1. ZIELE 2. ZUR VORBEREITUNG. D03 Beugung D03

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1 Beugung 1. ZIELE Licht breitet sich gradlinig aus, meistens. Es geht aber auch um die Ecke. Lässt man z. B. ein Lichtbündel durch eine kleine Blende fallen, so beobachtet man auf dem Schirm abwechselnd helle und dunkle Kreisringe (Abb.1): Licht wird gebeugt. iese Beugungsringe sind bei normaler Beleuchtung zu schwach, als dass man sie sehen könnte. Aber bei allen optischen Instrumenten bestimmen gerade sie das Auflösungsvermögen: Wie eng dürfen zwei Punkte P 1, P 2 zusammenliegen, damit man sie auf dem Schirm noch getrennt wahrnehmen kann? ie Beugung des Lichts tritt tatsächlich nicht nur bei kleinen Blenden auf, sondern stets, wenn man Lichtbündel begrenzt. Um einige Beispiele zu nennen: Pupille im Auge, Objektiv im Mikroskop, Blende im Fotoapparat, Rand eines Spiegelteleskops. Abb. 1 An einer kleinen Lochblende werden die Lichtstrahlen gebeugt. 2. ZUR VORBEREITUNG Um diese Beugungserscheinungen zu verstehen, lesen Sie am besten zunächst alles über Huygens Elementarwellen in einem Schul- oder Physikbuch nach. 1. Eine ebene Wasserwelle trifft auf eine Barriere mit einer Öffnung, die klein gegen die Wellenlänge λ ist. Hinter der Öffnung bilden sich Kreiswellen aus. Jeder Punkt einer Wellenfront ist Ausgangspunkt ie Barriere habe zwei solcher kleinen Löcher. ie Elementarwellen überlagern sich hinter der Barriere, in bestimmten Bereichen löschen sie sich gegenseitig aus und in anderen verstärken sie sich. Wie kann man das verstehen? Betrachten Sie einen Punkt P in diesem Feld. ie Welle von S 2 hat einen längeren Weg als die von S 1 zurückgelegt. Wenn die Wegdifferenz ( = Gangunterschied Δs) Abb. 2 In P treffen hier Wellenberg und Wellental zusammen, der Gangunterschied beträgt Δs = λ/2. Δs = 0, λ, 2λ beträgt, fällt Wellenberg auf... und man beobachtet..., Δs = λ/2, 3λ/2 beträgt, fällt Wellenberg auf... und man beobachtet Physikalisches Anfängerpraktikum Universität Hannover

2 1. Eine ebene Wasserwelle trifft auf eine Barriere mit einer Öffnung, die groß gegen die Wellenlänge ist. Was ändert sich? Was bewirken die Elementarwellen an den Rändern der Öffnung? Abb. 3 Elementarwellen hinter einem breiten Spalt. 2. Für Lichtwellen ist selbst ein kleiner mm-spalt noch groß gegenüber der Wellenlänge. In dem Spalt entsteht daher nicht nur eine einzige Elementarwelle. Es bilden sich sehr viele, beliebig viele, die sich alle hinter dem Spalt überlagern. Auf dem Beobachtungsschirm in größerer Entfernung sieht man ähnlich wie in Abb. 3 abwechselnd helle und dunkle Steifen. 3. In der Spaltebene (Abb. 4A) schwingen alle Erreger mit gleicher Phase. ie Elementarwellen, die sich nach rechts ausbreiten, schwingen in der Spaltebene daher auch alle phasengleich. Stellt man eine Linse in den Strahlengang, so werden alle Wellenzüge mit der gleichen Richtung α in einem Punkt P auf der Brennebene überlagert. Genau in diese Ebene stellt man im Experiment den Beobachtungsschirm; die Bestimmung der Interferenzstruktur wird damit wesentlich einfacher. 4. In der Richtung α = 0 (Abb. 4B) weisen die Wellenzüge keinen Gangunterschied auf, im Punkt P (Brennpunkt), überlagern sich alle Wellenzüge konstruktiv: Hauptmaximum 5. Was beobachtet man in der Richtung α, in der die beiden Randstrahlen einen Gangunterschied Δs = λ besitzen (Abb. 4C)? enken Sie sich dazu das ganze Strahlenbündel (willkürlich z.b. 120 Erreger) in zwei gleich breite Teilbündel zerlegt: Teilbündel I: Erreger 1 60, Teilbündel II: Erreger Wellenzug 1 und 61 haben dann einen Gangunterschied Δs = λ/2 und löschen sich in P gegenseitig aus, Wellenzug 2 und 62 haben..., Wellenzug 3 und 63 haben..., usw. Alle Wellen löschen sich in P gegenseitig aus, man beobachtet auf dem Schirm dort das erste Minimum. Abb. 4 Hinter einem Spalt entstehen Maxima und Minima. In Abb. B, C, ist die Linse zur Vereinfachung nicht eingezeichnet. 6. Argumentieren Sie analog für die Richtung α, in der die beiden Randstrahlen einen Gangunterschied Δs = 3λ/2 besitzen (Abb. 4). Was beobachtet man diesmal in P? 2

