Kreissektoren und Bogenmaß

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Kreissektoren und Bogenmaß"

Transkript

1 M 10.1 Kreissektoren und Bogenmaß In einem Kreis mit Radius Mittelpunktswinkel : Länge des Kreisbogens gilt für einen Kreissektor mit Fläche des Kreissektors Das Bogenmaß eines Winkels ist die Länge des zugehörigen Kreisbogens im Einheitskreis ( ): Umrechnungsformeln: Besondere Werte: Gradmaß Bogenmaß

2 M 10.2 Kugel Ist der Radius einer Kugel, so gilt: Volumen: Oberfläche:

3 M 10.3 Sinus und Kosinus für beliebige Winkel Für beliebige Winkel gibt der Sinus die -Koordinate: der Kosinus die -Koordinate: eines Punktes an, der unter auf dem Einheitskreis liegt. Die Sinuswerte (bzw. Kosinuswerte ) haben für den spitzen Winkel sowie für die Winkel und denselben Betrag. Die Vorzeichen liefern die Quadranten: Alle anderen Winkel lassen sich durch Addition und Subtraktion von Vielfachen von auf einen Winkel zwischen und zurückführen. am Einheitskreis am Einheitskreis

4 M 10.4 Sinus- & Kosinusfunktion im Gradmaß im Bogenmaß Eigenschaften: Sinusfunktion periodisch mit der Periode Kosinusfunktion periodisch mit der Periode Definitionsmenge Wertemenge punktsymmetrisch zum Ursprung achsensymmetrisch zur -Achse

5 M 10.5 Die allgemeine Sinusfunktion Durch die allgemeine Sinusfunktion beliebige sinusförmige Graphen beschreiben: lassen sich : Streckung/Stauchung in -Richtung (Amplitude) b: Streckung/Stauchung in -Richtung c: Verschiebung in -Richtung d: Verschiebung in -Richtung : Doppelter Ausschlag nach oben ( ) : Doppelte Periode ( ) : Verschiebung um nach links : Verschiebung um nach unten

6 M 10.6 Lineares und exponentielles Wachstum Lineares Wachstum Konstanter Zuwachs pro Zeiteinheit Exponentielles Wachstum Konstanter Wachstumsfaktor in gleichen (Zeit-) Schritten Nimmt die Größe um zu, so wächst die Größe stets um einen festen Summanden. Nimmt die Größe um zu, so wächst die Größe stets um einen festen Faktor.

7 M 10.7 Exponentialfunktion Funktionen der Form (,,, ) heißen Exponentialfunktionen. Die Konstante gibt den Wachstumsfaktor an. Die Konstante gibt den Anfangswert der Funktion für an, also ist. Für steigt der Graph Wachstum Für fällt der Graph negatives Wachstum Der Graph verläuft durch den Punkt. Die -Achse ist Asymptote. Spiegelt man den Graphen von so erhält man den Graphen von Ist, so wird der Graph in -Richtung mit dem Faktor gestreckt ) bzw. gestaucht ( b ). Ist, so wird der gestreckte/gestauchte Graph zusätzlich an der -Achse gespiegelt. an der -Achse, und umgekehrt.

8 M 10.8 Logarithmus Die eindeutige Lösung der (Exponential-)Gleichung (für,, ) bezeichnet man als Logarithmus von zur Basis und schreibt : Logarithmus ist ein Name für Exponent zu einer bestimmten Basis : Rechenregeln: (Produktregel) (Quotientenregel) (Potenzregel) (Wechsel der Basis)

9 M 10.9 Exponentialgleichungen Bei einer Exponentialgleichung tritt die Unbekannte im Exponenten auf. Es gibt verschiedene Arten von Exponentialgleichungen, für die es unterschiedliche Lösungsstrategien gibt: Logarithmieren Substitution Grafisch Exponentialgleichungen, die in die Form gebracht werden können, löst man durch Logarithmieren: Substitution: ( Lösung der quadratischen Gleichung und Resubstitution liefert das Ergebnis: Exponentialgleichungen in denen die Unbekannte im Exponenten und in der Basis auftreten sind rechnerisch unlösbar. Eine näherungsweise Lösung bietet das Zeichnen in einem Koordinatensystem:

