Symmetrie Thematisch geordnete Aufgaben mit ausführlichem Lösungsweg
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- Barbara Eike Fertig
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1 Übungn zum Kurs Symmtri Übungn Symmtri Thmatisch gordnt Aufgabn mit ausführlichm Lösungswg Vorab-Tstvrsion vom / 17.h Copyright by
2 Übungn zum Kurs Symmtri 1.Di folgndn Funktionn sind ntwdr ursprungssymmtrisch zum Ursprung odr achsnsymmtrisch zur yachs. Bwis dis rchnrisch: 4 a) f() 8 6 b) f() c) f() 6 4 d) f() ) f() 5 f) f() 7 g) f() 1 h) f() 1 i) f().bwis, dass di anggbn Achs in Symmtriachs ist: a) f() 6 Achs: 1 b) f() 4 48 Achs: 4 c) f() 8 8 Achs: d) f() 5 6 Achs: 1 ) f() 6 Achs: f) f() 1 Achs: 1
3 Übungn zum Kurs Symmtri.Bwis, dass dr anggbn Punkt in Symmtripunkt ist: Man kann dis Aufgabn mit zwi vrschidnn Formln lösn. Es sind jwils di Lösungswg für bid Formln anggbn. a) 5 f() P(, ) b) c) f() 1 4 f() 1 P( 11, ) P( 14, ) d) ) f) f() f() 8 f() P( 1, ) P(, ) P ( 4, ) 1 g) f() P 7 7, 1 h) f() P ( 15, ) i) j) 6 f() 4 f() 1 P (, ) P( 1, ) k) L) f() P(, ) f() P( 1, )
4 Übungn zum Kurs Symmtri 4.Bwis, dass di folgndn Funktionnscharn (a und b sind Paramtr) zum ggbnn Punkt P symmtrisch sind: a) b) c) d) ) a f() P ( lna, ) a b b f() P lna, a a 1 f() P lna, a b b f() P lna, a b ln a b f () P, a
5 Übungn zum Kurs Symmtri Lösung zu 1a Ggbn: 4 f() Lösungswg: Wir bstimmn f : 4 f() Bid Potnzn habn grad Eponntn, und dahr falln di Minuszichn in dn Klammrn wg : 4 f( ) Vrglicht man di rcht Sit mit dr ggbnn Glichung, so rknnt man, dass di rcht Sit dr Glichung mit f ( ) übrinstimmt. Wir rstzn dahr di rcht Sit dr Glichung durch dn Ausdruck f ( ) : f( ) f() Ergbnis: Di ltzt Glichung ist di Forml für grad Funktionn. Di ggbn Funktion ist somit bnsfalls grad (achsnsymmtrisch zur y-achs).
6 Übungn zum Kurs Symmtri Lösung zu 1b Ggbn: 8 6 f() 1 Lösungswg: Wir bstimmn f : 8 6 f() 1 Bid Potnzn habn grad Eponntn, und dahr falln di Minuszichn in dn Klammr wg : 8 6 f( ) 1 Vrglicht man di rcht Sit mit dr ggbnn Glichung, so rknnt man, dass di rcht Sit dr Glichung mit f ( ) übrinstimmt : f( ) f() Ergbnis: Di ltzt Glichung ist di Forml für grad Funktionn. Di ggbn Funktion ist somit bnsfalls grad (achsnsymmtrisch zur y-achs).
7 Übungn zum Kurs Symmtri Lösung zu 1c Ggbn: f() 5 7 Lösungswg: Wir bstimmn f : 5 7 f() Bid Potnzn habn ungrad Eponntn, und für n solch Potnzn gilt aufgrund dr Vorzichnrgln: 5 7 f( ) Jtzt kann man di Klammrn auflösn: 5 7 f( ) Wir klammrn 1 aus: 5 7 ( ) f( ) Vrglicht man di Klammr mit dr ggbnn Glichung, so rknnt man, dass di Klammr dr Glichung mit f ( ) übrinstimmt : f( ) f() Ergbnis: Di ltzt Glichung ist di Forml für ungrad Funktionn. Di ggbn Funktion ist somit bnsfalls ungrad (punktsymmtrisch zum Ursprung). n
8 Übungn zum Kurs Symmtri Lösung zu 1d Ggbn: f() Lösungswg: Wir bstimmn f : 6 4 f() Bid Potnzn habn grad Eponntn, und dahr falln di Minuszichn in dn Klammr wg : 6 4 f( ) Vrglicht man di rcht Sit mit dr ggbnn Glichung, so rknnt man, dass di rcht Sit dr Glichung mit f ( ) übrinstimmt : f( ) f() Ergbnis: Di ltzt Glichung ist di Forml für grad Funktionn. Di ggbn Funktion ist somit bnsfalls grad (achsnsymmtrisch zur y-achs).
9 Übungn zum Kurs Symmtri Lösung zu 1 Ggbn: 9 f() Lösungswg: Wir bstimmn f : 9 f() 9 Di Potnz hat inn ungradn Eponntn 9 f( ) Für solch Potnzn gilt aufgrund dr Vorzichnrgln : Jtzt kann man di Klammrn auflösn: 9 f( ) Wir klammrn 1 aus: 9 ( ) f( ) Vrglicht man di Klammr mit dr ggbnn Glichung, so rknnt man, dass di Klammr dr Glichung mit f ( ) übrinstimmt. Wir rstzn also di Klammr durch dn Ausdruck f ( ) : f( ) f() Ergbnis: Di ltzt Glichung ist di Forml für ungrad Funktionn. Di ggbn Funktion ist somit bnsfalls ungrad (punktsymmtrisch zum Ursprung). n n
10 Übungn zum Kurs Symmtri Lösung zu 1f Ggbn: f() 7 5 Lösungswg: Wir bstimmn f : 5 f() 7 Bid Potnzn habn inn ungradn Eponntn. Für solch Potnzn gilt aufgrund dr Vorzichnrgln : n 5 f( ) 7 Jtzt kann man di Klammrn auflösn: 5 f( ) 7 Wir klammrn 1 aus: 5 ( 7 ) f( ) Vrglicht man di Klammr mit dr ggbnn Glichung, so rknnt man, dass di Klammr dr Glichung mit f ( ) übrinstimmt. Wir rstzn also di Klammr durch dn Ausdruck f ( ) : f( ) f() Ergbnis: Di ltzt Glichung ist di Forml für ungrad Funktionn. Di ggbn Funktion ist somit bnsfalls ungrad (punktsymmtrisch zum Ursprung). n
11 Übungn zum Kurs Symmtri Lösung zu 1g Ggbn: f() Lösungswg: Wir bstimmn f : f() Di bidn ngativn Vorzichn hbn sich auf: f Vrglicht man di rcht Sit dr Glichung mit dr ursprünglichn Glichung, so siht man, dass di rcht Sit f() ntspricht. Wir rstzn dahr di rcht Sit durch dn Ausdruck f(): f( ) f() Ergbnis: Di ltzt Glichung ist di Forml für in grad Funktionn. Di ggbn Funktion ist somit bnsfalls grad (achsnsymmtrisch zur y-achs).
12 Übungn zum Kurs Symmtri Lösung zu 1h Ggbn: f() 1 1 Lösungswg: Wir bstimmn f : f() 1 1 Dfinition ngativr Eponntn anwndn : 1 1 f( ) 1 1 Im Zählr und im Nnnr jwils auf dn Hauptnnnr bringn : 1 1 f( ) 1 1 Dopplbruch bsitign ( Mit Khrwrt ds Nnnrs multiplizirn ) : 1 f( ) 1 Auf inn Buchstrich bringn : f( ) Kürz : ( 1 ) ( 1 ) 1 f( ) 1 Im Nnnr 1 ausklammrn : 1 f ( ) 1 Minuszichn vor dn Bruchzihn : f( ) 1 1 Dr Bruch ntspricht f ( ) : f( ) f() Ergbnis: Di ltzt Glichung ist di Forml für ungrad Funktionn. Di ggbn Funktion ist somit bnsfalls ungrad ( punktsymmtrisch zum Ursprung ).