3 3. BEOBACHTUNG VON BEUGUNG 3.1. Versuchsanordnung Abb. 5 er Laserstrahl wird mit zwei Linsen aufgeweitet und mit einem Spiegel auf den Schirm umgelenkt. Achtung: Nie in den direkten Laserstrahl sehen! Er verbrennt Ihre Netzhaut. er Verlust der Sehzellen ist irreparabel und endgültig. ie Beugungseffekte lassen sich am besten beobachten, wenn das gesamte Objekt von der gleichen Wellenfront angestrahlt wird. Alle Punkte in der Objektebene schwingen dann mit der gleichen Phase wie bei den Wasserwellen. ie Versuche werden hier deshalb mit einem He-Ne-Laser durchgeführt, bei ihm formen sich stets solche fast ebenen Wellenfronten Physiker sagen: Laserlicht ist kohärent Versuch - nichts messen ie folgenden Objekte werden einfach in den aufgeweiteten Strahl gestellt und die Beugungseffekte auf dem Schirm beobachtet. 1. Rasierklinge (Kante), Kamm, Schraube, Strumpf, Schieblehre, Veränderlicher Spalt Halten Sie als Ergebnis fest: Bei einem breiten Spalt beobachtet man... Je enger der Spalt, desto... Bei einem schmalen Spalt beobachtet man Veränderlichen Kreisblende Halten Sie als Ergebnis fest: Bei einem großen urchmesser beobachtet man... Je kleiner der urchmesser, desto... Bei einem 4. Vergleichen Sie ihre Beobachtung für rähte mit verschiedenen urchmessern: 1 mm 2 mm 3 mm 5. Vergleichen Sie ihre Beobachtung für Spalt (0,5 mm) raht (0,5 mm) 3

4 4. WELCHE WELLENLÄNGE HAT AS LICHT? ies ist ein Klassiker unter den Physikexperimenten. Bereits 1802 hat Thomas Young mit einem oppelspaltversuch die Wellenlänge des Lichts bestimmt, damals natürlich noch ohne Laser. Um das Experiment auswerten zu können, müssen wir wissen, in welcher Richtung Maxima und Minima x beim oppelspalt liegen. Aus Abb. 6 entnimmt man tanα =, und in dem rechtwinkligen reieck S 1 S 2 A f Δs Δs x gilt sinα =. Für kleine Winkel, wie hier, ist sin α tan α, so dass näherungsweise gilt. g g f Abb. 6 er Mittelpunktsstrahl in Richtung α trifft den Schirm in P. Abb. 7 Mit einer Fotodiode wird die Intensitätsverteilung gemessen. Man beobachtet auf dem Schirm in P Maxima, wenn der Gangunterschied Δs = n λ mit n = 0, 1, 2,... beträgt. Für den Abstand x n des n-ten Maximums von der optischen Achse ergibt sich damit x = n und für den Abstand zweier benachbarter Maxima stets Δ x =. n g g Minima, wenn der Gangunterschied Δs = 4.1. Versuch Auf dem Schlitten eines X-Y Schreibers (Abb. 7) ist eine Fotodiode montiert. er Fotostrom ist proportional zur Beleuchtungsstärke und wird mit dem Y-Eingang aufgezeichnet. Stellen Sie bitte den oppelspalt (mit g am Arbeitsplatz) und die Linse f = 5 m in den Strahlengang und schieben Sie langsam den Schlitten durch die Beugungsstruktur Auswertung Bestimmen Sie den Abstand Δx von sechs Minima aus Ihrer gemessenen Intensitätsverteilung. Wie groß ist danach die Wellenlänge λ des Laserlichts? 4

