Mathematik Quadratische Funktionen

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1 Mathematik Quadratische Funktionen und Quadratische Gleichungen ax + bx + c = 0 Stefan Gärtner 004

2 Gr Mathematik Quadratische Funktionen Seite Inhalt Inhaltsverzeichnis Seite Grundwissen 3 Definition Quadratische Funktion 3. Normalparabel 3. Stauchung und Streckung 3.3 Verschiebung in y-richtung 4.4 Verschiebung in x-richtung 4.5 Scheitelpunktform und Polynomform - Die Quadratische Ergänzung - 4 Nullstellen quadratischer Funktionen - Das Lösen quadratischer Gleichungen 6. Sonderfälle 6. Allgemeiner Fall Die p-q-formel 7 3 Aufgabenbeispiele 9 3. Scheitelpunktbestimmung und Zeichnung 9 3. Nullstellen- und Schnittpunktberechnungen 0 4 Gleichungen, die auf qaudratische Gleichungen führen 4. Bruchgleichungen 4. Wurzelgleichungen 4.3 Biquadratische Gleichungen zum Grundwissen 3 Lösungen 35 Stefan Gärtner 004

3 Gr Mathematik Quadratische Funktionen Seite 3 Grundwissen Definition Quadratische Funktion Funktionen der Form f: x Æ ax + bx +c (a,b,c beliebige Zahlen, a π 0) heißen Quadratische Funktionen. Ihr Graph ist eine Parabel.. Normalparabel Der Graph der Funktion f: x Æ x heißt Normalparabel. Eigensschaften der Normalparabel: Der Graph ist symmetrisch zur x-achse, da f(x) = x = (-x) = f(-x) ist. Im. Quadranten fällt der Graph, da für x<0 das Quadrat einer kleineren Zahl größer ist als das Quadrat einer größeren Zahl [z. B.: (-3) > (-) ] Im. Quadranten steigt der Graph, da für x>0 das Quadrat einer kleineren Zahl kleiner ist als das Quadrat einer größeren Zahl [z. B.: () < (3) ] Bei x = 0 ändert sich das Steigungsverhalten von fallend in steigend. Die Parabel hat bei x = 0 ihren Scheitelpunkt (in diesem Fall einen Tiefpunkt). Der Graph ist eine Kurve, d. h. die Steigung ist nicht (wie bei Geraden) überall gleich. Die Steigung nimmt ständig zu.. Stauchung und Streckung Der Graph der Funktion f: x Æ a x (a beliebige Zahl, a π 0) ist eine Parabel. Eigensschaften Für a>0 gilt: Die Parabel ist nach oben geöffnet und der Scheitelpunkt ist ein Tiefpunkt, denn alle Funktionswerte (y-werte) f(x) mit x π 0 sind größer als f(0) = 0. Für a<0 gilt: Die Parabel ist nach unten geöffnet und der Scheitelpunkt ist ein Hochpunkt, denn alle Funktionswerte (y-werte) f(x) mit x π 0 sind kleiner als f(0) = 0. Je größer a >, desto steiler oder enger ist der Graph. Man sagt, der Grapgh ist gestreckt. Je kleiner a <, desto flacher oder breiter ist der Graph. Man sagt, der Grapgh ist gestaucht. Stefan Gärtner 004

4 Gr Mathematik Quadratische Funktionen Seite 4 Grundwissen.3 Verschiebung in y- Richtung Der Graph der Funktion f: x Æ a x + c (a,c beliebige Zahlen, a π 0) entsteht aus aus der Funktion f: x Æ a x durch Verschiebung um c in Richtung der y-achse. Der Scheitelpunkt hat dann die Koordinaten (0/c)..4 Verschiebung in x-richtung Der Graph der Funktion f: x Æ a (x+b) + c (a,b,c beliebige Zahlen, a π 0) entsteht aus aus der Funktion f: x Æ a x +c durch Verschiebung um -b in Richtung der x-achse. Der Scheitelpunkt hat dann die Koordinaten (-b / c)..5 Scheitelpunktform und Polynomform Die Quadratische Ergänzung.5. Die Scheitelpunktform Die Termform f( x) = a (x+b) + c heißt Scheitelpunktform der Quadratischen Funktion f, weil man aus dieser Form direkt den Scheitelpunkt (und weitere wichtige Eigenschaften) des Graphen ablesen kann:.5. Die Polynomform Häufig sind die Funktionsterme von Quadratischen Funktionen in der Polynomform gegeben: f(x) = a x + s x + t (mit beliebigen Zahlen a, s, t, a π 0). Diese Form heißt Polynomform. Es gilt nun der Satz: Jeder quadratische Funktionsterm in Polynomform kann in die Scheitelpunktform gebracht werden. Damit hat jede Quadratische Funktion die oben angegebenen Eigenschaften..5.3 Quadratische Ergänzung Stefan Gärtner 004

5 Gr Mathematik Quadratische Funktionen Seite 5 Grundwissen Mit Hilfe der Quadratischen Ergänzung lässt sich jeder quadratische Term in Polymnomform in die Scheitelpunktform umformen. Zunächst ein Beispiel: Gegeben ist die Quadratische Funktion f durch den Term f(x) = x + 4x 6 Umformung in die Scheitelpunktform: f(x) = x + 4x 6 Ausklammern des Faktors vor dem Quadrat = [x + x 3] Quadratische Ergänzung in der Klammer = [(x + x +) 3] Zusammenfassen und als Binom schreiben = [(x + ) 4] Eckige Klammer wieder auflösen = (x + ) 8 Damit ist die Scheitelpunktform hergestellt. Der allgemeine Fall lässt sich genau so aufschreiben: f(x) = a x + s x + t Ausklammern des Faktors vor dem Quadrat = a [x + a s x + a t ] Quadratische Ergänzung in der Klammer s = a [x s + x + a a s a + a t ] Zusammenfassen und als Binom schreiben s = a [(x + ) s t + ] Eckige Klammer wieder auflösen a a a s s = a (x + ) a t s s + Mit b= und c = a a a t + a a = a (x + b ) + c Mit den angegebenen Werten für b und c ist damit die gesuchte Scheitelpunktform gefunden. Was kann man nun aus der Polynomform noch über den Graph der Funktion ablesen? gilt: Stefan Gärtner 004

6 Gr Mathematik Quadratische Funktionen Seite 6 Grundwissen Nullstellen Quadratischer Funktionen, das Lösen Quadratischer Gleichungen Zur Bestimmung der Nullstellen einer quadratischen Funktion f: x Æ a x +b x + c (mit beliebigen Zahlen a, b, c und aπ0) ist die Gleichung 0 = f(x), also (*) 0 = a x +b x + c zu lösen.. Sonderfälle In einigen Sonderfällen kann die Gleichung (*) durch Faktorisieren gelöst werden.... Beispiel 0 = x x Ausklammern von x 0 = x (x ) Produktsatz x = 0 v x = L = {0; }... Beispiel 0 = 4 x x Ausklammern von 4x 0 = 4x (x ) Produktsatz x = 0 v x = L = {0; } Beispiel 0 = x 3. Binom 0 = (x )(x + ) Produktsatz x = v x = L = { ; } Beispiel 0 = x 0x + 5. Binom 0 = (x 5) Produktsatz x = 5 L = {5} Beispiel 0 = x + 6x + 9. Binom 0 = (x +3) Produktsatz x = 3 L = { 3}..6 Beispiel für eine leere Lösungsmenge 0 = x + 9. Binom 9 = x Ein Quadrat kann nicht negativ sein. L = {} Stefan Gärtner 004