13 Übungn zum Kurs Symmtri Lösung zu 1i Ggbn: f() Lösungswg: Wir bstimmn f(): () f() () Vorzichn vrinfachn: f( ) Im Nnnr 1 ausklammrn, im Zählr Rihnfolg vrändrn (Kommutativgstz anwndn): f( ) Das "Minus" vor dr Klammr vor dn Bruch schribn : f( ) Dr Bruch ntspricht f(), dahr dn Bruch durch dn Ausdruck f() rstzn : f( ) f() Ergbnis: Di ltzt Glichung ist di Forml für ungrad Funktionn. Di ggbn Funktion ist somit bnsfalls ungrad ( punktsymmtrisch zum Ursprung ).
14 Übungn zum Kurs Symmtri Lösung zu a Ggbn: f() 6 und 1 Lösungswg mit Forml f f: Bi disr Variant dr Lösung bnutzn wir di Forml f( ) f( ). Wir brchnn f und f und vrglichn bid Wrt: f(1) f(1) f und f sind glich, also ist di Funktion wirklich zu 1 symmtrisch. Lösungswg mit Forml f() f( ): Bi disr Variant dr Lösung bnutzn wir di Forml f() f: Wil bid Sitn dr Glichung glich sind, ist di Symmtri zur Achs 1 bwisn.
15 Übungn zum Kurs Symmtri Lösung zu b Ggbn: f() 4 48 und 4 Lösungswg mit Forml f f( ): Bi disr Variant dr Lösung bnutzn wir di Forml f( ) f( ). Wir brchnn f und f und vrglichn bid Wrt: f(4) (4) 4(4) 48 f(4) (4) 4(4) f und f sind glich, also ist di Funktion wirklich zu 4 symmtrisch. Lösungswg mit Forml f() f( ): Bi disr Variant dr Lösung bnutzn wir di Forml f() f: ( ) ( ) Wil bid Sitn dr Glichung glich sind, ist di Symmtri zur Achs 4 bwisn.
16 Übungn zum Kurs Symmtri Lösung zu c Ggbn: f() 8 8 und Lösungswg mit Forml f f( ): Bi disr Variant dr Lösung bnutzn wir di Forml f( ) f( ). Wir brchnn f und f und vrglichn bid Wrt: f() f() () 8() 8 () 8() 8 (44 ) () f und f sind glich, also ist di Funktion wirklich zu symmtrisch. Lösungswg mit Forml f() f( ): Bi disr Variant dr Lösung bnutzn wir di Forml f() f( ): ( 4 ) 8( 4 ) ( ) ( 8 ) Wil bid Sitn dr Glichung glich sind, ist di Symmtri zur Achs bwisn.
17 Übungn zum Kurs Symmtri Lösung zu d Ggbn: f() 5 6 und 1 Lösungswg mit Forml f f: Bi disr Variant dr Lösung bnutzn wir di Forml f( ) f( ). Wir brchnn f( ) und f( ) und vrglichn bid Wrt: 5 5 f(1) f(1) (1) 6(1) (1) 6(1) 5 5 (1) 6 6 (1) (1 ) 6 6 (1 ) f und f sind glich, also ist di Funktion wirklich zu 1 symmtrisch. Lösungswg mit Forml f() f( ): Bi disr Variant dr Lösung bnutzn wir di Forml f() f( ): ( ) 6( 1 ) ( ) 6 ( ) ( ) ( 4 ) Wil bid Sitn dr Glichung glich sind, ist di Symmtri zur Achs 1 bwisn.
18 Übungn zum Kurs Symmtri Lösung zu Ggbn: f() 6 und Lösungswg mit Forml f f: Bi disr Variant dr Lösung bnutzn wir di Forml f( ) f( ). Wir brchnn f und f und vrglichn bid Wrt: 6 6 f() f() ( 9 6 ) 6 ( ) ( 9 6 ) 6 ( ) f( ) und f( ) sind glich, also ist di Funktion tatsächlich zu symmtrisch. ( ) 6( ) ( ) ( 6 ) 6( 6 ) Lösungswg mit Forml f() f( ): Bi disr Variant dr Lösung bnutzn wir di Forml f() f: Wil bid Sitn dr Glichung glich sind, ist di Symmtri zur Achs bwisn.
19 Übungn zum Kurs Symmtri Lösung zu f Ggbn: f() 1 und 1 Lösungswg mit Forml f f: Bi disr Variant dr Lösung bnutzn wir di Forml f( ) f( ). Wir brchnn f( ) und f( ) und vrglichn bid Wrt: 1 ( ) 1 ( ) f(1) f(1) ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1) ( 1) 1 1 f und f sind glich, also ist di Funktion wirklich zu 1 symmtrisch. Lösungswg mit Forml f() f( ): Bi disr Variant dr Lösung bnutzn wir di Forml f() f( ): 1 ( ) 1 ( 1 ) ( 1) ( 1) 1 ( ) 1 1 Wil bid Sitn dr Glichung glich sind, ist di Symmtri zur Achs 1 bwisn.
20 Übungn zum Kurs Symmtri Lösung zu a - Lösungsvariant 1 Ggbn: f() 5 und P(,) Lösungswg mit Forml fy fy : Bi disr Variant dr Lösung bnutzn wir di Forml fy fy Wir brchnn f( ) y und f( )y und vrglichn bid Wrt: f( ) ( ) 5 ( ) Klammrn auflösn 65 vrinfachn 1 glichnamig Brüch rzugn 1 Brüch subtrahirn 1 vrinfachn 1 f( ) ( ) 5 ( ) Klammrn auflösn 65 vrinfachn 1 Minuszichn in Nnnr bringn 1 () Klammr auflösn 1 glichnamig Brüch rzugn 1 Brüch addirn 1 f( )y und f( )y sind glich, also ist di Funktion tatsächlich punktsymmtrisch zu P(/).
21 Übungn zum Kurs Symmtri Lösung zu a - Lösungsvariant Lösungswg mit Forml f() y f: Bi disr Variant dr Lösung bnutzn wir di Forml f() y f( ) Wir stzn di ggbnn Wrt in di Forml in und übrprüfn, ob in wahr Aussag ntstht: 5 ( 6 )5 vrinfachn und ( 6 ) Klammrn auflösn 7 4 auf glichn Nnnr bringn 4 7 Klammr aufösn 14 7 Bruch subtrahirn 14 ( 7 ) Klammr auflösn 14 7 vrinfachn 5 Bruch mit 1 rwitrn 5 5 Wil bid Sitn dr Glichung glich sind, ist bwisn, dass di Funktion punktsymmtrisch zu P(/) ist.
22 Übungn zum Kurs Symmtri Lösung zu b - Lösungsvariant 1 Ggbn: f() 1 und P(1,1) Lösungswg mit Forml fy fy : Bi disr Variant dr Lösung bnutzn wir di Forml fy fy Wir brchnn f( ) y und f( )y und vrglichn bid Wrt: f(1 ) 1 (1 ) 1 (1 ) 1 Klammrn auflösn 1 glichnamig 1 Brüch rzugn 1 1 Bruch subtrahirn 1 vrinfachn 1 (1 ) f(1 ) 1 1 vrinfachn (1 ) 1 1 Minuszichn in dn 1 Nnnr bringn 1 Klammr 1 () bsitign 1 in glichnamig 1 Brüch umwandln 1 1 Brüch addirn und vrinfachn 1 f( )y und f( )y sind glich, also ist di Funktion tatsächlich punktsymmtrisch zu P(1/1).
23 Übungn zum Kurs Symmtri Lösung zu b - Lösungsvariant Ggbn: f() 1 und P(1,1) Lösungswg mit Forml f() y f: Bi disr Variant dr Lösung bnutzn wir di Forml f() y f( ) Wir stzn di ggbnn Wrt in di Forml in und übrprüfn, ob in wahr Aussag ntstht: () Klammrn auflösn und vrinfachn 1 (1) auf glichn Nnnr bringn subtrahirn Klammr auflösn vrinfachn Bruch mit 1 rwitrn Wil bid Sitn dr Glichung glich sind, ist bwisn, dass di Funktion punktsymmtrisch zu P(1/ 1) ist.