10 M Vierfeldertafel Statistische Angaben über zwei Merkmale mit jeweils zwei Merkmalsausprägungen stellt man üblicherweise in einer sog. Vierfeldertafel dar. Diese kann Anzahlen oder auch Wahrscheinlichkeiten enthalten. Die Wahrscheinlichkeiten findet man auch im zugehörigen Baumdiagramm. 1. Merkmal ( ) 2. Merkmal ( )

11 M Bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit von unter der Bedingung, dass eingetreten ist. Die möglichen Ergebnisse sind nur noch die Ergebnisse von. Die günstigen Ergebnisse sind die Ergebnisse von, bei denen zusätzlich eintritt. 1. Baumdiagramm 2. Baumdiagramm 1. Merkmal ( ) 2. Merkmal ( ) 1. Merkmal ( ) 2. Merkmal ( ) Berechnung:

12 M Ganzrationale Funktionen Grad Potenzfunktionen Koeffizienten Polynom ganzrationale Funktion Das Verhalten einer ganzrationalen Funktion im Unendlichen: höchster vorkommende Exponent (hier ) gerade ungerade Leitkoeffizient (hier ) von links oben nach rechts oben von links unten nach rechts unten von links unten nach rechts oben von links oben nach rechts unten

13 M Polynomdivision

14 M Nullstellen einer ganzrationalen Funktion Eine ganzrationale Funktion -ten Grades hat höchstens Nullstellen. Bestimmung der Nullstellen der Funktion Errate Nullstelle durch systematisches Probieren (NST Teiler von ) Schreibe Funktion als Produkt mit Restpolynom Polynomdivision Restliche Nullstellen durch Mitternachtsformel (bzw. Vieta) bestimmen falls Grad des Restpolynoms Faktorisierte Form: (doppelte Nullstelle bei ) Tritt in der vollständig faktorisierten Form eine Nullstelle ungeradzahlig oft auf, wechselt bei das Vorzeichen, geradzahlig oft auf, wechselt bei das Vorzeichen nicht.

15 M Symmetrie von Funktionsgraphen Achsensymmetrie zur -Achse Punktsymmetrie zum Ursprung Gleich weit vom Nullpunkt entferte -Werte besitzen stets denselben Funktionswert. Gleich weit vom Nullpunkt entfernte - Werte besitzen stets den betragmäßig gleichen Funktionswert mit unterschiedlichem Vorzeichen.

16 M Grundfunktionen Name Term Beispiel Graph Lineare Funktionen Quadratische Funktionen Ganzrationale Funktionen Gebrochen rationale Funktionen Exponentialfunktionen Winkelfunktionen

17 M Verhalten im Unendlichen Konvergenz Kommen die Funktionswerte einer Funktion für beliebig groß werdende - Werte einer Zahl beliebig nahe, so nennt man den Grenzwert der Funktion für gegen unendlich ( ). Die Gerade mit der Gleichung ist dann waagrechte Asymptote von Divergenz Funktionen, die keinen Grenzwert für bzw. besitzen, bezeichnet man als divergent.

18 M Strategien zum Untersuchen des Verhaltens im Unendlichen Ganzrationale Funktionen vgl und Gebrochen rationale Funktionen jedes Glied des Zählers und Nenners durch die höchste Nennerpotenz dividieren: geht gegen = größte Nennerpotenz geht gegen

19 M Verschieben, Strecken und Spiegeln von Funktionsgraphen Verschiebung von Funktionsgraphen : Streckung/Stauchung in -Richtung b: Streckung/Stauchung in -Richtung Strecken (Stauchen) von Funktionsgraphen c: Verschiebung in -Richtung d: Verschiebung in -Richtung Spiegelung an der -Achse ist der an der -Achse gespiegelte Graph von Spiegelung an der -Achse ist der an der -Achse gespiegelte Graph von

fwg Kreissektoren und Bogenmaß Mittelpunktswinkel : Das Bogenmaß eines Winkels ist die Länge des zugehörigen Kreisbogens im Einheitskreis ( ): M 10.

fwg Kreissektoren und Bogenmaß Mittelpunktswinkel : Das Bogenmaß eines Winkels ist die Länge des zugehörigen Kreisbogens im Einheitskreis ( ): M 10. M 10.1 Kreissektoren und Bogenmaß In einem Kreis mit Radius Mittelpunktswinkel : Länge des Kreisbogens gilt für einen Kreissektor mit Fläche des Kreissektors Das Bogenmaß eines Winkels ist die Länge des

