipzig: Klett, 1995, S. 98

16 Vollständig gelöste Aufgabe Variante: Bestimme die Lösungsmenge durch eine Tabelle: 2x+1=x+3 Kai hat die Aufgabe so gelöst: X x x Ist er richtig vorgegangen? Überprüfe!

17 Umkehrung einer Grundaufgabe Kai hat folgende Tabelle erstellt: x Und x=2 als Lösung ermittelt, da die Werte der Terme in der Spalte von 2 übereinstimmen. Bestimme die fehlenden Tabellenbeschriftungen! Welche Gleichung wollte Kai lösen?

18 Umkehrung einer Problemaufgabe Kai hat rausgefunden, dass x=2 die Lösung einer (lin.) Gleichung ist. Wie konnte die Gleichung aussehen?

19 Begründungs-, Beweis- oder Strategiefindungsaufgabe Kai hat rausgefunden, dass x=2 die Lösung der Gleichung 2x+1=x+3 ist. Wie konnte er die Lösung ermitteln? Finde möglichst viele verschiedene Lösungswege!

20 Aufgabenmerkmale Differenzierungsvermögen Äußere Differenzierung: Homogenisierung der Lerngruppe ( Fiktion) innere Differenzierung: Anpassung des Unterrichts an die individuelle Bedürfnisse der Schüler Eine passgenaue Ausrichtung jeder einzelnen Aufgabe auf einen Schüler ist prinzipiell nicht möglich Konsequente, durchgehende Individualisierung des Lernprozesses führt zum Einzelunterricht im Klassenraum und verfehlt die sozialen Ziele des Unterrichts sollte nicht praktiziert werden!

21 Aufgaben mit gestuften Anforderungsniveaus Eine Aufgabe wird in Teilaufgaben mit steigendem Schwierigkeitsgrad untergliedert. Teilaufgaben bauen aufeinander auf, sind nicht unabhängig! Zu einem Kontext werden mehrere Teilaufgaben formuliert. Teilaufgaben können voneinander unabhängig sein!

22 Aufgaben mit gestuften Anforderungsniveaus

23 Parallele Aufgaben sog. Plantageaufgaben Aufgaben mit unterschiedlichen Zugängen Veränderung bestimmter Aufgabenparameter (Fülle, Abstraktion, Komplexität) Gruppenexploration

24 Parallele Aufgaben

25 Parallele Aufgaben

26 Selbstdifferenzierende Aufgaben Alle können in allen Teilaufgaben zufriedenstellend arbeiten SchülerInnen wählen selbst das Abstraktionsniveau, Lösungstiefe (!) Vom Konkreten zum Abstrakten (Systematisieren, Argumentieren, Begriffsbildung)

27 Literatur Bruder. R (2000): Akzentuierte Aufgaben und heuristische Erfahrungen. In: Herget/Flade (2000): Lehren und Lernen nach TIMSS. Berlin. Büchter, A./Leuders, T. (2011): Mathematikaufgaben selbst entwickeln. Lernen fördern Leistung überprüfen. Berlin: Cornelsen Scriptor. Schnittpunkt 5, Mathematik für Regelschulen in Thüringen, Leipzig: Klett, 1995, S. 98