7 Gr Mathematik Quadratische Funktionen Seite 7 Grundwissen. Allgemeiner Fall Die p-q-formel Liegt keiner der Sonderfälle vor, so löst man die Gleichung (*) durch quadratsche Ergänzung.... Beispiel 0 = x x 4 quadratische Ergänzung 0 = (x ) 4 0 = (x ) = (x ) Quadrat auflösen x = 5 v x = 5 x = + 5 v x = 5 L = {+ 5 ; 5 }... Beispiel 0 = 3x + x + 3 :3 (Normieren) 0 = x + 4 x + quadratische Ergänzung 0 = (x + ) = (x + ) = (x + ) Quadrat auflösen x + = 3 v x + = 3 x = + 3 v x = 3 L = { + 3 ; 3 } Beispiel 0 = -x + 8 x - 0 : (-) (Normieren) 0 = x - 4 x + 0 quadratische Ergänzung 0 = (x ) = (x ) = (x ) Quadrat auflösen nicht möglich L = {}..4 Allgemein: 0 = x + p x + q quadratische Ergänzung 0 = x p + p x + p 0 = (x + ) p p -q = (x + p ) p p x + = q p p x = + q L = { p ± p + q Binom und Zusammenfassen p + q + p p v x + = q p p v x = q - q Quadrat auflösen, wenn möglich p q } falls der Wert unter der Wurzel nicht negativ ist, p also q 0 Stefan Gärtner 004

8 Gr Mathematik Quadratische Funktionen Seite 8 Grundwissen Das Ergebnis wird in der folgenden Regel zusammengefasst: Regel Die p-q-formel Die Lösung(en) der quadratischen Gleichung 0 = x + p x + q lauten x, = p ± p q p, falls q 0. Bemerkungen: Mit dieser Regel lässt sich evtl. nach entsprechender Vorarbeit jede quadratische Gleichung lösen. Die Formel gilt nur für normierte Terme, d. h., dass nicht- normierte Gleichungen immer erst auf die angegebene Form gebracht werden müssen, bevor die Formel angewandt werden kann. Die Formel stellt eine Abkürzung der quadratischen Ergänzung dar, die im Einzelfall durchaus schneller und sicherer zur Lösung führen kann als diese Formel...5. Beispiel 0 = x + 3 x - 4 p-q-formel mit p = 3, q = x, = ± + 4 Addition unter der Wurzel x, = ± + Addition unter der Wurzel x, = ± 4 Wurzel ziehen x, = 3 ± 5 ausrechnen x = 4 v x = L = {-4; }. Beispiel 0 = x - 4 x + 8 p-q-formel mit p = -4, q = 8 x, = ± 4 8 Addition unter der Wurzel 3 x, = ± 4 Wurzel nicht definiert L = {} Stefan Gärtner 004

9 Gr Mathematik Quadratische Funktionen Seite 9 Grundwissen 3 Aufgabenbeispiele 3. Scheitelpunktbestimmung und Zeichnung Gegeben ist die Funktion f: x Æ x 3x + Aufgabe: Bestimmen Sie den Scheitelpunkt, die Nullstellen, den y-achsenabschnitt und zeichnen Sie den Graph der Funktion. Lösung: Scheitelpunkt: f(x) = x 3x + = (x 3 ) = (x 3 ) 4 Der Scheitelpunkt ist S( 3 / 4 ) Nullstellen: 0 = f(x) Einsetzen 0 = x 3x + Quadratische Ergänzung 3 0 = (x ) Quadrat isolieren 4 3 = (x ) 4 3 x = ± x, = 3 ± Quadrat auflösen + 3 nach x auflösen x = v x = Die Nullstellen sind und y-achsenabschnitt: f(0) =. ist also der y-achsenabschnitt. Zeichnung: Stefan Gärtner 004

10 Gr Mathematik Quadratische Funktionen Seite 0 Grundwissen 3. Nullstellen- und Schnittpunktberechnungen Gegeben sind die Funktionen f: x Æ x + x und g: x Æ x x Aufgabe: Bestimmen Sie Scheitelpunkte, Nullstellen, Schnittpunktre und zeichnen Sie die Graphen. Lösung: Scheitelpunktformen f(x) = -x + x g(x) = x x = [ x x ] = (x ) 4 = [ (x ) 4 ] = (x ) 4 = (x ) + 4 Scheitelpunkt ist ( / 4 ) Scheitelpunkt ist ( / - 4 ) Nullstellen 0 = f(x) 0 = g(x) 0 = x + x 0 = x x 0 = x (x ) 0 = (x ) x = 0 v x = = (x ) x = v = x = x = v = x = Die Nullstellen sind 0 und Die Nullstellen sind 0 und Schnittpunkte: x-koordinaten y-koordinaten f(x) = g(x) f( + 5 ) =. = Zeichnung: x + x = x x f( - 5 ) =. = 0 = x x 0 = x x Schnittpunkte sind x, = ± + S (-0,6 / -) und S (,6 / -) 4 x, = ± 5 v -0,6 Stefan Gärtner 004

11 Gr Mathematik Quadratische Funktionen Seite Grundwissen 4 Gleichungen, die auf quadratische Gleichungen führen Mit Hilfe der p-q-formel lassen sich auch Gleichungen lösen, die zunächst nicht quadratisch aussehen. 4. Bruchgleichungen Bruchgleichungen sind nur für die Zahlen definiert, die den Nenner nicht Null werden lassen. Das wir in D festgehalten. Beispiel: x + 3 x 5 + = x + x x 4 x + HN HN: x +x = x (x+) x 4 = (x+) (x-) (x+3)(x-) + x x = 5x(x-) ausm. x + = (x+). x + x 6 + x = 5x 0 ordnen HN : x(x+) (x-) -3x + x + 4 = 0 normieren x 4 x 3 3 = 0 p-q-formel D = R\{0; -; } 4 x, = ± ausrechnen 49 x, = ± 6 36 ausrechnen 7 x, = ± 6 6 x 4 = 3 v x = 4, Œ D 3 L = { 3 4 ; -} 4. Wurzelgleichungen Bei Wurzelgleichungen treten zwei Besonderheiten auf. - Die Gleichung ist nur für positive Radikanden definiert. Das wird in D festgehalten - Das Quadrieren einer Gleichung ist keine Äquivalenzumformung, wie man sofort am Beispiel der Aussagen 4 = 4 (falsche Aussage) und der quadrierten Form 6 = 6 (wahre Aussage) sieht. Beispiel: 6 + 8x = x Wurzel isolieren D = {x ŒR, x,5} 8x = x 6 quadrieren, L kann größer werden (!!) (!!) fi 8x = (x 6) Binom auflösen 8x = 4x 4x +36 ordnen 0 = 4x 3x +48 normieren 0 = x 8x + Vieta 0 = (x ) (x 6) Produktsatz x = v x = 6 ; 6 Œ D Die Probe ist wegen (!!) zwingend erforderlich: Probe für x = : = 4 8 = 4 (f) Probe für x = 6: = = (w) L = {6} Stefan Gärtner 004

12 Gr Mathematik Quadratische Funktionen Seite Grundwissen 4.3 Biquadratische Gleichungen Beispiel: x 4 7x + = 0 setze z für x z 7z + = 0 p-q-formel 7 z, = ± 4 ausrechnen 7 z, = ± ausrechnen z = 4 v x = 3 setze wieder x für z x = 4 v x = 3 Quadrate auflösen x = v x = - v x = 3 v x =- 3 L = { - ; ; - 3; 3} Stefan Gärtner 004

