1 Vorschule MATHE FÜR JUNG UND ALT - SERIE97 - NOV/DEZ Aufgabe 97-11

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1 MATHE FÜR JUNG UND ALT - SERIE97 - NOV/DEZ Vorschule Aufgabe Verteile die numerierten Kreise mit den Gleiskreuzungen so, dass der Zug ohne Behinderung fahren kann! Aufgabe Die Bremer Stadtmusikanten laufen einen schmalen Pfad entlang. Vorn läuft der Hund, dann folgt der Esel, dann die Katze, dann der Hahn. Nun fliegt der Hahn direkt vor den Esel. Die Katze findet eine Maus und lässt alle anderen vorbei, bevor sie ihnen hinterher läuft. In welcher Reihenfolge laufen sie jetzt? Aufgabe Ein Eichhörnchen hat 2 Kinder. Jedes der Kinder des Eichhörnchens hat 3 Kinder. Jedes Eichhörnchen legt für den Winter 2 Verstecke mit Nüssen an. Wie viele Verstecke sind das insgesamt?

2 2 Heike Winkelvoß, Aufgabe Zeichne rechts das Spiegelbild der Figur links: 2 Klassen 1 und 2 Aufgabe Von den 16 Quadraten haben genau 2 das gleiche Muster. Welche sind es? Es gibt weitere Paare mit dem gleichen Muster, wenn eins der Teile gedreht wird. Wie viele davon findest du? Schreibe auf, in welcher Spalte (Buchstabe) und welcher Zeile (Zahl) die Teile stehen.

3 MATHE FÜR JUNG UND ALT - SERIE97 - NOV/DEZ Aufgabe Finde alle Dreiecke in der Figur und schreibe sie auf, indem du die Eckpunkte nennst. Beispiel: ABF. 2. Finde alle Vierecke in der Figur und schreibe sie auf, indem du die Eckpunkte nennst. Beispiel: ABDF. 3. Wenn du es schaffst, die Figur zu zeichnen, ohne den Stift abzusetzen oder eine Linie doppelt zu malen, schreibe den Weg auf, indem du die Punkte nennst, die dein Stift nacheinander besucht. E F D A B C Aufgabe Maria und Berenike, 10 Jahre, Klasse 5 Sonja hat sechs Brieffreundinnen: Klara, Maria, Susi, Laura, Sabine und Petra. Sie alle haben Sonja geschrieben. In welcher Reihenfolge haben die Mädchen Sonja geschrieben? Klara schrieb vor Susi aber nicht als erstes. Petra schrieb nach Sabine. Sabine schrieb als fünfte. Laura schrieb nach Klara und nach ihr schrieben mehr Kinder als vor ihr. Aufgabe Chrara Franz: Luisa würfelt mit fünf Würfeln einen Viererpasch, d.h. vier Würfel zeigen dieselbe Augenzahl, der fünfte Würfel kann eine andere Augenzahl zeigen. Die Gesamtaugenzahl beträgt 23. Welche Augenzahl zeigen die einzelnen Würfel?

4 4 Heike Winkelvoß, Aufgabe Marie hat auf dem Weg ein Muster aufgemalt: Sie hüpft immer von der 1 bis zur 7. Dabei lässt sie kein Feld aus und hüpft immer vorwärts. Sie springt zum Beispiel so: Nun addiert sie alle Zahlen: = 24 a) Welches ist das kleinste Ergebnis, das sie erhalten kann? b) Welches ist das größte Ergebnis, das sie erhalten kann? c) Wie muss sie hüpfen, um 19 als Ergebnis zu erhalten? Aufgabe Die Kinder der Klasse 1b basteln Sterne für ihren Weihnachtsbaum. Jedes Kind schafft 2 Sterne. Die Lehrerin schafft 4 Sterne. Sie können insgesamt 46 Sterne an den Baum hängen. Wie viele Kinder sind in der Klasse 1b? Aufgabe Wenn der Monat Dezember 5 Freitage, 5 Samstage und 5 Sonntage hat, an welchem Wochentag öffnest du dann das erste Türchen deines Adventskalenders?