24 Übungn zum Kurs Symmtri Lösung zu c - Lösungsvariant 1 Ggbn: f() 4 1 und P(1,4) Lösungswg mit Forml fy fy : Bi disr Variant dr Lösung bnutzn wir di Forml fy fy Wir brchnn f( ) y und f( )y und vrglichn bid Wrt: 41 f(1 ) 4 4 Klammrn auflösn vrinfachn auf glichn Nnnr bringn und addirn vrinfachn 1 f(1 ) 4 4(1 ) 4 (1 ) 1 Klammrn auflösn 44 4 vrinfachn Minuszichn in dn Nnnr bringn () Nnnr vrinfachn glichnamig machn Brüch addirn 1 44 vrinfachn 1 f( )y und f( )y sind glich, also ist di Funktion tatsächlich punktsymmtrisch zu P(1/4).
25 Übungn zum Kurs Symmtri Lösung zu c - Lösungsvariant Ggbn: 4 f() 1 und P(1,4) Lösungswg mit Forml f() y f: Bi disr Variant dr Lösung bnutzn wir di Forml f() y f( ) Wir stzn di ggbnn Wrt in di Forml in und übrprüfn, ob in wahr Aussag ntstht: ( ) ( ) vrinfachn Klammr im Zählr ausmultiplizirn 8 1 Nnnr vrinfachn 84 8 vrinfachn ( ) Auf gminsamn Nnnr bringn Klammr ausmultiplizirn auf inn Bruch bringn Klammr auflösn vrinfachn Zählr und Nnnr mit 1 rwitrn Wil bid Sitn dr Glichung glich sind, ist bwisn, dass di Funktion punktsymmtrisch zu P(1/4) ist.
26 Übungn zum Kurs Symmtri Lösung zu d - Lösungsvariant 1 Ggbn: f() und P(1,) Lösungswg mit Forml fy fy : Bi disr Variant dr Lösung bnutzn wir di Forml fy fy Wir brchnn f( ) y und fy und vrglichn bid Wrt: ( 1) ( 1) ( 1 ) (1) f(1 ) Potnzgstz f(1 ) Potnzgstz ( 1 ) (1) ausklammrn Kürz : 1 1 ( ) ( ) 1 Kürz : mit rwitrn 1 1 kürzn ausklammrn Dfinition ngativr Eponntn anwndn ( 1 ) 1 1 Minuszichn in dn Nnnr Klammr auflösn fy und fy sind glich, also ist di Funktion tatsächlich punktsymmtrisch zu P(1/).
27 Übungn zum Kurs Symmtri Lösung zu d - Lösungsvariant Ggbn: f() und P(1,) Lösungswg mit Forml f() y f: Bi disr Variant dr Lösung bnutzn wir di Forml f() y f( ) Wir stzn di ggbnn Wrt in di Forml in und übrprüfn, ob in wahr Aussag ntstht: Dfinition ngativr Eponntn anwndn glichnamig Brüch rzugn Brüch addirn bzw. subtrahirn Dopplbruch bsitign (Mit Khrwrt ds Nnnrs multiplizirn) ( ) ( ) Kürz : ausgklammrn kürzn ( ) Minus in dn Nnnr bringn Klammr auflösn Wil bid Sitn dr Glichung glich sind, ist bwisn, dass di Funktion punktsymmtrisch zu P(1/) ist.
28 Übungn zum Kurs Symmtri Lösung zu - Lösungsvariant 1 Ggbn: f() und P(,) Lösungswg mit Forml fy fy : Bi disr Variant dr Lösung bnutzn wir di Forml fy fy Wir brchnn f( ) y und fy und vrglichn bid Wrt: Potnz - f( ) gstz ( - ) anwndn Klammr aus ( 1) ( 1) Kürz : 1 1 f( ) () () ( ) ( ) 1 1 Potnzgstz anwndn ausklammrn kürz : ausmultiplizirn 1 1 Bruch mit rwitrn kürzn 1 1 Minuszichn in Nnnr bringn 1 Klammr auflösn ( 1 ) 1 1 fy und fy sind glich, also ist di Funktion tatsächlich punktsymmtrisch zu P(/).
29 Übungn zum Kurs Symmtri Lösung zu - Lösungsvariant Ggbn: f() und P(,) Lösungswg mit Forml f() y f: Bi disr Variant dr Lösung bnutzn wir di Forml f() y f( ) Wir stzn di ggbnn Wrt in di Forml in und übrprüfn, ob in wahr Aussag ntstht: Dfintion ngativr Eponntn anwndn 4 4 glichnamig machn Brüch addirn bzw. subtrahirn Dopplbruch bsitign (Zählr mit Khrwrt ds Nnnrs multiplizirn) ( ) ( ) 4 Kürz ausgklammrn Kürz ( ) Minus in dn Nnnr bringn Im Zählr di Rihnfolg vrtauschn und im Nnnr di Klammr auflösn Wil bid Sitn dr Glichung glich sind, ist bwisn, dass di Funktion punktsymmtrisch zu P(/) ist.
30 Übungn zum Kurs Symmtri Lösung zu f - Lösungsvariant 1 Ggbn: f() 8 und P(,4) Lösungswg mit Forml f y fy : Bi disr Variant dr Lösung bnutzn wir di Forml f( )y f( )y Wir brchnn f( ) y und fy und vrglichn bid Wrt: 8 f( ) 4 4 Potnzgstz anwndn 8 4 glichnamig machn ( ) 8 4 Klammr auflösn Brüch subtrahirn ( ) Klammr auflösn ausklammrn ( 84 4) ( 1) kürzn 84 4 vrinfachn
31 Übungn zum Kurs Symmtri f( ) Potnzdfinition anwndn 8 4 Bi Brüch im Nnnr auf Hauptnnnr bringn 8 4 Brüch im Nnnr zusammnfassn 8 Dopplbruch bsitign 4 und kürzn auf Hauptnnnr bringn Rihnfolg dr Brüch ändrn 41 8 Klammr auflösn Brüch zusammnfassn vrinfachn fy und fy sind glich, also ist di Funktion tatsächlich punktsymmtrisch zu P(/4).
32 Übungn zum Kurs Symmtri Lösung zu f - Lösungsvariant Ggbn: 8 f() und P(,4) Lösungswg mit Forml f() y f: Bi disr Variant dr Lösung bnutzn wir di Forml f() y f( ) Wir stzn di ggbnn Wrt in di Forml in und übrprüfn, ob in wahr Aussag ntstht: 8 8 Dfinition ngativr 4 6 Eponntn anwndn ( ) ( ) auf glichn Nnnr bringn Di bidn Brüch im Nnnr addirn Dopplbruch bsitign (Zählr mit Khrwrt ds Nnnrs multiplizirn) auf glichn Nnnr bringn Bruch subtrahirn vrinfachn ausklammrn kürzn 8 8 Wil bid Sitn dr Glichung glich sind, ist bwisn, dass di Funktion punktsymmtrisch zu P(/ 4) ist.
33 Übungn zum Kurs Symmtri Lösung zu g - Lösungsvariant 1 Ggbn: 1 und 7 7 f() P, Lösungswg mit Forml fy fy : Bi disr Variant dr Lösung bnutzn wir di Forml fy fy Wir brchnn f( ) y und auf dr nächstn Sit f( )y und vrglichn dann bid Wrt: 7 f(7 ).5 5. Potnzgstz 7 7 anwndn ausklammrn kürzn ( ) glichnamig machn 1 ( ) 5. 1 subtrahirn Klammr auflösn vrinfachn
34 Übungn zum Kurs Symmtri f(7 ) Potnzdfinition anwndn 7 5. glichnamig machn Brüch addirn Dopplbruch bsitign 5. (Mit Khrwrt ds Nnnrs 7 7 multiplizirn) 7 5. Kürz : Rihnfolg vrtauschn ausklammrn Kürz glichnamig machn Klammr auflösn Bruch subtrahirn vrinfachn f( )y und f( )y sind glich, also ist di Funktion tatsächlich punktsymmtrisch zu P(7/ ).
35 Übungn zum Kurs Symmtri Lösung zu g - Lösungsvariant Ggbn: f() 1 7 und P(7, ) Lösungswg mit Forml f() y f: Bi disr Variant dr Lösung bnutzn wir di Forml f() y f( ) Wir stzn di ggbnn Wrt in di Forml in und übrprüfn, ob in wahr Aussag ntstht: 7 1 vrinfachn Dfinition dr Potnz Nnnr : Brüch auf Hauptnnnr bringn Brüch zusammnführn Dopplbruch bsitign Kürz Kürz 7 Di Zahl 1 rwitrn Brüch zusammnführn vrinfachn Wil bid Sitn dr Glichung glich sind, ist bwisn, dass di Funktion punktsymmtrisch zu P(7/ ) ist.
