Freiherr-vom-Stein Schule Fach: Mathematik Herr Pfaffenbach. Logistisches Wachstum. am Beispiel einer Hefekultur

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1 Freiherr-vom-Stein Schule Fach: Mathematik Herr Pfaffenbach Logistisches Wachstum am Beispiel einer Hefekultur

2 Inhaltsverzeichnis 1.0 Vorwort Logistisches Wachstum allgemein Unterschied vom logistischen Wachstum zum exponentiellen und linearen Wachstum Lineares Wachstum Exponentielles Wachstum: Logistisches Wachstum: Logistisches Wachstum am Beispiel einer Hefekultur Berechnung der Wachstumsgleichung des gegebenen Beispiels Graph Warum wird das Wachstum gehemmt? Schlusswort Quellenanhang Abbildungsverzeichnis

3 1.0 Vorwort Ich habe mich für das Thema logistisches Wachstum an Hand einer Hefekultur entschieden, da es nicht nur zu dem Fach Mathematik passt, indem ich meine Jahresarbeit schreibe, sondern zusätzlich noch etwas mit dem Fach Biologie zu tun hat, dass einer meiner Leistungskurse seit der O 11 ist. Zu Beginn meiner Jahresarbeit werde ich in 2.0 das logistische Wachstum allgemein eingehen, mit den Fragen Was ist das logistische Wachstum? & Wie kamen die Menschen auf das logistische Wachstum? Da das logistische Wachstum und das exponentielle Wachstum nah bei einander liegen und viel miteinander zu tun haben, werde ich in 2.1 den Unterschied vom logistischen Wachstum zum exponentiellen und linearen Wachstum erläutern. In 3.1 und 3.2 werde ich nun auf den mathematischen Bereich meiner Jahresarbeit eingehen, indem ich in 3.1 eine Wachstumsgleichung für mein Beispiel errechne und in 3.2 einen Graphen dazu zeichne. Da mein Graph ab dem Wert 600mg Hefe nur noch langsam steigt und ab dem Wert 665mg Hefe gradlinig ausläuft, werde ich in 3.3 erklären, warum dies passiert. Zuletzt werde ich nun in 4.0 ein Schlusswort über meine gesamte Jahresarbeit verfassen und danach in 5.0 meine genutzten Internetquellen und eventuellen Buchquellen im Quellenanhang angeben. 3

4 2.0 Logistisches Wachstum allgemein Die bis ca einzig bekannten Wachstumsarten waren das lineare und exponentielle Wachstum, welche kontinuierlich ansteigen. Nach einer gewissen Zeit des Wachstums wird jedoch im Beispiel einer Population von Lebewesen durch äußere Umwelteinflüsse eine Grenze erreicht. Diese äußeren Umwelteinflüsse, wie zum Beispiel ansteckende Krankheiten, Nahrungs- und Platzmangel und Feinde, sorgen dafür, dass Abbildung 1 die Populationsrate sinkt. Man geht davon aus, dass bei einer steigenden Population die Sterberate steigt und die Geburtenrate sinkt. Dies ist logisch erklärbar, da je höher die Population ist auch mehr Nahrung und Platz benötigt wird, welche/r jedoch nicht unbegrenzt ist. Somit wirkt sich eine große Population hemmend auf die Geburtenrate und fördernd auf die Sterberate aus. 1 Der belgische Mathematiker Pierre François Verhulst, geboren am 28. Oktober 1804 und gestorben am 15. Februar 1849, beschäftigte sich damit, ein solches Wachstum aufzustellen, welches die Population der Menschen ( s.o ) mit verschiedenen Umweltfaktoren berücksichtigt stellte er ein mathematisches Modell des Bevölkerungswachstums auf, basierend auf Statistiken, welches die Theorie des exponentiellen Wachstums durch wachstumshemmende Faktoren ergänzt. 2 Dieses aufgestellte Wachstum nennt man logistisches Wachstum, welches der Realität, unter Berücksichtigung verschiedener Umweltfaktoren nahe kommt. Betrachtet man jedoch die Bevölkerungszahlen sieht man, dass global betrachtet die Weltbevölkerungswachstumsrate steigt. Somit kann man nicht die Realität darstellen sondern nur Prognosen aufstellen. 3 1 und

