Mathematik 1. Inhaltsverzeichnis. Prof. Dr. K. Melzer.

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1 Mathematik 1 Prof Dr K Melzer Inhaltsverzeichnis 1 Finanzmathematik 1 11 Folgen und Reihen Folgen allgemein Arithmetische Folge Geometrische Folge Reihen allgemein Artithmetische Reihe Geometrische Reihe 2 12 Zins- und Rentenrechnung Zinsrechnung Rentenrechnung 3 13 Tilgungsrechnung Darlehen mit konstanter Tilgung (Ratentilgung) Tilgung einer Schuld bei konstanten Jahresraten (Annuität) 5 1

2 1 FINANZMATHEMATIK 2 II Finanzmathematik 1 Finanzmathematik 11 Folgen und Reihen 111 Folgen allgemein Grundlage vieler Zins-, Renten- und Investitionsrechnungen sind Folgen und Reihen Folge Funktion, durch die den natürlichen Zahlen eine reelle Zahl zugeordnet wird Schreibweise: {a k } = {a 0, a 1, a 2, a 3, a 4, } Die a k heiÿen Glieder der Folge 112 Arithmetische Folge Die Dierenz zweier benachbarter Glieder ist konstant: a n+1 a n = d (d = const) für alle n Dies ist äquivalent zu a n+1 = a n + d a n = a 0 + nd (rekursive Darstellung) und somit {a n } = {a 0, a 0 + d, a 0 + 2d, a 0 + 3d, } bzw (explizite Darstellung) 113 Geometrische Folge Der Quotient zweier benachbarter Glieder ist konstant: a n+1 a n = q (q = const) für alle n Dies ist äquivalent zu a n+1 = a n q (rekursive Darstellung) und somit {a n } = {a 0, a 0 q, a 0 q 2, a 0 q 3, } bzw a n = a 0 q n (explizite Darstellung) 114 Reihen allgemein Reihe Summe von Gliedern einer Folge Man unterscheidet endliche und unendliche Reihen Endliche Reihe Summe von endlich vielen Gliedern einer Folge s n := a 0 + a 1 + a 2 + a 3 + a a n = a k Unendliche Reihe Summe von unendlich vielen Gliedern einer Folge Der Wert einer unendlichen Reihe wird durch den Grenzwert ihrer Teilsummen bestimmt: s := a 0 + a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + = a k = lim a k n Eine Reihe heiÿt konvergent, wenn die Folge ihrer Teilsummen konvergiert In diesem Fall heiÿt der Grenzwert Summe der Reihe Eine Reihe heiÿt divergent, wenn der Grenzwert nicht existiert (dh Grenzwert ist ± oder Wert der Teilsummen wechselt zwischen endlich vielen Werten) 115 Artithmetische Reihe Summe von Zahlen einer arithmetischen Folge s n = a k = a 0 + (a 0 + d) + (a 0 + 2d) + (a 0 + 3d) + + (a 0 + nd) = Es gilt: s n = a k = n + 1 (a 0 + a n ) 2 (a 0 + kd)

3 1 FINANZMATHEMATIK 3 Spezialfall: Summe der ersten n natürlichen Zahlen: n = 116 Geometrische Reihe Summe von Zahlen einer geometrischen Folge s n = a k = a 0 + a 0 q + a 0 q 2 + a 0 q a 0 q n = Es gilt: s n = a k = a 0 q n+1 1 = a 0 n+1 Spezialfall: Geometrische Reihe mit a 0 = 1: 1 + q + q 2 + q 3 + q q n = q k = n+1 s = a 0 q k q k = 1, falls q < 1 (Für q 1 ist die Reihe divergent) k = n(n + 1) 2 12 Zins- und Rentenrechnung 121 Zinsrechnung Bezeichnungen: p Zinsfuÿ i = p% = p 100 Zinssatz q = 1 + i = 1 + p 100 Zinsfaktor K 0 Kapital heute/anfangskapital/barwert K n n Kapital am Ende der n-ten Periode Laufzeit in Jahren Berechnung des Kapitals nach n Jahren ( Aufzinsen): Berechnung des Barwerts ( Abzinsen): Berechnung des Zinsfuÿes aus Laufzeit, Anfangs- und Endkapital: K n = K 0 q n K n = K n 1 q K 0 = K n q n q = n Kn K 0 p = () 100 Berechnung der Laufzeit aus Zinssatz, Anfangs- und Endkapital: n = log K n log K 0 log q Mehrere Zahlungen Welchen Wert haben mehrere Zahlungen, die zu verschiedenen Zeitpunkten fällig werden (Zahlungsstrom)? Jede Zahlung kann für sich betrachtet und bewertet werden Die Ergebnisse werden addiert Ein-/Auszahlungen werden mit unterschiedlichen Vorzeichen belegt (kommt auf den Betrachter an) Wichtig: alle Zahlungen auf den gleichen Zeitpunkt beziehen (Barwert/Endwert, etc)

