Bezier-Kurven. Hamid Fetouaki, Emma Skopin. 28. Januar Universität Kassel FB Mathematik/Informatik

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1 Ableitungen von Universität Kassel FB Mathematik/Informatik 28. Januar 2009

2 Ableitungen von Motivation Bis in den späten 50er Jahren: Zeichnung der Kurven am Papier Fertigung der Modelle aus Holz und Ton Einsetzung der Master-Modelle aus Gips für die Kopiermaschinen Seit 1955 Entwicklung und Einsetzung der (Numerical Control) NC-Maschinen Interpretation der geometrischen Daten Übertragung dieser Daten auf die Maschinen

3 Ableitungen von Paul de-casteljau 19. November 1930 geboren Studium der Mathematik und Physik an der ENS Wehrdienst im Algerienkrieg Anfang der 1990 bei Citroën Als Physiker in der Groupe Détermination Mathématique des Carrosseries Veröffentlichung der Ergebnisse beim INPI

4 Ableitungen von Pierre Bezier 1. September 1910 geboren 25 November 1999 gestorben 1930 Diplom an der ENS d arts et Métiers 1931 Diplom an der École Supérieure d electricité Ingenieur bei Renault 1977 Dr. Title in der Mathematik von der Universität Paris

5 Historie Einführung Ableitungen von Parallele Entdeckung der selben Formel Rechtsstreit: de-casteljau Bezier Die allgemeine Formel und damit die Kurven wird folglich nach Pierre Bezier benannt (Bernstein-Bezier-Polynom, Bezier-Kurve/Fläche) Das zugrunde liegende Konstruktionsprinzip wird nach de-casteljau (de-casteljau-algorithmus) benannt. Jahre später konnten die unmittelbar zur Steuerung von NC-Fräsen herangezogen werden. Z Anstoß zu parallelen Weiterentwicklungen in anderen Industriebereichen wie Schiffsbau und Luftfahrt.

6 Ableitungen von Parabeln de-casteljau-algorithmus 1 Einführung 2 Parabeln de-casteljau-algorithmus 3 Eigenschaften von 4 Ableitungen von Die Ableitung einer Bezier-kurve Ableitungen höherer Ordnung Ableitungen und der de-casteljau-algorithmus

7 Ableitungen von Lineare Interpolation Parabeln de-casteljau-algorithmus Gegeben seien zwei verschiedene Punkte a, b E 3 Die Menge aller Punkte x E 3 der Form x = x(t) = (1 t)a + tb; t R ( ) wird Gerade durch die Punkte a und b genannt. Für t [a, b] liegt der Punkt x zwischen a und b ( ) stellt eine baryzentrische Kombination zweier Punkte im E 3 dar. Diese ist als gewichtete Summe von Punkten definiert, wobei die Gewichte sich zu Eins aufaddieren müssen.

8 Ableitungen von Lineare Interpolation Parabeln de-casteljau-algorithmus Abbildung: Lineare Interpolation: Punkte a, b beschreiben eine Gerade, die durch Sie durchgeht.

9 Ableitungen von Parabel Konstruktion Parabeln de-casteljau-algorithmus Seien nun b 0, b 1, b 2 drei beliebige Punkte im E 3, und sei t R. Wir bilden nun: b 1 0 (t) = (1 t) b 0 + tb 1, (1) b 1 1 (t) = (1 t) b 1 + tb 2, (2) b 2 0 (t) = (1 t) b 1 0 (t) + tb 1 1 (t). (3) Durch einsetzen von (1) und (2) in (3) erhalten wir: b 2 0 (t) = (1 t) b 1 0 (t) + tb 1 1 (t) = (1 t) [(1 t) b 0 + tb 1 ] + t[(1 t) b 1 + tb 2 ] = (1 t) 2 b 0 + 2t (1 t) b 1 + t 2 b 2.

10 Parabeln Einführung Ableitungen von Parabeln de-casteljau-algorithmus b0 2 (t) ist ein quadratischer Ausdruck in t (der hochgestellte Index gibt den Grad an). Für t (, ) erzeugt er somit eine Parabel, die wir mit b 2 bezeichnen. Diese Konstruktion ist nicht weiter als wiederholte lineare Interpolation. Parabeln sind immer ebene Kurven, da b 2 (t) immer eine baryzentrische Kombination dreier Punkte ist.

11 Beispiel Einführung Ableitungen von Parabeln de-casteljau-algorithmus Abbildung: Konstruktion einer Parabel durch wiederholte lineare Interpolation.

