Kopfgeometrie Von der Handlung in den Kopf

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1 Kopfgeometrie Von der Handlung in den Kopf Wer die Geometrie begreift, vermag in dieser Welt alles zu verstehen Galileo Galilei I. Geometrie in der Grundschule (allgemeine Anmerk.) Heute ist unumstritten, dass bereits in der GS Unterricht in Geometrie erfolgen muss, aber es ist immer noch festzustellen, dass Unterrichtsinhalte zu diesem Thema oftmals nur episodenhaft eine Rolle spielen. Ein kontinuierliches Angebot geometrischer Inhalte ist aus mehreren Gründen notwendig. Der Geometrieunterricht unterstützt: durch die Förderung kognitiver Fähigkeiten,die allgemeine Intelligenzentwicklung, die Entwicklung des räumlichen Denkens,der Raumvorstellung und grundlegende geistige Fähigkeiten wie Leistungen des Gedächtnisses, das Problemlösen, das Ordnen und Klassifizieren. den Begriffsbildungsprozesse (z.b. geometrische Formenbegriffe, räumliche Beziehungsbegriffe usw.) die Erfahrungen zur Umwelterschließung und macht klar welchen Nutzen Geometrie im Alltag bringen kann(z.b. räumliche Orientierung, räumliche Beziehungen, geometrische Formen, Messen von Längen- und Flächeninhalten usw.) die Freude an der Geometrie. Das entdeckende und problemorientierte Arbeiten wird geweckt.(über den Geometrieunterricht können auch positive Einstellungen zum Fach Mathematik vermittelt werden. Handlungsorientiert und kreative Aufgabenformate bieten die Gelegenheit die Schönheit der Mathematik zu erfahren und motivieren nahezu alle

2 Schüler/innen, auch die Schüler, die sonst Schwierigkeiten mit diesem Fach haben, lassen sich begeistern weil sie Erfolgserlebnisse haben.) Die Bildungsstandards sprechen nicht von Geometrie, sondern von Raum und Form. 1 Dieser Inhaltsbereich umfasst die Problemstellungen mit geometrischen Objekten. Zum Bearbeiten und Lösen dieser Problemstellungen ist das Handeln und Denken mit ebenen wie räumlichen Figuren erforderlich. An diese Leitidee werden vier Anforderungen gestellt: sich im Raum orientieren geometrische Figuren erkennen, benennen und darstellen einfache geometrische Abbildungen erkennen, benennen und darstellen Flächen und Rauminhalte vergleichen und messen. II.1 Entwicklung räumlicher Fähigkeiten W. Schipper formuliert es so Mindestens ebenso wichtig sind aber Ziele allgemeinerer Art, die Förderung des räumlichen Vorstellungsvermögens, der prozessbezogenen Kompetenzen und die Entwicklung einer Entdeckerhaltung bei der Lösung geometrischer Probleme durch systematisches Probieren mit geeigneten Materialien. 2 M. Franke betont ebenfalls, dass das räumliche Vorstellungsvermögen zu schulen, wird immer wieder zu Recht als eines der Hauptziele des Geometrieunterrichts in der GS bezeichnet. Mehr noch, es ist auch Voraussetzung für schulisches Lernen überhaupt. 3 Unsere Welt ist räumlich und es ist deshalb für jeden Menschen wichtig und von lebenspraktischer Bedeutung, den Raum 1 Beschlüsse der Kultusministerkonferenz 2005, S.10 2 W. Schipper, Handbuch für den Mathematikunterricht an Grundschulen, Schroedel 2009, S M.Franke, Didaktik der Geometrie in der Grundschule, Spektrum 2007, S. 27

3 dreidimensional wahrzunehmen, sich darin zu orientieren und dann auch in der Vorstellung damit operieren zu können. Räumliches Vorstellungsvermögen wird auch kurz Raumvorstellung genannt. In der Literatur tauchen unterschiedliche Definitionen zu diesem Begriff auf. Ich verwende in meinem Vortrag den von M. Franke benutzten Oberbegriff räumliche Fähigkeiten, den sie dann unterscheidet zwischen visueller Wahrnehmung und Raumvorstellung. II.2 Visuelle Wahrnehmung Die visuelle Wahrnehmung ist die Voraussetzung für jede koordinierte Bewegung (z.b. Straße überqueren, Essen mit Messer und Gabel, Fußballspielen). Sie ist ein aktiver Prozess, der seinen Ausgangspunkt im Sehen hat, aber weit über den physikalischen Vorgang hinausgeht. Die Verarbeitung der Reize beruht auf kognitiven Aktivitäten. Die Wahrnehmung wird mit Wissen verbunden; die Auswahl und Verarbeitung visueller Reize beruht auf Gedächtnisinhalten und Motivation. Neisser stellt die Beziehung zwischen Sehen- Wissen Gedächtnis als Zyklus dar und betont, dass die Wahrnehmung selektive Erwartungen die Wahrnehmung leitet. (Beispiel halbhohe Mauer: 1. Man weiß, dass man sich darauf setzen kann, beim Einparken erinnert man sich, dass man davor halten muss) Bei der visuellen Wahrnehmung unterscheidet man: Figur- Grund- Unterscheidung (kann fast jedes Kind automatisch, auch frei Hand gezeichnete Formen werden sofort mühelos erkannt. Bei einzelnen Abbildungen ist eine Umkehrung der

