A U F G A B E N S A M M L U N G Z U R M A T H E M A T I K F Ü R Ö K O N O M E N

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1 Fakultät für Wirtschaftswissenschaft Dr. Alfred Bischoff A U F G A B E N S A M M L U N G Z U R M A T H E M A T I K F Ü R Ö K O N O M E N Inhalt Teil : Lineare Algebra. Vektoren. Matrizen. Gauß Algorithmus. Lineare Gleichungssysteme 5. Determinanten 6. Inverse Matrizen 7. Lineare Optimierung Teil : Analysis 8. Folgen und Reihen 9. Finanzmathematik 0. Ableitungen. Globale Extrema. Differenzial Wachstumsrate Elastizität. Taylorentwicklung. Unbestimmte Ausdrücke: Regeln von l Hospital 5. Newton-Verfahren 6. Partielle Ableitungen 7. Lokale Extrema für Funktionen mit mehreren Variablen 8. Partielles und totales Differenzial partielle Elastizität und homogene Funktionen 9. Kettenregel totale Ableitung Ableiten impliziter Funktionen 0. Extrema unter Nebenbedingungen: Lagrange-Ansatz. Integralrechnung Diese Aufgabensammlung ist ausschließlich zum persönlichen Gebrauch der Teilnehmer meiner Veranstaltung Mathematik für Ökonomen bestimmt Stand:

2 . Vektoren. Berechnen Sie - falls definiert - die Ausdrücke unter () - (8) mit a = b = c = d = λ = λ =. () a + b b a a + b' a' + b' b' a' a c d' c () λ a + λ b λ b λ a λ c + λ c λ a λ b' () a' b ab a'b' a'c d'b c'd d'c () (λ a)'b a'(λ b) λ a'b c'd (5) a' a + a' b + b' b a' a a' b + b' b a' a b' b (6) a b a λ (b a) λ (d c) (7) n a + λ a a' (8) c = c' c z= c c c z c s = c z c z. Bestimmen Sie die Winkel ϕ ab ϕ ac ϕ bc ϕ ab ϕ ab ϕ a b zwischen den Vektoren a = 0 b = 0 c = 0 0!. Bestimmen Sie λ λ λ so dass a = 0. Sind folgende Vektoren linear abhängig? () () λ b = λ () (5) 0.5 Bilden Sie für a = b = c = d = c = λ paarweise orthogonal sind! () 0 0 (6) 0 0 die äußeren Produkte ab' ba' ac' ca' db' dc' db' da' cb' + ca' n c' a n ' m n ' ae i ' e i b'.. Matrizen. Berechnen Sie - falls definiert- die Ausdrücke () bis () wobei A = 5 6 B = C = a = b = x = x x () A'A () AA' () A () AB (5) BA (6) AC (7) A'C (8) CA (9) BCA (0) Aa () b'aa () a'bb () a'a'aa () x'cx. Bestimmen Sie den Rang folgender Matrizen: () () 6 () () Bestimmen Sie Zahlen a b c Ñ so dass für die Matrix A = c b 0 a. Bestimmen Sie die Matrix A so dass für B = b b b Ñ b 0 gilt: AB = A+B..5 Bestimmen Sie Zahlen a b Ñ mit a + b + = 0 und a a.6 Bestimmen Sie eine Zahl a Ñ so dass die Matrix A = a a a a a 0 0 b x gilt: A'A ist eine Diagonalmatrix. 6 idempotent ist. =

3 .7 Bestimmen Sie für a =.8 Bestimmen Sie für A = Bestimmen Sie für A = a 0 0 a 0 a.0 Bestimmen Sie für A = und b = λ und b = a und b = und D = eine Zahl λ Ñ so dass A = ab' idempotent ist. a a eine Zahl a > 0 so dass Spur ( Abb'A' ) = ist. eine Zahl a Ñ so dass Spur ( Abb'A' ) = Spur( A ) ist. eine Zahl a Ñ so dass Spur( A D A' ) = Spur( A' A ).. Ein Unternehmen stellt aus den Rohstoffen R i die Zwischenprodukte Z j und daraus die Endprodukte E k her. Die dazu benötigten Einsatzmengen die Rohstoffkosten sowie das Produktionssoll liegen in Tabellenform vor. (a) Stellen Sie die Angaben durch zwei Matrizen und zwei Vektoren dar. Benennen Sie die Größen und verwenden Sie ausschließlich diese benannten Größen zur Beantwortung folgender Fragen: (b) Welche Rohstoffmengen sind zur Produktion je einer Mengeneinheit (ME) der Endprodukte E k notwendig? (c) Wie hoch ist der Bedarf an Rohstoffen zur Fertigung des Produktionssolls? (d) Wie hoch sind die dabei insgesamt entstehenden Rohstoffkosten? () Z Z Z Rohstoffkosten E E R 0 Z R 0 Z 0 R 0 Z 0 R Produktionssoll 5 0 () Z Z Z Rohstoffkosten E E R Z R 0 Z 0 R 0 Z 0 R 0 Produktionssoll 0 5 () Z Z Z Rohstoffkosten E E R 0 Z R 0 Z 0 R 0 Z R Produktionssoll 5 0. Ein Unternehmen stellt die Produkte P i auf den Maschinen M j her. Die dazu benötigten Zeiten das Produktionssoll sowie die Kosten pro Maschinenstunde liegen in Tabellenform vor. (a) Stellen Sie die Angaben durch eine Matrix und zwei Vektoren dar. Benennen Sie die Größen und verwenden Sie ausschließlich diese benannten Größen zur Beantwortung folgender Fragen: (b) Welche Maschinenkosten verursacht die Fertigung je eines Stückes der Produkte P i? (c) Wie lange wird jede der Maschinen M j zur Herstellung des Produktionssolls insgesamt eingesetzt? (d) Welche Maschinenkosten entstehen dabei insgesamt? () M M M Produktionssoll P P ( Benötigte Zeiten in Minuten / Stück ) P Maschinenkosten

4 () M M M Produktionssoll P P ( Benötigte Zeiten in Minuten / Stück ) P Maschinenkosten () M M M M Produktionssoll P 00 P 00 ( Benötigte Zeiten in Stunden / Stück ) Maschinenkosten () M M M Produktionssoll P P ( Benötigte Zeiten in Minuten / Stück ) P Maschinenkosten Ein landwirtschaftlicher Betrieb baut die Fruchtarten F i an. Dabei setzt er die Maschinen M j ein. Die benötigten Zeiten (in Stunden / Hektar) die Anbaufläche (in Hektar) sowie die Maschinenkosten (in / Stunde) liegen in Tabellenform vor. (a) Stellen Sie die Angaben durch eine Matrix und zwei Vektoren dar. Benennen Sie die Größen und verwenden Sie ausschließlich diese benannten Größen zur Beantwortung folgender Fragen: (b) Wie hoch sind die Kosten je Hektar Anbaufläche für die einzelnen Fruchtarten? (c) Wie lange wird jede der Maschinen M j insgesamt eingesetzt? (d) Wie hoch sind die dabei entstehenden Gesamtkosten? () M M Anbaufläche F 7 F 0 F Maschinenkosten () M M M Anbaufläche F 0 F 6 0 Maschinenkosten () M M M Anbaufläche F 6 F 5 0 F 6 Maschinenkosten In der Mensa werden an einem Tag verschiedene Menus M M M angeboten. Die im Wesentlichen benötigten Zutaten Z... Z 6 (in kg / Menu) die Einkaufspreise der Zutaten (in / kg) sowie die Anzahl ausgegebener Menus liegen in Tabellenform vor. (a) Stellen Sie die Angaben durch eine Matrix und zwei Vektoren dar. Benennen Sie die Größen und verwenden Sie ausschließlich diese benannten Größen zur Beantwortung folgender Fragen: (b) Wie hoch sind die Kosten der Zutaten pro Menu für M M bzw. M? (c) Welche Mengen an Zutaten Z... Z 6 werden insgesamt zur Herstellung aller ausgegebenen Menus benötigt? (d) Wie hoch sind die dabei entstehenden Gesamtkosten für alle Zutaten?