12 Ableitungen von Parabeln de-casteljau-algorithmus 1 Einführung 2 Parabeln de-casteljau-algorithmus 3 Eigenschaften von 4 Ableitungen von Die Ableitung einer Bezier-kurve Ableitungen höherer Ordnung Ableitungen und der de-casteljau-algorithmus

13 Ableitungen von de-casteljau-algorithmus Parabeln de-casteljau-algorithmus Gegeben: Setze: b 0, b 1, b 2,..., b n E 3, t R, { bi r (t) = (1 t) b r 1 i (t) + tb r 1 i+1 (t) für r {1,..., n} und i {0,..., n r} (4) b 0 i (t) = b i. (5) Ausgabe: b n 0 (t) ist der Punkt auf der Bezier-Kurve bn, der dem Parameterwert t entspricht.

14 Bezeichnungen Einführung Ableitungen von Parabeln de-casteljau-algorithmus Das Polygon P, das durch die Punkte b 0, b 1,..., b n dargestellt wird, wird Bezierpolygon oder Kontrollpolygon der Kurve b n genannt. Die Polygonecken b i werden Kontrollpunkte oder Bezierpunkte genannt. Die Zwischenpunkte bi r (t) können wir in einer Dreiecksform anordnen, dem sogenannten de-casteljau-schema. Als Beispiel betrachten wir den Fall für eine planare kubische Kurve an der Stelle t = 1 2 :

15 Ableitungen von Parabeln de-casteljau-algorithmus Beispiel für t = 1 2 [ 0 b 0 = 0 ] ] [ 0 b 1 = 2 [ 8 b 2 = 2 ] ] b 1 0 = [ 0 1 b 1 1 = [ 4 2 ] ] b 2 0 = [ b 2 1 = [ ] ] b 3 0 = [ ] [ 4 b 3 = 0 ] b 1 2 = [ 6 1

16 Ableitungen von Parabeln de-casteljau-algorithmus Beispiel für t = 1 2 Abbildung: Das Berechnen eines Punktes auf einer Bezier-Kurve mit dem de-casteljau-algorithmus.

17 Ableitungen von Eigenschaften von 1 Einführung 2 Parabeln de-casteljau-algorithmus 3 Eigenschaften von 4 Ableitungen von Die Ableitung einer Bezier-kurve Ableitungen höherer Ordnung Ableitungen und der de-casteljau-algorithmus

18 Ableitungen von Eigenschaften von Definition 3.1 Das i-te Bernsteinpolynom vom Grad n ist definiert durch: ( ) n Bi n (t) := t i (1 t) n i, (6) i wobei die Binomialkoeffizienten durch: gegeben sind. ( ) n = i { n! i!(n i)! falls 0 i n 0 sonst

19 Ableitungen von Eigenschaften der Satz 3.2 Eigenschaften von 1 genügen folgender Rekursionsformel: mit B n i (t) = (1 t)b n 1 i (t) + tb n 1 (t) (7) i 1 B 0 0 (t) 1 und (8) B n j (t) 0 für j / {0,..., n}. (9) 2 Die bilden eine Teilung der Eins, d.h. es gilt: n Bj n (t) 1. (10)

20 Ableitungen von Eigenschaften der Eigenschaften von Beweis: Es gilt: ( ) ( n i = n 1 ) ( i + n 1 i 1). Für die gilt somit: ( ) n Bi n(t) = t i (1 t) n i ( i ) ( ) n 1 n 1 = t i (1 t) n i + t i (1 t) n i ( i ) i 1 ( ) n 1 n 1 = t i (1 t) n i 1 (1 t) + t i 1 (1 t) n i t i i 1 } {{ } } {{ } = B n 1 i (t) = B n 1 i 1 (t) = (1 t)b n 1 i (t) + tb n 1 i 1 (t).

21 Ableitungen von Eigenschaften der Eigenschaften von B0 0(t) = ( 0 0) t 0 (1 t) 0 = 1 Bj n (t) = 0 für j / {0,..., n} nach Definition der Binomialkoeffizienten. Mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes folgt: n Bj n (t) = n ( ) n t j (1 t) n j = (t + 1 t) n = 1. j

22 Ableitungen von Berechnung der Eigenschaften von Beispiel: Die vom Grad 4 ( ) 4 B0 4 (t) = t 0 (1 t) 4 = (1 t) 4 0 ( ) 4 B1 4 (t) = t 1 (1 t) 3 = 4t(1 t) 3 1 ( ) 4 B2 4 (t) = t 2 (1 t) 2 = 6t 2 (1 t) 2 2 ( ) 4 B3 4 (t) = t 3 (1 t) 1 = 4t 3 (1 t) 3 ( ) 4 B4 4 (t) = t 4 (1 t) 0 = t 4 4