Mehr

Kreissektoren und Bogenmaß

Kreissektoren und Bogenmaß M 10.1 Kreissektoren und Bogenmaß In einem Kreis mit Radius Mittelpunktswinkel : Länge des Kreisbogens gilt für einen Kreissektor mit Fläche des Kreissektors Das Bogenmaß eines Winkels ist die Länge des

Mehr

Kreissektoren und Bogenmaß

Kreissektoren und Bogenmaß M 10.1 Kreissektoren und Bogenmaß In einem Kreis mit Radius gilt für einen Kreissektor mit Mittelpunktswinkel : Länge des Kreisbogens Fläche des Kreissektors = = 360 360 Das Bogenmaß eines Winkels ist

Mehr

Kreissektoren und Bogenmaß

Kreissektoren und Bogenmaß M 10.1 Kreissektoren und Bogenmaß In einem Kreis mit Radius gilt für einen Kreissektor mit Mittelpunktswinkel : Länge des Kreisbogens Fläche des Kreissektors = 2 = 360 360 Das Bogenmaß eines Winkels ist

Mehr

M 10.1. Kreissektoren und Bogenmaß

M 10.1. Kreissektoren und Bogenmaß M 10.1 Kreissektoren und Bogenmaß Wie berechnet man in einem Kreis mit Radius die Länge des Kreisbogens für einen Kreissektor mit Mittelpunktswinkel? Wie berechnet man in einem Kreis mit Radius den Flächeninhalt

Mehr

M 10.1. Kreissektoren und Bogenmaß

M 10.1. Kreissektoren und Bogenmaß M 10.1 Kreissektoren und Bogenmaß Wie berechnet man in einem Kreis mit Radius die Länge des Kreisbogens für einen Kreissektor mit Mittelpunktswinkel? Wie berechnet man in einem Kreis mit Radius den Flächeninhalt

Mehr

M Kreissektoren und Bogenmaß. Kreissektor mit Mittelpunktswinkel? Kreissektors mit Mittelpunktswinkel? Was versteht man unter dem Bogenmaß?

M Kreissektoren und Bogenmaß. Kreissektor mit Mittelpunktswinkel? Kreissektors mit Mittelpunktswinkel? Was versteht man unter dem Bogenmaß? M 10.1 Kreissektoren und Bogenmaß Wie berechnet man in einem Kreis mit Radius Kreissektor mit Mittelpunktswinkel? die Länge des Kreisbogens für einen Wie berechnet man in einem Kreis mit Radius Kreissektors

Mehr

1.Kreiszahl π 1.1.Kreis α Länge des Kreisbogens b = 2π 360 α

1.Kreiszahl π 1.1.Kreis α Länge des Kreisbogens b = 2π 360 α Grundwissen athematik 0.Klasse Gymnasium SOB.Kreiszahl..Kreis α Länge des Kreisbogens b r 360 α Fläche des Kreissektors A r 360 Das Bogenmaß b eines Winkels α ist die Länge der zugehörigen Bogenlänge b

Mehr

Die Kugel Grundwissen Mathematik Geometrie Klasse 10. Definitionen und Regeln. Kugeloberfläche: O Kugel = 4 r² π. Kugelvolumen: - 1 -

Die Kugel Grundwissen Mathematik Geometrie Klasse 10. Definitionen und Regeln. Kugeloberfläche: O Kugel = 4 r² π. Kugelvolumen: - 1 - 10.1 Grundwissen Mathematik Geometrie Klasse 10 Die Kugel Beispiele Kugeloberfläche: O Kugel = 4 r² π r Kugelvolumen: V Kugel = 4 3 r³ π - 1 - 10. Grundwissen Mathematik Geometrie Klasse 10 Kreissektor

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung. Trigonometrie Sinus und Kosinus

Wahrscheinlichkeitsrechnung. Trigonometrie Sinus und Kosinus Gymnasium Neutraubling Grundwissen Mathematik 10. Jahrgangsstufe Wissen und Können Aufgaben, Beispiele und Erläuterungen 1. Bedingte Wahrscheinlichkeit Bezeichnungen: P(A): Wahrscheinlichkeit des Ereignisses

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung. Trigonometrie Sinus und Kosinus