5 2.1 Unterschied vom logistischen Wachstum zum exponentiellen und linearen Wachstum Lineares Wachstum Wenn eine mathematische Größe im gleichen Abstand immer um den gleichen Wert zu bzw. abnimmt, handelt es sich um das sogenannte lineare Wachstum. Ein lineares Wachstum kann man mit folgender Gleichung beschreiben: y = m*x+n, wobei m die Steigung und n der y Achsen Abschnitt ist. 3 Abbildung Exponentielles Wachstum: Eine Exponentialfunktion, welches ein exponentielles Wachstum beschreibt, ist eine Funktion der Form y. Im Vergleich zu einer quadratischen Funktion ist bei einer Exponentialfunktion die Variable x nicht die Basis sondern Exponent. Die Abbildung 3 Exponentialfunktion ist somit diejenige Funktion der Mathematik welche am schnellsten steigt. Für gewöhnlich wird die Exponentialfunktion = als Funktion zur ( = ), der eulerschen Zahl (e=2,718) beschrieben. Diese wird auch als natürliche Exponentialfunktion bezeichnet

6 2.1.3 Logistisches Wachstum: Logistisches Wachstum am Beispiel einer Hefekultur Eine logistische Funktion stellt ein Wachstum da, welches exponentiell ansteigt und durch wachstumshemmende Faktoren zu einer Sättigung führt. Abbildung 4 Vergleicht man das lineare Wachstum mit dem logistischen Wachstum, sieht man keinerlei Ähnlichkeit, da, wie oben erklärt, dass logistische Wachstum erst exponentiell ansteigt und ab einem bestimmten Punkt die wachstumshemmenden Faktoren zu einer Sättigung des Graphen führen. Somit hat das logistische Wachstum keinen Zusammenhang mit dem linearen Wachstum. Im Gegensatz zu dem linearen Wachstum bestehen zwischen dem exponentiellen und dem logistischen Wachstum Gemeinsamkeiten- und Ähnlichkeiten. Diese bestehen darin, dass das logistische Wachstum am Anfang exponentiell wächst, es aber jedoch ab einem bestimmten Punkt, durch wachstumshemmende Faktoren, gleichbleibend verläuft oder sogar absinkt. Somit ist das logistische Wachstum eine Darstellung des exponentiellen Wachstums mit wachstumshemmenden Faktoren. 6

7 3.0 Logistisches Wachstum am Beispiel einer Hefekultur Vorgegebene Tabelle: Abbildung 5 Aufgabenstellung: Der Hefepilz dient als wichtige Substanz nicht nur beim Backen, sondern auch bei der Produktion von Alkohol. Der Stoffwechsel dieses Organismus ist ausgiebig wissenschaftlich erforscht worden. Bereits 1913 hat Carlson das Wachstum von Hefekulturen mit großer Sorgfalt untersucht ( Tabelle oben ). Seine Daten geben bereits damals Anlass, sich genauere Gedanken über die möglichst exakte mathematische Beschreibung eines solchen Wachstumsprozesses zu machen, und führten schließlich zum Modell des logistischen Wachstums. Beschreiben Sie die Eigenschaften und das Modell des logistischen Wachstums anhand des obigen Beispiels und stellen Sie eine Wachstumsgleichung für die dargestellte Hefekultur auf. 7

8 An der Tabelle von Carlson 1913, welche mir für meine Jahresarbeit gegeben wurde (s.o) ist zu erkenne, wie viel Hefe ( in mg ), nach einer gewissen Zeit ( in Stunden ), produziert wurde. Bei dem Beginn des Versuches haben wir 9,6 mg Hefe welche sich nach nur wenigen Stunden drastisch vermehrt. Nach nur einer Stunde wurde fast das Doppelte der Hefemenge erreicht und nach 5 Stunden schon mehr als das 12 fache. Nach ca. 11 Stunden sieht man jedoch, dass die Hefemenge sich langsamer vermehrt, als in den vorherigen Stunden, bis sie von der 17. auf die 18. Stunde nur noch um 2,2 mg wächst, wobei sie doch, am Anfang des Versuches schneller gestiegen ist. Dieses Beispiel, das Wachstum einer Hefekultur, ist mit dem mathematischen logistischem Wachstum zu vergleichen, da die Hefe sich anfangs schnell vermehrt und zum Schluss langsamer steigt, bis man vermuten könnte, dass die Kurve bald gleichbleibend ausläuft, wie auch bei einer Kurve des logistischen Wachstums. 3.1 Berechnung der Wachstumsgleichung des gegebenen Beispiels 5 ( ) = ( ( ) ) Allgemeine Formel des logistischen Wachstums a = Anfangs- bzw. Startwert s = Grenzwert (ausgehend von 665mg) k = Veränderungswert t = Zeit (gegeben s.o. Tabelle) ( 1 ( ) 1 ) = 5 (Quelle für alle folgenden Formeln) 8