36 Übungn zum Kurs Symmtri Lösung zu h - Lösungsvariant 1 Ggbn: 1 f() und P 1, 5 Lösungswg mit Forml fy fy : Bi disr Variant dr Lösung bnutzn wir di Forml fy fy Wir brchnn f( ) y und fy und vrglichn bid Wrt: f(1 ) Potnzgstz 1 5 Kürz 1 5 glichnamig 1 machn ( ) Klammr 1 1 auflösn Bruch 1 1 subtrahirn vrinfachn Dfinition f(1 ) 5 5 ngativr 1 Eponntn 1 Im Nnnr di 5 Brüch auf glichn Nnnr bringn 1 Brüch 5 zusammn - fassn Dopplbruch 1 bsitign 5 (Zählr mit dm Khrwrt ds Nnnrs multiplizirn) 1 5 Kürz 1 5 Durch kürzn 1 5 Hauptnnnr 1 bildn 1 51 Klammr 1 1 auflösn 1 55 Brüch 1 1 zusammnfassn fy und fy sind glich, also ist di Funktion tatsächlich punktsymmtrisch zu P(1/5).
37 Übungn zum Kurs Symmtri Lösung zu h - Lösungsvariant Ggbn: 1 f() und P(1,5) Lösungswg mit Forml f() y f: Bi disr Variant dr Lösung bnutzn wir di Forml f() y f( ) Wir stzn di ggbnn Wrt in di Forml in und übrprüfn, ob in wahr Aussag ntstht: vrinfachn ( ) Dfinition ngativr Eponntn anwndn Im Nnnr glichnamig Brüch rzugn In Nnnr di Brüch addirn Dopplbruch bsitign, indm man Zählr mit Khrwrt ds Nnnrs multiplizirt Kürz 1 1 Wil bid Sitn dr Glichung glich sind, ist bwisn, dass di Funktion punktsymmtrisch zu P(1/5) ist. Kürz auf glichn Nnnr bringn Bruch subtrahirn Klammr auflösn vrinfachn
38 Übungn zum Kurs Symmtri Lösung zu i - Lösungsvariant 1 Ggbn: 6 f() und P, 4 Lösungswg mit Forml fy fy : Bi disr Variant dr Lösung bnutzn wir di Forml fy fy Wir brchnn f( ) y und auf dr nächstn Sit f( ) y und vrglichn dann bid Wrt: f( ) ( )
39 Übungn zum Kurs Symmtri f( ) 6 Klammrn 4 auflösn 4 6 Dfinition 4 4 ngativr Eponntn 4 6 Di Summandn im Nnnr auf glichn 4 4 Hauptnnnr bringn 4 6 Im Nnnr : Summandn 4 4 auf inn Bruch bringn 4 6 Dopplbruch bsitign 4 4 (mit Khrwrt multiplizirn) 4 6 kürzn kürzn Auf inn Bruch bringn 6 1 ( ) Klammr auflösn Auf inn Bruch bringn vrinfachn 1 fy und fy sind glich, also ist di Funktion tatsächlich punktsymmtrisch zu P(/).
40 Übungn zum Kurs Symmtri Lösung zu i - Lösungsvariant Ggbn: 6 f() 4 und P(,) Lösungswg mit Forml f() y f: Bi disr Variant dr Lösung bnutzn wir di Forml f() y f( ) Wir stzn di ggbnn Wrt in di Forml in und übrprüfn, ob in wahr Aussag ntstht: ( ) ( ) 4 Vrinfachn 8 6 Dfinition dr ngativn Eponntn anwndn Im Nnnr di Konstant und 8 dn Bruch glichnamig machn Im Nnnr di 8 4 Brüch addirn 8 6 Dopplbruch bsitign 6 (mit Khrwrt ds Nnnrs 8 4 multiplizirn) Kürz : Kürz : glichnamig Brüch bildn ( ) Klammr auflösn Bruch subtrahirn Vrinfachn Wil bid Sitn dr Glichung glich sind, ist bwisn, dass di Funktion punktsymmtrisch zu P(/) ist.
41 Übungn zum Kurs Symmtri Lösung zu j Ggbn: 1 und P(1,) f() Lösungswg mit Forml fy fy : Bi disr Variant dr Lösung bnutzn wir di Forml fy fy Wir brchnn f( ) y und f( )y und vrglichn bid Wrt: f(1) (1) (1) (1) 1 1 (1) (1)1 1 ( 1) (1) ) (1) f(1) (1) (1 1 ( 1) (1) fy und fy sind glich, also ist di Funktion tatsächlich punktsymmtrisch zu P(1/). Lösungswg mit Forml f() y f: Bi disr Variant dr Lösung bnutzn wir di Forml f() y f( ). Wir stzn di ggbnn Wrt in di Forml in und übrprüfn, ob in wahr Aussag ntstht: 1 ( ) () () (44 ) () ( ) Wil bid Sitn dr Glichung glich sind, ist bwisn, dass di Funktion punktsymmtrisch zu P(1/) ist.
42 Übungn zum Kurs Symmtri Lösung zu k Ggbn: f() 9 76 und P(,1) Lösungswg mit Forml fy fy : Bi disr Variant dr Lösung bnutzn wir di Forml fy fy Wir brchnn f( ) y und f( )y und vrglichn bid Wrt: f()1 ( ) 9() 7( ) 61 ( 9 7 7) 9( 6 9) 8177 ( 9 77) f() 1 ( ) 9() ( 69) f( )y und f( )y sind glich, also ist di Funktion tatsächlich punktsymmtrisch zu P(/1). Lösungswg mit Forml f() y f: Bi disr Variant dr Lösung bnutzn wir di Forml f() y f( ) Wir stzn di ggbnn Wrt in di Forml in und übrprüfn, ob in wahr Aussag ntstht: ( 6) 96 7( 6) ( 1 6 ) 7( 6 ) Wil bid Sitn dr Glichung glich sind, ist bwisn, dass di Funktion punktsymmtrisch zu P(/1) ist.
43 Übungn zum Kurs Symmtri Lösung zu L Ggbn: f() und P(1,) Lösungswg mit Forml fy fy : Bi disr Variant dr Lösung bnutzn wir di Forml fy fy Wir brchnn f( ) y und fy und vrglichn bid Wrt: ( 1) ( 1) ( 1) () f(1 ) f(1 ) f( )y und fy sind glich, also ist di Funktion tatsächlich punktsymmtrisch zu P(1/). Lösungswg mit Forml f() y f: Bi disr Variant dr Lösung bnutzn wir di Forml f() y f( ) Wir stzn di ggbnn Wrt in di Forml in und übrprüfn, ob in wahr Aussag ntstht: () ( ) ( ) () Wil bid Sitn dr Glichung glich sind, ist bwisn, dass di Funktion punktsymmtrisch zu P(1/ ) ist.
44 Übungn zum Kurs Symmtri Lösung zu 4a Lösungsvariant 1 Ggbn: f() a a und P(lna,) Lösungswg mit Forml f y fy : Bi disr Variant dr Lösung bnutzn wir di Forml fy fy Wir brchnn f( ) y und auf dr nächstn Sit f( ) y und vrglichn dann bid Wrt: ln a a f(lna ) ln a Potnzgstz anwndn a ln a a lna a ln a a a a a ausklammrn a a ( 1) ( 1) a Kürz: a a 1 1
45 Übungn zum Kurs Symmtri f(lna ) lna a Dfinition ngativr lna a Eponntn anwndn lna a lna lna a a a a Hauptnnnr bildn a (im Zählr und Nnnr) a a a a a Brüch addirn aa Dopplbruch bsitign (mit Khrwrt ds aa Nnnrs multiplizirn) aa Kürz: aa aa aa a ausklammrn 1 Minuszichn in dn 1 Nnnr bringn Klammr auflösn f( )y und f( )y sind glich, also ist di Funktion tatsächlich punktsymmtrisch zu P(lna/).