13 Gr Mathematik Quadratische Funktionen Seite 3 Aufgabe - Überblick über verschiedene Funktionen - Zeichnen Sie nach Austellen einer geeigneten Wertetabelle (evtl. den Taschenrechner bzw. ein Plot- Programm benutzen!) die Graphen der folgenden Funktionen (jeweils vier Graphen in ein Koordinatensystem). Beschreiben und notieren Sie: - markante Eigenschaften und Besonderheiten der Graphen. - Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Terme und Graphen a) f : x Æ x f : x Æ x + x + f 3 : x Æ x 3 f 4 : x Æ x 3 3x b) f 5 : x Æ x = abs(x) f 6 : x Æ x + = abs(x+) f 7 : x Æ x 4 f 8 : x Æ x = sqrt(x) c) f 9 : x Æ x + x f 0 : x Æ d) f 3 : x Æ log 0 (x) f 4 : x Æ 3 x 3x f : x Æ x x e exp(x) f : x Æ f 5 : x Æsin(x) f 6 : x Æ x x Aufgabe - Überblick über verschiedene Funktionen Zeichnen Sie mit Hilfe des Funktionenplotters Turbo-Plot die zu den folgenden Funktionstermen gehörenden Graphen. - Wählen Sie geeignete Werte für den Parameter t. - Beschreiben Sie den Einfluss des Parameters t auf den Verlauf des Graphen. a) f : x Æ x + t f : x Æ (x + t) f 3 : x Æ (x + t) f 4 : x Æ (x + t) b) f 5 : x Æ x + t f 6 : x Æ x + t f 7 : x Æ x 3 +t f 8 : x Æ x +t c) f 9 : x Æ t x f 0 : x Æ t x f : x Æ x t f : x Æ t x d) Gegeben ist die Funktion f: x Æ x und ihr Graph (fett gezeichnet). Wie muss der Term verändert werden, um den dünn gezeichneten Graphen zu erhalten? Probieren Sie! Stefan Gärtner 004

14 Gr Mathematik Quadratische Funktionen Seite 4 Aufgabe Systematische Untersuchung quadratischer Funktionen a) Zeichnen Sie den Graph der Normalparabel f: x Æ x. b) Zeichnen Sie nach Austellen einer geeigneten Wertetabelle (evtl. den Taschenrechner benutzen!) die Graphen der folgenden Funktionen Gruppenweise zum Graph der Normalparabel (jeweils vier Graphen plus Normalparabel in ein Koordinatensystem). c) Beschreiben Sie detailliert den Verlauf der Graphen und nennen Sie Gemeinsamkeiten und Unterschiede innerhalb der Gruppen. d) Beschreiben Sie Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen und der Funktionsvorschriften. e) Formulieren Sie falls möglich Merksätze. Gruppe Gruppe f : x Æ x f : x Æ x + f : x Æ x f : x Æ x f 3 : x Æ x f 4 : x Æ x f 3 : x Æ x + f 4 : x Æ x Gruppe 3 Gruppe 4 f : x Æ (x ) f : x Æ (x + ) + f : x Æ (x + ) f : x Æ (x ) f 3 : x Æ (x ) f 3 : x Æ (x + ) + f 4 : x Æ (x +) f 4 : x Æ (x ) Gruppe 5 Gruppe 6 f : x Æ (x ) + f : x Æ (x + ) + f : x Æ (x + ) f : x Æ (x - ) f 3 : x Æ (x + ) f 3 : x Æ (x + ) + f 4 : x Æ (x ) + f 4 : x Æ (x ) Stefan Gärtner 004

15 Gr Mathematik Quadratische Funktionen Seite 5 Aufgabe Welcher Term gehört zu welchem Graph? Beschriften Sie das Schaubild! f (x)= x f (x) = x f 3 (x) = x f 4 (x) = x Aufgabe Welcher Term gehört zu welchem Graph? Beschriften Sie das Schaubild! f (x)= x + f (x) = x f 3 (x) = x + f 4 (x) = x Stefan Gärtner 004

16 Gr Mathematik Quadratische Funktionen Seite 6 Aufgabe Welcher Term gehört zu welchem Graph? Beschriften Sie das Schaubild! Geben Sie auch jeweils die Polynomform an! f (x) = (x ) f (x) = (x +) f 3 (x) = (x +) f 4 (x) = (x ) = = = = Aufgabe Welcher Term gehört zu welchem Graph? Beschriften Sie das Schaubild! Geben Sie auch jeweils die Polynomform an! f (x)= (x +) + f (x) = (x ) f 3 (x) = (x +) + f 4 (x) = (x ) = = = = Stefan Gärtner 004

17 Gr Mathematik Quadratische Funktionen Seite 7 Aufgabe Welcher Term gehört zu welchem Graph? Beschriften Sie das Schaubild! Geben Sie auch jeweils die Polynomform an! f (x) = (x ) + f (x) = (x +) - f 3 (x) = (x +) - f 4 (x) = (x ) + = = = = Aufgabe Welcher Term gehört zu welchem Graph? Beschriften Sie das Schaubild! Geben Sie auch jeweils die Polynomform an! f (x)= (x +) + f (x) = -(x ) f 3 (x) = (x +) + f 4 (x) = (x ) = = = = Stefan Gärtner 004

18 Gr Mathematik Quadratische Funktionen Seite 8 Aufgabe Welcher Term gehört zu welchem Graph? Beschriften Sie das Schaubild! Geben Sie auch jeweils die Polynomform an! f (x) = x 3 f (x) = x 3 f 3 (x) = x + = = = Aufgabe Welcher Term gehört zu welchem Graph? Beschriften Sie das Schaubild! Geben Sie auch jeweils die Polynomform an! f (x)= (x 5 ) f (x) = (x 3 ) f 3 (x) = (x +) f 4 (x) = (x + 3) = = = = Stefan Gärtner 004

19 Gr Mathematik Quadratische Funktionen Seite 9 Aufgabe Welcher Term gehört zu welchem Graph? Beschriften Sie das Schaubild! Geben Sie auch jeweils die Polynomform an! f (x) = (x+) + f (x) = (x ) + f 3 (x) = (x+) f 4 (x) = (x ) = = = = Aufgabe Welcher Term gehört zu welchem Graph? Beschriften Sie das Schaubild! Geben Sie auch jeweils die Polynomform an! f (x)= (x +3) f (x) = (x 3) 3 f 3 (x) = x f 4 (x) = (x + 3) 3 = = = = Stefan Gärtner 004

20 Gr Mathematik Quadratische Funktionen Seite 0 Aufgabe Welcher Term gehört zu welchem Graph? Beschriften Sie das Schaubild! Geben Sie auch jeweils die Polynomform an! 3 f (x) = x + f (x) = x f 3 (x) = (x ) f4 (x) = (x +) = = = = Aufgabe Welcher Term gehört zu welchem Graph? Beschriften Sie das Schaubild! Geben Sie auch jeweils die Polynomform an! f (x)= 5(x +3) 3 f (x) = 5(x +) f 3 (x) = 5(x-) + f 4 (x) = 5(x 3 ) + 5 = = = = Stefan Gärtner 004

21 Gr Mathematik Quadratische Funktionen Seite Aufgabe Welcher Term gehört zu welchem Graph? Beschriften Sie das Schaubild! Geben Sie auch jeweils die Polynomform an! f (x) = (x 3) + f (x) = (x +3) f 3 (x) = (x + 5 ) 3 f 4 (x) =(x + 3 ) + = = = = Aufgabe Welcher Term gehört zu welchem Graph? Beschriften Sie das Schaubild! Geben Sie auch jeweils die Polynomform an! f (x)= -(x +) + f (x) = -(x +) f 3 (x) = (x-) + f 4 (x) = (x ) + = = = = Stefan Gärtner 004

22 Gr Mathematik Quadratische Funktionen Seite Aufgabe Welcher Term gehört zu welchem Graph? Bestimmen Sie f(x) in Scheitelpunk- und in Polynomform! f (x) = = f (x) ) = = f 3 (x) ) = = f 4 (x) = = f 5 (x) ) = = Aufgabe Welcher Term gehört zu welchem Graph? Bestimmen Sie f(x) in Scheitelpunk- und in Polynomform! f (x) = = f (x) ) = = f 3 (x) ) = = f 4 (x) = = f 5 (x) ) = = f 6 (x) ) = = Stefan Gärtner 004