4 Figur- Grund- Beziehung möglich: die sogen. Kippfiguren z.b. Vase/Pokal oder Gesichter, junge oder alte Frau) Visuomotorische Koordination (Sie ist die Fähigkeit des Menschen, das Sehen mit dem eigenen Körper oder Teilen des Körpers zu koordinieren. Das perfekte Zusammenspiel der verschiedenen Sinnesorgane. Beispiel: Ausschneiden, die Bewegung zeigt sich nicht nur an den Händen und Armen, sondern auch am Neigen des Oberkörpers und nicht selten geht auch die Zunge mit, Durchpausen von Bilder benötigt die Koordination zwischen Auge und Hand.) Wahrnehmungskonstanz (Die Wahrnehmungskonstanz ist die Fähigkeit, Figuren in der Ebene oder im Raum in verschiedenen Größen, Anordnungen, Lagen oder Färbungen wieder zu erkennen und von anderen Figuren zu unterscheiden. Wahrnehmungskonstanz bezeichnet die Tendenz, Objekte in unserer Umgebung relativ stabil wahrzunehmen, obwohl sie sich unseren Sinnesorganen unterschiedlich präsentieren. Rein physikalisch würde man bei jeder Körperbewegung etwas anderes sehen. Für den Geometrieunterricht sind insbesondere die Formen- Figuren- und die Größenkonstanz von Wichtigkeit. Räumliche Orientierung (räumliche Orientierung bedeutet, den Standort und die räumlichen Beziehungen zwischen verschiedenen Objekten zu erkennen und zu verstehen. Man unterscheidet in: Wahrnehmung der Raumlage (das Erkennen der Raum- Lage- Beziehung eines Gegenstandes zu dem Standpunkt der Person, die diesen Gegenstand wahrnimmt) und in die Wahrnehmung räumlicher Beziehungen (dies ist die Fähigkeit Beziehungen zwischen räumlichen Objekten zu erkennen und zu beschreiben z.b. vor, hinter, über, Figuren schneiden od. berühren sich). Die räumliche Orientierung wird durch folgende Merkmale charakterisiert: Bezugssysteme

5 erkennen; im Raum lokalisieren (nach Wechsel des Standorts im Raum kann man einen vorher lokalisierten Gegenstand wieder finden); Inversion erkennen (Objekte behalten ihre Identität, Farbe, Form, Größe, wenn sie umgedreht oder auf dem Kopf gestellt werden); Rechts- Links- Orientierung (umstritten, Schwierigkeiten bei lese und rechenschwachen Kindern); eine stabile Umgebung wahrnehmen (auch wenn ich als Betrachter meinen Standort verändere, Beispiel: Schulweg - man orientiert sich an Objekten und markanten Punkten, verbunden mit einer Rechts- Links- Vertauschung bei Hin- u. Rückweg). Weitere Komponenten der visuellen Wahrnehmung sind das visuelle Gedächtnis und die visuelle Unterscheidung. Bei dem visuellen Gedächtnis handelt es sich um die Fähigkeit charakteristische Merkmale eines nicht mehr präsenten Objektes vorstellungsmäßig auf andere, präsente Objekte zu beziehen. Beispiel: Einem Kind wird ein Würfel gezeigt und dann weggesteckt. Auftrag: Suche mir weitere Würfel aus der Kiste. Die visuelle Unterscheidung ist die Fähigkeit nicht nur Gemeinsamkeiten, sondern auch Unterschiede zwischen Objekten zu erkennen (Beispiel: Sortieren und Klassifizieren geometrischer Körper; wie unterscheidet sich ein Quader von einem dreiseitigen Prisma). Zusammenfassung Visuelle Wahrnehmung ist ein sehr komplexer Prozess. Ein wichtiges Steuerinstrument ist die Aufmerksamkeit. Erfahrungen und Gedächtnis sind weitere Bestandteile dieses Prozesses Kinder die nicht zum Betrachten, Orientieren, Sortieren angeregt werden, deren Umgebung wenig Gelegenheit zu Raumerfahrungen bietet, werden auch Defizite bei anderen räumlichen Fähigkeiten haben (Probleme beim Lesen- und Schreiben lernen, in der Arithmetik, Aufgabenstellungen im Buch werden nicht gefunden

