Kombinatorik: Abzählverfahren (Teschl/Teschl 7) Summenregel. Allgemeiner
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- Sebastian Hummel
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1 Kombinatorik: Abzählverfahren (Teschl/Teschl 7) Fragestellung: Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, Elemente auszuwählen, z. B. Anzahl verschiedener möglicher Passwörter, IPAdressen, Zahlenkombinationen beim Lotto... Summenregel Zahl der Möglichkeiten der Auswahl aus zwei disjunkten Mengen ist gleich Summe der Anzahlen der Elemente: #(A B) = #A + #B, wenn A B =. Allgemeiner #(A B) = #A + #B #(A B). 1 / 23
2 Produktregel #(A B) = (#A) (#B) bzw. #(A 1 A 2... A n ) = (#A 1 ) (#A 2 )... (#A n ). Beispiele Zahl der Wörter der Länge 3 aus Kleinbuchstaben und Ziern, die mit einem Buchstaben anfangen, ist gleich = Zahl der Wörter aus Kleinbuchstaben der Länge 3, 4 oder 5 ist gleich = Zahl der Wörter aus 3 Kleinbuchstaben, die mit einem Vokal (a,e,i,o,u) anfangen oder einem Vokal enden ist gleich = / 23
3 Permutationen Zahl der Möglichkeiten, n Elemente anzuordnen, ist gleich n (n 1) = n! (n Fakultät). Beispiel: Traveling Salesman Problem Geschäftsreisender besucht nacheinander n Orte n! mögliche Reiserouten. Geordnete Auswahl Zahl der Möglichkeiten, k von n Elementen auszuwählen, mit Beachtung der Reihenfolge, ist gleich n (n 1)... (n k + 1) = n! (n k)!. 3 / 23
4 Beispiele Bei 10 nacheinander durchzuführenden mündlichen Prüfungen gibt es 10! = Möglichkeiten für die Reihenfolge. Bei 50 anwesenden Personen sind 6 Plätze in der ersten Reihe zu besetzen. Dafür gibt es = = Möglichkeiten. 50! 44! Es gibt 26! = = aus 21! 5 Kleinbuchstaben bestehende Passwörter, in denen kein Buchstabe mehrfach vorkommt. Sollen diese Passwörter mit einem Vokal beginnen oder enden, so bleiben (Beginn Vokal) + (Ende Vokal) (doppelt gezählte) = Möglichkeiten. 4 / 23
5 Binomialkoezienten Zahl der Möglichkeiten, k von n Elementen auszuwählen, ohne Beachtung der Reihenfolge (= Zahl der kelementigen Teilmengen einer nelementigen Menge), ist gleich n! (n k)! k! = ( n k ) (Binomialkoezient n über k). Beispiel Möglichkeiten beim Lotto 6 aus 49: ( ) 49 = 49! 6 43! 6! = = / 23
6 Weiteres Beispiel Bestimmung der Zahl der 6stelligen Passwörter aus Kleinbuchstaben und Ziern, die mit einem Buchstaben beginnen und genau 2 Ziern enthalten: Für die ) Verteilung der 2 Ziern auf die 5 Stellen (2 bis 6) gibt es = 10 Möglichkeiten. Für die Auswahl der Ziern gibt ( 5 2 es 10 2 = 100 und für die Auswahl der 4 Buchstaben 26 4 = Möglichkeiten. Insgesamt hat man damit = Möglichkeiten. Bemerkung Oft ist bei Abzählverfahren der Lösungsweg nicht eindeutig, jedoch müssen alle Lösungsansätze zum selben Ergebnis führen. 6 / 23