23 Gr Mathematik Quadratische Funktionen Seite 3 Aufgabe Geben Sie zu den folgenden Funktionen jeweils an: a) die Scheitelpunktkoordinaten, b) ob der Graph nach oben oder nach unten geöffnet ist, c) wie viele Nullstellen die Funktion hat (keine, eine oder zwei), d) die Polynomform des Terms, e) den y-achsenabschnitt, f) den Graph. f (x) = x - f (x) = -(x +3) f 3 (x) = -(x-) - f 4 (x) = (x +) + Aufgabe Bearbeiten Sie wie in Aufgabe! f (x) = - x +3 f (x) = -(x -3) f 3 (x) = (x+) +3 f 4 (x) = -(x -) + Stefan Gärtner 004

24 Gr Mathematik Quadratische Funktionen Seite 4 Aufgabe Geben Sie zu jeder der folgenden Funktionen einen möglichen Funktionsterm an und skizzieren Sie den zugehörigen Graphen. Ergänzen Sie auch die leeren Felder in der Tabelle! Öffnung gestaucht gestreckt f ( 0 / ) oben weder noch f ( / 3 ) unten gestreckt f 3 ( -4 / 5 ) unten gestaucht f 4 ( 5 / 4 ) gestaucht zwei f 5 oben gestaucht eine f 6 (- / ) weder noch keine Scheitelpunkt Nullstellenzahl Scheitelpunktform f(x) = Polynomform f(x) = Stefan Gärtner 004

25 Gr Mathematik Quadratische Funktionen Seite 5 Aufgabe Bringen Sie die folgenden quadratischen Funktionsterme auf Scheitelpunktform und geben Sie den Scheitelpunkt an! a) f( x) = x + x + b) f( x) = x + 4x c) f( x) = x x + d) f( x) = x 4x +7 e) f( x) = x + 0x f) f( x) = x 0x 0 g) f( x) = x 0x +6 h) f( x) = x + 8x + i) f( x) = x + 5x + 4 k) f( x) = x x + 4 j) f( x) = x + 3x l) f( x) = x + x + m) f( x) = x 3x + n) f( x) = x + 5x 6 o) f( x) = x 9x + 5 p) f( x) = x + x + Aufgabe Bringen Sie die folgenden quadratischen Funktionsterme auf Scheitelpunktform und geben Sie den Scheitelpunkt an! In welchem Quadranten liegt der Scheitelpunkt? a) f( x) = - x - x + 4 b) f( x) = x + x 6 c) f( x) = - x + 6x d) f( x) = -4x + 8x + Aufgabe 3 Hier stimmt etwas nicht! Begründen Sie jeweils, dass die Aussagen nicht zusammenpassen! a) f ist eine quadratische Funktion, deren Scheitelpunkt im. Quadranten liegt. Der Graph von f ist nach unten geöffnet und die Funktion hat keine Nullstelle. b) Der Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion liegt an der Stelle -. Die Nullstellen von f sind 0 und -3. c) Der Graph einer quadratischen Funktion ist achsensymmetrisch zur y-achse. Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten S(/-). d) Die quadratische Funktion f hat einen Funktionsterm der Form f(x) = x + c (mit einer beliebigen Zahl c). Die Nullstellen von f sind und -3. e) Der Scheitelpunkt der quadratischen Funktion f hat den Hochpunkt H(-/). F hat genau eine Nullstelle. f) Der Scheitelpunkt der quadratischen Funktion f liegt auf der x-achse. f hat zwei Nullstellen. g) Die quadratische Funktion f hat einen Funktionsterm der Form f(x) = (x-b) (b beliebige Zahl). f hat keine Nullstelle. Stefan Gärtner 004

26 Gr Mathematik Quadratische Funktionen Seite 6 Aufgabe Geben Sie jeweils den Funktionsterm einer quadratischen Funktion mit den angegebenen Eigenschaften an! a) Scheitelpunkt ist S(-/-) und der Graph hat zwei Nullstellen. b) Scheitelpunkt ist S(-/-) und der Graph hat keine Nullstelle. c) Der Graph hat einen Hochpunkt und genau eine Nullstelle. d) Tiefpunkt ist S( / 3) und der Graph ist gestreckt. e) Hochpunkt ist S(-/-) und der Graph ist gestaucht. f) Scheitelpunkt ist S( / 0) und der Graph schneidet die y-achse im negativen Bereich. g) Scheitelpunkt ist S( 0/ -) und der Graph hat keine Nullstelle. Aufgabe Geben Sie für die folgenden Funktionen an, wie viele Nullstellen sie haben. a) f(x) = x. b) f(x) = x 5 c) f(x) = x - 5x + d) f(x) = x +x 4 e) f(x) = (x 5) f) f(x) = x + 60x +90 Aufgabe 3 Geben Sie möglichst ohne Rechnung die Nullstellen an, wenn es welche gibt. a) f(x) = -x. b) f(x) = 5(x-)(x+) c) f(x) = -(x+) + d) f(x) = x e) f(x) = (x + 5)(-x) f) f(x) = x(x ) g) f(x) = (x ) + 9 h) f(x) = 5(x-)(x+7) i) f(x) = x + j) f(x) = (x+)(x+) k) f(x) = 3x(x 4 ) l) f(x) = (x ) Aufgabe 4 Bestimmen Sie die Nullstelen durch Faktorisieren! a) f(x) = x x b) f(x) = 5x + 0x c) f(x) = -6x +3x d) f(x) = x e) f(x) = x +x + f) f(x) = x + x g) f(x) = x 9 h) f(x) = x -8x +6 i) f(x) = x + x + 6 j) f(x) = x +0x + 5 k) f(x) = x l) f(x) = x 0 m) f(x) = x 44 n) f(x) = x 3 o) f(x) = x + 5 Stefan Gärtner 004

27 Gr Mathematik Quadratische Funktionen Seite 7 Aufgabe Beantworten Sie zu jeder der folgenden Funktionen diese Fragen: In welchem Quadranten liegt der Scheitelpunkt? Ist der Scheitelpunkt ein Hoch- oder ein Tiefpunkt? Welche Koordinaten hat der Scheitelpunkt? Welche Nullstellen hat die Funktion? a) f(x) = x + x 4 3 b) f(x) = x + x 3 c) f(x) = - x + x d) f(x) = -x 6x 5 e) f(x) = x +6x +8 f) f(x) = - x - x +8 g) f(x) = x +4x h) f(x) = - x + x +8 i) f(x) = x +x j) f(x) = 5x +0x + 5 k) f(x) = x + 4x 5 l) f(x) = x 4x 5 m) f(x) = x 6x + 5 n) f(x) = -3x + 8x 5 o) f(x) = x 3x 4 p) f(x) = -4x 4x + 3 q) f(x) = x 5 + 3x r) f(x) = 0x + 40x 50 s) f(x) = x x 4 t) f(x) = 3x 9 + 3x 4 u) f(x) = -7x 8x v) f(x) = x x w) f(x) =,x + 7,x +9,6 x) f(x) = -x 4x + 5 y) f(x) = 5 x 5 4 x z) f(x) = -x Aufgabe Bestimmen Sie die Nullstellen: a) f(x) = x b) f(x) = x + x c) f(x) = -x d) f(x) = x - 9 e) f(x) = - x + 4 f) f(x) = -5x +0x g) f(x) = x 3 + x h) f(x) = -x + x i) f(x) = x Aufgabe 3 Welche der folgenden Funktionen hat eine, keine oder zwei Nullstellen? Geben Sie ggfs die Nullstellen an! a) f(x) = x b) f(x) = x 9 c) f(x) = x + 4 d) f(x) = (x 3) e) f(x) = x 6x 8 f) f(x) = x 6x + 9 g) f(x) = x 6x + 0 h) f(x) = -x i) f(x) = x + x j) f(x) = x x k) f(x) = x +x 3 l) f(x) = x + x + 3 Stefan Gärtner 004