6 à Ursache: Figur- Grund Wahrnehmung gestört; Probleme bei der visuomotorischen Koordination: können nicht in Zeilen und Kästchen schreiben, Ziffern bei Suchbildern nicht verbinden). II.2 Räumliches Vorstellungsvermögen Während bei der visuellen Wahrnehmung mit vorhandenen Objekten im dreidimensionalen Raum konkret operiert wird, versteht man unter dem Räumlichen Vorstellungsvermögen ein mentales Operieren mit räumlichen Objekten. Dieses mentale Operieren mit räumlichen Objekten, also die Raumvorstellung, wird in zahlreichen Modellen zur Intelligenz als eigener Bereich ausgewiesen. (Thurstone 1937 geht von 7 Primärfaktoren der Intelligenz aus, die er als Grundlage für die Intelligenzleistung ansieht. Gardner 1991 vertritt die Theorie der multiplen Intelligenzen. Rost 1977 entwickelte Thurstones Theorie weiter. Linn und Petersen 1985, 1986) Zusammenfassend kann gesagt werden, dass die meisten Modelle 4 Teilkomponenten des räumlichen Vorstellungsvermögens unterscheiden (die sich teilweise wechselseitig bedingen bzw. in Abhängigkeit zueinanderstehen). Räumliche Wahrnehmung Räumliche Beziehungen Veranschaulichung Räumliche Orientierung Räumliche Wahrnehmung beschreibt die Fähigkeit, räumliche Beziehungen in Bezug auf den eigenen Körper zu erfassen (Beispiel Road- Map- Test. Auf einem Stadtplan muss in der Vorstellung eine vorgegebene Route gefolgt werden. Der Plan darf nicht gedreht werden. Bei jedem Richtungswechsel muss angegeben werden, ob man nach links od. rechts abbiegt.).

7 Räumliche Beziehungen beinhalten das richtige Erfassen räumlicher Gruppierungen von Objekten bzw. Teilen von ihnen u. deren Beziehungen untereinander (Beispiel: man muss ein Objekt identifizieren, das aus verschiedenen Blickwinkeln gezeigt wird. Dafür muss man es als Ganzes mental drehen kippen und/oder spiegeln.). Veranschaulichung umfasst die gedankliche Vorstellung von räumlichen Bewegungen wie Drehungen, Verschiebungen und Faltungen von Objekten bzw. Teilen von ihnen, sowie das gedankliche Zerlegen und Zusammensetzen ohne Verwendung anschaulicher Hilfen (Beispiel: Schrägbild und Netz eines Quaders. Die Versuchsperson soll verschieden markierte Kanten od. Flächen eines perspektivisch gezeichneten Quaders seinem zweidimensionalen Netz zuordnen à gedankliches Abwickeln). Räumliche Orientierung. Hierbei handelt es sich um die Fähigkeit sich real oder mental im Raum zurechtzufinden. Im Gegensatz zur räumlichen Beziehung befindet sich der Standort der Versuchsperson innerhalb der Aufgabensituation und sie darf keine neutrale Position von außen einnehmen. Sie muss sich vorstellen, wie sie innerhalb der gegebenen Situation handeln könnte. Diese Teilfähigkeit lässt sich nicht klar abgrenzen sondern weist eine sehr große Komplexität und mehr Alltagsnähe auf. (Franke, S. 65) An dieser Stelle wird auf Piaget und Inhelder hingewiesen die in ihrem Buch Die Entwicklung des räumlichen Denkens beim Kind (1975) anhand von Experimenten nachweisen, wie das Kind zur Entwicklung der Raumvorstellung eine Serie von Stufen durchläuft. Es würde jedoch den Rahmen dieser Veranstaltung sprengen diese ausführlich darzulegen. Piaget unterscheidet in folgende vier Stadien die sensomotorische Phase (bis 2 Jahre)