4 1 FINANZMATHEMATIK Rentenrechnung Rente regelmäÿige Einzahlungen (oder Auszahlungen) in gleichbleibender Höhe E E E E E E E E Einzahlung am Jahresbeginn (vorschüssig) Einzahlung am Jahresende (nachschüssig) Nachschüssige Rente: Endwert einer nachschüssigen Rente nach n Jahren, regelmäÿige Einzahlung R, Zinsfaktor q: Barwert einer Rente, die n Jahre nachschüssig gezahlt wird mit konstanter Jahresrate R und Zinsfaktor q = 1 + p%: Vorschüssige Rente: Endwert einer vorschüssigen Rente nach n Jahren, regelmäÿige Einzahlung R, Zinsfaktor q = 1 + p%: Barwert einer Rente, die n Jahre vorschüssig gezahlt wird mit konstanter Jahresrate R und Zinsfaktor q = 1 + p%: K n = R qn 1 K 0 = R qn 1 q n () K n = R q qn 1 K 0 = R q n 1 q n 1 () 13 Tilgungsrechnung Die Tilgungsrechnung ist ein Sonderfall der Rentenrechnung, bei der ein Kredit aufgenommen und dieser später in einem oder (meistens) mehreren Teilbeträgen zurückgezahlt wird, wobei zusätzlich Zinszahlungen zu leisten sind Man unterscheidet Ratentilgung und Annuitätentilgung 131 Darlehen mit konstanter Tilgung (Ratentilgung) Rückzahlung einer Schuld mit festem Tilgungssatz und zusätzlich anfallenden Zinsen gegeben: Darlehenshöhe S Zinssatz i = p% Laufzeit N Jahre berechnet: Tilgungsrate T = S N (konst) Restschuld nach k Jahren S k = S k T = S k S ( N Zinsen im k-ten Jahr Z k = i S k 1 = i S (k 1) S ) N Gesamtzahlung im k-ten Jahr A k = T k + Z k Die Gesamtbelastung A k nimmt jährlich ab, da die gezahlten Zinsen weniger werden Tilgungsplan: Jahr Restschuld Tilgung Zins Gesamtzahlung 0 S 1 S S N T = S N Z 1 = i S A 1 = T + Z 1 2 S 2 S N T = S N Z 2 = i ( ) S S N A 2 = T + Z 2 N S N S N = 0 T = S N Z N = i ( ) S (N 1) S N A N = T + Z N

5 1 FINANZMATHEMATIK Tilgung einer Schuld bei konstanten Jahresraten (Annuität) Die Gesamtzahlung A (Annuität ) bleibt jedes Jahr konstant; das Verhältnis zwischen Tilgung und Zinszahlung ändert sich Der Tilgungsbetrag zu Beginn ist oft wesentlich niedriger als gegen Ende Die Annuitäten lassen sich als Rente auassen, deren Barwert dem Kreditbetrag entspricht gegeben: Darlehenshöhe S Zinssatz i = p% Laufzeit N Jahre berechnet: Annuität (Gesamtzahlung pro Jahr) A = S q N N (konst) Tilgungsplan: Restschuld nach k Jahren Zinsen im k-ten Jahr Tilgungsrate S k = S k 1 q A = S q k A 1 qk 1 q Z k = i S k 1 T k = A Z k Jahr Annuität Zinsen Tilgung Restschuld (konst) (= A - Zins) = Restschuld Vorjahr Tilgung 0 S 1 A Z 1 = S i T 1 = A Z 1 S 1 = S (A S i) = S q A 2 A Z 2 = S 1 i T 2 = A Z 2 S 2 = S 1 q A N A Z N = S N 1 i T N = A Z N S N = S N 1 q A = 0

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