5 () Z Z Z Z Z 5 Z 6 Auszugebende Menus M M M Preise 8 () Z Z Z Z Z 5 Z 6 Auszugebende Menus M M M Preise Ein Unternehmen stellt aus den Rohstoffen R i die Zwischenprodukte Z j her. Aus diesen Zwischenprodukten werden die Vorprodukte V k erzeugt und daraus die Endprodukte E E E. Die zur Herstellung benötigten Mengen sind in drei Tabellen zusammengefasst. (a) Stellen Sie die Angaben durch drei Matrizen und einen Vektor dar. Benennen Sie die Größen und verwenden Sie ausschließlich diese benannten Größen zur Beantwortung folgender Fragestellungen: (b) Bestimmen Sie die Matrix des Rohstoffverbrauchs für die Vorprodukte V k. (c) Ermitteln Sie die Matrix des Rohstoffverbrauchs für die Endprodukte E E E. (d) Wie hoch ist der Rohstoffbedarf zur Herstellung des Produktionssolls? () Z Z Z Z V V V V E E E R 0 0 Z V R 0 0 Z 0 V R 0 0 Z 0 0 V 0 R 0 0 Z V 0 0 R Produktionssoll: 0 ME E 0 ME E 0 ME E. () Z Z Z Z V V V V E E E R 0 0 Z V 0 R 0 Z V 0 0 R 0 0 Z 0 V R 0 Z V 0 R Produktionssoll: 5 ME E 0 ME E 5 ME E..6 Ein Weihnachtsmann steht vor der Aufgabe einige ausgesuchte Haushalte aus vier Ländern L L L L mit Gabentellern zu versorgen. Der Gabenteller setzt sich aus Früchten F Nüssen N und Süßigkeiten S zusammen. Die von Land zu Land unterschiedliche Zusammensetzung (in kg / Teller) die Anzahl der zu beliefernden Haushalte sowie die Einkaufspreise der Zutaten (in / kg ) liegen in Tabellenform vor. (a) Stellen Sie die obigen Angaben durch eine Matrix und zwei Vektoren dar. Benennen Sie die Größen und verwenden Sie ausschließlich diese benannten Größen zur Beantwortung folgender Fragen: (b) Wie viele kg Früchte Nüsse bzw. Süßigkeiten werden zur Versorgung aller Haushalte insgesamt benötigt? (c) Welche Kosten pro Gabenteller entstehen in jedem der vier Länder? (d) Wie hoch sind die Gesamtkosten zur Versorgung aller Haushalte? () L L L L Einkaufspreise F N S Anzahl Haushalte

6 () L L L L Einkaufspreise F N S Anzahl Haushalte Ein Unternehmen verkauft die Maschinen M i in die Länder L j. Die Absätze pro Land und Maschine (in Stück) sowie die Verkaufspreise der Maschinen (in T / Stück) liegen in Tabellenform vor. (a) Stellen Sie die Angaben durch eine Matrix und einen Vektor dar. Verwenden Sie ausschließlich die Matrix-Vektor-Schreibweise zur Beantwortung folgender Fragen: (b) Welche Umsatzerlöse werden in jedem Land erzielt? (c) Wie hoch ist der Absatz für jede Maschine? (d) Welchen Gesamtumsatz erwirtschaftet das Unternehmen? () M M M L 7 L L 7 5 L Verkaufspreise () M M M M L L 9 L Verkaufspreise Ein Unternehmen stellt die Produkte P P P auf den Maschinen M M her. Die Herstellung kann an zwei alternativen Standorten S S mit unterschiedlichen Produktionskosten erfolgen. Die Fertigungszeiten pro Maschine (in Stunden/ Stück) das Produktionssoll sowie die Kosten pro Maschinenstunde an den beiden Standorten liegen in Tabellenform vor: (a) Produktionszeiten M M Produktionssoll Maschinenkosten S S P 0 0 M P 0 M P 0 0 Stellen Sie die Angaben durch zwei Matrizen und einen Vektor dar. Benennen Sie die Größen und verwenden Sie ausschließlich diese benannten Größen zur Beantwortung folgender Fragestellungen: (b) Ermitteln Sie die Matrix K der Fertigungskosten ( k ij = Fertigungskosten von Produkt P i am Standort S j ). (c) Wie lange wird jede der Maschinen M M zur Herstellung des Produktionssolls insgesamt eingesetzt? (d) Welche Gesamtkosten entstünden dabei an jedem der beiden Standorte?. Gauß-Algorithmus Während der Durchführung des Gauß-Algorithmus bei verschiedenen linearen Gleichungssystemen ergeben sich die folgenden Darstellungen. Geben Sie jeweils die Lösungsmenge des Gleichungssystems an. (a) (b) (c) 6 () x x x r.s. x x x r.s. x x x r.s () x x x r.s. x x x r.s. x x x r.s

7 () x x x r.s. x x x r.s. x x x r.s () x x x r.s. x x x r.s. x x x r.s (5) x x x r.s. x x x r.s. x x x r.s (6) x x x r.s. x x x r.s. x x x r.s (7) x x x r.s. x x x r.s. x x x r.s (8) x x x r.s. x x x r.s. x x x r.s (9) x x x r.s. x x x r.s. x x x r.s (0) x x x r.s. x x x r.s. x x x r.s () x x x r.s. x x x r.s. x x x r.s () x x x r.s. x x x r.s. x x x r.s () x x x r.s. x x x r.s. x x x r.s () x x x r.s. x x x r.s. x x x r.s (5) x x x r.s. x x x r.s. x x x r.s

8 . Lineare Gleichungssysteme. Die zur Herstellung einer Mengeneinheit (ME) der Produkte P P P benötigten Rohstoffe R R R R sowie die einzusetzenden Mengen dieser Rohstoffe sind in nachstehender Tabelle zusammengefasst. Wie viele Produkte P P P können damit gefertigt werden? P P P Einzusetzende Rohstoffmengen R 0 50 R 0 50 R 0 80 R 60. Die Produkte P i eines Unternehmens werden in den Ländern L j verkauft. Die geplanten Verkaufsmengen für jedes Produkt und Land sowie die geplanten Umsätze in den Ländern liegen in Tabellenform vor. Wie hoch müssen die Preise p i für die Produkte gewählt werden damit die Umsatzziele in den einzelnen Ländern erreicht werden? () P P P Geplanter Umsatz () P P P Geplanter Umsatz L 60 L 60 L 0 L 00 L 0 L 5 0 L Die Hilfsabteilungen N i geben an die Hauptabteilungen H j Leistungen ab "beliefern" sich aber auch gegenseitig. Die Höhe dieses Leistungstransfers (gemessen in Leistungseinheiten (LE) ) sowie die in den Hilfsabteilungen angefallenen primären Kosten liegen in Tabellenform vor. (a) Bestimmen Sie die Verrechnungspreise in /LE für jede der Abteilungen N i! (b) Verteilen Sie die primären Gesamtkosten auf die Hauptabteilungen H j! Empfänger N N N H H Primärkosten N () Lieferant N N Empfänger N N N H H Primärkosten N () Lieferant N N Empfänger N N N H H Primärkosten N () Lieferant N N Empfänger N N N H H Primärkosten N () Lieferant N N Empfänger N N N H H Primärkosten N (5) Lieferant N N

9 . Ein Produkt P n wird über Zwischenprodukte P... P n hergestellt. Der Produktionsprozess ist durch einen Gozintografen dargestellt. Wie viele Mengeneinheiten (ME) P... P n werden zur Herstellung einer ME P n benötigt? Hinweis: Die Zahl an dem Pfeil von P nach P 5 in () bedeutet beispielsweise dass zur Produktion einer ME P 5 vier ME P benötigt werden. () () () P P P P P P5 P P P5 P P P5 P () (5) (6) P P P P P 05 P 05 P6 P7 P8 P P P 05 P5 P 0 P P 5 5 P5 P5 P P.5 Die Produkte P 6 P 7 werden aus Rohstoffen P P über Zwischenprodukte P P P 5 gefertigt. Der Produktionsprozess ist durch einen Gozintografen dargestellt. Wie viele ME P... P 5 werden zur Herstellung von 0 ME P 6 und 0 ME P 7 insgesamt benötigt? () () () P P6 P P6 0 P P 0 P P P5 P7 P P P5 P7 P P 0 0 P P P5 P6 P7 5. Determinanten 5. Berechnen Sie die Determinanten folgender Matrizen: () A = 0 0 () A = (5) A = B = B = B = C = C = C = (). A B' B A. B (B'B) A B A B'AC () A = D = B = Bestimmen Sie in den folgenden Aufgaben die Zahl r ( s t ) Ñ so dass die gegebenen Bedingungen erfüllt sind: 5. r 0 0 r = 8 r > 0 5. A = 0 r 0 s t B = (A + B) (A B) = (A B) (A + B) A = 9

