4.2. Quadratische Funktionen

Transkript

1 Definition: Normalform der Parabelgleichung.. Quadratische Funktionen Eine Funktion mit der Gleichung f() = a + b + c mit a R* und b,c R heißt quadratische Funktion oder ganzrationale Funktion. Grades in Normalform. Ihr Schaubild ist eine Parabel.... Streckung und Stauchung von Parabeln Beisiele: Aufgaben zu quadratischen Funktionen Nr = = = = - Stauchung und Streckung von Schaubildern Multilikation mit ositiven a a bewirkt Streckung in -Richtung der nach oben geöffneten Parabel. Stauchung Multilikation mit negativen a bewirkt eine Öffnung der Parabel nach unten. Übungen: Aufgaben zu quadratischen Funktionen Nr.... Verschiebung von Parabeln Beisiele: Aufgaben zu quadratischen Funktionen Nr. + ( ) ( ) = + = ( ) + = = ( ) Verschiebung in -Richtung Man verschiebt das Schaubild um + in -Richtung, indem man durch ersetzt. Das Koordinatensstem wird um in die Gegenrichtung verschoben. Aus = f() wird = f() = f() +.

2 Beisiel: Man verschiebt die Parabel = um + nach oben, indem man durch ersetzt: Aus = wird = = +. Verschiebung in -Richtung Man verschiebt das Schaubild = f() um + in -Richtung, indem man durch ersetzt: Das Koordinatensstem wird um in die Gegenrichtung verschoben. Aus = f() wird = f( ). Beisiel: Man verschiebt die Parabel = um + nach rechts, indem man durch ersetzt: Aus = wird = ( ). Übungen: Aufgaben zu quadratischen Funktionen Nr Die Scheitelunktform der Parabelgleichung Verschiebung in - und -Richtung Man verschiebt das Schaubild = f() um + in -Richtung und um + in -Richtung, indem man durch und durch ersetzt: Das Koordinatensstem wird um bzw. in die Gegenrichtung verschoben. Aus = f() wird = f( ). = f( ) +. Beisiel: Man verschiebt die Parabel = um + nach oben und + nach rechts, indem man durch und durch ersetzt: Aus = wird = ( ) = ( ) + Scheitelunktform der Parabelgleichung Eine Funktionsgleichung der Gestalt = a ( ) bzw. = a ( ) + heißt Scheitelunktform der Parabelgleichung. S( ) ist der Scheitelunkt der Parabel. Der Koeffizient a heißt auch Steigungsfaktor. Übungen: Aufgaben zu quadratischen Funktionen Nr Scheitelunktbestimmung durch quadratische Ergänzung Beisiel: Gesucht ist der Scheitelunkt von = + 5 = ± (Quadratische Ergänzung). binomische Formel und zusammenfassen = ( ) + Der Scheitelunkt ist also S( )

3 Allgemein: Gesucht ist der Scheitelunkt von = + + q ± = + + = Der Scheitelunkt ist also S( + q ). Übungen Aufgaben zu quadratischen Funktionen Nr. 9 a) - g) (quadratische Ergänzung) + q. binomische Formel und zusammenfassen + q (Scheitelunktform) Beisiel: Gesucht ist der Scheitelunkt von = = [ + + ] = [ ] ausklammern ± (Quadratische Ergänzung). binomische Formel und zusammenfassen = [ ( + ) = ( + ) ] Eckige Klammer auflösen Der Scheitelunkt ist also S( ) Übungen Aufgaben zu quadratischen Funktionen Nr. 9 h) - r)..5. Nullstellenbestimmung mit der -q-formel Beisiel: Bestimme die Nullstellen von = = setzen und nach auflösen: f() = ( ) = ± 9 (quadrat. Ergänzung) = binomische Formel = ( ) + = ( ) ± = / + ± = / Übungen: Aufgaben zu quadratischen Funktionen Nr. Allgemein: Bestimme die Nullstellen von = + + q = setzen und nach auflösen = + + q ± = q binomische Formel (quadratische Ergänzung) = + q + q

4 ± q = q ± q = / + = /, aber nur, wenn die Diskriminante q ist!!! Übungen: Aufgaben zu quadratischen Funktionen Nr. a) - g) Beisiel für die Bestimmung einer Nullstelle bei gestreckten Parabeln Bestimme die Nullstellen von = + = setzen, Steigungsfaktor ausklammern und -q-formel anwenden: = + Steigungsfaktor ausklammern = ( + ) = + -q-formel / = ± Übungen: Aufgaben zu quadratischen Funktionen Nr. h) - r)..6. Nullstellenbestimmung durch Faktorisieren mit dem Satz von Vieta Einführung: Aufgaben zu quadratischen Funktionen Nr. Satz von Vieta: Die quadratische Funktion f() = + (u + v) + u v = ( + u) ( + v) hat die Nullstellen = u und = v. Übungen: Aufgaben zu quadratischen Funktionen Nr...7. Quadratische Ungleichungen Beisiel Bestimme die Lösungsmenge der Ungleichung. Lösen der entsrechenden Gleichung mit -q-formel oder Vieta: = ( + )( ) = / = ± Die Nullstellen der Parabel bedeuten einen Vorzeichenwechsel und legen daher die Grenzen der Lösungsmenge fest. Um zu entscheiden, ob die Lösungsmenge innerhalb oder außerhalb dieser Grenzen liegt, betrachtet man die Öffnung der Parabel. [ ] = -5 In diesem Fall ist sie nach oben geöffnet, so dass die gesuchten negativen Werte zwischen den Nullstellen liegen L = [; ] Übungen: Aufgaben zu quadratischen Funktionen Nr.

