24.1 Überblick Beispiele. A. Bestimmen einer ganzrationalen Funktion. 24. Interpolation mit Ableitungen
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- Nikolas Ritter
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1 4. Interpolation mit Ableitungen 4. Interpolation mit Ableitungen 4.1 Überblick Die Interpolationsaufgabe haben wir bereits in Kapitel 7 (Band Analysis 1) untersucht. Als Auffrischung: Zu n vorgegebenen Punkten sind gesucht: 1. eine Funktion f, deren Graph durch alle n vorgegebenen Punkte verläuft,. ein Schätzwert für den Funktionswert f(x*) an einer beliebigen Stelle x*. Wir greifen dieses Thema nochmals auf, weil wir die Aufgabenstellung nun deutlich erweitern können. Es müssen nicht mehr zwingend n Punkte (x i, y i ) vorgegeben sein, sondern es können auch andere Bedingungen an die interpolierende Funktion f gestellt werden: x = muss eine Minimalstelle sein, (4, 7) ist ein Wendepunkt, der Graph schneidet die x-achse bei x 3 =1 unter einem Winkel von 45 usw. Solche Bedingungen können mithilfe der Ableitungen f und f der interpolierenden Funktion formuliert werden. Zu diesem Thema gibt es viele praktische Anwendungen, von denen wir einige studieren werden. 4. Beispiele A. Bestimmen einer ganzrationalen Funktion 4..1 Beispiel Eine Polynomfunktion f mit Grad 3 verläuft durch die Punkte A(, 4) und B(, ). Die Tangente an den Graphen von f im Punkt C(, ) ist t: x 3x. Bestimmen Sie f. Die Darstellung rechts dient nur zur Illustration. Aus der Figur dürfen wir keine Informationen ablesen; wir dürfen lediglich die Informationen in der Aufgabenstellung verwenden. Das Vorgehen: f ist eine Polynomfunktion 3. Grades, also von 3 der Bauart f : x ax + bx + cx + d. () Bedingungen für f formulieren: Weil wir 4 Koeffizienten bestimmen müssen, benötigen wir 4 Gleichungen. Diese müssen aus dem Aufgabentext hervorgehen. Der Punkt A(, 4) liegt auf dem Graphen von f, d. h. f()= 4. Der Punkt B(, ) liegt auf dem Graphen von f, d. h. f()=. Der Punkt C(, ) liegt sowohl auf dem Graphen von f als auch auf der Tangente t. Daher gilt f( )=t( )=4. Die Tangentensteigung an der Stelle x c = ist m t = 3, d. h. f ( )= 3. 17
2 Interpolation mit Ableitungen Um die letzte Bedingung mit den Unbekannten a, b, c und d formulieren zu können, bestimmen wir die Ableitung f. Aus dem Ansatz bei (1) folgt f (x)=3ax +bx+c. (4) Die Bedingungen von () zu einem Gleichungssystem umformulieren: f()= 4: a 3 +b +c +d= 4, d. h. d= 4. f()=: a 3 +b +c +d=, d. h. a+4b+c+d=. f( )=4: a ( ) 3 +b ( ) +c ( )+d=4, d. h. a+4b c+d=4. f ( )= 3: 3a ( ) +b ( )+c= 3, d. h. 1a 4b+c= 3. Im vorliegenden Fall hat es die Lösung a= 1, b= 3, c= 3, d= 4. Wir erhalten f : x x + x 3x 4. Wir halten das Vorgehen fest: 4.. Verfahren zur Lösung einer Interpolationsaufgabe mit Ableitungen (1) Bauart der Funktion f bestimmen () Bedingungen für f formulieren (3) Benötigte Ableitungen bestimmen (4) Die Bedingungen von () zu einem Gleichungssystem