10 5. D = r 0 0 s 5.5 A = A = 0 r r r r A = 5.0 A = 5. A = 5 5. A = r 5. A = r r 5.5 A = () A = M = 5 v = v'm'dmv = 0 D = r > 0 (r A) = A = r Spur ( A ) = A 5.8 A = r B = r A B A = Spur ( B ) D = r Spur( A' D A ) = A' D A B = 0 (A' B A) = Spur ( r B ) B = A' B A = r > 0 A = A positiv definit 5. A = D = r r 5.7 A = r 5 A D A = Spur( A D A ) () A = r B = A + B = B'B 5 (a) A = a a+u a+v 5.8 Existieren reelle Zahlen a b c u v so dass die Matrix A = b b+u b+v 5.9 A = r r 0 0 r r r 0 r 5. (a) A = r 0 c c+u c+v A = 6 A positiv definit A = A A positiv definit (b) (r A'A) = 8 Welche Aussage lässt sich dann über die Definitheit von A treffen? (Begründung!) regulär wird? (Begründung!) A Spur( A'A ) = 5.0 A = A = A A negativ definit 0 r v = v'av = A (b) Welche Definitheit besitzt A für r < 0? (Begründung!) 5. Bestimmen Sie für die gegebenen Matrizen und Vektoren folgende Ausdrücke bzw. Eigenschaften: () A = 5 7 B = v = D = (a) inverse Matrix von A (b) Determinante von B (c) Spur von C = v v' (d) Definitheit von D () A = B = 0 x x = x 0 x (a) inverse Matrix von A (b) Determinante von B (c) quadratische Form x' B x (d) Definitheit von B () A = 0 x x = x 0 x (a) Determinante von A (b) quadratische Form x' A x (c) Definitheit von A (d) inverse Matrix von A

11 6. Inverse Matrizen 6. Bestimmen Sie falls existent die Inversen der Matrizen. () A = 0 0 () A = (5) A = B = B = B = C = C = (). A B' B A. B B'B A B A B'AC () A = Für eine quadratische Matrix A gilt die Zerlegung A = L. L' mit L = 0 Berechnen Sie (a) die Inverse L von L (b) die Inverse A von A.. B = Bestimmen Sie in den folgenden Aufgaben die Zahl r Ñ so dass die gegebenen Bedingungen erfüllt sind: 6. A = A = A = A = D = r ( r A ) = Spur ( ( r A ) ) B = 7 r v = r Spur ( A D A ) = D v A B A = Spur( A B A ) b = r Spur ( A bb'(a') ) = (A ) r > (a) Bestimmen Sie die inverse Matrix von A = (b) Überprüfen Sie die nichtsymmetrische Matrix C = 6.8 A = 0 0 r B = 0 0 A B A B = Spur( A B A B ) 6.9 (a) Bestimmen Sie die inverse Matrix A von A = (b) Welche Definitheit besitzt B = ? (Begründung!) (c) Bestimmen Sie A ( B A B ) für die obigen Matrizen A B. auf Definitheit. 7. Lineare Optimierung 7. Ein Unternehmen stellt die Produkte P i an Fertigungsstellen F j her. Die je Produkt- und Fertigungsstelle benötigten Produktionszeiten die Kapazitäten der Fertigungsstellen sowie die Deckungsbeiträge (DB) der Produkte liegen in Tabellenform vor. (a) Stellen Sie das zugehörige Simplex-Anfangstableau zur Maximierung des DB auf. (b) Während der Durchführung des Simplex-Algorithmus ergibt sich ein Zwischentableau. (c) Welche Variable ist in die Basis aufzunehmen welche zu eliminieren? (Füllen Sie die letzte Spalte des Tableaus aus und markieren Sie das Pivotelement.) Interpretieren Sie das Endtableau: Wie lauten die optimalen Produktionsmengen? Welcher DB wird dabei erzielt? An welcher Fertigungsstelle gibt es noch wie viel freie Kapazität? Um wie viele Einheiten steigt der DB wenn die Ausgangskapazität von F j um eine Einheit erhöht wird?

12 () Daten Anfangstableau P P Kapazität BV x x u u u u r.s. F 0 F 0 0 F 6 F 8 DB z Zwischentableau Endtableau BV x x u u u u r.s. θ BV x x u u u u r.s. x x / / 0 u u / / u u / / x x / / 8 z z / / 6 () Daten Anfangstableau P P P Kapazität BV x x x u u u r.s. F F 0 F 5 50 DB 8 5 z Zwischentableau Endtableau BV x x x u u u r.s. θ BV x x x u u u r.s. u u x x u x z z () Daten Anfangstableau P P Kapazität BV x x u u u u r.s. F 05 0 F 0 0 F 70 F 00 DB 5 5 z Zwischentableau Endtableau BV x x u u u u r.s. θ BV x x u u u u r.s. x x u u u x u u z z () Daten Anfangstableau P P P Kapazität BV x x x u u u u r.s. F 0 50 F 0 50 F 0 80 F 60 DB z

13 Zwischentableau Endtableau BV x x x u u u u r.s. θ BV x x x u u u u r.s. x 0 / / 0 / 0 5 x 0 0 / 0 / / 0 u 0 9/ 0 / / 0 5 u x / / 0 0 x 0 0 / 0 / / 0 u 0 / 0 / 0 / 5 x 0 0 / 0 / / 0 z z (5) Daten Anfangstableau P P P Kapazität BV x x x u u u r.s. F 0 F 50 F 60 DB z Zwischentableau Endtableau BV x x x u u u r.s. θ BV x x x u u u r.s. u u x x u x z z (6) Daten Anfangstableau P P P Kapazität BV x x x u u u r.s. F 60 F 0 0 F 0 0 DB z Zwischentableau Endtableau BV x x x u u u r.s. θ BV x x x u u u r.s. u u x x u x z z (7) Daten Anfangstableau P P Kapazität BV x x u u u u r.s. F 00 F 05 0 F 50 F 6 60 DB z Zwischentableau Endtableau BV x x u u u u r.s. θ BV x x u u u u r.s. u u x x u x u u z z

14 (8) Daten Anfangstableau P P P P P 5 Kapazität BV x x x x x 5 u u u u r.s. F F 0 0 F 0 8 F DB 5 z Zwischentableau Endtableau BV x x x x x 5 u u u u r.s. θ BV x x x x x 5 u u u u r.s. u u x x u x u u z z (a) Während der Durchführung des Simplex-Algorithmus für ein Optimierungsproblem ergibt sich ein Tableau. Welche Variable ist in die Basis aufzunehmen welche zu eliminieren? (Füllen Sie die letzte Spalte des Tableaus aus und markieren Sie das Pivotelement.) Führen Sie den nächsten Pivotschritt durch und tragen Sie das Ergebnis in die gegebene Tabelle ein. (b) Das Endtableau eines anderen Optimierungsproblems (Ermittlung eines DB-maximalen Produktionsprogramms () (a) unter Kapazitätsbeschränkungen an den Fertigungsstellen F i ) liegt vor. Wie lauten die optimalen Produktionsmengen x i? Welcher DB wird dabei erzielt? An welcher Fertigungsstelle gibt es noch wie viel freie Kapazität? Wie ändern sich die optimalen Produktionsmengen bzw. der optimale DB wenn die Ausgangskapazität der Fertigungsstelle F k um eine Zeiteinheit erhöht wird? BV x x u u u u r.s. θ x u u u z BV x x u u u u r.s. z (b) k = BV x x x u u u r.s. u x x z

15 () (a) BV x x u u u u r.s. θ x u u u z BV x x u u u u r.s. z () (a) (b) k = BV x x x u u u r.s. x x u z BV x x x u u u r.s. θ u x u z BV x x x u u u r.s. z () (a) (b) k = BV x x u u u u r.s. x u x u z BV x x u u u u r.s. θ x u u u z