9 Tabelle 1 Zeit t (in Stunden) Hefemenge N(t) in mg ln( 1 ( ) 1 ) 0 9,6-2, ,3-2, ,0-3, ,2-3, ,1-4, ,1-4, ,6-5, ,3-6, ,7-6, ,0-7, ,3-7, ,7-8, ,8-8, ,4-9, ,8-9, ,1-10, ,9-10, ,6-11, ,8-11,8316 9

10 Ausgleichsgerade zur Tabelle 1 Logistisches Wachstum am Beispiel einer Hefekultur Abbildung 6 = = ( ( ) ) x = Zeit t in Stunden = ( 2, ,276) 1 = 0,6588 Diese Rechnung führe ich mit allen 19 Werten durch um komme auf die verschiedenen Steigungen innerhalb der zwei verwendeten Punkte: 10

11 Tabelle 2: y1 y2 m -2,276-2,9348-0,6588-2,9348-3,4119-0,4771-3,4119-3,928-0,5161-3,928-4, , , ,9773-0, ,9773-5,467-0,4897-5,467-6,0395-0,5725-6,0395-6, , , ,1772-0, ,1772-7,7187-0,5415-7,7187-8, , , ,6367-0, ,6367-9,3722-0,7355-9,3722-9,7762-0,404-9, ,3466-0, , ,7775-0, , ,3050-0, , ,8316-0,5266 Durch das Addieren aller Steigungen und danach das Dividieren durch die Anzahl ist unser Wert für =, = ( ) = ( 0, ) 11

12 =, (s a) b = ln [ ] as Um auf den Wert für b zu kommen, nehmen wir den Anfangswert der uns gegeben ist (s. Tabelle oben) (9,6) 665 9,6 = ln ( 9,6 655 ) b = - 2, Um auf einen genauen Wert für a zu kommen, forme ich die Formel um, die ich beim errechnen des b s genutzt habe. : (s a) b = ln [ ] as = = = 1 + = , a = 9,73765 dieser Wert kommt meinem gegebenen Wert in der 1. Tabelle (s.o) sehr nahe. (9,6) Jetzt kann ich meine Formel für das allgemeine logistische Wachstum nehmen und meine errechneten Werte einsetzten: ( ) = + ( ) 9, ( ) = 9, (665 9,73765, 12

13 ( ) = Logistisches Wachstum am Beispiel einer Hefekultur, (, +,, ) Dies ist nun meine Wachstumsgleichung zu meiner gegebenen Hefekultur. Setze ich nun für t (die Zeit in Stunden) beliebige Zahlen (höher als 18 Stunden) ein, kann ich sehen, dass das Wachstum langsam sich unserem Grenzwert 665 nähert bzw. nur minimal drüber hinaus geht. Bsp. : (25) = (30) = (50) = (60) = 6475,54 (9, ,26, 25) = 664, ,54 (9, ,26, 30) = 664, ,54 (9, ,26, 50) = 665, ,54 (9, ,26, 60) = 665, diesen Wert bekomme ich auch beim einsetzen von 75 und 100 Stunden heraus. Das bedeutet, dass bei diesem Beispiel des logistischen Wachstums die Kurve gradlinig ausläuft, bei einem Wert minimal über meinem Grenzwert 665 mg. 13