28 Gr Mathematik Quadratische Funktionen Seite 8 Aufgabe Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen: a) 0 = x x b) 0 = x + 4x 5 c) 0 = x 6x 7 d) 0 = x 4x e) 0 = x + x 3 f) 0 = x x + g) 0 = x + 4x h) 0 = x 8x + 5 i) 5x = 5x +0 j) x = 0x +8 k) 90 = 3x - 3x l) 4x + 8x = 60 m) x 6 x = 6 n) x + 6 x = 6 o) 5x +3x = p) x +3x = q) 4x 4x = r) x +8 = 8x s) x + = x t) 4x + 7x = 5 u) x + = 7x v) 5x 3x = w) 4x + 6x = 3 x) x 3 = x Aufgabe Bestimmen Sie die Lösungsmenge mit Hilfe der p-q-formel: a) 0 = x 5x + 6 b) 0 = x x + 6 c) 0 = x + x 6 d) 0 = x x e) 0 = x +4 x 5 f) 0 = x + 4x g) 0 = x + 4x - 45 h) 0 = x x 5 i) x = x + Aufgabe 3 Bestimmen Sie die Lösungsmenge mit Hilfe der p-q-formel: a) 0 = x 8x 4 b) 0 = 3x +x 96 c) 0 = 5x 45x + 00 d) 0 = x x + 6 e) 0 = - x 9x 8 f) 0 = x + x g) 0 = -x + x h) 0 = x + 9x 0,5 i) 3x = 6x + Aufgabe 4 Bestimmen Sie jeweils die Lösungsmenge! a) x + 6x = 36 b) 4x +x = c) 5x +0x = 75 d) 4x = 40 8x e) x(x ) = 4(4+x) f) x(x+3) = ( x) + 4 g) x(x+) = (-x) + 8 h) x(x-5) = 9(x-) 7x i) x(x-4) = 5(x+) + 5 Stefan Gärtner 004

29 Gr Mathematik Quadratische Funktionen Seite 9 Aufgabe Geben Sie je eine quadratische Funktion an, die die folgenden Nullstellen besitzt. a) und - b) 3 und 4 c) nur -4 d) und - e) 3 und 5 f) 3 und g) nur - 3 h) 3 und 3 i) nur - j) - und -4 Aufgabe Berechnen Sie die Nullstellen dieser (nichtquadratischen) Funktionen: a) f(x) = x 6 b) f(x) = x 3 x c) f(x) = x 3 6x + 8x d) f(x) = 3x 4 6x + 9x e) f(x) = x 8 + g) f(x) = (x 4) h) f(x) = x(x+3)(x +x +) i) f(x) = (x + x (-x + x ) j) f(x) = (x )(x ) k) f(x) = 3x 4 +8x 3 5x l) f(x) = x 3 +8x + 6x Aufgabe 3 Gegeben ist die Funktion f: x Æ 5x +0x + 5c (mit einer beliebigen Zahl c). Gebe Sie jeweils einen Wert für c an, so dass a) Der Graph von f zwei Nullstellen hat. b) Der Graph von f eine Nullstellen hat. c) Der Graph von f keine Nullstelle hat. Aufgabe 4 Liegen die angegebenen Punkt auf dem Graph der Funktion? a) f(x) = x P( 3 / ) Q( - / ) R ( / ) b) f(x) = x +x 3 P( / 5) Q( / -3) R ( 0 / -3) c) f(x) = x x P( 4 /6) Q( / 3) R ( / 0) d) f(x) = 3x 5x + P( /0) Q( 0 / ) R ( / 9) Stefan Gärtner 004

30 Gr Mathematik Quadratische Funktionen Seite 30 Aufgabe Gegeben sind die beiden Funktionen f und g. Zeichnen Sie nach geeigneter Untersuchung die beiden Graphen in ein Koordinatensystem. Berechnen Sie die Schnittpunkte der beiden Graphen. a) f(x) = x g(x) = x b) f(x) = -x +x+4 g(x) = x + c) f(x) = x g(x) = x + d) f(x) = x 4x + g(x) = x + x + e) f(x) = x 4x + 3 g(x) = - x + 4x 7 Aufgabe Gegeben Sie jeweils einen Funktionsterm einer quadratischen Funktion an, so dass a) Der Scheitelpunkt S(/-) ist und außerdem der Punkt P(-/7) auf dem Graph der Funktion liegt. b) Die Punkte P(/ 7), Q(-/-) und R(/5) auf dem Graph der Funktion liegen. Stefan Gärtner 004

31 Gr Mathematik Quadratische Funktionen Seite 3 Aufgabe Funktionenschar Gegeben sind die Funktion f: x Æ x px + (mit einer beliebigen Zahl p). a) Bestimmen Sie (in Abhängigkeit von p) den Scheitelpunkt und geben Sie an, in welchem Quadranten der Scheitelpunkt liegt. b) Berechnen Sie (in Abhängigkeit von p) die Nullstellen der Funktion. c) Zeichnen Sie den Graph der Funktion für p = -, p = -, p = 0, p = und p = (evtl. mit Hilfe eines Funktionsplotters) d) Welchen Einfluss hat der Parameter p auf den Verlauf des Graphen? Aufgabe Die Rätsel der Kylltalbrücke Zwei Wanderer erreichen die Kylltalbrücke. Sie stehen unter der Brücke Meter vom Fußpunkt des Parabelbogens entfernt unter dem Bogen. Dort ist der Bogen Meter hoch. a) Der erste Wanderer hat gelesen, dass die Kylltalbrücke ca. 00 Meter hoch sei. Er schätzt damit die Entfernung zum anderen Fußpunkt der Parabel. a. Wie weit ist es zum anderen Fußpunkt der Parabel? b. Ist der Abstand der Fußpunkte größer oder kleiner, wenn die Brücke tatsächlich höher (niedriger) ist? Schätzen, begründen und rechnen Sie! b) Der zweite Wanderer will die Höhe der Brücke genauer bestimmen. Er schreitet den Abstand zwischen den beiden Fußpunkten der Parabel ab und misst dabei 0 Meter. a. Berechnen Sie die Höhe der Brücke! b. Wie ändert sich die berechnete Höhe der Brücke, wenn der Wanderer 0 Schritte gezählt hat, ein Schritt bei ihm aber 0,90 Meter misst? Stefan Gärtner 004

32 Gr Mathematik Quadratische Funktionen Seite 3 Aufgabe Hundezwinger Herr Müller plant mit 7 m Maschendrahtzaun einen rechteckigen Platz zwischen Garage und Haus für seinen Hund einzuzäunen (siehe Skizze!). Wie sollte er die Abmesssungen wählen, um eine möglichst große Grundfläche für den Zwinger zu erhalten? Aufgabe Elektronische Bauteile Eine Elektronikfima verkauft im Monat 000 Stück eines Bauteiles für HiFi- Anlagen. Der Preis pro Bauteil beträgt 0. Ein Außendienstmitarbeiter schlägt vor, dass die Firma einen geringeren Preis pro Bauteil verlangen soll, um mehr Bauteile verkaufen zu können. Er vermutet, dass bei einer Preissenkung um 0,0 pro Stück 0 Bauteile mehr verkauft werden könnten, bei 0,0 weniger, 40 Teile mehr usw. Angenommen, der Mitarbeiter hätte recht, wie groß müsste dann die Preissenkung sein, damit die Firma möglichst viel Umsatz macht? Sollte die Firma auf den Vorschlag eingehen? Aufgabe 3 Rechteck Wie muss in der nebenstehenden Zeichnung der Punkt Q gewählt werden, damit das Rechteck OPQR eine möglichst große Fläche hat? (Q liegt auf der Geraden, P und R auf den Achsen, O im Ursprung) Aufgabe 4 Brunnen Charlotte will die Tiefe eines Brunnens bestimmen. Sie lässt einen Stein in den Brunnen fallen und hört den Aufschlag nach 3 Sekunden. Wie tief ist der Brunnen? Informationen, die Sie benötigen, falls Sie sie nicht schon selber wissen: Stefan Gärtner 004