16 BV x x u u u u r.s. z (5) (a) (b) k = BV x x x u u u r.s. x x u z BV x x u u u u r.s. θ x u u u z BV x x u u u u r.s. z (b) k = BV x x x u u u r.s. u x x z Ein Unternehmen stellt die Produkte P P P an den Fertigungsstellen F F F F her. Die je Produkt- und Fertigungsstelle benötigten Produktionszeiten die Kapazitäten der Fertigungsstellen sowie die Deckungsbeiträge (DB) der Produkte sind in nebenstehender Tabelle zusammengefasst: P P P Kapazität F 0 50 F 0 0 F 0 0 F 65 DB (a) Stellen Sie das zugehörige Simplex-Anfangstableau zur Maximierung des DB auf. BV x x x u u u u r.s. z 6

17 (b) Während der Durchführung des Simplex-Algorithmus ergibt sich folgendes Tableau: BV x x x u u u u r.s. θ u x x u z Welche Variable ist in die Basis aufzunehmen? Füllen Sie die letzte Spalte des Tableaus aus und markieren Sie das Pivotelement. Welche Variable entfällt aus der Basis? (c) Das Endtableau eines anderen Optimierungsproblems (Ermittlung eines DB-maximalen Produktionsprogramms unter Kapazitätsbeschränkungen an den Fertigungsstellen F i ) besitzt folgende Gestalt: BV x x x u u u r.s. x x u z Wie lauten die optimalen Produktionsmengen? x = x = x = Welcher DB wird dabei erzielt? DB = F : An welcher Fertigungsstelle gibt es noch wie viel freie Kapazität? F : F : Wie lauten die optimalen Produktionsmengen wenn eine ME von P hergestellt wird? x = x = x = 8. Folgen und Reihen 8. Überprüfen Sie die nachstehenden Folgen auf Konvergenz und ermitteln Sie ggf. den Grenzwert: () a n = + n n () a n = n n +n n +n +n+ () a n = ( ) n ( + n ) (5) a n = n + n+ (7) a n = n +n n (8) a n+ = a n mit a 8. Welche der zu den Folgen aus 8. gehörenden Reihen können nicht konvergieren? () a n = ( ) n n+ n (6) a n = n n n+ 9. Finanzmathematik Geben Sie bei allen Aufgaben zunächst die jeweils zu verwendende Formel an. 9. Bei der Geburt ihres Kindes beschließen die Eltern einen Betrag K mit 7 % Verzinsung und jährlicher Zinsgutschrift so anzulegen dass dem Kind nach 0 Jahren für ein sorgenfreies Studium zur Verfügung stehen. (a) Berechnen Sie K. 7

18 (b) Während der 0 Jahre muss mit einer stetigen Inflation von % gerechnet werden. Wie hoch muss K sein damit nach 0 Jahren ein Betrag K n zur Verfügung steht welcher der heutigen Kaufkraft von entspricht? Berechnen Sie zunächst K n sollen für Jahre angelegt werden. Die Bank bietet folgende Zinskonditionen: (a) 85 % bei jährlicher Zinszahlung (b) 8 % bei monatlicher Zinszahlung (c) 8 % im ersten Jahr 85 % im zweiten Jahr 9 % im dritten Jahr bei jeweils jährlicher Zinszahlung. Wie hoch ist das Kapital nach Jahren in jeder der drei obigen Anlageformen wenn die Zinsen jeweils dem Konto gutgeschrieben und mitverzinst werden? 9. Zu Beginn jeder Zinsperiode wird ein Betrag E auf ein Konto eingezahlt. Die Verzinsung beträgt p % nominal. Am Ende jeder Zinsperiode werden die Zinsen dem Konto gutgeschrieben. (a) Wie hoch ist das Guthaben am Ende des m-ten Jahres? (b) Nach wie vielen Zinsperioden ist der Betrag K n angespart? () Zinsperiode: Monat E = 000 p = 6 m = ; K n = () Zinsperiode: Quartal E = 00 p = m = 5 ; K n = = = = = = e 0 = ln ( ) = 80 ln (0) ln () ln (0) = = 0 ln ( ) = 5 ln (0) 9. Ein Index für den Lebensstandard weise für die Länder A und B die Werte I a bzw. I b auf. (a) ln () = 8 0 ln (0) = 689 ln (0) Wie viele Jahre dauert es bis das Land B bei einer stetigen Steigerung des Lebensstandards um p b % ebenfalls den Wert I a erreicht? (b) Die stetige Steigerung des Standards in Land A betrage für die nächsten m Jahre p a %. Welches stetige Wachstum muss das Land B erreichen damit in m Jahren beide Länder den gleichen Standard aufweisen? () I a = 00 I b = 50 p b = 5 ; m = 0 p a = () I a = I b p b = 5 ; m = 0 p a = ln(0) = 0096 ln() = ln() ln(05) = = e 06 = werden für 5 Jahre angelegt. Das Geldinstitut bietet eine Verzinsung von 5 % jährlich zuzüglich einer jährlichen Bonuszahlung von 00. Zinsen und Bonus werden dem Konto am Ende jeden Jahres gutgeschrieben. (a) Wie hoch ist das Guthaben am Ende des fünften Jahres? (b) Welche Rendite (effektive Verzinsung) erzielt der Anleger? 9.6 K sollen angelegt werden. Wie hoch ist das Kapital nach m Jahren in jeder der drei folgenden Anlageformen wenn die Zinsen bzw. der Bonus dem Konto jeweils am Ende eines Jahres gutgeschrieben und mitverzinst werden? Welche Rendite (effektive Verzinsung) erzielt man bei der Anlageform (b) welche bei (c)? Alternative Anlageformen: (a) Sparbrief mit einer Verzinsung von p s % ; (b) Bundesschatzbrief mit einer Verzinsung von p i % im i. Jahr; (c) Bonussparen mit p b % Verzinsung und einem jährlichen Bonus in Höhe von B. () K =.000 m = p s = ; p = 6 p = p = 56 ; p b = B = 0 0 = 06 0 = 86 0 = 8 e 006 = 068 e 0 = = = 6 75 = = 00 = = = 096 8

19 () K = m = p s = ; p = p = p = p = 6 ; p b = B = 00 0 = = = 9 0 = 989 e 06 = 75 0 = 76 5 ln (779) = = = = = 00 5 ln (708) = Zu Beginn eines Jahres werden einmalig K auf ein Bausparkonto eingezahlt in den folgenden Jahren jeweils E. Die Verzinsung beträgt p % der Zinsfaktor q = + p /00. Die Zinsen werden dem Konto am Ende jeden Jahres gutgeschrieben. (a) Wie hoch ist das Guthaben am Ende des... und. Jahres? (b) Wie hoch ist das Guthaben am Ende des m. Jahres? 9.8 (a) Auf ein Konto mit jährlicher Zinsgutschrift werden einmalig K eingezahlt. Nach 5 Jahren hat sich das Kapital verdreifacht. Wie hoch war der Zinssatz p? (b) Die Weltbevölkerung wachse stetig um %. In wie vielen Jahren verdoppelt sie sich? 5 ln () = ln () = 7 ln (5) = 8 5 ln (0) = 0 5 = = = ln () = ln () = 66 ln () = 50 ln (00) = 9 00 ln (0) = 98 ln (0) 9.9 Eine Aktie wird für K erworben. (a) Wie hoch ist der Wert der Aktie nach m Jahren wenn in dieser Zeit mit einer stetigen Wertsteigerung von p s % gerechnet werden kann? (b) Am Ende jeden Jahres erhält man D Dividende ausgezahlt. Die Dividende wird auf einem Extrakonto mit einer Verzinsung von p d % und jährlicher Zinsgutschrift angelegt. Welcher Betrag steht auf diesem Konto am (c) Ende des m. Jahres zur Verfügung? Welche Rendite (effektive Verzinsung) erzielt man insgesamt mit dem Erwerb der Aktie? () K = 000 m = 5 p s = ; D = 0 p d = e 00 = = 0 e 0 = 0 5 = 67 0 (0 5 ) = 066 e 00 = = 88 e 0 = = 0756 e 0 = 98 5 (0 5 ) = 66 e = = = 057 ln (56) = = 059 ln (55) = = 057 () K = m = 0 p s = 5 ; D = 00 p d = 05 0 = = e 05 = e 05 = 687 e 005 = 057 ln (5) = = (0 0 ) = = 075 e 0 = 0958 e = ln (0) = = = = = = = 070 () K = 00 m = 5 p s = ; D = p d = e = 5598 e = 78 e 0 = 98 e 0 = 89 e /5 = 75 e 5/ = = = = = 08 5 = = 5 6 = = = = = = Auf ein Konto werden nach Vertragsabschluss einmalig K zu Beginn der Zinsperiode eingezahlt danach zu Beginn jeder weiteren Zinsperiode E. Die Verzinsung beträgt p % nominal. Die Zinsen werden dem Konto am Ende jeder Zinsperiode gutgeschrieben. 9