46 Übungn zum Kurs Symmtri Lösung zu 4a Lösungsvariant Ggbn: f() a a und P(lna,) Lösungswg mit Forml f() y f: Bi disr Variant dr Lösung bnutzn wir di Forml f() y f( ) Wir stzn di ggbnn Wrt in di Forml in und übrprüfn, ob in wahr Aussag ntstht: ln a a a Dfinition ngativr ln a a a Eponntn anwndn ln a a Bruch und Konstant ln a a glichnamig machn ln a a Brüch addirn ln a a bzw. subtrahirn ln a a Dopplbruch ln a a bsitign ln a a lna Kürz : a ln a a Potnzgstz ln a a anwndn ln a ( ) a lna a ln a ( ) a a a a a a ausklammrn a( a ) Kürz : a a ( a ) a Minuszichn in dn a Nnnr bringn a ( a ) Klammr auflösn a a a a Wil bid Sitn dr Glichung glich sind, ist bwisn, dass di Funktion punktsymmtrisch zum Punkt P(lna/) ist.
47 Übungn zum Kurs Symmtri Lösung zu 4b Lösungsvariant 1 Ggbn: b b f() und P lna, a a Lösungswg mit Forml f y f( )y : Bi disr Variant dr Lösung bnutzn wir di Forml f( )y f( )y Wir brchnn f( ) y und auf dr nächstn Sit f( )y und vrglichn bid Wrt: b b b f(lna ) Potnzgstz anwndn lna a a a b b a a lna b b a a a ab a a ab a a ( a) b( a a) ( a) b( a a) a a a lna a Brüch auf Hauptnnnr bringn Bruch subtrahirn Klammrn auflösn abab ab a a abab a a bb a a Zählr vrinfachn Kürz : a
48 Übungn zum Kurs Symmtri b b b f(lna) lna a a a lna b b a a b b a a a b b a a a b b a a a ( a a ) ab b a a a a a a ab ab ab a a a a a a ( ) ( ) Dfinition ngativr Eponntn anwndn Hauptnnnr bildn Brüch addirn Dopplbruch bsitign Brüch glichnamig machn Klammr im Zählr auflösn Brüch subtrahirn und vrinfachn ab ab a a bb a a Kürz : a b f( )y und f( )y sind glich, also ist di Funktion tatsächlich punktsymmtrisch zu P(lna/ ). a
49 Übungn zum Kurs Symmtri Lösung zu 4b Lösungsvariant Ggbn: b f() a b und P( lna, ) a Lösungswg mit Forml f() y f: Bi disr Variant dr Lösung bnutzn wir di Forml f() y f( ) Wir stzn di ggbnn Wrt in di Forml in und übrprüfn, ob in wahr Aussag ntstht: b a b a lna b b b a a a b b a a a b b a a a b b a a a b b a a a b a ( a ) b ( a ) a( a ) ( a ) b a( a ) a b Im linkn Bruch kürzn und im rchtn Bruch di Dfinition ngativr Eponntn anwndn auf glichn Nnnr bringn Brüch addirn Dopplbruch bsitign In Nnnr a ausklammrn auf glichn Nnnr bringn Brüch subtrahirn Im Zählr : Klammr auflösn ab b b Zählr vrinfachn a( a ) ab Kürz : a a( a ) b b a a Wil bid Sitn dr Glichung glich sind, ist bwisn, b dass di Funktion punktsymmtrisch zum Punkt P(lna/ ) ist. a
50 Übungn zum Kurs Symmtri Lösung zu 4c Lösungsvariant 1 Ggbn: f() 1 und P lna, a Lösungswg mit Forml fy fy : Bi disr Variant dr Lösung bnutzn wir di Forml f( )y f( )y Wir brchnn f( ) y und auf dr nächstn Sit fy und vrglichn bid Wrt: 1 lna 1 lna f(lna ) a Potnzgstz anwndn lna 1 lna a a 1 a a a a 1 ( 1) ( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) lna a a ausklammrn Kürz : a glichnamig machn Bruch subtrahirn Klammrn auflösn 1
51 Übungn zum Kurs Symmtri lna 1 1 na f(lna) a Potnzgstz anwndn lna lna 1 a glichnamig machn lna lna a 1 Brüch addirn a a a 1 Dopplbruch bsitign a 1 a a a 1 a a ( ) ( ) ( ) Durch kürzn Kürz : a glichnamig machn Brüch addirn 1 ( ) 1 1 vrinfachn f( )y und f( )y sind glich, also ist di Funktion 1 tatsächlich punktsymmtrisch zu P(lna/ ).
52 Übungn zum Kurs Symmtri Lösung zu 4c Lösungsvariant Ggbn: f() 1 lna, a und P Lösungswg mit Forml f() y f: Bi disr Variant dr Lösung bnutzn wir di Forml f() y f( ) Wir stzn di ggbnn Wrt in di Forml in und übrprüfn, ob in wahr Aussag ntstht: lna 1 Dfinition ngativr lna a a Eponntn anwndn lna 1 glichnamig machn lna a a 1 addir di Brüch a a a Dopplbruch bsitign 1 (mit Khrwrt ds Nnnrs a a multiplizirn) a 1 Kürz : a a a 1 Kürz : a a a a 1 auf glichn Nnnr bringn a a a Subtrahir Brüch a a a a vrinfachn a a a Wil bid Sitn dr Glichung glich sind, ist bwisn, 1 dass di Funktion punktsymmtrisch zum Punkt P(lna/ ) ist.
53 Übungn zum Kurs Symmtri Lösung zu 4d Lösungsvariant 1 Ggbn: f() b b a und P lna, Lösungswg mit Forml fy fy : Bi disr Variant dr Lösung bnutzn wir di Forml f( )y f( )y Wir brchnn f( ) y und auf dr nächstn Sit fy und vrglichn bid Wrt: lna b b b f(lna ) a lna Potnzgstz anwndn b lna lna a b lna a ba a a b im Nnnr a ausklammrn ab a 1 b ( 1) ( ) b b ( ) ( ) ( 1) ( ) b b 1 1 b b b 1 Kürz : a auf glichn Nnnr bringn Bruch subtrahirn Klammr auflösn b b b b b vrinfachn
54 Übungn zum Kurs Symmtri lna 1 b b f(lna) a lna Dfinition ngativr Eponntn anwndn b lna lna a b Im Nnnr : Bruch und Zahl a glichnamig machn lna b b lna a a b b a a ba b a a 1. Im Nnnr Bruch addirn lna. a Dopplbruch bsitign (mit Khrwrt ds Nnnrs multiplizirn) Kürz ba b a a b 1 b ( ) ( 1 ) ( ) b b 1 1 Kürz a Brüch glichnamig machn Brüch addirn b b b ( ) 1 Vrinfachn b b f( )y und f( )y sind glich, also ist di Funktion b tatsächlich punktsymmtrisch zu P(lna / ).
55 Übungn zum Kurs Symmtri Lösung zu 4d Lösungsvariant Ggbn: b f() a b und P( lna, ) Lösungswg mit Forml f() y f: Bi disr Variant dr Lösung bnutzn wir di Forml f() y f( ) Wir stzn di ggbnn Wrt in di Forml in und übrprüfn, ob in wahr Aussag ntstht: lna b b b lna a a vrinfachn lna b b lna a Dfinition ngativr Eponntn lna b b Im Nnnr Bruch und Zahl lna glichnamig machn a ba Im Nnnr : b a a Brüch addirn ba b Dopplbruch bsitign a a (mit Khrwrt multiplizirn) ba b Kürz : a a ba a Kürz : a ba b Auf Hauptnnnr bringn a b( a ) ba Bruch subtrahirn a a ba b ba a vrinfachn b b a a Wil bid Sitn dr Glichung glich sind, ist bwisn, b dass di Funktion punktsymmtrisch zum Punkt P lna / ist.
