Zeitdiskrete Signalverarbeitung

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1 Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer, John R. Buck Zeitdiskrete Signalverarbeitung 2., überarbeitete Auflage ein Imprint von Pearson Education München Boston San Francisco Harlow, England Don Mills, Ontario Sydney Mexico City Madrid Amsterdam

2 Inhaltsverzeichnis Abkürzungsverzeichnis 14 Liste der Beispiele 15 Vorwort 19 Danksagung 25 Kapitel 1 Einführung 27 Kapitel 2 Zeitdiskrete Signale und Systeme Einführung Zeitdiskrete Signale als Folgen Grundfolgen und Operationen mit Folgen Zeitdiskrete Systeme Speicherlose Systeme Lineare Systeme Zeitinvariante Systeme Kausalität Stabilität Lineare zeitinvariante Systeme Eigenschaften linearer zeitinvarianter Systeme Lineare Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten Darstellung zeitdiskreter Signale und Systeme im Frequenzbereich Eigenfunktionen linearer zeitinvarianter Systeme Einschaltvorgänge bei komplexen exponentiellen Eingangsfolgen Darstellung von Folgen mithilfe der Fourier-Transformation Symmetrieeigenschaften der Fourier-Transformation Theoreme der Fourier-Transformation Linearität der Fourier-Transformation Zeit- und Frequenzverschiebung Zeitumkehr Differentiation im Frequenzbereich Parseval sches Theorem 98

3 6 Inhaltsverzeichnis Das Faltungstheorem Das Modulations- oder Fenstertheorem Zeitdiskrete Zufallssignale Zusammenfassung 109 Aufgaben 110 Kapitel 3 Die z-transformation Einführung Die z-transformierte Eigenschaften des Konvergenzbereichs bei der z-transformation Die inverse z-transformation Tabellenverfahren Partialbruchzerlegung Potenzreihenentwicklung Eigenschaften der z-transformation Linearität Zeitverschiebung Multiplikation mit einer Exponentialfolge Differentiation von X (z) Konjugation einer komplexen Folge Zeitumkehr Faltung von Folgen Anfangswert-Theorem Zusammenfassung einiger Eigenschaften der z-transformation Zusammenfassung 178 Aufgaben 178 Kapitel 4 Die Abtastung zeitkontinuierlicher Signale Einführung Periodische Abtastung Darstellung der Abtastung im Frequenzbereich Rekonstruktion eines bandbegrenzten Signals aus seinen Abtastwerten Zeitdiskrete Verarbeitung zeitkontinuierlicher Signale Lineare zeitinvariante zeitdiskrete Systeme Impulsinvarianz Zeitkontinuierliche Verarbeitung zeitdiskreter Signale Veränderung der Abtastrate durch eine zeitdiskrete Verarbeitung Reduktion der Abtastrate um einen ganzzahligen Faktor 226

4 Inhaltsverzeichnis 7 Kapitel Erhöhung der Abtastrate um einen ganzzahligen Faktor Veränderung der Abtastrate um einen nichtganzzahligen Faktor Multiraten-Signalverarbeitung Austauschbarkeit von Filterung und Abwärts- bzw. Aufwärtstastung Polyphasenzerlegungen Polyphasenrealisierung von Dezimationsfiltern Polyphasenrealisierung von Interpolationsfiltern Digitale Verarbeitung von analogen Signalen Vorfilterung zur Vermeidung von Aliasing Analog-Digital-Wandlung (A /D-Wandlung) Analyse der Quantisierungsfehler Digital-Analog-Wandlung (D/A-Wandlung) Überabtastung und Rauschformung bei der A/D- und D/A-Wandlung A/D-Wandlung mit Überabtastung und direkter Quantisierung A/D-Wandlung mit Überabtastung und Rauschformung Überabtastung und Rauschformung bei der D/A-Wandlung Zusammenfassung 278 Aufgaben 279 Analyse linearer zeitinvarianter Systeme mittels Transformationen Einleitung Der Frequenzgang von LTI-Systemen Ideale frequenzselektive Filter Phasenverzerrung und Laufzeit Systemfunktionen Lineare Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten Stabilität und Kausalität Inverse Systeme Impulsantwort bei rationalen Systemfunktionen Frequenzgang bei rationalen Systemfunktionen Frequenzgang einer einfachen Nullstelle oder eines einfachen Pols Beispiele mit mehrfachen Polen und Nullstellen Zusammenhang zwischen Amplituden- und Phasengang Allpässe 349