20 (a) Wie lautet allgemein die Formel zur Berechnung des Guthabens nach n Zinsperioden für diese Sparform? (b) Wie hoch ist das Guthaben für die nachstehend gegebenen Werte am Ende des m. Jahres? (c) Stellen Sie die Formel aus (a) nach n um. (d) Nach wie vielen Zinsperioden ist der Betrag K n angespart? () Zinsperiode: Monat K = 000 E = 00 p = m = ; K n = = = = = = 7 0 (005 7 ) = 99 ln( 50 0 ) ln(005) = ln( ) ln(005) = ln( ) ln(0) = 750 ln (650) = 877 ln( ) = 78 ln(0) ln( 0 0 ) ln(0) = 88 () Zinsperiode: Quartal K = 0000 E = 000 p = m = 5 ; K n = = 67 6 (0 5 ) = 56 6 (0 ) = = 0 0 (0 0 ) = 9 0 (0 9 ) = 09 ln( 9 9 ) ln(0) = ln( 5 ) ln(0) = 977 ln(5) ln(0) = 675 ln( 50 0 ) ln(0) = ln( 0 ) ln(0) = 8 5 ln( ) ln(0) = Das Guthaben auf einem Konto beträgt K die Verzinsung p % der Zinsfaktor q = + p /00. Die Zinsen werden dem Konto am Ende jeden Jahres gutgeschrieben. Zu Beginn jeden Jahres werden E entnommen. (a) Wie hoch ist der Kontostand am Ende der ersten zweiten dritten vierten und allgemein des n. Jahres? (b) Stellen Sie die Formel aus (a) nach n um. (c) Nach wie vielen Jahren ist für K = 000 E = 00 und p = 5 das Kapital aufgebraucht also der Kontostand 0 erreicht? ln( 0 + ) = 798 ln(05) ln( ) ln(05) = 5 ln( ) ln(05) = 5 ln (0) = 5 ln(5) ln(05) = 8 ln(0) ln(05) = (a) Ein Betrag K wird einmalig auf ein Konto eingezahlt. Die Zinsgutschrift erfolgt am Ende jeder Zinsperiode. Nach m Jahren hat sich das Kapital ver-x-facht. Wie hoch war der nominale Zinsfuß p? (b) Wie viele Jahre dauert es bis der Wert einer Währung auf den y-ten Teil des Ausgangswertes geschrumpft ist wenn mit einer stetigen Inflation von p I % gerechnet werden muss? () Zinsperiode: Quartal m = 0 x = ; p I = 5 y = ln() = ln() = 77 0 = = = 0058 ln(0) = () Zinsperiode: Quartal m = 0 x = ; p I = y = 0 80 ln() 5 ln() = 69 = 078 = 075 ln(0) = 70 ln(+ 5 ) ln(0) = 8 0 e 05 = 57 () Zinsperiode: Monat m = 5 x = ; p I = 5 y = ln() = 5 = = = 7 e 08 = ln(80) = (a) Auf ein Rentenkonto werden zu Beginn jeder Zinsperiode E eingezahlt. Die Verzinsung beträgt p % nominal. Die Zinsen werden dem Konto am Ende jeder Zinsperiode gutgeschrieben. Wie hoch ist das Guthaben am Ende des m. Jahres? (b) Dieses Guthaben dient nach Ablauf der m Jahre zur Zahlung einer Rente. Zu Beginn jeder Zinsperiode werden A entnommen. Die Verzinsung beträgt weiterhin p % nominal; die Gutschrift der Zinsen erfolgt nach wie vor am Ende jeder Zinsperiode. Nach wie vielen Zinsperioden ist das Kapital aufgebraucht? 0

21 () Zinsperiode: Monat E = 00 p = 6 m = 0 ; A = = = 6895 e = = 00 (00 80 ) = = = 5 ln (5) ln (06) = 055 ln (7) ln (06) = 0 ln (5) ln (00) = = 7 ln (7) ln (00) = 9 () Zinsperiode: Quartal E = 000 p = m = 5 ; A = = 96 0 (0 0 ) = 0577 e = = = = = 5 ln (5) = 69 ln (0) ln (5) = 89 ln (0) ln (5) = 7 ln (0) = 5 ln (5) = 96 ln (0) 9. Ein Betrag von 000 soll angelegt werden. Als alternative Anlageformen stehen zur Auswahl: (a) Sparbrief mit einer nominalen Verzinsung von % und monatlicher Zinszahlung; (b) Bundesschatzbrief mit einer Verzinsung von % im. Jahr % im. Jahr % im. Jahr 6 % im. Jahr und jährlicher Zinszahlung. Wie hoch ist das Kapital nach Jahren in jeder der beiden Anlageformen wenn die Zinsen dem Konto jeweils am Ende der Zinsperiode gutgeschrieben und mitverzinst werden? Welche Rendite (effektive Verzinsung) erzielt man in jeder der beiden Anlageformen? 0 = = = = 5 e 0 = = 7 5 ln (55) = = = 005 = 0 7 = 00 5 ln (77) = (a) Zu Beginn des. und des. Quartals wird auf ein Konto jeweils der Betrag K eingezahlt. Danach erfolgen keine weiteren Einzahlungen. Die Verzinsung beträgt p % nominal; die Zinsen werden dem Konto am Ende jeden Quartals gut geschrieben. Wie hoch ist das Guthaben am Ende des.... und allgemein des n. Quartals? (b) Welcher Kontostand ergibt sich am Ende des. Jahres für K = 00 und p =? 0 = = = = = = 9.6 (a) Zu Beginn jeden Monats werden 00 auf ein Konto eingezahlt. Die Verzinsung beträgt % nominal; die Zinsen werden am Ende jeden Monats dem Konto gut geschrieben. Wie hoch ist das Guthaben am Ende des 5. Jahres? (b) Während der 5 Jahre muss mit einer stetigen Inflation von 08% gerechnet werden. Welcher heutigen Kaufkraft entspricht dann das zu erwartende Guthaben? 00 (00 60 ) = (0 5 ) = = = 0657 e 006 = = = e 00 = e 00 = e 00 = Ableitungen Bestimmen Sie die erste Ableitung für folgende Funktionen: () f (x) = 5x x +x x+ () f (x) = (x )(x+) () f (x) = x + x+ () f (x) = x(x ) (5) f (x) = x (6) f (x) = x x

22 (7) f (x) = x x (8) f (x) = x x (9) f (x) = x (0) f (x) = x x () f (x) = x e x x+ () f (x) = log (x) () f (x) = x ln(x) () f (x) = x ln(x) x (5) f (x) = (x ) (6) f (x) = x + (7) f (x) = x (8) f (x) = e x + (9) f (x) = ln(x +) (0) f (x) = e x (x ) () f (x) = ln(x +) x+ () f (x) = e x + () f (x) = ln( x + ) () f (x) = e ( x + ) (5) f (x) = x e x + (6) f (x) = x x (7) f (x) = (x+) ( x ) (x ) x +. Globale Extrema. Bestimmen Sie - sofern existent - die globalen Extrema folgender Funktionen: () f (x) = f l (x) = x + x f r (x) = x + 5 x 6x + 6 () f (x) = f l (x) = x +8x 0 x f r (x) = x für 6x+ < x 6 () f (x) = für f (x) = x +x+ 0 x f (x) = x für < x f (x) = 9+x < x 6 (5) f (x) = f l (x) = x +x 0 x f r (x) = x für 6x+0 < x x > x () f (x) = (x ) (6) f (x) = f l (x) = x +x 0 x für (7) f (x) = e x x f r (x) = x +x < x 5 (8) f (x) = fl (x) = (x ) x 0 f r (x) = (x+) für x > 0 (9) f (x) = f l (x) = + x +8 x 8 f r (x) = + x 8 x +8 () f (x) = f l (x) = e x x 0 f r (x) = x +x+ x > 0 () f (x) = f l (x) = e x x 0 f r (x) = x +x+ x > 0 (5) f (x) = f l (x) = x x+9 f r (x) = x 0x+7 (7) f (x) = f l (x) = x (9) f (x) = x 0 f (x) = (x+) x für (0) f (x) = f (x) = x + für < x < x > 0 f (x) = x x+ x f (x) = x +x 0 x für () f (x) = f (x) = x+ für < x < f (x) = x +x 9 x 6 f (x) = /x für () f (x) = f (x) = x + f (x) = /x für 0 x < x (6) f (x) = x 0 f r (x) = x x für (8) f (x) = fl (x) = 6 + x > 0 f l (x) = für x < x < x f (x) = x +x x 0 f (x) = x +x für 0 < x f (x) = x+8 < x x+ für 0 x f r (x) = x 7x +8 < x x 0 x f l (x) = x 6x +9x+6 0 x für (0) f (x) = x+ für f r (x) = x x x + x + x > 0 f r (x) = < x