umformulieren (5) Das entstandene Gleichungssystem auflösen (6) Evtl. Lösungskontrolle 4..3 Beispiel Gesucht ist eine Polynomfunktion f von möglichst kleinem Grad, deren Graph symmetrisch bezüglich der y-achse ist, durch den Punkt (, 5) verläuft und in (, ) einen Wendepunkt hat. f ist eine Polynomfunktion, also von der Bauart 3 4 f : x a + bx + cx + dx + ex +..., wobei zunächst noch unklar ist, wie viele Summanden auftreten. Diesen Punkt können wir erst am Schluss von () klären. () Bedingungen für f formulieren: Aus dem Aufgabentext geht hervor: f ist symmetrisch bezüglich der y-achse. Daher treten gemäss Satz.3.1 in der Funktionsgleichung von f ausschliesslich gerade Exponenten auf. f ist also von der Bauart 4 f : x a + cx + ex +..., wobei die Anzahl der Summanden noch immer unklar ist. Der Punkt (, 5) liegt auf dem Graphen von f, d. h. f()= 5. Der Punkt (, ) liegt auf dem Graphen von f, d. h. f()=. Der Punkt (, ) ist ein Wendepunkt von f, d. h. es ist notwendigerweise f ()=. Wir haben 3 Bedingungen zu erfüllen, welche 3 Gleichungen ergeben. Daher dürfen 3 unbekannte Grössen a, c und e in der Funktionsgleichung von f auftreten. Nun können wir festlegen: f ist von der Bauart 4 f : x a + cx + ex ;
3 4. Interpolation mit Ableitungen wenn wir noch den Term +gx 6 dazu nähmen, wäre der Grad von f nicht mehr möglichst klein. Ausserdem hätten wir bereits 4 Unbekannte, aber nur 3 Gleichungen, also keine eindeutige Lösung mehr. Um die letzte Bedingung mit den Unbekannten a, c und e formulieren zu können, bestimmen wir f. Aus dem Ansatz bei () folgt f '(x) = cx + 4ex, f ''(x) = c + 1ex. (4) Die Bedingungen von () zu einem Gleichungssystem umformulieren: f()= 5: a+c +e 4 = 5, d. h. a= 5. f()=: a+c +e 4 =, d. h. a+4c+16e=. f ()=: c+1e =, d. h. c+4e=. Die Lösung ist a= 5, b= 3, c= 1 und somit ist f:x 5+ x x. 16, 3 16 Die Bedingung f (x)= bei () für den Wendepunkt ist gemäss Zusammenfassung nur notwendig, aber nicht hinreichend. Deshalb ist die soeben berechnete Lösungsfunktion die einzige Funktion, welche alle Bedingungen überhaupt erfüllen kann. Es ist aber nicht sicher, dass sie es auch tatsächlich tut. Wir überprüfen deshalb: Es ist wie gewünscht f()= 5 und f()=. Ist aber x= tatsächlich eine Wendestelle? Ja, denn es ist f (x)= 3 x und speziell f ()= 3. Gemäss Zusammenfassung ist deshalb bei x= sicher eine Wendestelle. Somit erfüllt die gefundene Funktion f wirklich alle geforderten Bedingungen. B. Bestimmen einer nichtrationalen Funktion 4..4 Beispiel bx Welche Funktion des Typs f:x a e hat in W(, 3) einen Wendepunkt? (1) Bauart der Funktion f bestimmen bx f ist von der Bauart f:x a e. () Bedingungen für f formulieren: Weil wir Koeffizienten bestimmen müssen, benötigen wir Gleichungen. Der Punkt W(, 3) liegt auf dem Graphen von f, d. h. f()=3. Der Punkt W(, 3) ist ein Wendepunkt von f, d. h. f ()=. Um die zweite Bedingung mit den Unbekannten a und b formulieren zu können, bestimmen wir f (x). Aus dem Ansatz bei (1) folgt zunächst mit der Kettenregel bx f '(x) = abx e, anschliessend mit der Produkt- und der Kettenregel bx f ''(x) = (4ab x + ab) e. 1