5 5. BEUGUNG AN EINEM SPALT Nicht nur beim oppelspalt entstehen Beugungsstrukturen, auch bei einem einzelnen Spalt haben Sie schon in Versuch 3.2 den Beugungseffekt beobachtet. Er soll jetzt genauer untersucht werden. Seine Intensitätsverteilung ähnelt der des oppelspalts, doch gibt es auch gravierende Unterschiede: 1. iesmal beobachtet man auf dem Schirm in P (s. Abb. 4 und 6) Minima, wenn der Gangunterschied Δs = n λ mit n = 1, 2,... beträgt. Für den Abstand x n des n-ten Minimums von der optischen Achse ergibt sich damit x = n, Spaltbreite b. n,min b Maxima, wenn der Gangunterschied Δs =... Abb. 8 Intensitätsverteilung eines oppelspalts Abb. 9 Intensitätsverteilung eines einzelnen Spalts 2. as Hauptmaximum ist beim Einzelspalt doppelt so breit wie die Nebenmaxima; beim oppelspalt sind alle Maxima gleich breit. 3. ie Nebenmaxima werden nach außen hin schnell schwächer. Beim oppelspalt sind die ersten Maxima fast gleich hell aber auch nur dann, wenn sein Spaltabstand groß gegen die Spaltbreite ist. Im oppelspaltversuch 4 haben wir nur zwei Elementarwellen überlagert. as ist nur näherungsweise richtig, denn auch beim oppelspalt besitzt ja jeder der einzelnen Spalte für sich schon eine endliche Breite Versuch: Messung der Intensitätsverteilung Versuchsdurchführung wie in 4.1 mit Spalt am Arbeitsplatz Auswertung 1. Wie breit ist das Hauptmaximum (= 2 x 1,min )? Wie breit ist danach der Spalt in Ihrer Messung? 2. Welches Verhältnis erhalten Sie aus Ihrer Aufzeichnung für die Intensitäten des ersten Nebenmaximums relativ zum Hauptmaximum? 5

6 6. BEUGUNG AN EINEM LOCH Abb. 10 In welchem Winkel liegt der erste dunkle Ring bei einer Lochblende?. Mit den gleichen Argumenten wie für einen Spalt entsteht bei Lochblenden mit dem urchmesser Δs der erste dunkle Ring in dem Winkel sinα für Δs = λ. Beobachtet man die Beugungsstruktur in der Brennebene f einer Linse, so beträgt sein Radius (Abb. 11, R min = f tan α) mit der Näherung sin α tan α α : R Erster dunkle Ring. min 6.1. Versuch Messen Sie den urchmesser 2 R min des erster dunklen Ringes einer Lochblende mit einer Schieblehre; mit der Fotodiode gelingt diese Messung leider nicht so leicht Auswertung Welchen urchmesser hat die Lochblende nach ihrer Messung? 7. AUFLÖSUNGSVERMÖGEN In optischen Instrumenten sind allen Linsenfassungen zugleich auch Kreisblenden für das einfallende Licht. Von jedem Punkt eines Objekts entsteht daher bei einer Abbildung ein Beugungsscheibchen. Zwei solche Beugungsscheibchen lassen sich nur dann unterscheiden, wenn ihre Maxima mindestens um R min (s. oben) auseinanderliegen. as Maximum des zweiten Objekts fällt dann gerade auf das Minimum des ersten Objekts und der Winkel ε (Abb. 1) zwischen zwei unterscheidbaren Objekten muss daher mindestens λ ε α min betragen. as ist der Grund, weshalb man Teleskope mit großen Spiegeln oder Linsen baut: Mit einem großen urchmesser erhält man ein besseres Auflösungsvermögen. Warum macht man das nicht auch bei Mikroskopen so? Abb. 11 er Abstand Δx der beiden Hauptmaxima muss größer sein als der Radius R min des ersten dunklen Ringes. 6