23 f l (x) = () f (x) = x x x+6 0 x f r (x) = 9 x +x x+ < x 6 () f (x) = f l (x) = x x f r (x) = x /x für () f (x) = x > f l (x) = (5) f (x) = (x ) für 0 x f r (x) = x + x für x > für () f (x) = fl (x) = x x < f r (x) = x für x x f (x) = x x+ (6) f (x) = x f (x) = 8 x + 9 x + für < x < f (x) = x+ x f (x) = x (x ) für 0 x f (x) = ( x) e x für x >. Für ein Produkt seien die Nachfragemenge x in Abhängigkeit seines Verkaufspreises p sowie die Produktionskosten K in Abhängigkeit der hergestellten Menge x gegeben. (Voraussetzung: hergestellte Menge = nachgefragte Menge!) Bei welchem Preis p 0 (bzw. der dazugehörigen Menge x 0 ) wird der Gewinn maximal? () x(p) = 00 p 0 p 00 K(x) = x +0x+00 () x(p) = 900 (p+) K(x) = x () x(p) = 600 5p 0 p 0 K(x) = 80x+000 () x(p) = e 0 p K(x) = x e = 7 e = 56 e 6 = 0 e 8 = 980 e 0 = 065 (5) x(p) = 900 p 0 K(x) = x 0 x p 9 (6) x(p) = 6 p 7 p 8 K(x) = 6 + 0x 9 x (7) x(p) = 00 p K(x) = 00 + x 0 x p 0. Der Verkaufspreis eines Produktes beträgt p pro Stück; die Produktionskosten K in Abhängigkeit der hergestellten Menge x sind gegeben durch die Funktion K(x). Bei welcher Produktionsmenge x 0 wird der Gewinn maximal? () p = 5 K(x) = x x + 00 () p = p 0 K(x) = x +a + b a b > 0 () p = 8 K(x) = x x + 00 () p = 5 K(x) = x + 00 x. Die Produktionskosten K in Abhängigkeit der hergestellten Menge x sind gegeben durch die Funktion K(x). Bei welcher Produktionsmenge x 0 werden die Stückkosten minimal? () K(x) = x x () K(x) = 5x x / + 5. Differential Wachstumsrate und Elastizität. Die Nachfragemenge x eines Produktes in Abhängigkeit seines Preises p sei gegeben. (a) Berechnen Sie die Elastizitäten von Nachfrage und Umsatz bezüglich des Preises. (b) Um wie viel % ändern sich Nachfrage und Umsatz approximativ wenn der Preis p 0 um s % gesenkt wird? () x(p) = e p p p 0 = s = () x(p) = e p p 0 = s = p () x(p) = ln(p) p p 0 = e s = () x(p) = e p / p+ p 0 = s =

24 (5) x(p) = + p (p+) p 0 = s = 6 (6) x(p) = e p p 0 = s = p + (7) x(p) = e p p p 0 = s = 5 (8) x(p) = p + e p p p 0 = s = p +. Die Produktionskosten K in Abhängigkeit der hergestellten Menge x eines Produktes seien gegeben. (a) Berechnen Sie die Elastizitäten von Kosten und Stückkosten bzgl. x. (b) Um wie viel Prozent ändern sich Kosten bzw. Stückkosten approximativ wenn die Produktionsmenge x 0 um s % erhöht wird? () K(x) = x x+50 x 0 = 00 s = () K(x) = x+00 x 0 = 00 s = () K(x) = x +00 x 0 = 0 s = 5 () K(x) = x +000 x 0 = 0 s = 5. Der Verkaufspreis eines Produktes beträgt 6 pro Stück; die Produktionskosten K in Abhängigkeit der hergestellten Menge x belaufen sich auf K(x) = x x (a) Berechnen Sie die Elastizitäten von Gewinn und Stückgewinn bezüglich der hergestellten Menge x. (b) Um wie viel Prozent ändern sich Gewinn bzw. Stückgewinn approximativ wenn die Produktionsmenge x 0 = 5 um % erhöht wird?. G (x) stellt den Gewinn eines Unternehmens in Abhängigkeit der hergestellten Menge x eines Produktes dar. (a) Berechnen Sie die Elastizitäten von Gewinn und Stückgewinn bezüglich der hergestellten Menge x. (b) Um wie viel Prozent ändern sich Gewinn bzw. Stückgewinn approximativ wenn die Produktionsmenge x 0 um s % erhöht wird? () G (x) = 000 e (x 00) 00 x x 0 = 80 s = () G (x) = 6 x+8 () G (x) = 0 (x 5) x +500 x +00 x 0 = s = 5 x 0 = 0 s = 0 () G (x) = 0 (x +00) x+0 (x+0) x 0 = 0 s =. Taylor-Entwicklung Bestimmen Sie für folgende Funktionen die Taylorpolynome. Grades entwickelt an der Stelle x 0. () f (x) = (x +) ln(x +) x 0 = 0 () f (x) = g(x) ln(g(x)) x 0 = 0 und g(x 0 ) = g'(x 0 ) = g"(x 0 ) = () f (x) = x e x x 0 = () f (x) = e x x+ x 0 = 0 (5) f (x) = e x sin(x) x 0 = 0 (6) f (x) = e x ln(x+) x 0 = 0 (7) f (x) = e g (x) x 0 = 0 g (0) = 0 und g '(0) = = g "(0) (8) f (x) = ( x 5 ) ( x ) x 0 = (9) f (x) = ( x ln(x) ) x 0 = (0) f (x) = ln(+ln(x)) x 0 = () f (x) = sin( e x ) x 0 = 0 () f (x) = e sin ( ln ( x+) ) x 0 = 0 () f (x) = x ln(x) +ln(x) x 0 = () f (x) = e sin (x ) x 0 = 0 (5) f (x) = x x x 0 = (6) f (x) = sin(x ) cos(x ) x 0 = (7) f (x) = x x ln(x) x 0 = (8) f (x) = (x+) e x x 0 = 0 (9) f (x) = sin(x) ln(e x +x) x 0 = 0 (0) f (x) = x g (x) g '(x) x 0 = 0 g (0) = 0 g '(0) = g "(0) = g '"(0) = () f (x) = ( x )( x ) x 0 = () f (x) = sin( ln(x + ) ) x 0 = 0. Unbestimmte Ausdrücke: Die Regeln von l Hospital. Bestimmen Sie die Grenzwerte folgender Ausdrücke.