5 Übersicht zu quadratischen Funktionen Satz von Vieta quadrat. Ergänzung Produktform Normalform Scheitelunktform f() = a( + v)( + v) f() = a + b + c f() = a( ) + Ausmultilizieren Ausmultilizieren Nullstellen Dehnung/Öffnung a Dehnung/Öffnung a = u Achsenschnittunkte Scheitelunkt S( ) = v P( c) und P( / ) mit -q-formel..8. Ortskurven Beisiel Schaubild Gegeben sei eine Schar von Parabeln durch die Gleichung: f t () = t + t mit t R. a) Skizziere die Schaubilder von f t für t {; ±; ±} in ein gemeinsames Koordinatensstem b) Bestimme die Koordinaten des Scheitels in Abhängigkeit vom Parameter t. c) Wie lautet die Funktionsgleichung der Ortskurve, auf dem die Scheitel aller Parabeln für beliebige t R liegen? d) Bestimme t so, dass das Schaubild von f t durch den Punkt P( 8) verläuft. 9 a) Skizze: b) f t () = t + t = ( t) + t S(t t ) für t R. c) Die Koordinaten des Scheitelunktes sind = t und = t. Durch Einsetzen von = t kann man t eliminieren und erhält die Ortskurve =. d) f t () = 8 t = 8 t / = ± Übungen: Aufgaben zu quadratischen Funktionen Nr Bestimmung von gemeinsamen Punkten Beisiel: Bestimme die Schnittunkte von f() = + und g() = 6 f() = g() Gleichsetzen + = 6 + = 8 Öffnungsfaktor ausklammern = ( ) Nullstellenbestimmung mit -q-formel oder Vieta = ( )( + ) = mit f() = g() = und Einsetzen der Schnittstellen und = mit f() = g() = Schnittunkte S ( ) und S ( ) Merke: Die Bestimmung der Schnittunkte zweier beliebiger Schaubilder f und g lässt sich durch Gleichsetzen der Funktionsgleichungen f() = g() auf eine Nullstellenberechnung zurückführen: = g() f(). Übungen: Aufgaben zu quadratischen Funktionen Nr. 6 5

6 Beisiel für gemeinsame Punkte bei Kurvenscharen Welche Bedingung muss für t gelten, damit die Gerade g t () = + t die Parabel f() = + + a) schneidet b) berührt c) assiert? Gleichsetzen f() = g t () ergibt die Lösungen / = ± t, falls t, also a) Schnittunkte (Sekante) bei t > b) Berührungsunkt (Tangente) bei t = c) keine Berührung bei t <. Übungen: Aufgaben zu quadratischen Funktionen Nr f Bestimmung von Funktionsgleichungen Beisiel für drei gegebene Punkte Bestimme die Gleichung der Parabel, die durch die Punkte P ( ), P ( ) und P ( ) verläuft. Durch Einsetzen der drei Punkte in die Normalform = a + b + c erhält man drei lineare Gleichungen für die drei zu bestimmenden Koeffizienten a, b und c. Das LGS wird mit dem Diagonalverfahren gelöst (siehe...): P a b + c = () () P a b + c = + + P a + b + c = P a b + c = P b c = () P 6b c = 6 + P a b + c = P b c = + + P 6c = 7 : :(6) P a b = 5 P b = : P c = + P a = P b = P c = f() = + +. Probe: durch Einsetzen der Punkte Übungen: Aufgaben zu quadratischen Funktionen Nr. 8 Beisiel für zwei gegebene Punkte, von denen einer der Scheitelunkt ist Bestimme die Gleichung der Parabel mit dem Scheitelunkt S( ), die außerdem durch P( 5) verläuft. Die Koordinaten des Scheitelunktes S( ) setzt man direkt in die Scheitelunktform ein f() = a( ) Steigungsfaktor a bestimmt man anschließend durch Einsetzen des zweiten Punktes P( 5): f() = 5 a( ) + = 5 a + = 5 ; : a = +. Den Die gesuchte Funktion ist also f() = ( ) + = + Übungen: Aufgaben zu quadratischen Funktionen Nr. 9-6