8 die präoperationale Phase (bis 7 Jahre) die konkret- operationale Phase (bis 11 Jahre) die formal- operationale Phase (ab 11 Jahre) Obwohl Piagets Theorie immer noch als wichtig und richtig anerkannt ist, wurden in den letzten Jahren viele Kritikpunkte an seinen vorgestellten Untersuchungen angemerkt. Z.B. geringe Anzahl der Versuchspersonen, die Auswahl der Versuchspersonen, ungenügende Beschreibung der Versuchsanordnung und der Auswertung, die Altersangaben sind umstritten und sollten höchstens als grobe statistische Anhaltspunkte gewertet werden, usw. (genau nachzulesen in M. Franke, S. 77 ff). II.3 Förderung des räumlichen Vorstellungsvermögens durch Kopfgeometrie Der Begriff Kopfgeometrie geht vermutlich auf eine Veröffentlich von Kerst 1920 zurück und wurde dann von Breidenbach 1953 neu aufgegriffen. Die Kopfgeometrie umfasst alle mündlich im Kopf zu lösenden geometrischen Aufgaben, die das visuelle Wahrnehmungs- und das räumliche Vorstellungsvermögen schulen. (M.Franke,S. 66). Dabei werden gleichzeitig auch andere intellektuelle Fähigkeiten weiterentwickelt, geometrisches Wissen wiederholt und die sprachlichen Kompetenzen verbessert. Ursprünglich sollten die Aufgaben ausschließlich im Kopf gelöst werden. Es waren weder Modelle noch Zeichnungen zugelassen. Die Aufgaben sollten von den Schülern mit geschlossenen Augen gelöst werden. In der neueren Mathematikdidaktik wird dies inzwischen nicht mehr so streng gesehen.

9 Häufig helfen den Kindern manuelle Handlungen und Skizzen bei der Aufgabenstellung als Mittel, die Aufgabe erst einmal zu verstehen. Auch zur Ergebnisformulierung kann es hilfreich sein, unter Einsatz der Hände ihre Überlegungen zu erläutern, eine Skizze zu zeichnen oder mit Material das Ergebnis darzustellen. Denn es ist eine Tatsache: viele kopfgeometrische Aufgaben sind so komplex, dass sie allein durch Worte nicht (oder nur sehr aufwändig) vermittelt bzw. Lösungen nicht immer im Detail beschrieben werden können. Die Sch. sollen schrittweise befähigt werden, ihre Vorstellungen zu verbalisieren, dazu müssen sie zu Anfang noch Hilfsmittel nutzen. In der Kopfgeometrie steht nicht das Produkt, sondern der Prozess im Mittelpunkt des Arbeitens. Es ist natürlich unumgänglich, dass diesen kopfgeometrischen Aufgaben ein materialgestützter Unterricht mit vielen handelnden und spielerischen Aktivitäten vorausgegangen ist. Die Sch. müssen mit den Materialien und den Begriffen vertraut sein. Erst dann ist es sinnvoll kopfgeometrische Aufgaben zu stellen. Das eigentliche Lösen der Aufgabe sollte jedoch dann immer durch das Operieren im Kopf erfolgen. Anschließend kann sich eine Kontrollphase anschließen, in der die Schüler ihre Überlegungen durch Handeln mit Material überprüfen. Handlungen sind auch dann erlaubt, wenn Sch. nicht zum Ergebnis kommen. Sie dürfen dann zum Stift greifen oder Hilfsmittel wie Stäbchen, Plättchen u. ä. verwenden, um eine Lösung zu finden. Bei der Kopfgeometrie müssen sich die Sch. zum einen geometrische Objekte vorstellen, zum anderen müssen sie aber auch mit diesen Vorstellungen operieren: ihre Lage, ihre Größe und ihre Form verändern sowie sie zerlegen oder zusammensetzen.