33 Gr Mathematik Quadratische Funktionen Seite 33 Aufgabe Tangente In der nebenstehenden Figur sind die Normalparabel und einige Geraden gezeichnet, die alle durch den Punkt P(0 /-3) verlaufen. Wie ist die Steigung der Geraden zu wählen, dass die Gerade mit der Normalparabel nur genau einen Punkt gemeinsam hat (eine Tangente ist)? Welchen Punkt haben Gerade und Parabel dann gemeinsam? Aufgabe Handschlag Bei einem diplomatischen Empfang begrüßen sich alle Gäste untereinander per Handschlag. Wie viele Gäste sind es, wenn insgesamt 78 (36) Händedrücke gegeben werden? Aufgabe 3 Zahl Wähle eine Zahl und multipliziere sie mit der um kleineren Zahl. Gibt es eine Zahl, so dass dieses Produkt -3 ergibt? Stefan Gärtner 004

34 Gr Mathematik Quadratische Funktionen Seite 34 Aufgabe Bruchgleichungen Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmenge der folgenden Bruchgleichungen: a) 4x(x + ) = 4x x + b) x x + = x + x c) x + 4 x + x x = 4 x(x ) d) x x + 6x + (x ) = 0 e) + x x = x x f) x x = x x 3 g) x 4x = 0 h) 3x + 3 x + 3 x + x x = 5 i) 3 x = x j) x x + = k) = x x l) x = x + 3 m) x x x + x x 4 = x 5 + n) x x 4 + 3x x + 8 = (x x 4 x 6 o) 3x x = x 4x 6 p) 3x x x 5 + x = x x 5 Aufgabe Wurzelgleichungen Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmenge der folgenden Gleichungen: a) x 3 = x b) 6 + 8x = x c) 3(x ) + 4 x + = 0 d) 3x + 8x 9x 0 = 4 Aufgabe 3 Biquadratische Gleichungen Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen: a) 4 x 9 4x = 0 b) 9x 4 85x +36 = 0 c) (x + ) + 3(x+) = (3x+) 4 d) x + 3x = 4 Stefan Gärtner 004

35 Gr Mathematik Quadratische Funktionen Seite 35 Lösungen (ohne Gewähr!) zu Seite 3 Aufgabe a zu Seite 3 Aufgabe b zu Seite 3 Aufgabe c zu Seite 3 Aufgabe d zu Seite 3 Aufgabe a Verschiebung um t in x-richtung zu Seite 3 Aufgabe b Verschiebung um t in y-richtung zu Seite 3 Aufgabe c zu Seite 3 Aufgabe d Streckung / Stauchung durch den Faktio t f: x Æ ( x 3) zu Seite 4 Gruppe zu Seite 4 Gruppe Streckung und Stauchung durch Faktor vor x Verschiebung in y-richtung durch absolutes Glied +/- vor x bewirkt Öffnung nach oben / unten +/- vor x bewirkt Öffnung nach oben / unten Stefan Gärtner 004

36 Gr Mathematik Quadratische Funktionen Seite 36 Lösungen (ohne Gewähr!) zu Seite 4 Gruppe 3 zu Seite 4 Gruppe 4 Verschiebung in x-richtung durch Addition Verschiebung in x-richtung durch Addition vorm Quadrieren vorm Quadrieren +/- vor x bewirkt Öffnung nach oben / unten Verschiebung in y-richtung durch absolutes Glied +/- vor x bewirkt Öffnung nach oben / unten zu zu Seite 4 Gruppe 5 zu Seite 4 Gruppe 6 Verschiebung in x-richtung durch Addition Verschiebung in x-richtung durch Addition vorm Quadrieren vorm Quadrieren Verschiebung in y-richtung durch absolutes Glied Verschiebung in y-richtung durch absolutes Glied +/- vor x bewirkt Öffnung nach oben / unten +/- vor x bewirkt Öffnung nach oben / unten Faktor vor der Klammer staucht/streckt zu Seite Aufgabe f (x) = x 3 f (x) = (x+3) f 3 (x) = (x-3) f 4 (x) = -x + f 5 (x) = -x zu Seite Aufgabe f (x) = (x+) f (x) = (x+3) - f 3 (x) = (x-3) - f 4 (x) = (x-) + f 5 (x) = (x+) f 6 (x) = (x+) zu Seite 3 Aufgabe (Zeichnung mit Turbo-kontrollieren!) Scheitelpunkt Öffnung #Nullstellen Polynomform y-achsenabschn. f (0 / -) nach oben x f (-3 / 0) nach unten x 6x 9 9 f 3 ( / -) nach unten 0 x +4x 5 5 f 4 (- / ) nach oben 0 x +x+4 3 zu Seite 3 Aufgabe (Zeichnung mit Turbo-kontrollieren!) Stefan Gärtner 004 Scheitelpunkt Öffnung #Nullstellen Polynomform y-achsenabschn. f (0 / 3) nach unten -x +3 3 f (3 / 0) nach unten x + 6x 9 9 f 3 (- / 3) nach oben 0 x +4x+7 7

37 Gr Mathematik Quadratische Funktionen Seite 37 Lösungen (ohne Gewähr!) f 4 ( / ) nach unten -x +x+ zu Seite 4 (Zeichnungen evtl. mit Turbo-Plot entwerfen und kontrollieren!) Scheitelpunkt getreckt punktform gestaucht / Scheitel- Öffnung #Nullstellen Polynomform f (0 / ) nach oben weder noch 0 x + x + f ( / 3) nach unten gestreckt -(x-) + 3 -x +4x - f 3 (-4 / 5) nach unten gestaucht -(x+4) + 5 -x -8x - f 4 (5 / 4) nach unten gestaucht -0,5(x-5) + 4-0,5x +5x-8,5 f 5 (0 / 0) nach oben gestaucht 0,5x 0,5x f 6 (- / ) nach unten weder noch 0 -(x+) - -x - x -5 zu Seite 5 Aufgabe (Zeichnungen evtl. mit Turbo-Plot entwerfen und kontrollieren!) a) f(x) = (x+) + ; SP (- / ) b) f(x) = (x+) - 5 ; SP (- / -5) c) f(x) = (x-) + ; SP ( / ) d) f(x) = (x-) +3 ; SP ( / 3) e) f(x) = (x+5) -7 ; SP (-5 /-7) f) f(x) = (x-0) -0 ; SP (0 / 0) g) f(x) = (x-5) - 9; SP ( 5 / -9) h) f(x) = (x+4) -4 ; SP ( -4 / -4) i) f(x) = (x+,5) -6 ; SP (-,5 / -6) j) f(x) = (x+,5) -,5 ; SP (-,5 / -,5) k) f(x) = (x-0,5) ; SP (0,5 / 0) l) f(x) = (x+0,5) +0,75 ; SP (-0,5 / 0,75) m) f(x) = (x-,5) -,5; SP (,5 / -5) n) f(x) = (x+7,5) -7,5 ; SP (-7,5 / -7,5) o) f(x) = (x -4,5) ; SP (4,5/ ) p) f(x) = (x+) ; SP (- / 0) 0 0 zu Seite 5 Aufgabe (Zeichnungen evtl. mit Turbo-Plot entwerfen und kontrollieren!) a) f(x) = -(x+) +5 ; SP (- / 5) b) f(x) = (x+0,5) 6,5 ; SP (-0,5 / -6,5) c) f(x) = -(x-3) +8 ; SP ( 3 / 8) d) f(x) = -4(x-) +6 ; SP ( / 6) zu Seite 5 Aufgabe 3 (Zeichnungen evtl. mit Turbo-Plot entwerfen und kontrollieren!) a) fi Zwei Nullstellen. b) fi Nullstellen liegen symmetrisch zu x = -. c) fi SP liegt auf y-achse! d) fi Nullstellen liegen symmetrisch zur y-achse. e) fi Zwei Nullstellen. f) fi genau eine Nullstelle. g) fi Zwei Nullstellen. Stefan Gärtner 004