56 Übungn zum Kurs Symmtri Lösung zu 4 Lösungsvariant 1 Ggbn: b ln a b f() und P, a Lösungswg mit Forml fy fy : Bi disr Variant dr Lösung bnutzn wir di Forml f( )y f( )y Wir brchnn f( ) y und auf dr nächstn Sit fy und vrglichn bid Wrt: ln a i ln a b b b f ln a i a b ln a ln a b a Eponnt vrinfachn Potnzgstz anwndn ln a b b ln a a lna a ba b a a Kürz : a b b 1 ( ) ( 1) ( ) b b 1 1 auf Hauptnnnr bringn Bruch subtrahirn b b b b ( ) 1 b ( ) 1 vrinfachn Klammr auflösn b b
57 Übungn zum Kurs Symmtri ln a b f b b ln a i ln a i ln a ln a b lna ln a b a b a b a ba b a a ba b a a ba b a a b b 1 b b 1 1 ( ) ( ) 1 ( ) b 1 b b b b ( ) 1 ( 1 ) ( ) Eponnt vrinfachn Dfinition für "ngativ Eponntn" anwndn Im Nnnr dn Hauptnnnr bildn auf inn Bruch bringn Dopplbruch bsitign (mit Khrwrt multiplizirn) kürz und a Brüch glichnamig machn Brüch addirn Klammr auflösn vrinfachn b b f( )y und f( )y sind glich, also ist di Funktion ln a b tatsächlich punktsymmtrisch zu P /.
58 Übungn zum Kurs Symmtri Lösung zu 4 Lösungsvariant Ggbn: b ln a b f() und P, a Lösungswg mit Forml f() y f: Bi disr Variant dr Lösung bnutzn wir di Forml f() y f( ) Wir stzn di ggbnn Wrt in di Forml in und übrprüfn, ob in wahr Aussag ntstht: ln a b b b Eponntn vrinfachn ln a a a lna b b Dfinition ngativr Eponntn anwndn lna a lna ln a ln a b Vrinfach : ( ) a b Im Nnnr dn bid Brüch lna a glichnamig machn. ba b Im Nnnr Brüch addirn a a ba Dopplbruch bsitign (Zählr mit b a a Khrwrt ds Nnnrs multiplizirn) ba b Kürz : a a ba b Kürz : a a a ba b Auf Hauptnnnr bringn a b( a ) ba Glichnamig Brüch subtrahirn a a b( a ) ba vrinfachn a b b a a Wil bid Sitn dr Glichung glich sind, ist bwisn, lna b dass di Funktion punktsymmtrisch zum Punkt P / ist.
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L Hospital - Lösug dr Aufgab B Gsucht: = Übrprüf ob di Rgl vo L'Hospital agwdt wrd darf Für ght dr Zählr gg L'Hospital darf agwdt wrd, Für ght dr Nr gg = da Zählr ud Nr gg gh Zählr ud Nr diffrzir: ' =
H. Gruber, G. Kowalski, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Prüfungsaufgaben Nordrhein-Westfalen. Übungsbuch für den Leistungskurs mit Tipps und Lösungen
H. Grubr, G. Kowalski, R. Numann Erfolg im Math-Abi Prüfungsaufgabn Nordrhin-Wstfaln Übungsbuch für dn Listungskurs mit Tipps und Lösungn Vorwort Vorwort Diss Übungsbuch ist spzill auf di Anfordrungn ds
5.5. Prüfungsaufgaben zu Integrationsmethoden
Aufgab a: Substitutionsrgl () Gbn Si für di Funktion f in Stammfunktion an. f().. Prüfungsaufgabn zu Intgrationsmthodn f() f(t) t d) f(t) t n F() F() 9 () () F c (t) t + c () d) F c (t) t + c () Qustion
Aufgabe 1: Transformationen 25 Pkt. 1.1 Berechnen und skizzieren Sie die Werte der drei Signale für k = 0,...,5 und
Aufgab 1: Transformationn Aufgab 1: Transformationn Ggbn sin di diskrtn Signal ) k 1 v 1 k) = sin Ω 0 k) ε k), 2 v 2 k) = v 1 k 2), ) k 1 v 3 k) = sin Ω 0 k) ε k 2), Ω 0 R. 2 1.1 Brchnn und skizzirn Si
so dass die Anwendung der Laplacetransformation auf (6.14) wegen (6.15) sehr einfach
68 6.. Übrtrgungfunktion u DGL Di Gwinnung dr Übrtrgungfunktion u dr Diffrntilglichung in Sytm wird m Bipil d prungfähign Sytm. Ordnung RCL Glid u 3.4.. bhndlt. LCu + RCu + u LCu (6.4) Mit Blick uf di
1. Bestimmen Sie Radius und Mittelpunkt des Krümmungskreises an die Parabel y = x 2 in ihrem Scheitelpunkt.
Mathmatik I Übungsaufgabn Lösungsvoschläg von T. My Eta-Mathmatik-Übung: 5--. Bstimmn Si Radius und Mittlpunkt ds Kümmungskiss an di Paabl y in ihm Schitlpunkt. Allgmin Glichung d Schitlpunktfom in Paabl
5.5. Konkrete Abituraufgaben zu Exponentialfunktionen
5.5. Konkr Abiuraufgabn zu Exponnialfunkionn Aufgab : Kurvnunrsuchung, Ingraion () Übr in Vnil kann das Wassrvolumn in inm Wassrbhälr grgl wrdn. Di Särk ds Wassrsroms durch diss Vnil is ggbn durch in Funkion
Neugierig auf diesen Text???
Anlysis Eponntilfunktionn Nugirig uf disn Tt??? Intgrtion von Eponntilfunktionn Mit Sustitution und prtillr Intgrtion Dti Nr. 5 Stnd.7. Fridrich W. Buckl INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK www.mth-cd.d
Lösungsvorschlag Vorbereitung Nr.3 K
Mahmaik Lösungsvorschlag Vorbriung Nr. K..8 Pflichil (wa 0 min) Ohn Taschnrchnr und ohn Formlsammlung (Disr Til muss mi dn Lösungn abggbn sin, h dr GTR und di Formalsammlung vrwnd wrdn dürfn.) Aufgab :
Vorwort 9. 1 Ableitungen und ihre Anwendung. 2 Funktionen und ihre Eigenschaften. Inhaltsverzeichnis
Inhaltsvrzichnis Vorwort 9 1 Ablitungn und ihr Anwndung Diffrnznquotint... 10 Diffrntialquotint... 11 Ablitungn und ihr Bdutung... 12 Ablitung mittls Diffrnznquotint und Diffrntialquotint... 13 Schlißn
19. Bauteilsicherheit
9. Bautilsichrhit Ein wsntlich Aufgab dr Ingniurpraxis ist s, Bautil, di infolg dr äußrn Blastung inm allgminn Spannungs- und Vrformungszustand untrlign, so zu dimnsionirn, dass s währnd dr gsamtn Btribszit
In der Mathematik werden Wachstumsprozesse graphisch durch steigende Graphen dargestellt. Diese können linear oder kurvenförmig verlaufen.
Vorbmrkungn Wachstum und Zrall (Jochn Pllatz 2013) Das Thma Eponntialunktionn ist in ignständigs Gbit in dr Mathmatik und wird in dr Schul in vrschidnn Stun untrrichtt. Einach Eponntialunktionn (Kapitl
= K. X(s) - - G 2 (s) W 1 (s) Y 1 (s) G 1 (s) Y 2 (s) W 2 (s) G 4 (s) G 3 (s) K I K S1 T S1 K S2 T S2. X S (s) X(s) ( s) X(s) ( t) x(t)
Fachbrich glungstchnik 4.. Sit von am: Matr. r.: ot: Punkt: Aufgab : a) Kann in glstrck bsthnd aus zwi hintrinandr gschalttn Intgratorn mit inm Pglr und Einhitsrückführung stabilisirt wrdn? b) Auf wlch
Beispiel: Ich benutze die folgenden zwei Karten um meine Welt nach FT zu importieren:
Tutorial Importirn inr CC2-Kart nach Fractal Trrains Von Ralf Schmmann (ralf.schmmann@citywb.d) mit dr Hilf von Jo Slayton und John A. Tomkins Übrstzung von Gordon Gurray (druzzil@t-onlin.d) in Zusammnarbit
2. Diskutiere die Funktion und zeichne den Graphen: (b) f(x) = 2xe x2
. Diskutir di Funktion f(x) = x x und zichn ihrn Graphn. Gib di Glichung dr Wndtangnt an. Brchn das Volumn, das ntstht, wnn di Fläch zwischn dr Kurv und dr x-achs im. Quadrantn um di x-achs rotirt!. Diskutir
EBA. Schlussprüfung 2010. Punkte. Kandidatennummer. Name. Vorname. Datum der Prüfung. Punkte und Bewertung Erreichte Punkte / Maximum.