23 Ableitungen von Eigenschaften von Abbildung: Die quartischen.

24 Ableitungen von Eigenschaften von Satz 3.3 Für die Zwischenpunkte bi r, die beim de-casteljau-algorithmus auftreten, gilt: { r bi r (t) = b i+j Bj r r {0,..., n} und (t), für (11) i {0,..., n r}. Für r = n, ist der de-casteljau-punkt gerade der Punkt auf der Kurve, und ist gegeben durch: b n (t) = b n 0 (t) = n b j Bj n (t). (12)

25 Ableitungen von Eigenschaften von Beweis: (12) ergibt durch direktes Einsetzen von r = n in (11). IA: r = 0 b 0 i (t) (5) = b i (8) = b i B 0 0 (t) = 0 b i+j Bj 0 (t). IV: Die Behauptung gelte für r 1 IS: r 1 r Für r = 1,..., n und i = 0,..., n r gilt: b r i (t) (4) = (1 t) b r 1 i (IV ) = (1 t) r 1 j=i (t) + tb r 1 i+1 (t) b i+j B r 1 j (t) + t r 1 = (1 t) i+r 1 b j B r 1 j i (t) + t i+r j=i+1 b i+1+j B r 1 j (t) b j B r 1 j i 1 (t)

26 Ableitungen von Eigenschaften von b r i (t) = (1 t) i+r 1 j=i b j B r 1 j i (t) + t i+r j=i+1 b j B r 1 j i 1 (t) (9) = (1 t) i+r 1 b j B r 1 j i (t) + (1 t)br r 1 (t) + t i+r j=i+1 j=i = (1 t) i+r = i+r j=i = r (7) = r j=i b j B r 1 j i 1 (t) + tbr 1 1 (t) b j B r 1 j i (t) + t i+r j=i b j B r 1 j i 1 (t) [ ] b j (1 t)b r 1 j i (t) + tb r 1 j i 1 (t) [ b j+i (1 t)b r 1 b j+i B r j (t). j (t) + tb r 1 j 1 (t) ]

27 Ableitungen von Eigenschaften von Beobachtung stellen baryzentrische Kombinationen der Kontrollpunkte dar. Beweis: Folgt aus Satz 3.3, Definition von baryzentrischen Kombinationen und (10).

28 Ableitungen von Eigenschaften von Satz 3.5 lassen sich mittels der Zwischenpunkte bi r wie folgt darstellen: b n (t) = r i=0 b n r i (t)b r i (t), wobei r {0,..., n}. (13) 1 D.h. berechne zuerst die n r Stufen des de-casteljau-algorithmus in abhängigkeit von t, 2 betrachte die resultierenden Punkte b n r i (t) als Kontrollpunkte einer Bezier-Kurve vom Grad r, 3 werte diese an der Stelle t aus.

29 Ableitungen von Eigenschaften von

30 Ableitungen von Eigenschaften von 1 Einführung 2 Parabeln de-casteljau-algorithmus 3 Eigenschaften von 4 Ableitungen von Die Ableitung einer Bezier-kurve Ableitungen höherer Ordnung Ableitungen und der de-casteljau-algorithmus

31 Affine Invarianz Einführung Ableitungen von Eigenschaften von Definition Eine Abbildung Φ : E 3 E 3 heißt affine Abbildung, wenn sie baryzentrische Kombinationen invariant lässt. D.h: Seien x = α j a j ; x, a j E 3 eine baryzentrische Kombination und Φ eine affine Abbildung Φ(x) = α j Φ(a j ), Φ(x), Φ(a j ) E 3. sind baryzentrische Kombinationen affine Invarianz D.h., die folgenden Vorgehensweisen liefern dasselbe Resultat: 1 Berechne b n (t), wende affine Abbildung an 2 Wende affine Abbildung auf das Kontrollpolygon an, werte das transformierte Kontrollpolygon an t aus.

32 Ableitungen von Eigenschaften von Invarianz unter baryzentrischen Kombinationen Gegeben: zwei b n und c n. Für α + β = 1 gilt: α n b j Bj n(t) + β n c j Bj n(t) = n (αb j + βc j )Bj n(t) Berechnung des gewichteten Mittels zweier : 1 Berechne das gewichtete Mittel der Kurvenpunkte 2 Bilde das gewichtete Mittel der Kontrollpunkte und berechne die Kurve.