38 Gr Mathematik Quadratische Funktionen Seite 38 Lösungen (ohne Gewähr!) zu Seite 6 Aufgabe a) f(x) = (x+) - b) f(x) = -(x+) - ; c) f(x) = - (x+) d) f(x) = (x-) +3 e) f(x) = 0,5 (x+) + f) f(x) = -(x-) ; g) f(x) = - x - zu Seite 6 Aufgabe a) eine (SP auf x-achse) b) zwei, SP(0-5) ist TP c) zwei SP(,5/-5,5) ist TP d) keine SP(/-3,5) ist HP e) eine SP auf x-achse f) zwei SP(30/-80) ist TP; zu Seite 6 Aufgabe 3 a) 0 b) ; - c) 0; - d) -; e) 0; f) -3; 0 g) keine h) -7; i) keine j) -; - k) 0; 0,5 l) 7 zu Seite 6 Aufgabe 4 a) x(x-) Nst: 0; b) 5x(x+) Nst: 0; - c) -6x(x-0,5) Nst: 0; 0,5 d) (x-)(x+) Nst: -; e) (x+) Nst: - f) x(x+) Nst:0; - g) (x+3)(x-3) Nst:-3; 3 h) (x-4) Nst: 4 i) (x+0,5) Nst:-0,5 j) (x-5) Nst: 5 k) (x+ ) (x- ) Nst: ± ; l) (x+ 0 ) (x- 0 ) Nst: ± 0 m) (x+) (x-) Nst: ± n) (x+ 3 ) (x- 3 ) Nst: ± 3 ; zu Seite 7 Aufgabe SP Quadrant Nullst. SP Quadrant Nullst. a) T(-0,5/-) 3 0,5; -,5 b) T(-/-4) 3 ; -3 c) H(0,5/) -0,5;,5 d) H(-3/4) -; -5 e) T(-3/-) 3 -;-4 f) H(-/9) ; -4 g) T(-/-) 3 -; -3 h) H(/9) -; 4 i) T(-0,5/-,5) 3 k) T(-/-9) 3 m) T(3/-4) 4 o) H(-3/0,5) q) H(3/) s) T(/-,5) 4 u) H(-/7) w) T(-3/-,) 3 y) T(/-,8) 4 ± 5 8 j) T(-/0) 3 Keine ; -5 ; 5 -; -4 5; -; 4 -; 3 -; -4 -; 5 l) T(/-9) 4 5; - n) H(3/) ; 5 p) H(-0,5/4) 0,5; -,5 r) T(-/-90) 3 ; -5 t) T(-0,5/-3) 3 0,5;-,5 v) T(-/-0,9) 3 ; 5 x) H(-/9) ;-5 z) H(0/0) Ursprung 0 Stefan Gärtner 004

39 Gr Mathematik Quadratische Funktionen Seite 39 Lösungen (ohne Gewähr!) zu Seite 7 Aufgabe a) 0 b) 0; - c) -; d) -3; 3 e) -; + f) 0; 4 g) 0 ; -3 h) 0; 0,5 zu Seite 7 Aufgabe 3 a) 0 b) 3; -3 c) keine d) 3 e) 3 ± 7 f) 3 g) keine h) keine i) 0; - j) 0; k) -3; l) keine zu Seite 8 Aufgabe a) L = {-;} b) L = {+;-5} c) L = {-3;9} d) L = {-3;7} e) L = {-3;} f) L = {} g) L = { ± 0 } h) L = {3;5} i) L = {-3;8} j) L = {-;7} k) L = {-5;6} l) L = {3;-5} m) L ={ ; } n) L = { ; } o) L = {-; } p) L = {-; } q) L = { r) L = {} s) L = {} t) L = {} u) L = { 3 x) L = { zu Seite 8 Aufgabe 3 ; } ; 4 ± } }v) L = { ;} w) L ={ ± 3 5 a) L = {;3} b) L = {} c) L = {-3;} d) L = {-3;4} e) L = {-5;} f) L = {-7; 3} g) L = {-9; 5} h) L = {-3;5} } zu Seite 8 Aufgabe 3 a) L = {-;6} b) L = {-8; 4} c) L = {4;5} d) L = {} e) L = {-;-8} f) L = {-7} g) L = {3} h) L = {-7;} zu Seite 8 Aufgabe 4 a) L = {-6;3} b) L = {-7; 4} c) L = {-5;3} d) L = {-7;5} e) L = {-;8} f) L = {-3;} g) L = {-5;} h) L = {} i) L = {-;0} j) L = {-3;} zu Seite 9 Aufgabe a) f(x) = x b) f(x) = x +7 x + c) f(x) = (x+4) d) f(x) = x e) f(x) = x ( 3 + 5)x 5 f) f(x) = x ( + 3)x 6 g) f(x) = ( x + 3) h) f(x) = x x + 9 i) f(x) = (x+) j) f(x) = (x+)(x+4) = x +6x+8 Stefan Gärtner 004

40 Gr Mathematik Quadratische Funktionen Seite 40 Lösungen (ohne Gewähr!) zu Seite 9 Aufgabe a) Nst: 0 b) Nst: 0; c) Nst: 0; ; 4 d) Nst: -; 0; 3 e) Nst: keine f) Nst: -; ; -; 3 g) Nst: -; h) Nst: 0 ; -3 ± i) Nst: = ; j) Nst: -; k) Nst: 0; ; 5 l) Nst: -3; -; 0 zu Seite 9 Aufgabe 3 a) für c < b) für c = Nst: 0; c) für c > zu Seite 9 Aufgabe 4 a) ja b) nein c) ja d) nein zu Seite 30 Aufgabe Zeichnungen bitte mit Turbo-Plot kontrollieren. Schnittpunkte: a) S (0/0) S (/) b) S ( / ) S ( / + ) c) S (-/) S (/4) d) S ( ; ) e) kein Schnittpunkt zu Seite 30 Aufgabe Zeichnungen bitte mit Turbo-Plot kontrollieren. Schnittpunkte: a) Aus der Scheitelpunktform f(x) = a(x-b) +c ergibt sich: b= -, c = -, also mit dem gegebenen Punkt 7 = a(--) - a =, also f(x) = (x-) - b) Für den Term f(x) = ax + bx + c sind a, b, und c zu bestimmen. Die Lösung des Lineares Gleichungssystems () 7 = a + b + c () - = a b + c (3) 5 = 4a+b+c führt zu a = -; b = 4 und c = 5 also f(x) = -x + 4x + 5 zu Seite 3 Aufgabe a) Scheitelpunktform f(x) = (x-p) +-p fi Der Scheitelpunkt ist ein TP (p/-p ) Je nach Wahl von p ändert sich offensichtlich die Lage des Scheitelpunktes. Man erhält dann: Der Scheitelpunkt liegt im a.. Quadranten, falls p > 0 und zugleich -p > 0, also wenn 0 < p <. b.. Quadranten, falls p < 0 und zugleich -p > 0, also wenn - < p < 0. c. 3. Quadranten, falls p < 0 und zugleich -p < 0, also wenn p < -. d. 4. Quadranten, falls p > 0 und zugleich -p < 0, also wenn p >. e. Auf der x-achse, falls -p = 0, also wenn p = v p = -. f. Auf der y-achse, falls p = 0. b) 0 = f(x) einsetzen 0 = x px + p-q-formel x, = p ± p Ist p < 0, so gibt es keine Nullstellen. c) Bitte selber plotten! Stefan Gärtner 004