7 Beispiel Anwesend sind 40 Männer und 10 Frauen. Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 Plätze der ersten Reihe mit 3 Männern und 3 Frauen zu besetzen? Antwort 1: ( ) 6 40! 3 37! 10! 7! = = Begründung: Zunächst wird ausgewählt, welche Plätze mit Männern und ) welche mit Frauen besetzt werden sollen. Dazu gibt es Möglichkeiten. Für die Besetzung der ( Männerplätze gibt es dann = 40! Möglichkeiten, 37! für die 3 Frauenplätze = 10!. 7! Die Gesamtzahl der Möglichkeiten erhält man daraus mit der Produktregel. 7 / 23
8 Antwort 2 zum letzten Beispiel 40 Männer und 10 Frauen besetzen 6 Plätze: Man wählt ) zunächst ) 3 Männer und 3 Frauen aus, wofür es bzw. Möglichkeiten gibt. ( 40 3 ( 10 3 Diese 6 Personen verteilt man dann auf die 6 Plätze, wofür es 6! Möglichkeiten gibt. Die Gesamtzahl der Möglichkeiten ist damit (wieder mit der Produktregel) ( 40 3 ) ( 10 3 ) 6! = ! = / 23
9 Eigenschaften der Binomialkoezienten ( ) ( ) n n =, k n k Pascal'sches Dreieck n ( ) n = 2 n, k k=0 ( ) ( ) ( ) n + 1 n n = + k k k 1 k = n = / 23
10 Binomische Formel (a + b) n = n k=0 ( ) n a k b n k k Beispiel: ( ) = ( ) 2 ( = , 5 + 1, = Beweis 1 2 ) 3 + ( ) (a + b) n = (a + b) (a + b) (a + b)... (a + b) } {{ } n mal... Abzählen aller Möglichkeiten, aus jeder Klammer genau einen Summanden auszuwählen. 10 / 23
11 Komplexität von Algorithmen (Teschl/Teschl 8.3) Beispiel: Suchen eines Datensatzes in einer Datenbank mit n Einträgen (z. B. Telefonbuch) Lineare Suche: bis zu n Vergleiche nötig, Lexikalische Suche: log 2 n Vergleiche genügen. 11 / 23
12 Einschub: Logarithmen Für eine Konstante a > 0 ist der Logarithmus zur Basis a, y = log a x, für x (0; ) deniert als (eindeutig bestimmte) Zahl y R mit a y = x, d. h. y = log a x ist die Umkehrfunktion von x = a y. Der Logarithmus zur Basis e = 2, heiÿt natürlicher Logarithmus, Notation ln x = loge x Beispiel: log 2 8 = 3, da 2 3 = 8 Rechenregeln log a 1 = 0, log a (x y) = log a x + log a y, log a x y = log a x log a y, log a x b = b log a x, log a x = log b x log b a, speziell log a x = ln x ln a 12 / 23
13 Beispiel zur Komplexität: Rechenaufwand bei der Auswertung (Berechnung) von Polynomen direkt: p(x) = a n x... x a 1 x + a 0 erfordert n Additionen und n + (n 1) = 1 n(n + 1) Multiplikationen 2 (nach Gauÿscher Summenformel, siehe Beispiel zur vollständigen Induktion). Mit Horner-Schema: jeweils n Additionen und Multiplikationen. Fazit Aufwand bei Hornerschema O(n) gegenüber O(n 2 ) bei direkter Berechnung. 13 / 23
14 OSymbol (LandauSymbol) Gegeben seien Funktionen f, g : N R. Man sagt f (n) = O ( g(n) ) (sprich GroÿO), wenn es eine Konstante C gibt mit f (n) C g(n) für alle n. f (n) wächst nicht stärker als g(n). Alternative Notation (formal korrekter): f (n) O ( g(n) ) Beispiel 1 2 n n = O(n2 ), denn aus n n 2 folgt 1 2 n n ( ) n 2 = 2n2 n + log 2 n = O(n), denn log 2 n n... 2n Fazit: Der am stärksten wachsende Anteil einer Summe bestimmt das Gesamtwachstum. 14 / 23