33 Lineare Präzision Einführung Ableitungen von Eigenschaften von n j Es gilt: n Bn j (t) = t. ( ) Kontrollpunkte: b j = 1 j n p + j n q, j = 0,..., n b n (t) = n ] [(1 j n )p + j n q Bj n(t) i=0 = p n Bj n(t) p n = p + t(q p) j n Bn j (t) + q n j n Bn j (t) Die Kurve, die durch dieses Polygon erzeugt wird, ist genau die Gerade zwischen p und q, d.h. die Originalgerade wird reproduziert. Diese Eigenschaft wird lineare Präzision genannt.

34 Ableitungen von Weitere Eigenschaften Eigenschaften von Invarianz unter affinen Parametertransformationen Für u [a, b] definiere: t = u a b a n b i Bi n(t) = n b i Bi n ( u a b a). i=0 i=0 Konvexe-Hüllen-Eigenschaft Für t [0, 1] liegt die Kurve b n (t) in der konvexen Hülle des Kontrollpolygons. Endpunkte-Interpolation Die Bezier-Kurve verläuft durch die Punkte b 0 und b n. Symmetrie Pseudo-lokale-Kontrolle besitzt nur ein Maximum und nimmt dieses an der Stelle B n i t = i n anḣamid Fetouaki, Emma Skopin

35 Ableitungen von Eigenschaften von Abbildung: Die quartischen.

36 Ableitungen von Die Ableitung einer Bezier-kurve Ableitungen höherer Ordnung Ableitungen und der de-casteljau-algorithmus 1 Einführung 2 Parabeln de-casteljau-algorithmus 3 Eigenschaften von 4 Ableitungen von Die Ableitung einer Bezier-kurve Ableitungen höherer Ordnung Ableitungen und der de-casteljau-algorithmus

37 Ableitungen von Die Ableitung einer Bezier-kurve Ableitungen höherer Ordnung Ableitungen und der de-casteljau-algorithmus Satz 4.1 Die Ableitung eines Bernsteinpolynoms Bi n (t) ist gegeben durch: wobei i {0,..., n}. Satz 4.2 d dt Bn i (t) = n [ B n 1 i 1 (t) Bn 1 i (t) ], (14) Für eine Bezier-Kurve b n (t) gilt folgendes: d n 1 dt bn (t) = n [b j+1 b j ]B n 1 j (t) (15)

38 Ableitungen von Die Ableitung einer Bezier-kurve Ableitungen höherer Ordnung Ableitungen und der de-casteljau-algorithmus Definition Der Vorwärtsdifferenzenoperator r ist definiert durch: { r r 1 b j+1 r 1 b j, für r N b j = b j, für r = 0. (16) Mit der obigen Definition erhalten wir für die Ableitung einer Bezier-Kurve: d n 1 dt bn (t) = n b j B n 1 j (t); b j R 3. (17)

39 Ableitungen von Die Ableitung einer Bezier-kurve Ableitungen höherer Ordnung Ableitungen und der de-casteljau-algorithmus Die Ableitung einer Bezier-Kurve ist somit selbst wieder eine Bezier-Kurve, deren Kontrollpolygon durch Differenzieren des originalen Polygons gegeben ist. Abbildung: Bezier-Kurve aus dem erste Beispiel und ihre erste Ableitung als Kurve (verkleinert um den Faktor drei)

40 Ableitungen von Die Ableitung einer Bezier-kurve Ableitungen höherer Ordnung Ableitungen und der de-casteljau-algorithmus 1 Einführung 2 Parabeln de-casteljau-algorithmus 3 Eigenschaften von 4 Ableitungen von Die Ableitung einer Bezier-kurve Ableitungen höherer Ordnung Ableitungen und der de-casteljau-algorithmus

41 Ableitungen von Die Ableitung einer Bezier-kurve Ableitungen höherer Ordnung Ableitungen und der de-casteljau-algorithmus Beispiel: Die ersten Vorwärtsdifferenzen: 0 b i 1 b i 2 b i 3 b i = b i = b i+1 b i = 1 b i+1 1 b i = b i+2 2b i+1 + b i = 2 b i+1 2 b i = b i+3 3b i+2 + 3b i+1 b i Satz 4.4 Die Vorwärtsdifferenzen lassen sich berechnen durch: r ( ) r r b i = ( 1) r j b i+j (18) j Beweis:

