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1 Tilgungsrechnung Grundbegriffe Gegenstand der Tilgungsrechnung ist ein von einem Gläubiger (z. B. Bank) an einen Schuldner ausgeliehener Geldbetrag S; Bezeichnung: S... Schuld, Darlehen, Kredit Es geht um die Rückzahlung von S einschließlich aller anfallenden Zinsen. Rückzahlungsmöglichkeiten: 1. am Ende der Kreditlaufzeit in voller Höhe + Zinsen (gesamtfällige Schuld = Zinsrechnung) 2. in unregelmäßigen Beträgen (Formel (*), später) 3. in regelmäßigen Beträgen (Bezeichnung: Annuitäten A k ) Betrachtung des Falls von Rückzahlungen in regelmäßigen Zeitabständen (n) Für jede ist ein Zinssatz i k festgelegt, so dass sich die k-te Annuität wie folgt zusammensetzt: A k Z k T k = Z k + T k... Zinsanteil... Tilgungsanteil Zinsanteil: Zinsen für die Restschuld S k 1 zu Beginn der k-ten : Z k = S k 1 i k Damit ergibt sich S k = S k 1 T k

2 2 Bezeichnungen: n... Laufzeit des Kredits in n i k... Zinssatz pro Z k... Zinsen für die k-te, k {1, 2,..., n} T k... Tilgungsbetrag für die k-te, k {1, 2,..., n} ˆ= Betrag, um den sich die Schuld durch die Rückzahlung verringert A k... Annuität für die k-te, A k = T k + Z k, k {1, 2,..., n} S k... Restschuld/Schuldenstand am Ende der k-ten, k {1, 2,..., n} Wir unterscheiden: Annuitätentilgung A k = konst. = A k = 1, 2,..., n Z k (da die Restschuld kleiner wird) T k (konstante Belastung) Ratentilgung T k = konst. = T k = 1, 2,..., n Z k (da die Restschuld kleiner wird) A k (stärkste Belastung am Anfang)

3 3 Bezeichnung: Tilgungsplan: = Tabelle, die für jede der Laufzeit des Kredits in übersichtlicher Form die Restschuld, die Annuität und die Zinsen darstellt. Beispiel: S = , n = 5, i = 6% Ratentilgung: Rate T k = T = Tilgungs- Restschuld Zinsen Annuität Restschuld periode am Anfang der am Ende der k S k 1 Z k = S k 1 i A k = T + Z k S k Beispiel: S = , n = 5, i = 6% Annuitätentilgung: Annuität A k = A = , 20 ( berechnet über nachschüssigen Rentenbetrag einer 5-jährigen Rente für den Barwert R 0 = : R = R 0 q n (q 1) q n 1 = , 065 0, 06 1, = , 20 ) Tilgungs- Restschuld Zinsen Annuität Restschuld periode am Anfang der am Ende der k S k 1 Z k = S k 1 i A S k , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,20 0

4 4 Annuitätentilgung mit festem Zinssatz Annuität = Zinsen + Tilgung = konstant, d.h. A = Z k + T k = konstant Aus den Formeln der Rentenrechnung folgt: S k = Sq k A qk 1 q 1 Schuld ohne Tilgung R k Falls A > Si = Z 1 = S k = T k mit T k = S k 1 S k. Differenz T k T k 1 ist Zinsersparnis, die durch die Tilgung T k 1 verursacht wird: Satz: T k T k 1 = T k 1 i, T k = T k 1 + T k 1 i = T k 1 q, T k = T 1 q k 1, k = 1, 2, 3,... Im Falle der Annuitätentilgung einer Schuld S durch die Annuität A (Voraussetzung A > Si) gelten allgemein folgende Gleichungen für k = 1, 2, 3,... S k = Sq k A qk 1 q 1 (3.1) T k = T 1 q k 1, T 1 = A Si (3.2) Z k = A T k (3.3)

5 5 Vorgabe der Laufzeit n gegeben n: S n = 0 Die Schuld ist getilgt, wenn nach n n gilt: woraus folgt: 0 = S n = Sq n A qn 1 q 1, A = S qn (q 1) q n 1 (3.4) (Welche Rate muss man bezahlen, um...?) S = A qn 1 q n (q 1) (3.5) (Welche Schuld kann ich auf mich nehmen, wenn...?)

6 6 Berechnung der Tilgungsdauer aus einer vorgegebenen Annuität Die Schuld ist getilgt, wenn nach n n gilt: 0 = S n = Sq n A qn 1 q 1, woraus wie für die entsprechende Formel der Rentenrechnung folgt: n = ln ( ) 1 S i A (3.6) ln q Beispiel: S = , i = 6% Jahreszinssatz, A = am Jahresende ( ) , 06 ln = n = = 18, 85 ln 1, 06 Nach 18 Jahren beträgt die Restschuld S 18 = Sq 18 A q18 1 q 1 = , , = 3.641, 52 0, 06 Am Ende des 19. Jahres muss dieser Betrag einschließlich der anfallenden Zinsen gezahlt werden, also S 19 = 3.641, 52 1, 06 = 3.860, 01 = A 19 In einem solchen Fall spricht man von Annuitätentilgung mit verminderter Abschlussannuität (entsprechend: Annuitätentilgung mit erhöhter Abschlussannuität ). A 18 = A + S 18 = 8.141, 52

7 7 Effektivzinsberechnung Basis: Preisangabenverordnung (PAngV) vom (im Netz) Grundlagen: durchgehend zinseszinsliche Rechnung Berechnung von Zeitdifferenzen in Jahren mit 365 Tagen oder 12 gleichlangen Monaten ( à 30, 416 Tage) oder 52 Wochen Äquivalenzprinzip der Finanzmathematik m k=1 A k (1 + i) t k = m k =1 A k (1 + i) t k ( ) Abgezinste Leistungen Abgezinste Leistungen des Gläubigers = des Schuldners (Kreditauszahlungen) (Tilgungszahlungen und Kosten)

3.3. Tilgungsrechnung

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