14 3.2 Graph Abbildung Warum wird das Wachstum gehemmt? Stelle ich mir nun die Frage, warum die Hefe nicht bis ins unendliche (und zwar exponentiell ) wächst, sondern einen Grenzwert erreicht, bin ich auf das Ergebnis gekommen, dass bei einem Hefewachstum nicht nur die Hefe wächst, sondern durch den Stoffwechsel der Pilze auch Alkohol produziert wird. Dieser produzierte Alkohol wirkt hemmend auf das Hefewachstum und sorgt somit ab einer bestimmten Menge produzierten Alkohols dafür, dass die Hefe nicht mehr weiter wächst, sondern gleichbleibend bleibt. Bei der realen alkoholischen Gärung durch Hefepilze sterben diese durch ihr Stoffwechselprodukt Alkohol (genauer gesagt Ethanol) aufgrund dessen Wirkung der Eiweißdenaturierung und Zerstörung der Zellmembran durch seine wasserziehende (hygroskopische) Fähigkeit ab. 14

15 4.0 Schlusswort Logistisches Wachstum am Beispiel einer Hefekultur Ich hoffe, dass ich in meiner Jahresarbeit das Thema logistisches Wachstum ausreichend erklärt und dargestellt habe. Was eine logistische Funktion darstellen soll habe ich schnell und gut verstanden und hoffe, dass ich es unter Punkt 2. gut und anschaulich an dem Beispiel des Bevölkerungswachstums erklärt habe. Unter Punkte 3. habe ich versucht, anhand des mir vorgegebenen Beispiels, eine Wachstumsgleichung aufzustellen. Dies fiel mir zunächst sehr schwer. Deshalb habe ich mir, für das Verständnis der allgemeinen logistischen Formel, Hilfe bei einem ehemaligen Schüler der Freiherr vom Stein Schule geholt. Nach vielen Recherchen und der Hilfe des ehemaligen Schülers konnte ich durch mehrere Rechnungen die Wachstumsgleichung für mein gegebenes Beispiel aufstellen. Das Wissen um die Berechnung von logistischem Wachstum und seiner einzelnen Faktoren zeigt mir persönlich verschiedene Möglichkeiten auf. So lassen sich zum Beispiel frühzeitig, an Hand von errechneten Prognosen, Maßnahmen einleiten, um Lebensmittelknappheit in einem Land mit hoher Bevölkerungsrate zu verhindern, da sie früh genug errechnet werden können. Oder, das auch in einem Land mit steigenden Rentnerzahlen, das Kinderkriegen wieder attraktiver für junge Erwachsene gestalten wird. Es können jedoch nur Prognosen aufgestellt werden und nicht immer die Realität widergespiegelt werden. Ich persönlich glaube, nach meinen Erkenntnissen über das logistische Wachstum, das all diese Formeln und Berechnungen zwar äußerst wichtig für die Erstellung von Prognosen in vielen Bereichen unseres alltäglichen Lebens sind, aber wie schon oben erklärt, eben nur Prognosen sein können und nicht immer die Realität widerspiegeln bzw. nicht zu hundert Prozent verwendbar sind. 15

16 5.0 Quellenanhang Logistisches Wachstum am Beispiel einer Hefekultur departments/biology/rirwin/441_442/441loggrowth.htm logwachs/k93_logwachs.html Abbildungsverzeichnis Abbildung 1: Abbildung 2, 3 und 4: =2&tbm=isch&tbnid=HSpldmHKDKwUOM:&imgrefurl=http://www.rwjaeger.de/dyna sys/&docid=vs63v9nizcs99m&imgurl=http://www.rwjaeger.de/dynasys/37a1graf.gif &w=267&h=229&ei=nkwit_ntbcn5sgad_s3rbw&zoom=1&iact=rc&dur=78&sig= &page=1&tbnh=144&tbnw=168&start=0&ndsp=10&ved=1t: 429,r:6,s:0,i:119&tx=66&ty=83 Abbildung 5: Vorgegebenes Arbeitsblatt Abbildung 6: Ausgleichsgerade zur Tabelle 1 Abbildung 7: Graph zur berechneten Funktion 16

Nach der Theorie der Partialbruchzerlegung kann der Bruch auf der linken Seite in Teilbrüche zerlegt werden: = + =

Nach der Theorie der Partialbruchzerlegung kann der Bruch auf der linken Seite in Teilbrüche zerlegt werden: = + = ist ( 6.4 Logistisches Wachstum Ein Nachteil des Modells vom beschränkten Wachstum besteht darin, dass für kleine t die Funktion ungefähr linear statt exponentiell wächst. Diese chwäche wird durch das

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