5 8 Inhaltsverzeichnis 5.6 Minimalphasensysteme Zerlegung in Minimalphasensysteme und Allpässe Kompensation des Frequenzgangs Eigenschaften von Minimalphasensystemen Lineare Systeme mit verallgemeinerter linearer Phase Systeme mit linearer Phase Verallgemeinerte lineare Phase Kausale Systeme mit verallgemeinerter linearer Phase Beziehungen zwischen linearphasigen und minimalphasigen FIR-Systemen Zusammenfassung 389 Aufgaben 389 Kapitel 6 Strukturen zeitdiskreter Systeme Einführung Darstellung linearer Differenzengleichungen durch Blockschaltbilder Darstellungen durch Signalflussgraphen Grundstrukturen von IIR-Systemen Direktformen Kettenform Parallelform Rückkopplung in IIR-Systemen Transponierte Formen Grundstrukturen von Netzwerken für FIR-Systeme Direktform Kettenform Strukturen für linearphasige FIR-Systeme Überblick über die Auswirkungen einer endlichen Rechengenauigkeit Zahlendarstellungen Quantisierung bei der Implementierung von Systemen Auswirkungen der Koeffizientenquantisierung Auswirkungen der Koeffizientenquantisierung bei IIR-Systemen Beispiel zur Koeffizientenquantisierung bei einem Cauer-Filter Pollagen bei quantisierten Teilsystemen zweiter Ordnung Auswirkungen der Koeffizientenquantisierung bei FIR-Systemen 472

6 Inhaltsverzeichnis Beispiel für die Quantisierung eines optimalen FIR-Filters Erhaltung der linearen Phase Auswirkungen des Rundungsrauschens bei Digitalfiltern Analyse von IIR-Strukturen in Direktform Skalierung bei Festkomma-Realisierungen von IIR-Systemen Beispiel für die Analyse einer IIR-Struktur in Kettenform Analyse von FIR-Systemen in Direktform Gleitkomma-Realisierungen zeitdiskreter Systeme Grenzzyklen bei Festkomma-Realisierungen von IIR-Digitalfiltern Grenzzyklen durch Runden und Abschneiden Grenzzyklen durch Überlauf Vermeidung von Grenzzyklen Zusammenfassung 511 Aufgaben 512 Kapitel 7 Verfahren für den Filterentwurf Einführung Entwurf zeitdiskreter IIR-Filter aus zeitkontinuierlichen Filtern Filterentwurf über Impulsinvarianz Bilineare Transformation Beispiele für den Entwurf mittels bilinearer Transformation Entwurf von FIR-Filtern mit Fenstertechnik Eigenschaften häufig genutzter Fenster Einbeziehung der verallgemeinerten linearen Phase Filterentwurfsmethode mit Kaiser-Fenster Beziehungen zwischen dem Kaiser-Fenster und anderen Fenstern Beispiele für den FIR-Filterentwurf mit der Kaiser-Fenster-Methode Hochpassfilter Zeitdiskrete Differentiatoren Optimale Approximationen von FIR-Filtern Optimale Tiefpassfilter des Typs I Optimale Tiefpassfilter des Typs II Parks-McClellan-Algorithmus Charakteristiken optimaler FIR-Filter 603

7 10 Inhaltsverzeichnis 7.5 Beispiele für FIR-Approximationen mit gleichmäßiger Welligkeit Tiefpassfilter Kompensation eines Haltegliedes nullter Ordnung Bandpassfilter Bemerkungen zu zeitdiskreten IIR- und FIR-Filtern Zusammenfassung 615 Aufgaben 615 Kapitel 8 Die diskrete Fourier-Transformation Einführung Darstellung von periodischen Folgen: Die diskrete Fourier-Reihe Eigenschaften der diskreten Fourier-Reihen Linearität Verschiebung einer Folge Dualität Symmetrieeigenschaften Periodische Faltung Zusammenfassung der Eigenschaften der DFS-Darstellung periodischer Folgen Die Fourier-Transformierte periodischer Signale Abtastung der Fourier-Transformierten Fourier-Darstellung endlicher Folgen Eigenschaften der diskreten Fourier-Transformierten Linearität Zirkulare Verschiebung einer Folge Dualität Symmetrieeigenschaften Zirkulare Faltung Zusammenfassung der Eigenschaften der diskreten Fourier-Transformierten Lineare Faltung unter Verwendung der diskreten Fourier-Transformation Lineare Faltung zweier endlicher Folgen Zirkulare Faltung als lineare Faltung mit Aliasing Implementierung linearer zeitinvarianter Systeme mithilfe der DFT Diskrete Cosinus-Transformation (DCT) Definitionen der DCT Definition von DCT-1 und DCT Beziehung zwischen der DFT und der DCT Beziehung zwischen der DFT und der DCT-2 710

