Lehrplanthemen Mathematik Einführungsphase (Klassenstufe 10)

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1 Lehrplanthemen Mathematik Einführungsphase (Klassenstufe 0) I. Bereich: Differentialrechnung. Mittlere Änderungsrate Differenzenquotient einer Funktion, Sekantensteigung Um die Steilheit eines Funktionsgraphen anzugeben, verbindet man zwei Punkte des Graphen durch eine Gerade; so erhält man eine Sekante. Deren Steigung wird als Differenzenquotient bezeichnet, weil man sie als Quotient der Differenz der y-koordinaten und der Differenz der x-koordinaten berechnet. Für die Steigung der Sekante gilt also: y yq yp f (q) f (p) msekante. x x x q p Q P. Momentane Änderung Differentialquotient, Tangentensteigung Lässt man den Punkt Q auf dem Graphen der Funktion in Richtung des Punktes P rutschen, so nähert sich die Sekante immer mehr der Tangente an den Funktionsgraphen im Punkt P an. Somit nähert sich der Differenzenquotient immer mehr der Steigung der Tangente im Punkt P an. Bezeichnet man die Differenz der x- Koordinaten von Q und P als h(>0), so hat der Punkt Q die Koordinaten p+h bzw. f(p+h). Mit h 0 gilt dann: f (p h) f (p) m lim m lim Tangente Sekante h0 h0 h Der Grenzwert heißt rechtsseitiger Differentialquotient. Liegt der Punkt Q links von P, erhält man auf dieselbe Art den linksseitigen Differentialquotienten. Hierbei hat Q die Koordinaten p-h bzw. f(p-h). Es gilt dann: f (p h) f (p) mtangente lim msekante lim h0 h0 h Willy Arbeiter Einführungsphase Mathematik Seite von 0

2 Stimmen die beiden Grenzwerte überein, so erhalten wir eine eindeutige Tangentensteigung und die Funktion ist an der Stelle p differenzierbar. Anderenfalls hat der Funktionsgraph einen Knick und die Funktion ist deshalb an der Stelle p nicht differenzierbar. Die Steigung der Tangente im Punkt P wird als Ableitung f (p) der Funktion an der Stelle p bezeichnet. 3. Ableitungsfunktion Ableitungsregeln für Potenzfunktionen Summenregel, Faktorregel Bildet man die Ableitungen einer Funktion an allen Stellen, so ergibt sich die Ableitungsfunktion f (x). n n Es gilt: f x x f '(x) nx. Außerdem: f x u x vx f ' x u ' x v' x (Summenregel) und f x a u x f ' x a u ' x, für alle a (Faktorregel) 4. Extremwerte Eine Extremstelle liegt bei x E vor, wenn der Funktionsgraph hier eine Tangente hat, die parallel zur x-achse ist, wenn also f (x E ) gleich Null ist. Diese notwendige Bedingung reicht jedoch nicht aus, weil unter Umständen ein sogenannter Sattelpunkt vorliegt, das ist dann der Fall, wenn der Graph sowohl links und als auch rechts der Stelle x E steigend (bzw. fallend) ist, wenn also die Ableitungsfunktion keinen Vorzeichenwechsel bei x E aufweist bzw. wenn f (x E ) auch Null ist. wenn weitere Spezialfälle nicht behandelt werden, gilt also folgende hinreichende Bedingung für Extremstellen: x ist Extremstelle f ' x 0 f '' x 0. E E E f(x E ) heißt dann Extremwert der Funktion. Ist die. Ableitung negativ, so liegt eine Maximalstelle vor. Ist die. Ableitung positiv, so liegt eine Minimalstelle vor. 5. Differentiationsregeln (nicht unbedingt Stoff der Einführungsphase) Produktregel: f x u x vx f ' x u ' x vx u x v' x Quotientenregel: f x vx u x f ' x u ' x v x u x v' x v x Kettenregel f x u vx f ' x u ' vx v' x Fachkollegen mögen mir die unpräzise Schreibweise der Kettenregel nachsehen. 6. Numerische Ermittlung von Funktionswerten Halbschrittverfahren / Regula falsi Computereinsatz Willy Arbeiter Einführungsphase Mathematik Seite von 0