Schlussprüfung 2010 büroassistntin und büroassistnt Schulischs Qualifikationsvrfahrn 1 EBA information kommunikation IKA administration Sri 1/2 Kandidatnnummr Nam Vornam Datum dr Prüfung und Bwrtung Erricht
BMF Winkelverbinder 90 mit Rippe
BM Winklvrbindr 0 mit ipp BM Winklvrbindr 0 mit ipp Z-.-33 Allgmin bauausichtlich Zulassung Nr. Z.-33 BM Winklvrbindr 0 mit ipp wrdn aus urvrzinktm Stahlblch hrgstllt. Si rrichn augrund dr ausgormtn ipp
Für den Flächeninhalt des Dreiecks A BEG gilt: A BEG =
008 Pflichtrich Für dn Flächninhalt ds ricks EG gilt: EG = E G i Strckn E und G kann man rchnn, wnn man im rchtwinklign rick EG dn Winkl ε und di Strck EG knnt rchnung ds Winkls ε: n Winkl ε stimmt man
EBA SERIE 2/2 INFORMATION KOMMUNIKATION IKA ADMINISTRATION SCHULISCHES QUALIFIKATIONSVERFAHREN SCHLUSSPRÜFUNG 2012 BÜROASSISTENTIN UND BÜROASSISTENT
SCHLUSSPRÜFUNG 2012 BÜROASSISTENTIN UND BÜROASSISTENT SCHULISCHES QUALIFIKATIONSVERFAHREN 1 EBA INFORMATION KOMMUNIKATION IKA ADMINISTRATION SERIE 2/2 Kandidatnnummr Nam Vornam Datum dr Prüfung PUNKTE
Crash-Course Physik Vorlesung 1
Crsh-Cours Physik Vorlsung 1 Trigonomtri: Lösungn 21. Sptmbr 2016 1. Notir für di folgndn vir rhtwinklign Drik di An- und Ggnktht ds jwils ingtrgnn Winkls: b α d f β Anktht von α ist b, Ggnktht ist. Anktht
Nützliche Tastenkombinationen
Nützlich Tastnkombinationn Nützlich Tastnkombinationn Nutzn von Tastnkombinationn Tastnkombinationn könnn Si vrwnn, um Winows 10 schnllr zu binn. Wichtig Systmprogramm zigt Winows 10 an, wnn Si rückn.
Makroökonomie I/Grundlagen der Makroökonomie
Makroökonomi I/Grundzüg dr Makroökonomi Pag Makroökonomi I/Grundlagn dr Makroökonomi Kapitl 5 Finanzmärkt und Erwartungn Güntr W. Bck Makroökonomi I/Grundzüg dr Makroökonomi Pag 2 2 Übrblick Kurs und Rnditn
Vorbereitung. Geometrische Optik. Stefan Schierle. Versuchsdatum: 22. November 2011
Vorbritung Gomtrisch Optik Stfan Schirl Vrsuchsdatum: 22. Novmbr 20 Inhaltsvrzichnis Einführung 2. Wllnnatur ds Lichts................................. 2.2 Vrschidn Linsn..................................
Tagesaufgabe: Fallbeispiel MOBE GmbH, Wetzlar
Tagsaufgab PPS / ERP Sit 1 Prof. Richard Kuttnrich Praxisbglitnd Lhrvranstaltung: Projkt- und Btribsmanagmnt Lhrmodul 3: 25.07.2012 Produktionsplanung und Sturung - PPS / ERP Tagsaufgab: Fallbispil MOBE
4. Berechnung von Transistorverstärkerschaltungen
Prof. Dr.-ng. W.-P. Bchwald 4. Brchnng on Transistorrstärkrschaltngn 4. Arbitspnktinstllng Grndorasstzng für dn Entwrf inr Transistorrstärkrstf ist di alisirng ins Arbitspnkts, m dn hrm im Knnlininfld
1. Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale durch geeignete Substitution: ln x. x sinh x dx f) cos 2 (4x + 7) arctan x2. 3 x = t, 3 dx = dt
Höhr Mahmaik für chnisch Sudingäng Vorbriungsaufgabn für di Übungn Ingralrchnung für in Vrändrlich, infach Diffrnialglichungn. Brchnn Si di folgndn unbsimmn Ingral durch gign Subsiuion: ln cos d b sin
Skript. Exponential- und Logarithmusfunktion. von Georg Sahliger
Skript Eponntial- und Logarithmusfunktion von Gorg Sahligr Mainz, dn 4.9.08 Inhaltsvrzichnis Inhalt Sit Anmrkung Widrholung Logarithmus Stoff Klass 0 Linars und ponntills Wachstum Eignschaftn dr Eponntialfunktion
3. Wellenleiter Allgemeines Schichtwellenleiter
3. Wllnlitr 3.. Allgmins Bi Wllnlitrn handlt s sich um dilktrisch Strukturn, di aufgrund ihrr Brchungsindvrtilung in dr Lag sind, Licht (thortisch) vrlustfri übr groß Distanzn zu führn. Abb. 3.. zigt inn
Übungen zur Kursvorlesung Physik II (Elektrodynamik) Sommersemester 2008
Übungn zur Kursvorlsung Physik II (Elkrodynmik) Sommrsmsr 8 Übungsbl Nr. Aufgb 9: Ldungsvrilung ) Di Gsmldung inr krisförmign Obrfläch is ggbn durch: Q= A rda= rr dr d (i) (ii) Q= r r dr d = Q= r dr d
Wie in der letzten Vorlesung besprochen, ergibt die Differenz zwischen den Standardbildungsenthalpien
Vorlsung 0 Spnnungsnrgi dr Cyclolkn Wi in dr ltztn Vorlsung bsprochn, rgibt di Diffrnz zwischn dn Stndrdbildungsnthlpin dr Cyclolkn C n n und dm n-fchn Bitrg für di C - Gruppn [n (-0.) kj mol - ] di Ringspnnung.
Aufg.-Nr.: 2 Bereich: e-funktion Kursart: GK CAS
Aufg.-Nr.: Brich: -Funktion Kursart: GK CAS Forllnzucht In inr Forllnzuchtanstalt im Saurland wurd bi glichaltrign Forlln di durchschnittlich Läng rmittlt. Di Tabll zigt inn Til dr gwonnnn Datn: Altr (in
7. Klasse Mathematik. Mathematik. 7. Klasse. Drei Lernbausteine für garantiert bessere Noten! WISSEN ÜBEN TESTEN
7. Klass Matmatik ÜBEN TESTEN 7. Klass Matmatik Dri Lrnbaustin für garantirt bssr Notn! Zusätzlic digital Lrnkartnsts auf www.lrnlfr.d So lrnst du mit dism Buc: Hir widrolst du Scritt für Scritt, was du
Tabelle 1. Zahl der Genotypen und Kombinationen ohne Wiederholung für die ersten vier Generationen
Hom tartit Imprum Kontakt Gätbuch Aufgab: Brchnn i di Phänotypnvrtilung für in Gn mit Allln bi zur virtn Gnration und zign i, daß di Entropi oohl bi dr intrmdiärn al auch bi dr dominant-rzivn Vrrbung zunimmt.