8 Inhaltsverzeichnis Eigenschaft der Energiekonzentration bei der DCT Anwendungen der DCT Zusammenfassung 717 Aufgaben 717 Kapitel 9 Berechnung der diskreten Fourier-Transformierten 751 Kapitel Einführung Effiziente Berechnung der diskreten Fourier-Transformierten Der Goertzel-Algorithmus FFT-Algorithmen mit Dezimation im Zeitbereich In-place-Berechnungen Alternative Formen FFT-Algorithmen mit Dezimation im Frequenzbereich In-place-Berechnung Alternative Formen Praktische Überlegungen Indizierung Koeffizienten Algorithmen für allgemeinere Werte von N Implementierung der DFT mithilfe der Faltung Überblick über den Winograd-Algorithmus für die Fourier-Transformation Der Chirp-Transformations-Algorithmus Auswirkungen der endlichen Wortbreite der Register Zusammenfassung 796 Aufgaben 797 Fourier-Analyse von Signalen mittels der diskreten Fourier-Transformierten Einführung Fourier-Analyse von Signalen mittels der DFT Analyse sinusförmiger Signale mittels der DFT Die Auswirkung der Fensterung Die Auswirkung der spektralen Abtastung Die zeitabhängige Fourier-Transformation Die Auswirkung des Fensters Abtastung im Zeit- und Frequenzbereich Blockweise Faltung mithilfe der zeitabhängigen Fourier-Transformation Fourier-Analyse nichtstationärer Signale Zeitabhängige Fourier-Analyse von Sprachsignalen 859

9 12 Inhaltsverzeichnis Zeitabhängige Fourier-Analyse von Radarsignalen Fourier-Analyse stationärer Zufallssignale: Das Periodogramm Das Periodogramm Eigenschaften des Periodogramms Mittelung von Periodogrammen Berechnung der gemittelten Periodogramme mittels der DFT Beispiel einer Analyse mittels eines Periodogramms Spektralanalyse von Zufallssignalen Berechnung von Schätzungen der Korrelationsfolge und des Leistungsdichtespektrums mittels der DFT Beispiel einer Schätzung des Leistungsdichtespektrums auf der Basis der Schätzung der Autokorrelationsfolge Zusammenfassung 892 Aufgaben 895 Kapitel 11 Diskrete Hilbert-Transformationen Einführung Real- und Imaginärteil der Fourier-Transformierten von kausalen Folgen Theoreme für endliche Folgen Beziehungen zwischen Amplitude und Phase Hilbert-Transformation für komplexe Folgen Entwurf von Hilbert-Transformatoren Darstellung von Bandpass-Signalen Abtastung von Bandpass-Signalen Zusammenfassung 948 Aufgaben 949 Anhang A Zufallssignale 961 A.1 Zeitdiskrete Zufallsprozesse 961 A.2 Momente 963 A.2.1 Definitionen 963 A.2.2 Zeitmittelwerte 966 A.3 Eigenschaften von Korrelations- und Kovarianzfolgen 967 A.4 Darstellung von Zufallssignalen als Fourier-Transformierte 969 A.5 Berechnung der mittleren Leistung mittels der z-transformation 971 Anhang B Zeitkontinuierliche Filter 977 B.1 Butterworth-Tiefpassfilter 977 B.2 Tschebyscheff-Filter 979 B.3 Cauer-Filter 981

10 Inhaltsverzeichnis 13 Anhang C Lösungen zu ausgewählten Grundaufgaben 983 Literaturverzeichnis 1011 Register 1023