4 (4) Die Bedingungen von () zu einem Gleichungssystem umformulieren: f()=3: b Interpolation mit Ableitungen a e = 3. [4.1] 4b f ()=: (16ab + ab) e =. [4.] Wir dividieren [4.] durch [4.1]: 4b (16ab + ab) e = 4b ((( ((( a e 3 16b + b Die quadratische Gleichung 16b +b= hat die beiden Lösungen b 1 = und b = 1. a bestimmen wir aus [4.1]: b a e = 3 a =,d.h.a 4b 1= = 3,a = 1/ e e e = 3 e. Wir erhalten als Lösungen die beiden Funktionen also eine konstante Funktion, und 1 f : x 3 e = 3, 1 x f :x 3 e e. Die konstante Funktion f 1 hat aber sicher keinen Wendepunkt, sodass f als einzige mögliche Lösungsfunktion übrig bleibt. 4 x Es ist f (x)= x(x 1) e und f ()= 3 >. Gemäss Zusammenfassung ist x= tatsächlich Wendestelle von f. Weil zudem f()=3 ist, erfüllt f beide bei () gestellten Bedingungen und ist Lösung dieser Aufgabe. C. Ergänzung: Bestimmen einer gebrochenrationalen Funktion 4..5 Beispiel p(x) Ax + Bx + C Welche gebrochenrationale Funktion f:x = hat bei x=3 eine Nullstelle, bei x= einen Pol, bei x= eine Minimalstelle und die Asymptote a: x x + D 1? p(x) Ax + Bx + C f ist von der Bauart f:x =. x + D () Bedingungen für f formulieren: Weil wir 4 Koeffizienten bestimmen müssen, benötigen wir 4 Gleichungen. Bei x=3 ist eine Nullstelle von f, d. h. f(3)=. Bei x= ist eine Polstelle, d. h. q()=. Bei x= ist eine Minimalstelle, d. h., es ist notwendigerweise f ()=. Die Asymptote ist a: x 1, d. h. lim f(x) = 1.
5 4. Interpolation mit Ableitungen Um die dritte Bedingung mit den Unbekannten A, B, C und D formulieren zu können, bestimmen wir f (x) mithilfe der Quotientenregel: (x + D) (Ax + B) (Ax + Bx + C) x Bx + ADx Cx + BD f '(x) = =. (x + D) (x + D) (4) Die Bedingungen von () zu einem Gleichungssystem umformulieren: 9A + 3B + C D 9 f(3)=: = 9A+3B+C=. [4.3] 9+ D q()=: 4+D=, d. h. D= 4. BD D B f ()=: = =, d. h. B=. D D Ax + Bx + C A lim f(x) = 1: lim = = 1, d. h. A=1. x + D 1 Das ist im vorliegenden Fall ziemlich leicht. Aus den Gleichungen bei (4) liest man von unten nach oben ab: A=1, B=, D= 4, und aus [4.3] folgt schliesslich C= 9. Die gesuchte Funktion ist p(x) x 9 f:x =. x 4 Die Bedingung f ()= bei () für die Minimalstelle von f ist gemäss Zusammenfassung nur notwendig, aber nicht hinreichend. Wir überprüfen deshalb, ob f ()> ist. Wegen 3x 4 ist f ()= 5 >, 3 x 4 f (x)= ( ) d. h., x= ist gemäss Zusammenfassung sicher eine Minimalstelle von f. 4.3 Eine Anwendung: Schienen- und Strassenbau I Beim Schienen- und beim Strassenbau müssen sehr oft zwei gerade verlaufende Streckenabschnitte s 1 und s durch ein geeignetes Kurvenstück miteinander verbunden werden. Wie wird ein solches Kurvenstück in der Praxis festgelegt? In diesem Abschnitt lernen wir einige wichtige Überlegungen kennen. 1
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