5 MATHE FÜR JUNG UND ALT - SERIE97 - NOV/DEZ Aufgabe Ninas Adventkalender besteht aus 24 Stoffbeutelchen mit den Nummern 1 bis 24, die entweder rot oder grün oder blau sind. Alle Beutelchen, deren Nummern die Ziffern 0 oder 4 oder 6 enthalten, sind blau. Von den restlichen ist immer abwechselnd einer grün, der nächste rot. Das Beutelchen mit der Nummer 1 ist grün. Wie viele Stoffbeutelchen mit ungerader Nummer sind rot? 3 Klassen 3 und 4 Aufgabe Ordne die folgenden Entfernungen. Beginne mit der kürzesten: 1700 cm 4 km 165 dm 9070 m Aufgabe Aufgabe von Thorsten Bülo, 9 Jahre, Klasse 4: Das Bild zeigt das Spiel Vier in einer Reihe - dreidimensional. Es wird zu zweit mit schwarzen und weißen Steinen gespielt, die abwechselnd auf die Stäbe gesteckt werden. Auf jeden Stab passen genau 4 Steine. Gewonnen hat, wer als Erster 4 Steine seiner Farbe in eine Reihe stecken konnte. Die Reihe kann dabei sowohl waagerecht, als auch senkrecht als auch diagonal (schräg) sein. Wie viele Gewinnstellungen gibt es?

6 6 Heike Winkelvoß, Aufgabe Drei Brüder wollten sich voneinander trennen und ihren Besitz an Ziegen und Zicklein untereinander aufteilen. Sie sagten: Zehn Ziegen haben je ein Zicklein, zehn Ziegen haben je zwei Zicklein und zehn Ziegen haben je drei Zicklein. Wir wollen sie so unter uns aufteilen, dass kein Bruder mehr erhält als der andere und kein Zicklein von seiner Mutter getrennt wird. Wie konnten die Brüder ihren Besitz aus Ziegen und Zicklein aufteilen? Aufgabe Anna wiegt 21 kg. Wenn sie sich mit ihrem Kater Jingo zusammen wiegt, zeigt die Waage 29 kg 500 g. Wiegt sie sich zusammen mit ihrer Katze Bibbi, so zeigt die Waage 24 kg 600 g. Was zeigt die Waage an, wenn Anna sich mit Jingo und Bibbi gleichzeitig wiegt? Aufgabe Wenn man eine Zahl zuerst mit 5 multipliziert und zum Produkt 6 addiert, so erhält man das gleiche Ergebnis, wie wenn man die Zahl zuerst mit 6 multipliziert und zum Produkt 5 addiert. Um welche Zahl handelt es sich? Bemerkung: Das Produt ist das Ergebnis der Multiplikation.

7 MATHE FÜR JUNG UND ALT - SERIE97 - NOV/DEZ Aufgabe Alle Würfel sind gelich schwer, ebenso alle Quader, alle Zylinder und alle Kugeln. Die Waagen 1, 2 und 3 sind im Gleichgewicht. a) Wie viele Kugeln b) Wie viele Würfel müssen auf Waage 4 anstelle des Fragezeichens liegen, damit auch Waage 4 im Gleichgewicht ist? Aufgabe Setze die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 in die leeren Kreise ein, so dass sich auf allen Strecken mit vier Kreisen die gleiche Summe ergibt.

8 8 Heike Winkelvoß, Aufgabe Kannst du aus dem Zahlengitter 5 Zahlen so auswählen, dass ihre Summe gleich 42 ist? Wenn ja, gib eine Möglichkeit an, wenn nicht, begründe Klassen 5 und 6 Aufgabe Die Zahl a ist größer als 0, die Zahl b ist kleiner als 0, die Zahl c ist gleich null. Entscheide, ob unter diesen Bedingungen folgende Zahl größer, gleich oder kleiner als 0 ist. a b + a c + b c Aufgabe Wie lautet die kleinste, wie die größte dreistellige Zahl mit der Quersumme 13? Aufgabe Welches a) der Quadrate b) der Rechtecke passt nicht zu den anderen und warum?

9 MATHE FÜR JUNG UND ALT - SERIE97 - NOV/DEZ Aufgabe Auf einem Blatt Papier stehen 333 Mal die Ziffer 3 und 555 Mal die Ziffer 5. Wenn du in beliebiger Reihenfolge (1) je zwei Ziffern 3 durch eine Ziffer 3 oder (2) je zwei Ziffern 5 durch eine Ziffer 3 oder (3) je eine 3 und eine 5 durch eine Ziffer 5 so lange ersetzt, bis nur noch eine einzige Ziffer übrig bleibt, kannst du es schaffen, dass dies eine 3 ist? Begründe deine Antwort. Aufgabe Zerschneide die gegebene Figur so in 5 Teile gleicher Form und Größe, dass jedes Teil genau ein graues Quadrat enthält. Aufgabe In einem Klassenraum war die Zahl der fehlenden Schüler gleich 1 der Zahl der anwesenden 5 Schüler. Nachdem ein weiterer Schüler die Klasse verlassen hatte, war die Zahl der nun fehlenden Schüler gleich 1 der Zahl der anwesenden Schüler. 4 Wie viele Schüler hat die Klasse?