3 II. Bereich Affine Geometrie. Vektoren im - bzw. 3-dimensionalen Raum Ein Vektor ist die Menge aller Pfeile gleicher Länge und gleicher Richtung. Ein einzelner Pfeil wird auch als Repräsentant des Vektors bezeichnet.. Rechnen mit Vektoren a) Für die Vektoraddition gilt: Man erhält einen Repräsentanten der Summe der Vektoren a und b, indem man den Schaft eines Repräsentanten des Vektors b an die Spitze eines Repräsentanten des Vektors a setzt. Der Verbindungspfeil des Schaftes von a und der Spitze des Repräsentanten des Vektors b ist Repräsentant von a + b. a b a b In Spaltenschreibweise: a a und b b a b a b. a 3 b3 a 3 b3 b) Der Gegenvektor des Vektors a ist ein Vektor gleicher Länge und entgegengesetzter Richtung; er wird mit a bezeichnet. c) Statt einen Vektor zu subtrahieren, addieren wir seinen Gegenvektor. d) Das λ-fache eines Vektors a ist ein Vektor gleicher Richtung (λ > 0) bzw. entgegengesetzter Richtung (λ < 0) und der λ -fachen Länge. In Spaltenschreibweise: a a a a a a : a a Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren a) Zwei Vektoren heißen linear abhängig bzw. kollinear, wenn mindestens eine der Gleichungen a b oder b a gilt. Die Vektoren haben dann gleiche oder entgegengesetzte Richtung. b) Drei Vektoren heißen linear abhängig bzw. komplanar, wenn mindestens eine der Gleichungen a b c oder b a c oder c a b gilt. Die Vektoren liegen dann in einer Ebene. 4. Geraden und Ebenen a) Die Gleichung x a u beschreibt eine Gerade. x a u v, beschreibt eine Ebene, falls. u und v b) Die Gleichung nicht kollinear sind (sonst eine Gerade). Willy Arbeiter Einführungsphase Mathematik Seite 3 von 0

4 5. Lage von Geraden und Ebenen a) Zwei Geraden haben entweder einen Schnittpunkt oder sind parallel oder sind identisch oder sind windschief. Der letzte Fall kommt nicht im zweidimensionalen Raum vor. Es gelte: g : x a u und h : x b v. () u, v sind kollinear und b a,u sind kollinear Dann: g und h identisch. () u, v sind kollinear und b a, u sind nicht kollinear g und h parallel. (3) u, v sind nicht kollinear und b a, u, v sind komplanar g und h haben genau einen Schnittpunkt. (4) u, v sind nicht kollinear und b a, u, v sind nicht komplanar g und h sind windschief. b) Eine Gerade und eine Ebene haben entweder einen Schnittpunkt oder sind parallel oder die Gerade ist Teilmenge der Ebene. Es gelte: g : x a u und E : x b v w,. () u, v, w sind nicht komplanar Dann: g und E haben genau einen Schnittpunkt. () u, v, w sind komplanar und b a, v, w sind nicht komplanar g E. (3) u, v, w sind komplanar und b a, v, w sind komplanar g E. c) Zwei Ebenen haben entweder eine Schnittgerade oder sind parallel oder sind identisch. Es gelte: E : x a u v, und E : x b w z, () u, v, w sind nicht komplanar oder u, v, z sind nicht komplanar Dann: E und E haben eine Schnittgerade. () u, v, w sind komplanar u, v, z sind komplanar E E. u, v, b a sind nicht komplanar (3) u, v, w sind komplanar u, v, z sind komplanar E E. u, v, b a sind komplanar Willy Arbeiter Einführungsphase Mathematik Seite 4 von 0

5 III. Bereich Wahrscheinlichkeitsrechnung. relative Häufigkeit. Laplace-Wahrscheinlichkeit 3. Pfadregeln 4. Wahrscheinlichkeit, bedingte Wahrscheinlichkeit 5. Simulation Willy Arbeiter Einführungsphase Mathematik Seite 5 von 0

6 Anhang I. Die wichtigsten Funktionstypen der Analysis im. Jahrgang. Lineare Funktionen haben Gleichungen der Form f x mx b, mit m,b. m heißt Steigung und b heißt y-achsenabschnitt der Funktion. Das Schaubild ist eine Gerade (daher der Name linear ). m gibt an, um wie viele Einheiten die Funktionswerte wachsen (m > 0) bzw. fallen (m < 0), wenn der x-wert um eine Einheit wächst. y O 5 x -5 Im Bild: Rot der Graph mit der Gleichung f x x 4 ;. Blau der Graph mit der Gleichung f x 0, 75x. Willy Arbeiter Einführungsphase Mathematik Seite 6 von 0

7 . Quadratische Funktionen haben Gleichungen der Form f x ax bx c, mit a, b,c. Sie werden ausführlich in der Klassenstufe 8 behandelt. Einzelheiten vergleiche 3. Ganz-rationale Funktionen n n n haben Gleichungen der Form f x a x a x a x... a x a x a, n n n 0 mit a n,a n,a n,...,a,a,a 0, wobei a n 0 gilt. Der Exponent n der höchsten vorkommenden x-potenz heißt Grad grd(f) der Funktion. Die ganz-rationalen Funktionen besitzen höchstens grd(f) Nullstellen (das sind die Schnittstellen des Graphen mit der x-achse), höchstens (grd(f) - ) Extremstellen (das sind Stellen, an denen der Funktionswert im Vergleich zur näheren Umgehung besonders groß (Maximum) bzw. besonders klein (Minimum) ist) und höchstens (grd(f) - ) Wendestellen (das sind Stellen, an denen der Graph der Funktion besonders steil bzw. abschüssig ist; an diesen Stellen müsste man beim Abfahren des Graphen mit einem Fahrzeug von Links- zu Rechtssteuerung bzw. umgekehrt übergehen). y Maximum Nullstelle Nullstelle -5 O Wendepunkt Nullstelle x Minimum -5 Die dargestellte Funktion hat die Gleichung 3 f x x + x - x Willy Arbeiter Einführungsphase Mathematik Seite 7 von 0

