F u n k t i o n e n Potenzfunktionen

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Lorenz Kuntz
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1 F u n k t i o n e n Potenzfunktionen Die Kathedrale von Brasilia steht in der brasilianischen Hauptstadt Brasilia wurde von Oscar Niemeyer (*907 in Rio de Janeiro). Die Kathedrale von Brasilia besteht aus Beton und Glas und zeichnet sich durch ihre hyperbolische Form aus. Der Bau ist kreisrund und hat einen Durchmesser von 70 Metern.

2 Einführung Aufgabe : Wir betrachten folgende Funktionen: i) y = x 0 ii) y = x iii) y = x 4 iv) y = x v) y = x vi) y = x vii) y = x viii) y = x ix) y = x x) y = a) Was ist an diesen Funktionsgleichungen gleich? Was ist anders? b) Überlege dir, wie die Grafen aussehen, und skizziere sie in einem Koordinatensystem. c) Welchen Definitions- und Wertebereich haben die Funktionen? d) Gehen die Funktionen durch spezielle Punkte? e) Sind diese Funktionen symmetrisch? Sind sie steigend oder fallend? f) Haben die Funktionen einen Namen? x Funktionen: Potenzfunktionen Seite (November )

b) Überlege dir, wie die Grafen aussehen, und skizziere sie in einem Koordinatensystem.

3 Funktionen: Potenzfunktionen Seite (November )

4 Definition: Die Potenzfunktionen sind Funktionen der Potenzoperation bei denen das Argument ist und konstant. f ( x ) =... p... Wir können folgende wichtigen Fälle für den Exponenten p unterscheiden: p > p = < p < p = p <. f(x) = x und f (x) = x Die folgenden wichtigen Namen werden gegeben: Parabeln Hyperbeln Wurzeln ( ganze Exponenten) ( ganze Exponenten) ( Exponent) D =. D =. D =. Funktionen: Potenzfunktionen Seite 4 (November )

f(x) = x und f (x) = x Die folgenden wichtigen Namen werden gegeben: Parabeln Hyperbeln Wurzeln ( ganze

5 Bei ganzzahligen Potenzfunktionen gibt es wichtige Symmetrieeigenschaften: Symmetrische Funktionen Antisymmetrische Funktionen ( Exponenten) ( Exponenten) Definition: Eine Funktion heisst symmetrisch (oder achsensymmetrisch), wenn gilt f( x) = f(x) antisymmetrisch (oder punktsymmetrisch), wenn gilt f( x) = f(x) Wichtige Punkte auf der Potenzfunktion: Punkt P( ) Punkt P( ) für p >. Die Potenzfunktionen sind im Allgemeinen nur abschnittsweise streng monoton Definition: Eine Funktion heisst streng monoton steigend, wenn für x < x gilt f(x ) < f(x ) streng monoton fallend, wenn für x < x gilt f(x ) > f(x ) Funktionen: Potenzfunktionen Seite 5 (November )

der Potenzfunktion: Punkt P( ) Punkt P( ) für p >.

6 Schnittpunkte von Funktionen Aufgabe : Stelle graphisch dar und berechne die Schnittpunkte der beiden Kurven: a) f: y = 0.5x.5 g: y = x b) f: y = 4x 0.5 g: y = x.5 c) f: y = x 0.5 g: y = x Punkte auf Funktionen Aufgabe : Für welche Exponenten p geht der Graf von y = x p durch den Punkt: a) ( 6) b) ( 8) c) ( ) d) ( 0.5) e) (64 4) Aufgabe 4: Für welchen Exponent p geht der Graf von y = x p durch den Punkt: a) ( 8) b) ( 8) c) ( 8) d) ( 8) Aufgabe 5: Für welchen Exponent p geht der Graf von y = x p durch den Punkt: a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( ) e) (0 0) f) (0 ) g) ( 0) h) ( ) i) ( ) Translationen und Spiegelungen von Funktionen Aufgabe 6: Skizziere folgende Grafen. Sie sind durch Verschiebung aus einer Potenzfunktion hervorgegangen. Überlege also gut, wie die Kurve verschoben wurde und dann fällt es dir vielleicht einfacher, die Kurven zu skizzieren. Gib an um, wie viel sie verschoben wurden. a) y = ( ) x + b) y = ( ) 0.5 x c) y = ( x 4) d) y = ( ) x 4 Aufgabe 7: Spiegle die Kurve f mit der Gleichung y = x 0.4 an der a) x-achse b) y-achse c) Geraden y = x und gib die Gleichung der gespiegelten Kurve an und skizziere den Grafen. Monotonie Aufgabe 8: Welche der folgenden Funktionen sind auf der Definitionsmenge D monoton? Welche Art von Monotonie liegt gegebenenfalls vor (wachsend oder fallend)? a) f(x) = x D = + b) f(x) = x D = c) f(x) = x D e) f(x) = x D = d) f(x) = x 0 D= + = f) f(x) = x D = g) f(x) = x D = \{ 0} h) f(x) = x D = \{ 0} Funktionen: Potenzfunktionen Seite 6 (November )

5) e) (64 4) Aufgabe 4: Für welchen Exponent p geht der Graf von y = x p durch den Punkt: a) ( 8) b) ( 8) c) ( 8) d) ( 8) Aufgabe 5: Für welchen Exponent p geht der Graf von y = x p durch den Punkt:

7 Umkehrfunktionen Aufgabe 9: Bestimme zu der gegebenen Funktion f(x) die Umkehrfunktion f (x). a) f(x) = x + D = {x x 0} b) f(x) = (x ) 5 D = {x x } c) f(x) = (x ) 5 D = {x x < } d) f(x) = 5 x 4 D = {x x 0} e) f(x) = 6 x + 5 D = {x 8 x 7} f) f(x) = ( x ) + + D= [, + ] Gib die Definitionsmenge der Umkehrfunktion an. Funktionenscharen Aufgabe 0: Wir betrachten die Funktionenschar f(x) = (x + a) / + b, wobei die Parameter a und b reelle Zahlen sind. a) Berechne die Parameter a und b so, dass der Graph von f durch die beiden Punkte P( ) und Q(6 4) geht. b) Bestimme von der gefundenen Funktion f den Definitionsbereich und die Nullstellen. c) Bestimme f. Stelle f und f graphisch dar. Aufgabe : Wir betrachten die Funktionenschar f(x) = 4x a + b, wobei die Parameter a und b reelle Zahlen sind. Die Funktion hat zwei Fixstellen f() = und f(4) = 4. Bestimme die Parameter a und b. Eine Gleichung musst du durch Ausprobieren lösen. Funktionen: Potenzfunktionen Seite 7 (November )

der Umkehrfunktion an. Funktionenscharen Aufgabe 0: Wir betrachten die Funktionenschar f(x) = (x + a) / + b, wobei die Parameter a und b reelle Zahlen sind.

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