10 Gleichzeitig wird die geometrische Sprache weiterentwickelt, denn die Sch. müssen mit Hilfe der Sprache ihr Vorstellungsbild, ihr Ergebnis, den anderen Schüler und dem Lehrer mitteilen bzw. beschreiben. Für den Unterricht bedeutet dies, je genauer und exakter die Sch. eine geometrische Figur anhand ihrer Eigenschaften beschreiben können, desto weiter ist ihr Begriffsverständnis entwickelt. Damit wird die Sprache und das exakte Sprechen und Beschreiben geometrischer Zusammenhänge (seitens der Schüler, aber auch des Lehrers) ein wichtiger Teil der Unterrichtspraxis. Beim Ansagen und Befolgen der Ausgangssituation für ein Problem, beim Beschreiben und Begründen der Lösungsgedanken sowie beim Diskutieren, ob mehrere Lösungen einer Aufgabe als gleich oder verschieden zu werten sind, stets muss man auf genaues Formulieren und auf eindeutige Bezeichnungen achten. Die Kopfgeometrie betont das kommunikative Element im Unterricht ganz besonders. Es ist auch zu bedenken, dass wenn den mündlichen Angaben zur Kopfgeometrie gefolgt werden muss, ist von den Schülern viel Konzentration verlangt. Die Schüler müssen der ansagenden Person mit voller Aufmerksamkeit folgen und auch in der Phase des Überlegens müssen sie gesammelt und in Ruhe nachdenken. Da es bekannt ist, wie schwer es unseren Sch. oft fällt, sich exakt auszudrücken und geeignete Begriffe zu benutzen bzw. wie oft sie völlig durcheinandergeraten, muss ein Teil der Unterrichtszeit darauf verwendet werden, genau dieses zu schulen. Kopfgeometrische Übungen sind also gleichzeitig eine Konzentrationsstärkung. Hilfreich dabei sind Wortspeicher, die während des Unterrichts mit den Schülern gemeinsam erstellt werden. Im Kollegium ist es ebenfalls hilfreich, wenn auf der Fachkonferenz ein Konsens über die wichtigsten geometrischen Begrifflichkeiten gefunden wird, den dann alle mathematikunterrichtenden Lehrer verbindlich einhalten. Kopfgeometrie kann an jeder Stelle im Unterrichtsverlauf eingesetzt

11 werden. Z.B. als Konzentrationsübung zu Beginn der Stunde (Wer bin ich : Körper)und zum Einstieg unabhängig zum Stundenthema, im Mittelpunkt einer kompletten Unterrichtstunde bzw. im Unterrichtsverlauf wechseln sich kopfgeometrische und handlungsgeometrische Aktivitäten ab, zur Teilzielsicherung, in der Anwendungsphase, zur Freiarbeit, zur Arbeit mit Tages- oder Wochenplänen, zum Stationenlernen, als Angebot für ein Lernbuffet oder als Kartei in einer Mathematikwerkstatt. Es ist hilfreich, sich die möglichen Aufgabenstellungen zur Kopfgeometrie einmal typisiert anzusehen. Senftleben (1966) kennzeichnet je nach Einsatz von Hilfsmitteln vier unterschiedlich Aufgabentypen: (siehe PowerPoint Präsentation bzw. M. Franke S. 68/69) Zusammenfassend kann man sagen, dass in der 2. Phase das kopfgeometrietypische Überlegen immer beibehalten wird. Angefügt kann dann eine Kontrollphase, in der diese Überlegungen dann praktisch handelnd überprüft werden können. H.- G. Senftleben 4 merkt dazu an die in den letzten Jahren zu beobachtende stärkere Wertschätzung geometrischer Inhalte im Mathematikunterricht erfordert neben handlungsorientierten, materialgeleiteten Aufgaben(Experimentieren, Ausprobieren, Bauen und Basteln geometrischer Figuren usw.) unbedingt die Einbeziehung kopfgeometrische Fragestellungen. Ansonsten besteht die Gefahr, dass der Geometrieunterricht in der Schulpraxis in Aktionismus abgleitet. (S.40) Er plädiert deshalb dafür, dass Kopfgeometrie ein tragendes Prinzip zur Gestaltung des Geometrieunterrichts in der Grundschule sein sollte. (M. Franke, S. 76) 4 Hans- Günter Senftleben, Kein Geometrieunterricht ohne Kopfgeometrie, in GS Mathematik 18/2008

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13 Literaturliste Marianne Franke, Didaktik der Geometrie in der Grundschule, Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 2009 Wilhelm Schipper, Handbuch für den Mathematikunterricht an Grundschulen, Schroedel 2009 Gudrun Häring (Hrsg.) Start in den Unterricht, Mathematik Klasse 3, Friedrich Verlag 2010 Ruth Dolenz- Petz, Petra Ihn- Huber (Hrsg.) Geometrische Kompetenzen fördern, Cornelsen Scriptor 2011 Andrea Brenninger, Gisela Studeny, Kartei zur Kopfgeometrie ( Schuljahr), Westermann2007 Geometrie im Kopf, Kartei zur Kopfgeometrie, Klett Mathematik differenziert, Zeitschrift für die Grundschule, Geometrie des Würfels, Westermann, Heft Mathematik differenziert, Zeitschrift für die Grundschule, Raum und Form: Vorstellung und Verständnis, Westermann, Heft Grundschulmagazin, Schwerpunkt Kopfgeometrie, Oldenbourg, Heft Grundschule Mathematik, Kopfgeometrie: Vorstellen und Beschreiben, Kallmeyer, Heft