7 7.1. Versuch: Messung des auflösbaren Winkels Zwei dicht nebeneinander liegende Leuchtdioden werden aus etwa 2 m Entfernung durch eine Lochblende betrachtet. Stellen Sie dazu die beiden Leuchtdioden an das Ende des Gangs im Praktikum auf. Entfernen Sie sich - mit der Lochblende vor ihrem Auge - weiter von den beiden Leuchtdioden: In welcher Entfernung L fließen die beiden Beugungsscheibchen ineinander und können nicht mehr unterschieden werden? Messen Sie die Abstände l mit der Schieblehre und L mit Meterschritten. Abb. 12 Wie groß ist der Winkel ε, in dem Sie beide Leuchtdioden gerade noch getrennt beobachten können? 7.2. Auswertung Bestätigen Ihre Messungen des Winkels ε und des urchmessers die Beziehung ε λ? 7.3. Versuch: Wie groß ist Ihr Auflösungsvermögen? Wiederholen Sie bitte den Versuch mit den beiden Leuchtdioden, diesmal jedoch ohne Lochblende. In welcher Entfernung können sie beide nicht mehr unterscheiden? Wie groß ist Ihr auflösbarer Sehwinkel? 7.4. Auge Unser Auge kann mit etwa 130 Millionen Stäbchen in der ämmerung hell - dunkel unterscheiden und mit etwa 7 Millionen Zäpfchen im Hellen Farben erkennen. Wir fixieren einen Gegenstand durch Bewegung des Auges bis sein Bild auf den gelben Fleck fällt. Im Zentrum des gelben Flecks (2 mm Ø) liegt die Fovea (0,3 mm Ø), in der nur Zäpfchen mit einem Abstand von 5 μm vorhanden sind. Von den Zäpfchen hat jedes seine eigene Nervenleitung, während außerhalb des gelben Flecks, wo im Wesentlichen nur Stäbchen vorhanden sind, rund 100 Stäbchen eine gemeinsame Nervenleitung besitzen. Zwei helle Punkte kann man nur dann getrennt wahrnehmen, wenn sie auf zwei verschiedene Sehzellen abgebildet werden. In der Fovea beträgt deren Abstand 5 μm. Mit einer Augapfelweite von ca. 17 mm ergibt sich damit ein auflösbarer Sehwinkel ε mm / 17 mm = 2, rad 1 (Minute) as einfallende Licht wird durch die Pupille begrenzt. Es entstehen Beugungsscheibchen. Wie groß muss der Winkel α mindestens sein, damit wir zwei Punkte unterscheiden können? Bei Tageslicht hat unsere Pupille etwa 2 mm urchmesser. Mit einer Lichtwellenlänge von 600 nm ergibt sich λ m α = rad 1 (Minute) m Unsere Netzhaut ist demnach gerade so fein gerastert, dass es die von der Beugung des Lichts gesetzten Grenzen voll ausnutzt. Eine feinere Struktur unserer Netzhaut wäre ein völlig unnötiger Aufwand, wir könnten trotzdem nicht schärfer sehen. Sie lesen eine Zeitung. Welchen Abstand müssen zwei Punkte in der deutlichen Sehweite 25 cm haben, damit man sie unterscheiden kann? (0,07 mm) Welchen in 100 m? Tintenstrahldrucker arbeiten mit 300 dpi (dots per inch ; 1 inch = 2,54 cm). Kann man die Punkte auflösen? 7

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