15 Kleines osymbol f (n) = o ( g(n) ) f (n) wächst langsamer als g(n) Bemerkung f (n) = o(g(n)) f (n) = O(g(n)) Wachstum elementarer Folgen 1 = o(log b n), log b n = o(n a ), wenn a > 0, n a 1 = o(n a 2 ), wenn a 1 < a 2, n a = o(b n ) für b > 1, b n = o(b n 1 2), wenn b 1 < b 2, b n = o(n!), n! = o(n n ). 15 / 23
16 Beispiele log 2 n = o( n), d. h. die Wurzelfunktion wächst (für n ) stärker als log 2 n n = o(n) (Wurzel wächst langsamer als n) n = o(n 2 ) n 3 = o(n 5 ) (je gröÿer die Potenz, desto stärker das Wachstum) n 8 = o(2 n ) (Exponentialfunktion wächst stärker als jede Potenz) 2 n = o(3 n ) 10 n = o(n!) n! = o(n n ) 16 / 23
17 17 / 23
18 Eigenschaften f (n) = O(g(n)) und g(n) = O(h(n)) f (n) = O(h(n)), f 1 (n) = O(g(n)) und f 2 (n) = O(g(n)) af 1 (n) + bf 2 (n) = O(g(n)) für beliebige a, b R. Ist f 1 (n) = O(g 1 (n)) und f 2 (n) = O(g 2 (n)), so ist (f 1 f 2 )(n) = O((g 1 g 2 )(n)) Analoge Aussagen gelten für klein o. 18 / 23
19 Beispiele n 2 + 2n + n = O(n 2 ), da n = o(n 2 ) und n = n 1/2 = o(n 2 ) 2n + n = O(n 2 ) 3 2 n + n 2 + log 2 n = O(2 n ), da n 2 = o(2 n ) und log 2 n = o(2 n ) n 2 + 2n ln n = O(n 2 ), da ln n = O(n) n ln n = O(n 2 ) (5n 3 + 2n 2 n + 3) log 7 n = O(n 3 log 7 n) = O(n 3 ln n) (da log 7 n = ln n = O(ln n)) ln 7 19 / 23
20 Bemerkungen Der Ausdruck g(n) im OSymbol O(g(n)) ist nicht eindeutig bestimmt. Z. B. ist n = O(n 3 ) oder n = O(n ln n)). In der Praxis sucht man ein g(n), das möglichst einfach ist (wie O(n), O(n 2 ), O(n ln n) oder O(n!)) und das das Wachstum möglichst gut abschätzt. Das Gesamtwachstum einer Summe wird immer durch den Summanden mit dem gröÿten Wachstum bestimmt (z. B. n 2 + 2n = O(n 2 )). Wegen log b n = ln n ist O(log ln b b 1 n) gleichbedeutend mit O(log b2 n). Mit schreibt in diesem Fall einfach O(log n) und spricht von logarithmischem Wachstum. 20 / 23
21 Sortieralgorithmen (gegeben Liste mit n Einträgen) naiver Ansatz: Suche kleinsten Listeneintrag und setze ihn an erste Stelle, suche zweitkleinsten Eintrag... (n 1) + (n 2) = 1 n(n 1) Vergleiche 2 und n 1 Vertauschungen Aufwand O(n 2 ). Bubble Sort: Aufwand O(n 2 ) Merge Sort: Aufwand O(n log 2 n) Quick Sort: Aufwand O(n 2 ) im worst case, jedoch meist O(n log 2 n) 21 / 23
22 Beispiel Merge Sort 22 / 23
23 Bemerkung Im Beispiel benötigt Merge Sort 14 Vergleiche gegenüber 21 bei Bubble Sort. Bei Sortierung einer Liste mit 1000 Einträgen benötigt Bubble Sort = Vergleiche, während Merge Sort 2 mit weniger als = auskommt (wegen 2 10 = 1024 log ). Somit ist der Aufwand mit Bubble Sort mehr als 50 mal so groÿ wie mit Merge Sort. 23 / 23
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