25 x () lim n x x () lim x 0 +x x () x lim x + x x x+ (5) sin(x) lim x 0 x ln(x) () lim x x (6) lim x 0 cos(x) x (7) lim x 0 x sin(x) x (8) lim x 0 e x x x (9) lim x x+ x x+ (0) lim x (x ) ln(x ) () lim x x ln(+ a ) () lim x x tan( a x x ) () lim x ( x x ln(x) ) () lim x 0 xx (5) lim x (+ a x ) x (6) lim x (x ) ( x ) (7) lim x (cos( x ) ) x. Gegeben sei eine Funktion f und eine Stelle x 0. (a) Bestimmen Sie lim x x 0 f (x) f '(x) und lim x x 0 f '(x). (b) Wie lautet das Taylor-Polynom ersten Grades (Tangente) von f entwickelt an der Stelle x 0? () f (x) = sin(x) x () f (x) = e x x (7) f (x) = e x + sin(x) x x 0 = 0 () f (x) = x 5 x x 0 = x 0 = 0 (5) f (x) = x x x 0 = x 0 = 0 (8) f (x) = x + ln(x) x x 0 = () f (x) = x ln(x) x x 0 = (6) f (x) = cos(x) x x 0 = 0 (9) f (x) = x + sin(x) x x 0 = 0 5. Newton-Verfahren 5. (a) Bestimmen Sie jeweils die erste Ableitung der beiden Funktionen g und h. (b) Ermitteln Sie für die Funktion f mit Hilfe des Newton-Verfahrens ausgehend vom Startwert x 0 die beiden Iterationsstellen x und x. () g (x) = x + h (x) = x e x + 5 ; f (x) = x + x + x 96 x 0 = 0 () g (x) = x + x + h (x) = e x + ln( x + ) + 5 ; f (x) = x 7x + 6x 7 x 0 = 0 () g (x) = (x+) h (x) = x + e x + ; f (x) = x x 5x + 5 x 0 = 0 () g (x) = x h (x) = x e x + ; f (x) = x 0x 9x + 86 x 0 = 8 (5) g (x) = x h (x) = ln( x + x ) ; f (x) = x 9x + 9x + 55 x 0 = (6) g (x) = x x h (x) = ln( x + ) ; f (x) = x x + 60x + 6 x 0 = (7) g (x) = e x + h (x) = ln(x + x ) ; f (x) = x + x 00x 00 x 0 = 5 (8) g (x) = x + h (x) = sin (x ) + ln(x +) ; f (x) = x 0x + 6x 8 x 0 = (9) g (x) = e sin (x +) h (x) = ln(x + ) ; f (x) = x + 7x + 6x + 7 x 0 = 0 (0) g (x) = sin(e x + ) h (x) = ln( x + ) ; f (x) = x x + 00x x 0 = () g (x) = ln(x + ) h (x) = x ; f (x) = x + x + 8x + 8 x 0 = 0 () g (x) = e x x h (x) = ; f (x) = x x + x + x 0 = (x +) () g (x) = sin( x + ) h (x) = ln( + e x + ) ; f (x) = x + x + 6x + 6 x 0 = () g (x) = x + h (x) = ln(sin(x +)) ; f (x) = x 8x + x 58 x 0 = 5 (5) g (x) = ( x +) h (x) = sin(ln( x + e x )) ; f (x) = x 6x + 05x 70 x 0 = (6) g (x) = (x + ) ( x + ) h (x) = x + sin (x ) ; f (x) = x 5x + 8x x 0 = 5

26 5. (a) Bestimmen Sie für die Funktion f das Taylorpolynom. Grades entwickelt an der Stelle x 0. (b) Ermitteln Sie für die Funktion f mit Hilfe des Newton-Verfahrens ausgehend vom Startwert x 0 die beiden Iterationsstellen x und x. () (a) f (x) = e x x 0 = ; (b) f (x) = x + 7x + 6x + 7 x 0 = 0 () (a) f (x) = ln(x + x + ) x 0 = 0 (b) f (x) = x x + x + x 0 = 6. Partielle Ableitungen Berechnen Sie die partiellen Ableitungen erster Ordnung. () f (x y) = x y xy (x y)+ () f (x y) = (x y) () f (x y) = (x y)(x +xy ) () f (x y) = e x y (5) f (x y) = ln( x + y+ ) (6) f (x y) = a xb y c (7) f (x y) = x e x y y ln(x y) (8) f (x y) = x y x(y+) (9) f (x y) = x y y x (0) f (x y z) = (x )(y ) z () f (x y z) = xy z (x ) 5 (y ) (z ) e x + y + z 7. Lokale Extrema für Funktionen mit mehreren Variablen 7. Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf lokale Extrema und Sattelpunkte! () f (x y) = (x ) +(y ) (x )(y )+ () f (x y) = ln(x) xy +(y x) () f (x y) = ln( y x+ )+y(x )+ () f (x y) = x y + xy x + y + (5) f (x y) = (x x) (y y) (6) f (xyz) = x(y+z 6)+y( z) (7) f (x y) = x y xy + x y (8) f (x y) = x + (y ) x(y ) + (9) f (xy) = (x ) + y 6xy + 6y + (0) f (xy) = x y x + y 6 ln(y) () f (xy) = (x +) y 6x ln(y) + () f (x y) = x +y +6(xy+x y) + () f (xy) = ( x x + xy + y + ) y () f (xy) = (x y) x y + ln(y) + (5) f (xy) = xy + x y 8 ln(x) ln(y) 7. (a) Bestimmen Sie alle partiellen Ableitungen. und. Ordnung der Funktion f. (b) Ermitteln Sie zu jedem der gegebenen kritischen Punkte die Hesse-Matrix H f und überprüfen Sie diese auf Definitheit. Handelt es sich bei den kritischen Punkten um lokale Minima lokale Maxima oder Sattelpunkte? () f (x y) = x y+xy+y + (x 0 y 0 ) = ( ) () f (x y) = xy xy x + (x 0 y 0 ) = (0 0) (x y ) = (0 ) (x y ) = ( ) () f (x y) = x + x + 5 y + y + xy + y ln(x) (x 0 y 0 ) = ( ) () f (x y) = y x + xy + x + x + ln(x) + (x 0 y 0 ) = ( ) (x y ) = ( ) (5) f (x y) = x y + xy 5 x y + (x 0 y 0 ) = (0 0) (x y ) = ( ) (6) f (x y) = x y +x y 8xy+ (x 0 y 0 ) = (0 0) (x y ) = ( ) (7) f (x y) = x 0x + 5x + y 8y +5y + x y + xy 8xy 00 (x 0 y 0 ) = ( ) (x y ) = ( ) (8) f (x y) = x x + 9x + y 0y +9y xy + x y + xy 00 (x 0 y 0 ) = (6 ) (x y ) = ( ) (9) f (x y) = x 5 y + xy 5 6xy + 5 (x 0 y 0 ) = (0 0) (x y ) = ( ) (0) f (xy) = x + y + x (y ) + y (x 6) 8xy + 77 (x + y) + (x 0 y 0 ) = (0 7) (x y ) = ( 6) 6

27 7. (a) Die nachgefragten Mengen x = der Produkte im Sortiment eines Herstellers in Abhängigkeit der Verkaufspreise p = p M x M x n p n seien gegeben durch x(p) = v + M p M Ñ n n v Ñ n ; die Kosten der hergestellten (= nachgefragten) Produkte belaufen sich auf K(x(p)) = k'x(p) + u k Ñ n u Ñ. Bestimmen Sie Gradient und Hesse-Matrix der Gewinnfunktion G(p) = p'x(p) K(x(p)) in Abhängigkeit von p. (b) Bilden Sie alle Ableitungen. und. Ordnung der Funktion f (x y) = ln(x ) x(y +)+y. (c) ( ) ist ein kritischer Punkt der Funktion unter (b). Handelt es sich dabei um ein lokales Minimum ein lokales Maximum oder um einen Sattelpunkt? 7. Die Absätze x i von Produkten eines x = 6 p + p Unternehmens in Abhängigkeit ihrer Preise p i sind: x = + p p + p Bei welchen Preisen wird der Umsatz maximal? x = 6 + p p 7.5 Die Absätze x x von Produkten eines Unternehmens in Abhängigkeit ihrer Preise p p sowie ihre variablen Kosten k k pro hergestellter (= abgesetzter) Mengeneinheit sind gegeben. Wie müssen die Preise p p gewählt werden damit der Deckungsbeitrag maximal wird? (Deckungsbeitrag = Umsatz variable Kosten) () x = 8 p + p x = 9 + p p k = k = () x = 0 p + p x = 8 + p 5p k = k = () x = p + p x = + p p k = k = 8. Partielles und totales Differential partielle Elastizität und homogene Funktionen Gegeben sei die Funktion f. (a) Ist die Funktion homogen? Wenn ja von welchem Grade? (b) Bestimmen Sie alle partiellen Elastizitäten. (c) Um wie viel % ändert sich der aktuelle Funktionswert f (x 0 y 0 ) bzw. f (x 0 y 0 z 0 ) näherungsweise wenn jede Variable ceteris paribus um s % erhöht wird? (d) Um wie viel % ändert sich der aktuelle Funktionswert wenn alle Variablen gleichzeitig um s % erhöht werden? () f (x y z) = 6 x y z 5 s = 6 () f (x y) = x(x+y) s = x 0 = 0 y 0 = 0 () f (x y) = y x x +y s = x 0 = y 0 = 0 (5) f (x y) = (x+y)(x+y) s = x 0 = y 0 = 0 (6) f (x y) = x +y () f (x y z) = (x+y)(x+z) (y+z) s = x 0 = y 0 = z 0 = 00 x+y s = x 0 = y 0 = 0 (7) f (x y) = x +xy s = x 0 = y 0 (8) f (x y) = (x + y) x +y s = x 0 = y 0 = 0 (9) f (x y) = () f (x y) = () f (xy) = (x + y) x +y s = x 0 = y 0 = 0 (0) f (x y) = x +y x+y s = x 0 = y 0 = () f (x y) = (x+y) x (x +y ) x+y x +y s = 6 x 0 = y 0 = () f (x y) = x y x +y s = x 0 = y 0 = 0 x +y x+y s = x 0 = y 0 = x+y s = 5 x 0 = 6 y 0 = (5) f (x y) = xy xy 5 s = 6 (6) f (xy) = x y x+y s = x 0 = y 0 = 7