41 Gr Mathematik Quadratische Funktionen Seite 4 Lösungen (ohne Gewähr!) zu Seite 3 Aufgabe Legt man die Brücke in ein Koordinatensystem, so ergibt sich für den Brückenbogen der Term f(x) = ax. (a<0) a) Aus den Informationen ergeben sich die beiden Gleichungen für s : () f(s) = - 00 as = -00 a = () f(s-) = -98 a(s-) = - 98 a = fi 00 s = 98 (s ) 00 s 98 (s ) und -00 (s-) = -98 s -00s + 00s -00 = -98 s -s + 00s -00 = 0 s 00s + 50 = 0 s, = 50 ± s, = 50 ± 49,50 s = (s>) Die Entfernung zum anderen Fußpunkt beträgt also 99,50m = 99m Ist die Brücke tatsächlich höher, so ist der Abstand der Fußpunkte auch größer. (siehe Berechnungsweg von s!) b) Sie h die gesuchte Höhe der Brücke, so gelten die Gleichungen () f(0) = h a(0) h = h a = und () f(09) = h + a(09) = h+ a = fi h (0) = h + (09) Die Brücke ist also 0,5 m hoch. (0) h + (09) (09) h = (0) h + (0) h = (0) (0) (09) h = -0,5 Ist ein Schritt tatsächlich nur 0,90m lang, so ist der Abstand der Fußpunkte 0 0,90m = 98 m Der Rechenweg von oben ergibt dann: h = Die Brücke wäre dann 99,50 m hoch (99) (99) (98) h = -99,5 zu Seite 3 Aufgabe Für das geplante Rechteck (Hundezwinger) mit den Seiten a und b soll der Flächeninhalt (*) F = a b möglichst groß sein. Die 7 m Zaum müssen dabei auf a und b aufgeteilt werden, also a+b = 7 a = 7 b. Setzt na man in (*) ein, so ergibt sich: F = (7 b) b. Dies stellt eine nach oben offene quadratische Funktion mit den Nullstellen 0 und 7 dar. Der Scheitelpunkt dieser Funktion (der größte Flächeninhalt) ergibt sich für damit für b = 3,5 (Mitte zwischen den Nullstellen). Dann ist auch a = 3,5. zu Seite 3 Aufgabe Eine Preissenkung um x Euro führt zu einer Mengenhöhung von 00 x Stück. Der Umsatz berechnet sich aus Preis mal Menge. Damit ergibt sich für den Umsatz U in Abhängigkeir von der Preissenkung: U (x) = Preis mal Menge = (0 x) ( x) = 00 (0 x) (5 + x) = 00(x 5 x -50). Dies ist eine nach unten geöffnete Parabel, die einen HP besitzt. Der x-wert des SP gibt die Preissenkung an, die zu dem maximalen Umsatz führt. Dieser x-wert kann über die bestimmung der SP-Form oder über die Nullstellenbestimmung (Mitte zwischen den Nullstellen) ermittelt werden. Beides führt zu x =,5. Bei einer Preissenkung von,5 Euro wäre der Umsatz am größten. Für das Unternehmen ist nicht nur der Umsatz, sondern insbesondere der Gewinn entscheidend. Ob die Umsatzsteigerung auch zu Gewinnsteigerungen führt, hängt von weiteren Faktoren ab, die hier nicht bekannt sind: etwa Produktionskosten, Gewinnspanne, etc. Im Extremfall könnte eine Preissenkung unter die Produktionskosten sogar zu Verlusten führen. Stefan Gärtner 004

42 Gr Mathematik Quadratische Funktionen Seite 4 Lösungen (ohne Gewähr!) zu Seite 3 Aufgabe 3 Entscheidend ist die Lage des Punktes Q(x/y). Mit Q liegt dann auch die Lage von P(x/0) und R(0/y) fest und die Größe 3 des Rechteckes A = x y. Der Punkt Q liegt auf der Geraden mit der Gleichung y = x + 3. Damitergibt sich für die 3 4 Fläche A = x ( x + 3) = 3 x (x 4) = 4 3 x + 3x. Dies stellt eine nach unten geöffnete Parabel dar, die also einen 4 HP hat. Der x-wert des HP gibt die Lage von P an, so dass A maximal ist. Nullstellen von A sind 0 und 4, der SP liegt also bei x =. 4 zu Seite 3 Aufgabe 4 Es gibt verschiedene Lösungsvarianten, die alle von den folgenden drei Grundgleichungen ausgehen, die durch die Aufgabenstelllung gegeben sind: Sei h die Tiefe des Brunnens. In 3 sek fällt der Stein diese Tiefe hinab und der Schall des Aufschlages kommt diesen Weg zurück. Damit gilt () 3 = s + s s = 3 - s wobei s die Fallzeit und s die Schallzeit ist. Für die Fallzeit gilt () h = 5s. Für die Schallzeit gilt: (3) h = 340 s. () und (3) zusammen ergeben: 5s = 340 s Mit () kombiniert ergibt sich: 5s = 340 (3 s ) Die Lösung dieser quadratischen Gleichung führt zu s =,878 und damit zu 4,4 m Der Brunnen ist also ca. 4,4 m Tief. zu Seite 33 Aufgabe Alle Geraden haben die Gleichung y = mx -3. Mit der NP y = x ergeben sich die Schnittpunkte: m mx 3 = x 0 = x - mx + 3 x, = ± 3 Genau ein Schnittpunkt liegt vor, m 4 m wenn m 3 = 0 = 3 m = m = ±. 4 4 Der gemeinsame Punkt ist dann P ( ± / 3) zu Seite 33 Aufgabe Formel zur Berechnung der Handschläge: n n Es seien n Gäste. Jeder begrüßt jeden (n ), außer sich selbst ( n). Je zwei verschiedene Gäste begrüßen sich stets gleichzeitig. (:). Also ist die quadratische Gleichung zu Seite 33 Aufgabe 3 n n = 78 zu lösen. Das ergibt n = 3. 3 Gäste begrüßen sich. Der Text ist in die Gleichung x(x-) = -3 zu übersetzen und die Gleichung ist zu lösen. Die Lösungsmenge ist leer. Es gibt also keine solche Zahl. Stefan Gärtner 004

43 Gr Mathematik Quadratische Funktionen Seite 43 Lösungen (ohne Gewähr!) zu Seite 34 Aufgabe a) L = {;}, D = R\ {0;-0,5} b) L = { ± }, D = R\ {0;-} c) L = {;-}, D = R\ {0; } d) L = {-;}, D = R\ {; } e) L = {}, D = R\ {0; } f) L = {-; 6}, D = R\ {-;,5} g) L = {0; }, D = R\ {-} h) L = { 3 ; 3}, D = R\ {0; } i) L = {-; }, D = R\ {0} j) L = {;4}, D = R\ {} k) L = {}, D = R\ {0;} l) L = {-4}, D = R\ {; -3} zu Seite 34 Aufgabe a) D = {x x> 3 }, Probe für x = L = {} b) D = {x x> 3 }, Probe für x = und x = 6; L = {6} c) D = {x x> 4 }, Probe für x = und x = 9 4 L = { 9 4 } d) D = R\{x -,<x<,4}, Probe für x = und x = 3 L = {} zu Seite 34 Aufgabe 3 a) L = {3; -} b) L = { ± ; ±3} c) L = { ± ; ± 3 } d) L = {± 3 3 ;± } Stefan Gärtner 004