10 10 Heike Winkelvoß, Aufgabe Chiara Franz, Klasse 3: Wie ist die Zahlenfolge 5, 11, 10, 16, 25, 15, 50, 20, 85, 19,... gebildet? Gib wenigstens 4 weitere Folgenglieder an. Aufgabe Schreibt man das Datum des letzten Tages des Jahres 2014 als , so stellt sich heraus, dass diese Zahl durch 11 teilbar ist. In wie vielen Jahren dieses Jahrtausends (also 2001 bis 3000) ist die Zahl 1231 ebenfalls durch 11 teilbar? Die Punkte stehen dabei für die Jahreszahl. 5 Klassen 7 und 8 Aufgabe Aus quadratischem Papier wollen Juliane und Christin in diesem Jahr Weihnachtssterne mit dieser Form ausschneiden. Wieviel Prozent Papier bleibt pro Stern übrig? (Was wie ein Kreisbogen aussieht, ist auch einer. Die Geradenstücken sind Teile der Diagonalen.) Aufgabe Die erste Figur ist eine Strecke der Länge 1. In nächsten Schritt wird das mittlere Drittel der Strecke verdoppelt und zu einer Spitze geformt (jeder Teil hat die Länge 1/3). Dies wird nun in jedem weiteren Schritt auf alle Strecken angewendet, aus denen Figur 2 besteht usw. a) Aus wieviel Strecken wird die vierte Figur bestehen. Welche Gesamtlänge hat sie? b) Versuche, eine Gesetzmäßigkeit zu finden, mit der du die Gesamtlänge der Figur in jedem beliebigen Schritt ausrechnen kannst.

11 MATHE FÜR JUNG UND ALT - SERIE97 - NOV/DEZ c) Kann ich, wenn ich mit einem 1 m langen Stück beginne, nach diesem Muster eine Weihnachtsgirlande zeichnen, deren Gesamtlänge mindestens 1 km beträgt? Falls ja, wie viele Schritte sind dazu nötig? Wenn nicht, wie groß ist dann die maximale Gesamtlänge? (Taschenrechner ist erlaubt) Aufgabe Bildet man die Summe von irgendwelchen fünf aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen, verdoppelt man dann diese Summe und streicht schließlich die letzte Ziffer weg, so erhält man stets den mittleren Summanden. Beweise diese Behauptung und gib zuvor ein Beispiel an! Aufgabe Zeichne ein Quadrat ABCD mit einer Seitenlänge von a = 3 cm!. Verlängere alle Quadratseiten um 2cm, und zwar AB über B hinaus bis E, BC über C hinaus bis F, CD über D hinaus bis G und DA über A hinaus bis H! Verbinde die Punkte E, F, G und H zu einem konvexen Viereck EF GH! a) Wie groß ist der Flächeninhalt des Vierecks EF GH? b) Weise nach, dass dieses Viereck ebenfalls ein Quadrat ist! Aufgabe Zeichne ein Dreieck ABC mit den Seitenlängen a = 5 cm, b = 6 cm und c = 7 cm! Konstruiere nur mit Zirkel und Lineal ein Quadrat, das flächengleich dem Dreieck ABC ist! Die Konstruktion ist zu begründen. Aufgabe Als Frau Müller nach dem Alter ihrer Söhne gefragt wird, antwortet sie: Anton ist 36. Er ist dreimal so alt wie Benni war, als Anton so alt war, wie Benni jetzt ist. Wie alt ist Benni jetzt?