28 9. Kettenregel totale Ableitung Ableitung impliziter Funktionen 9. Bestimmen Sie die totalen Ableitungen d f d t mit x(t) = t+ y(t) = t z(t) = t. 9. Bestimmen Sie die totalen Ableitungen und d f d t für f (x y z) = x +xy yz d f d x und d f d x für f (x y) = x y+x y+ mit y(x) = ln(x+). 9. Bestimmen Sie die totalen partiellen Ableitungen mit x(uv) = u+v uv y(uv) = u v. f u f v f u f v f u v für f (x y) = xy x+ 9. Gegeben sei eine Produktionsfunktion f (x y) mit der aktuellen Produktion (x 0 y 0 ). Wie viele Einheiten von y können (näherungsweise) durch den zusätzlichen Einsatz einer Einheit von x substituiert werden wenn die Produktion konstant bleiben soll? () f (x y) = x y (x 0 y 0 ) = (8 6) () f (x y) = 7x +y +xy (x 0 y 0 ) = (0 0) () f (x y) = ln(x y + ) x 0 = y 0 () f (x y) = x + y + xy + (x 0 y 0 ) = (5 ) 0 0 (5) f (x y) = 6 x + (x 0 y 0 ) = (0 0) (6) f (x y) = y x + 8 (x 0 y 0 ) = (0 0) y 9.5 Gegeben sei die Gleichung x ln(y)+zy = z. d y Bestimmen Sie die Steigungen d x d z d x und d y jeweils in dem Punkt (x d z 0 y 0 z 0 ) = ( ). 9.6 (a) Gegeben ist eine Funktion f (x y) bzw. f (x y z) wobei x y z wiederum von einer Variablen t abhängen. d f Bestimmen Sie die totale Ableitung d t. d y (b) Ermitteln Sie die Steigung der gegebenen impliziten Funktion in dem Punkt (x0 y0). d x () (a) f (x y) = x e y y ln(x) x(t) = t y(t) = t +; (b) x = xy y+ (x 0 y 0) = ( ) () (a) f (x y) = x / y / x(t) = t + y(t) = ln(t); (b) e x y = (x 0 y 0) beliebig () (a) f (x y z) = xy z x(t) = e t y(t) = ln(t) z(t) = t ; (b) x y = (x0 y0) = ( ) () (a) f (x y) = (x y) 5 x(t) = ln( t + ) y(t) = t ; (b) x 5 y +x = xy 5 +y+ (x 0 y 0) = ( 0) (5) (a) f (x y) = x y x(t) = e t + y(t) = ln( t + ) ; (b) ln(x y +) = x 0 = y 0 (6) (a) f (x y) = y e x + x ln(y) x(t) = sin(t ) y(t) = t + ; (b) e x y = (x 0 y 0) = ( ) (7) (a) f (x y) = x sin(y ) + y ln(x +) x(t) = e t y(t) = t ; (b) x = y xy + (x 0 y 0) = ( ) 9.7 (a) Bestimmen Sie die beiden partiellen Ableitungen. Ordnung der Funktion f (x y). d y (b) Ermitteln Sie die Steigung der impliziten Funktion f (x y) = 0 in dem Punkt (x0 y0). d x () f (x y) = (x+y) ( x + y ) ( ln(x+)+ ) (y+) () f (x y) = (x+) e y (x 0 y 0 ) = (0 0) 0. Extrema unter Nebenbedingungen 0. Bestimmen Sie die lokalen Extrema folgender Funktionen unter Nebenbedingungen. () f (x y z) = x +xy+z x+y+z = 0 x = y () f (x y) = x / y / x y > 0 x / + y / = 8 () f (x y) = x y + (x ) +(y ) = () f (x y) = x xy+y x y = (5) f (x y) = x y x +y = 8 (6) f (x y) = x+y x +xy+y = (7) f (x y) = x+y x + y = 7 (8) f (x y) = x+y x +y = (9) f (x y) = x+y x + y / x y = (0) f (x y) = (x ) + (y ) x + y = 5 8

29 () f (x y) = x+6y x + y = x + 6y () f (x y) = x y x +y = y+7 () f (x y) = x+y x +y = 8x+y+5 () f (x y) = (x ) + (y ) x + y = 5 (5) f (x y) = x + y x 6y+0 y = 0 x (6) f (x y) = (x ) + (y ) x + y = 5 0. Gesucht sind die lokalen Extrema der Funktion f unter einer Nebenbedingung. (a) Stellen Sie die Lagrange-Funktion L (x y λ) auf und bestimmen Sie für diese Funktion alle notwendigen partiellen Ableitungen. und. Ordnung. (b) Gegeben sind kritische Punkte (x i y i ) von L. Berechnen Sie die dazugehörigen λ i. (c) Bestimmen Sie die Hesse-Matrizen H L (x i y i λ i ). (d) Handelt es sich bei den kritischen Punkten um lokale Minima oder lokale Maxima der Funktion f unter der Nebenbedingung? (Rechnung!) () f (x y) = ln(x) + y x + xy + y = ; (x 0 y 0) = ( ) () f (x y) = ln(x) + y x + y = x + y; (x0 y0) = ( 0) () f (x y) = x + xy x + x + y = ; (x 0 y 0) = ( 0) (x y ) = ( 0) () f (x y) = y y + + ln(x+y) = 0 ; (x0 y0) = ( ) x y (5) f (x y) = x+ + x + x + y = xy; (x 0 y 0) = (0 ) (x y ) = ( 6) (6) f (x y) = xy +xy y+x x y = +x y xy ; (x 0 y 0 ) = ( 0) (x y ) = ( ) (7) f (x y) = x+y ln(x +y) = y +x ; (x 0 y 0 ) = (0 ) (x y ) = ( 0). Integralrechnung Berechnen Sie die Integrale () 0 () e (7) 8 x y + dx dy () 0 y xy dx dy () 0 0 x y dx dy (5) x y dx dy (6) y 8 6 x (0) () x dy dx (8) 0 7 y e + e xy + dx dy () 9x y xy+ dy dx 0 y dy dx (9) e () e x y + 0 y dx dy () 0 x y + x 0 y dx dy (5) 0 x (6) 0 0 y 5 dx dy (7) 0 (9) e x y + x y + c dx dy mit c = e e () 0 () e 0 x + xy +5 y dy dx () 5 y + y x + 8 y x 6 dy dx (5) 9 9 (6) x y + (8) xy + y x dx dy (8) 9 (0) 6yx 6xy dx dy y x 9 y x x 0 y dy dx dx dy dx dy xy y x 0 x y + y x xy dy dx 0 x 8 9 x x y dx dy () 8xy 0 y x e 8 y dy dx (7) y x 5 x y 9 dx dy x + y x e y dx dy (9) xy 9 y + dy dx y x dx dy dy dx dx dy dy dx 9