charakteristische DMF F Wertetabelle für F 2-stufiges Schaltnetz ableiten und zeichnen (evtl. Gatter gemeinsam nutzen)
Til II 2.2 Standard-Schaltntz als Grundlag für Rchnr Addir- und Multiplizirwrk Halb-Addirr, Voll-Addirr Multiplizirr Schaltntz zur Auswahl von Adrss- und Datnlitungn Multiplxr Dmultiplxr Schaltntz zum
Pharmaceutical Technology and Biopharmaceutics Prof. Gerhard Winter
Pharmacutical Tchnology and Biopharmacutics Prof. Grhard Wintr Dnnis Krig Sminar Biopharmazi WS17/18 C p (A) C p (A) ln C p (A) Kintin (I) z.b. Absorptions-, Eliminations-, Fristzungsintin ln C p0 (A)
INSTITUT FÜR PLANETARE GEODÄSIE
INSTITUT FÜR PLANETARE GEODÄSIE Übung Thortisch Godäsi Brchnung dr Elmnt ins Straintnsors und dr Strainllips Aufgab Nr.: Godäsi 99 Als rsts wird in Hilfskoordinatnsystm fstglgt, in dm man dn Punkt A in
Theorie der Feuchte Dalton sches Gesetz
Thori dr Fucht Dalton schs Gstz Luft ist in Mischung aus vrschidnn Gasn mit dn Hauptbstandtiln: Gaskomponnt Volumsantil [%] Gwichtsantil [%] Stickstoff N 2 78,03 75,47 Saurstoff O 2 20,99 23,20 Argon Ar
TI II. Sommersemester 2008 Prof. Dr. Mesut Güneş 5. Exercise with Solutions
Distributd mbddd 5. Exrcis with olutions Problm 1: Glitkomma-Darstllung (2+2+2+2+2+2=12) Ghn i bi dr binärn Glitkommadarstllung von 2-Byt großn Zahln aus. Dr Charaktristik sthn 4 Bit zur Vrfügung, dr Mantiss
Handout zu Übung 1. Vorbemerkung: Hinweise auf Fehler sind willkommen. Keine Gewähr für die vollständige Richtigkeit der Ausführungen.
Übung zu Mikro III (SS 05) Tri Vi Dang Handout zu Übung Vorbmrkung: Hinwis auf Fhlr sind willkommn. Kin Gwähr für di vollständig Richtigkit dr usführungn. Thma : Thori ds llgminn Glichgwichts Das Framwork
Winkelverbinder 105 mit Rippe. Winkelverbinder 105 mit Rippe. Löcher Anzahl St Winkelverbinder 105 mit Rippe
Winklvrbindr 05 mit ipp Z-9.-33 Allgmin bauausichtlich Zulassung Nr. Z 9.-33 Winklvrbindr 05 mit ipp wrdn aus urvrzinktm Stahlblch hrgstllt. Si rrichn augrund dr ausgormtn ipp in groß Stabilität. Winklvrbindr
chemisches Fortgeschrittenenpraktikum SS 2000
Physikalisch-chmischs chmischs Fortgschrittnnpraktikum SS Vrsuch F- 3: UV/VIS-Spktroskopi Vrsuchstag: 7.6. Svn Entrlin Grupp 3 18 97 36 174 Vrsuch F-3: UV/VIS-Spktroskopi PC-Fortgschrittnnpraktikum Glidrung:
Rudolf Huber GmbH ELEKTROMAGNET-ZAHNKUPPLUNGEN
Rudolf Hubr GmbH ELEKTROMAGNET-ZAHNKUPPLUNGEN Aubingrwg 41 82178 Puchhim Tl: +49 (0)89 89026426 Fax: +49 (0)89 89026427 www.mz-kupplungn.d info@hubr-prazisionsmchanik.d Magnt-Zahnkupplungn mit Schlifring
Probetest 1 zum Kapitel A
Probtst zum Kapitl. Skizzir di folgndn nwisungn auf in 4-Blatt im Qurformat. Vrsuch di ganz Fläch auszunützn. a) In dr Mitt ds Blatts bfindt sich in Kris. b) In dism Kris bfindt sich in Quadrat, wlchs
9. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen
9. Übungsbla Aufgabn mi Lösungn Aufgab : Zwi Drucklufbhälr mi unrschidlichn Volumina V und V sind durch in zunächs vrschlossn Rohrliung vrbundn. Vor Öffnn ds Sprrvnils zu 0 hrrschn in dn Bhälrn unrschidlich
Beispiellösungen zu Blatt 5
1 µthmtischr κorrspondnz- zirkl Mthmtischs Institut Gorg-August-Univrsität Göttingn Bispillösungn zu Bltt 5 Aufgb 1 Wlch dr bidn Zhln ist di größr: 7777776 7777779 odr 7777777 7777780 Hinwis: Di Bnutzung
5.5. Aufgaben zur Integralrechnung
.. Aufgn ur Ingrlrchnung Aufg : Smmfunkionn Bsimmn Si jwils ll Smmfunkionn für di folgndn Funkionn: ) f() f) f() k) f() n mi n R\{} p) f() 6 + 7 + ) f() g) f() l) f() + 6 q) f() f() h) f() m) f() + + r)
Erfolg im Mathe-Abi 2014
Grubr I Numann Erfolg im Math-Abi 2014 Prüfungsaufgabn Hssn Übungsbuch für dn Listungskurs mit Tipps und Lösungn Vorwort Vorwort Diss Übungsbuch ist spzill auf di Anfordrungn ds zntraln Mathmatik-Abiturs
Labor Messtechnik Versuch 5 Operationsverstärker
HS oblnz FB Ingnirwsn F Mschinnb Prof. Dr. röbr Lbor Msstchnik rsch 5 Oprtionsvrstärkr Sit von 5 rsch 5: Oprtionsvrstärkr. rschsfb.. Umfng ds rschs Im rsch wrdn folgnd Thmnkris bhndlt: - Nichtinvrtirndr
Abschlussprüfung an Fachoberschulen in Bayern NACHTERMIN Mathematik mit CAS 2015 Analysis Ausbildungsrichtung Technik
MK.. B_T_NA MK_Los.mc Abschlussprüfung an Fachobrschuln in Bayrn NACHTERMIN Mathmatik mit Analysis Ausbilungsrichtung Tchnik. Ggbn ist i rlln Funktionn f: --> 4 ( ln( ) ) mit r maimaln Dfinitionsmng D
5.5.Abituraufgaben zu Logarithmusfunktionen
5.5.Aiturufgn zu Logrithmusfunktionn Aufg : urvnuntrsuchung mit Prmtr, Intgrtion ohn GTR () Für jds rll t und > 0 sind di Funktionn f t und g ggn durch f t () (ln + t) und g() Ds Schuild von f t hißt t
Übungen zur Modernen Theoretischen Physik I SS 15
Karlsruhr Institut für Tchnologi Institut für Thori dr Kondnsirtn Matri Übungn zur Modrnn Thortischn Physik I SS 5 Prof. Dr. Jörg Schalian Blatt 3 Lösungn Dr. Andras Ponick, Patrik Hlobil Abgab: 5.05.05,
Für Wachstumsprozesse, die nach dem logistischen Wachstumsmodell ablaufen, gilt: (1)
Dr Arnlf Schönli, Logistischs Wchstm in dr Prxis Logistischs Wchstm in dr Prxis Für Wchstmsrozss, di nch dm logistischn Wchstmsmodll lfn, gilt: ( ( t ( Drin sind (t zw di Polionn z dn Zitnktn t zw t, nd
Aufgabe 2 Kurvendiskussion von Exponential- und Logarithmusfunktionen
Ank Krisn Augab Kurvndiskussion von Eponnial- und Logarihmusunkionn a) Ggbn is di Funkion mi (). Gib dn Diniionsbrich von an. Unrsuch dn Graphn dr Funkion au Symmri, Schnipunk mi dn Koordinanachsn, Erm-
Lösung der Aufgabe 1 :
Lösung dr Aufgb : ) x x + y + y 3x + 4y + Fixpunktbdingung: x x, y y x x + y + y 3x + 4y + 0 4x+ y+ 0 3x+ 3y+ 0 6x - 3 3 4 b) x 6 0-6y - y 6 Fixpunkt ( 6 6 ) Fixgrdn: in dn bidn Gichungn für di Fixpunktbdingungn
Vereinfachtes globales Klimamodell
Vrinfahts globals Klimamodll Sandra Plzr, Marik Baur, Rgina Kllr, Tim Wagnr, Patrik Gütlin, Luas Fishr mit Hilf von Anita Barthl, Eva Bittr Problm: Was hat Klimawandl mit Mathmatik zu tun? Kann man nur
46.1 Integration durch Substitution Es sei zunächst F eine differenzierbare Funktion mit der Variablen t und der Ableitung f.
6 Intgrtionsvrfhrn Bishr konntn Intgrl rchnt wrdn, di sich us Grundintgrln zusmmnstztn. Ligt r in komplizirtrs Intgrl vor, so muss mn uf stimmt Intgrtionsvrfhrn zurückgrifn, di diss komplizirtr Intgrl