12 12 Heike Winkelvoß, Aufgabe Zwei Nachbarn wollen ein bisher gemeinsam genutztes Grundstück halbieren. Das Grundstück besitz die Form eines rechtwinkligen Trapezes mit den Längen der parallelen Seiten a = 150m und c = 120m. Die Länge der anderen, dem rechten Winkel anliegenden Seite beträgt d = 40m. Der Zaum soll parallel zu den zwei parallelen Seiten verlaufen. a) Wie lang ist der Zaun? b) Wie groß ist der Abstand des Zaunes von der Seite AB (der Länge a)? Aufgabe Beweise, dass n 2 + n + 1 für unendlich viele natürliche Zahlen n durch 7 teilbar ist. 6 Klassen 9 bis 13 Aufgabe Die Gleichung x 3 + x 2 + ax + b = 0, wobei a und b reelle Zahlen sind, habe drei (nicht notwendig voneinander verschiedene) reelle Wurzeln. Man beweise, dass dann stets a 1 2 gilt. Aufgabe Eine Kommission besteht aus 11 Mitgliedern. Die Unterlagen, die die Kommission bearbeitet, werden in einem Safe aufbewahrt. Wie viele Schlösser muss der Safe haben und wie viele Schlüssel muss ein Kommissionsmitglied haben, so dass die Kommission den Safe öffnen kann, wenn mehr als die Hälfte der Mitglieder anwesend ist, nicht aber, wenn weniger als die Hälfte der Mitglieder anwesend ist?

13 MATHE FÜR JUNG UND ALT - SERIE97 - NOV/DEZ Aufgabe In eine Tabelle aus m Zeilen und n Spalten seien m n positive natürliche Zahlen geschrieben. Es sei S die Summe der n Spaltenprodukte. Nun sortieren wir die Zahlen in jeder Zeile der Größe nach aufsteigend von links nach rechts. Es sei S wiederum die Summe der n Spaltenprodukte nach dem Sortieren. Beispiel(m = 3, n = 4): sortiert: Links steht die ursprüngliche Tabelle mit S = = 84. Rechts steht die sortierte Tabelle mit S = = 132. Es gilt S > S. Man zeige für beliebige m, n N, dass stets S S gilt. Aufgabe Einem gleichseitigen Dreieck mit Kantenlänge s sei ein Quadrat mit Kantenlänge a umschrieben. (Skizze nicht notwendig maßstabsgetreu): s a Wieviel Prozent des Flächeninhalts des Quadrats nimmt die Fläche des gleichseitigen Dreiecks ein? Aufgabe Dietmar und Jörg sehen bei einem Spaziergang ein Auto, bei dem im Kennzeichen die Zahl 4949 steht. Die Tatsache, daß 49 eine Quadratzahl ist, führt sie auf die Frage, ob auch die Zahl 4949 eine Quadratzahl ist. Nach kurzer Überlegung sagt Dietmar: Ich kann sogar beweisen, daß keine vierstellige Zahl, deren erste gleich ihrer dritten und deren zweite gleich ihrer vierten Ziffer ist, eine Quadratzahl sein kann. Übrigens lässt sich auch beweisen, daß unter diesen Zahlen genau eine Primzahl ist. Führen Sie diese Beweise durch! (Dietmar faßt dabei alle Kennzeichen von 0001 bis 9999 als vierstellige Zahlen auf).

14 14 Heike Winkelvoß, Aufgabe Bestimme alle geordneten Paare (m, n) ganzer Zahlen die die 4 Ungleichungen m + n < 2 (1) m + n > 0 (2) m < 1 (3) 2m n < 4 (4) erfüllen a) grafisch b) durch äquivalente Umformungen. Quellennachweis: Aufgabe 97-11: Leipziger Volkszeitung(1)1983 Aufgabe 97-21: LVZ Logelei, S.34 Aufgabe 97-23: Berenike Buervenich, 9 Jahre, Klasse 5 Aufgabe 97-24: Chiara Franz, 8 Jahre, Klasse 3 Aufgabe 97-32: Thorsten Buelo, 9 Jahre, Klasse 4 Aufgabe 97-33: alpha(4)1977 Aufgabe 97-37: alpha(3)1989 Aufgabe 97-42: alpha(6)1989 Aufgabe 97-43: alpha(6)1986 Aufgabe 97-45: Moskauer Mathematikolympiade(2053)2001 Aufgabe 97-47: Chiara Franz, 8 Jahre, Klasse 3 Aufgabe 97-53: alpha(6)1989 Aufgabe 97-54: alpha(2)1984 Aufgabe 97-55: alpha(2)1984 Aufgabe 97-57: alpha(5)1978 Aufgabe 97-61: alpha(5)1972 Aufgabe 97-62: A.M.Jaglom, I.M.Jaglom: Nichtelementare Aufgaben in elementarer Form, S.13 Aufgabe 97-63: kvant(12)1973 Aufgabe 97-65: alpha(5)1987 Rest: Heike Winkelvoß

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