42 Ableitungen von Die Ableitung einer Bezier-kurve Ableitungen höherer Ordnung Ableitungen und der de-casteljau-algorithmus Satz 4.5 Für die r te Ableitung einer Bezier-Kurve gilt: d r dt r bn (t) = n! n r (n r)! Beweis: Durch wiederholte Anwendung von (17) r b j B n r j (t). (19)

43 Ableitungen von Die Ableitung einer Bezier-kurve Ableitungen höherer Ordnung Ableitungen und der de-casteljau-algorithmus Bemerkung t = 0 : d r dt r b n (0) = n! (n r)! r b 0, 2 t = 1: d r dt r b n (1) = n! (n r)! r b n r, wegen B n r j (0) = δ j,0 wegen B n r j (1) = δ j,n r Abbildung: Die erste und die zweite Ableitung für t = 0.

44 Ableitungen von Die Ableitung einer Bezier-kurve Ableitungen höherer Ordnung Ableitungen und der de-casteljau-algorithmus 1 Einführung 2 Parabeln de-casteljau-algorithmus 3 Eigenschaften von 4 Ableitungen von Die Ableitung einer Bezier-kurve Ableitungen höherer Ordnung Ableitungen und der de-casteljau-algorithmus

45 Ableitungen von Die Ableitung einer Bezier-kurve Ableitungen höherer Ordnung Ableitungen und der de-casteljau-algorithmus Satz4.7 Die r te Ableitung einer Bezier-Kurve kann durch die Zwischenpunkte, die beim de-casteljau-algorithmus auftreten, folgendermaßen ausgedrückt werden: d r dt r b n(t) = n! (n r)! r b n r 0 (t). (20) Beweis: Zuerst zeigen wir, dass Summation und Differenzenbildung kommutieren: n 1 n 1 b j = [b j+1 b j ] = n n 1 n 1 b j+1 b j = b j. j=1

46 Ableitungen von Die Ableitung einer Bezier-kurve Ableitungen höherer Ordnung Ableitungen und der de-casteljau-algorithmus Somit erhalten wir: d r dt r bn (t) = = = n! n r (n r)! r b j B n r j (t) (21) n! n r (n r)! r b j B n r j (t) (22) n! (n r)! r b n r 0 (t) (23)

47 Ableitungen von Die Ableitung einer Bezier-kurve Ableitungen höherer Ordnung Ableitungen und der de-casteljau-algorithmus (21) und (22) liefern zwei verschiedene Methoden, die r te Ableitung einer Bezier-Kurve zu berechnen. Methode (21): Bilde alle r-ten Vorwärtsdifferenzen der Kontrollpunkte, iterpretieren diese als ein neues Bezierpolygon vom Grad n r und werte dieses an der Stelle t aus. Methode (22): Berechne die r-te Ableitung als ein Nebenprodukt des de-casteljau-algorithmus.

48 Ableitungen von Die Ableitung einer Bezier-kurve Ableitungen höherer Ordnung Ableitungen und der de-casteljau-algorithmus Beispiel: Die Ableitung der Bezier-Kurve aus dem ersten Beispiel Wir bilden zuerst die ersten Differenzen der Kontrollpunkte: [ 0 ] [ 0 ] [ 0 ] b 0 = b 1 b 0 = =, [ 8 ] [ 0 ] [ 8 ] b 1 = b 2 b 1 = =, [ 4 ] [ 8 ] [ 4 ] b 2 = b 3 b 2 = = Dann werten wir die entstehende quadratische Kurve an der Stelle t = 1 2 aus: ( 1 B0 2) 2 = 1 ( 1 4, B2 1 = 2) 1 ( 1 2, B2 2 = 2) 1 4.

49 Ableitungen von Die Ableitung einer Bezier-kurve Ableitungen höherer Ordnung Ableitungen und der de-casteljau-algorithmus Somit erhalten wir: d 1 ) 3( dt b = 3! !( 4[ 2 ] + 1 [ ] + 1 [ ]) [ 9 = 0 ]. Als Alternative berechnen wir b 2 0 ( 1 2 ): b 2 0 ( 1 ( 1 ( 1 [ = b1 2) 2) 2 b0 2) 2 5 = 3 2 ] [ ] [ 3 = 0 ]. Multiplikation mit 3 liefert das Ergebnis.

50 Ableitungen von Die Ableitung einer Bezier-kurve Ableitungen höherer Ordnung Ableitungen und der de-casteljau-algorithmus Vielen Dank für ihre Aufmerksamkeit

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