Nach der Theorie der Partialbruchzerlegung kann der Bruch auf der linken Seite in Teilbrüche zerlegt werden: = + =

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1 ist ( 6.4 Logistisches Wachstum Ein Nachteil des Modells vom beschränkten Wachstum besteht darin, dass für kleine t die Funktion ungefähr linear statt exponentiell wächst. Diese chwäche wird durch das logistische Modell behoben. Der Name stammt vom Belgier Verhulst (84-849). Bei diesem Modell verläuft das Wachstum anfänglich ungefähr exponentiell, gegen Ende des Beobachtungs- Zeitraumes nähert sich das Wachstum dem beschränkten Wachstum mit der ättigungsgrenze. Das bedeutet, dass die momentane Wachstumsrate proportional zu und zu ( ) ist. ) & k () Differentialgleichung des logistischen Wachstums k > Beispiel in der Abbildung k. und 3. Die Gleichung hat die Gleichgewichtslösungen und. Für < < ist & positiv und damit streng monoton wachsend. Das Wachstum ist bei ½ maximal. Für und kann die Gleichung umgeformt werden zu: & k () ( ) Nach der Theorie der Partialbruchzerlegung kann der Bruch auf der linken eite in Teilbrüche zerlegt werden: a b a ( ) + b a + ( b a) + ( ) ( ) ( ) Die Konstanten sind damit bestimmt zu: a b Gleichung () kann damit neu in der folgenden Form dargestellt werden: & & & & + k oder k ( ) ( ) Integration ergibt: ln ln ln ln( ) ln kt + c wegen < < kt+ c e kt c e mit der Lösung kt + c e oder für den Kehrwert kt c oder e kt c bzw. ( + e ) logist_wachstum 3..3

2 Zur Zeit t erhält man den Anfangswert. + c Daraus ergibt sich für die Konstante der Wert c und die Lösung (3) logistisches Wachstum. kt kt + ( ) e + e Im einleitenden Beispiel ergibt sich für den Anfangswert die spezielle Lösung 3. t + e. 3 Bemerkung : Auf Überbevölkerung (Anfangswert > ) reagiert das Modell mit der Abnahme der Individuenzahl gegen die ättigungsgrenze. Bemerkung : Die Partialbruchzerlegung kann mit dem folgenden Kunstgriff vermieden werden: Man betrachtet die wegen f(t) definierte Hilfsfunktion g( t) f ( t) Wegen f& ( t) k f ( ) ( t) ( f ( t) ) k f ( t) ( f ( t) ) k g& t k k g t f ( t) f ( t) f ( t) f ( t) ist g(t) Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung & k ( ) mit der Lösung kt kt g( t) + c e ( + c e ) Die Lösung der ursprünglichen Differentialgleichung () heisst damit kt + c e ( ( )) Die Differentialgleichung () kann auch die Ausbreitung einer unheilbaren aber nicht tödlichen Krankheit beschreiben. Es wird angenommen, dass diese Krankheit in einer isolierten Population mit Individuen umgeht. N(t) bezeichne die Anzahl der zur Zeit t infizierten Individuen. Modellvorstellung: Die Wachstumsrate N & ( t) ist proportional zur Anzahl der Kranken N(t) und zur Anzahl der Gesunden ( N(t)) (d.h. proportional zur Anzahl der Kontakte zwischen Kranken und Gesunden). Bezeichnet man N(t) mit so erhält man die bekannte Differentialgleichung & k. ( ) logist_wachstum 3..3

3 3 Beispiel: Ist in einer Population von 5 Menschen zu Beginn ein Bewohner infiziert und zählt man nach 4 Wochen 3 Kranke, dann gilt: 5 N ( t) 5 kt + ( 5 ) e t in Wochen Wegen 5 N ( 4) k e 3 k Im Zeitpunkt, wo die Hälfte der tammesbewohner krank ist gilt: N t 5. ( ) 5 5 4k e Auflösung die Gleichung ergibt t 5.9. Ab diesem Zeitpunkt sinkt die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Krankheit (sogenannter Vitalitätsknick). Im folgenden Beispiel werden die Parameter aus den Daten geschätzt. Wachstum einer Hefekultur (Carlson 93) Zeit t [h] Hefemenge N(t) [mg] t N(t) logist_wachstum 3..3

4 4 Dazu wird die Gleichung (3) folgendermassen umformt: Zähler und Nenner mit kt / + ( ) e kt + e erweitern ln + e e kt kt + ln kt + e kt Das Ergebnis bedeutet, dass für die logistische Verteilung die Punkte einer Geraden mit der teigung m -k (4) und dem -Achsenabschnitt q ln (5) liegen. Im Folgenden sind für die vorgegebenen Daten die Punkte ln, ln auf, dargestellt. Dazu muss allerdings für die Kapazitätsgrenze eine plausible Annahme getroffen werden. Wählt man nach verschiedenen Versuchen so ergibt sich die folgende Tabelle mit besonders guter Übereinstimmung mit den Daten: Hefemenge N(t) [mg] / ln(/ - /) Regressionswerte Residuen N(t) logist_wachstum 3..3

5 5 Excel liefert für die teigung m und den -Achsenabschnitt q die Werte: m und q Mit (4) und (5) können damit die Parameter geschätzt werden: m m -k (4) oder k.8677 Aus Gleichung (5) für den -Achsenabschnitt q ln folgt e q q q q e + oder e e + und damit e q + logist_wachstum 3..3

6 6 Vergleich der Daten mit den Werten des logistischen Wachstums N ( t) mit den Parametern kt + ( ) e k m.8677 und q e + Zeit t [h] Hefemenge N(t) [mg] t N(t) Werte geschätzt Abweichungen logist_wachstum 3..3