8 II. Beispiel für eine Kurvendiskussion 3 Aufgabe: Diskutieren Sie die Funktion mit der Gleichung f x x 4x. Lösung:. Bestimmung der maximalen Definitionsmenge, also der größten Menge, der der x-wert angehören darf: D. (Einschränkungen ergeben sich, wenn ein Nenner vorkommt, der nicht Null werden darf, oder wenn eine Wurzel vorkommt, deren Radikand nicht negativ werden darf,...). Verhalten an den Rändern der Definitionsmenge: lim f x lim x 4x lim x x x x x 3. Besondere Symmetrien: 3 f x x 4x f x Der Graph von f ist punktsymmetrisch zum O Bestimmung der Nullstellen: x ist Nullstelle f x 0 N N x 4x 0 x x 4 0 x x x 0 3 N N N N N N N x 0 x x N N N Also: ( 0 0 ); ( 0 ) und ( 0 ) gehören zum Graphen von f. 5. Ableitungsfunktionen: 3 f x x 4x f ' x 3x 4 f '' x 6x f ''' x 6 6. x ist Extremstelle f ' x 0 f '' x 0. E E E 3x 4 0 E x E 3,5 xe 3,5 3 3 f '' f '' Also : Minimalstelle Also : Maximalstelle 6 6 f 3 3 3, 08 f 3 3 3, Min. 3 3 Max Willy Arbeiter Einführungsphase Mathematik Seite 8 von 0

9 x ist Wendestelle f '' x 0 f ''' x 0 W W W 7. Die. Ableitung ist Null an der Stelle Null. Also ( 0 0 ) ist Wendepunkt. 8. Graph: y 5 O x -5 III. Beispiel für eine Koeffizientenbestimmung (Steckbriefaufgabe) Aufgabe: Eine ganz-rationale Funktion 3. Grades habe in W( ) einen Wendepunkt. Die Wendetangente habe die Steigung. Die Stelle ist eine Extremstelle. Bestimmen Sie die Gleichung der Funktion. Lösung: Weil die Funktion f eine ganz-rationale Funktion 3. Grades sein soll, hat sie die 3 Gleichung: f x ax +bx +cx+d. Für die Ableitungsfunktionen gilt also: f ' x f '' x 3ax +bx+c und 6ax+b Da wir vier Variable haben, benötigen wir (mindestens) vier Gleichungen: Wenn W( ) zum Graph gehört, gilt: () f() =. weil W Wendepunkt ist, gilt: () f () = 0, weil die Steigung der Wendetangente ist, gilt: (3) f () = und weil die Stelle Extremstelle ist, gilt (4) f (-) = 0. Willy Arbeiter Einführungsphase Mathematik Seite 9 von 0

10 Es ergibt sich folgendes Gleichungssystem: 8a 4b c d a b 0 3 a 4b c 4 3a b c 0 4 Dieses Gleichungssystem hat die Lösungen: a ;b ;c ;d Die Funktionsgleichung lautet also: f x x x x Zur Lösung von Gleichungssystemen vgl. zum Beispiel die Willys-Mathe- Kochbuch.de. IV. Beispiel für eine Extremwertaufgabe Aufgabe: An einer Hauswand soll ein möglichst großes Rechteck abgegrenzt werden. Zur Verfügung steht ein Maschendrahtzaun der Länge 6 m. Bestimmen Sie Länge, Breite und Flächeninhalt des Rechtecks. Lösung: Festlegung der Variablen: b sei die Länge der Rechteckseite, die mit der Hausmauer übereinstimmt, x sei die Länge der anderen Rechteckseite. Dann gilt: A x; b x b (Zielfunktion) Flächeninhalt des Rechtecks: Summe der Längen der Seiten, die mittels Maschendraht abzuzäunen sind: u x; b x b (Nebenbedingung) Die Nebenbedingung ergibt laut Aufgabenstellung: x b 6 b 6 x. Setzen wir dies in die Zielfunktion ein, erhalten wir die bereinigte Zielfunktion, die nur noch von einer Variablen abhängt: A x x 6 x A x x 6x Außerdem gilt: A ' x 4x 6 A '' x 4. Das heißt das Maximum liegt bei 4. Somit hat das Rechteck die Abmessungen 8 m parallel zur Hauswand und 4 m orthogonal zu dieser. Der Flächeninhalt beträgt also 3 m. Willy Arbeiter Einführungsphase Mathematik Seite 0 von 0