Wahrscheinlichkeitsrechnung. Trigonometrie Sinus und Kosinus EvBG Grundwissen Mathematik 10. Jahrgangsstufe Wissen und Können Aufgaben, Beispiele und Erläuterungen Wahrscheinlichkeitsrechnung 1. Bedingte Wahrscheinlichkeit Bezeichnungen: P(A): Wahrscheinlichkeit

Mehr

WWG Grundwissen Mathematik 10. Klasse

WWG Grundwissen Mathematik 10. Klasse WWG Grundwissen Mathematik 10. Klasse I. Kreiszahl 1. Kreis: Fläche des Kreissektors: = Länge des Kreisbogens: = Im Einheitskreis gilt: = 2 = 2. Kugel: Oberflächeninhalt: = 4 Volumen: = II. Geometrische

Mehr

Grundwissen. 10. Jahrgangsstufe. Mathematik

Grundwissen. 10. Jahrgangsstufe. Mathematik Grundwissen 10. Jahrgangsstufe Mathematik 1 Kreis und Kugel 1.1 Kreissektor und Bogenmaß Kreis Umfang U = π r=π d Flächeninhalt A=π r Kreissektor mit Mittelpunktswinkel α Bogenlänge b= α π r 360 Flächeninhalt

Mehr

α π r² Achtung: Das Grundwissen steht im Lehrplan! 1. Kreis und Kugel

α π r² Achtung: Das Grundwissen steht im Lehrplan! 1. Kreis und Kugel Achtung: Das Grundwissen steht im Lehrplan! Tipps zum Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 10 Folgende Begriffe und Aufgaben solltest Du nach der 10. Klasse kennen und können: (Falls Du Lücken entdeckst,

Mehr

Grundwissen 10. Klasse Mathematik. Berechne Umfang und Flächeninhalt des Spitzbogens mit Lösung: ( )

Grundwissen 10. Klasse Mathematik. Berechne Umfang und Flächeninhalt des Spitzbogens mit Lösung: ( ) 1.1 Der Kreis Der Kreis Umfang Flächeninhalt Der Kreissektor (Kreisausschnitt) mit Mittelpunktswinkel Bogenlänge Flächeninhalt Grundwissen 10. Klasse Mathematik Wie ändert sich der Flächeninhalt eines

Mehr

Grundwissen. 10. Jahrgangsstufe. Mathematik

Grundwissen. 10. Jahrgangsstufe. Mathematik Grundwissen 0. Jahrgangsstufe Mathematik Kreis und Kugel. Kreissektor und Bogenmaß Kreis Umfang U π rπ d Flächeninhalt Aπ r Kreissektor mit Mittelpunktswinkel α Bogenlänge α π r 60 Flächeninhalt A α π

Mehr

4 r³π. MTG Grundwissen Mathematik 10. Klasse. 1 Der Kreis Umfang eines Kreises mit Radius r: u = 2 r π Fläche eines Kreises mit Radius r: A = r²π

4 r³π. MTG Grundwissen Mathematik 10. Klasse. 1 Der Kreis Umfang eines Kreises mit Radius r: u = 2 r π Fläche eines Kreises mit Radius r: A = r²π MTG Grundwissen Mathematik 0. Klasse Der Kreis Umfang eines Kreises mit Radius r: u = 2 r π Fläche eines Kreises mit Radius r: A = r²π. Der Kreissektor Bogenlänge eines Kreisessektors mit Radius r und

Mehr

Luisenburg-Gymnasium Wunsiedel

Luisenburg-Gymnasium Wunsiedel Luisenurg-Gymnasium Wunsiedel Grundwissen für das Fach Mathematik Jahrgangsstufe 0 KREIS und KUGEL Bogenlänge rπα = 80 Das Verhältnis r πα = 80 heißt Bogenmaß, ist nur vom Mittelpunktswinkel α ahängig

Mehr

Analysis 1. Einführung. 22. März Mathe-Squad GbR. Einführung 1

Analysis 1. Einführung. 22. März Mathe-Squad GbR. Einführung 1 Analysis 1 Einführung Mathe-Squad GbR 22. März 2017 Einführung 1 y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 910 2 x /* */ Einführung Allgemeines 2 Allgemeines Funktion f(x) bildet jeden

Mehr

Grundwissen 10. Überblick: Gradmaß rπ Länge eines Bogens zum Mittelpunktswinkels α: b = α

Grundwissen 10. Überblick: Gradmaß rπ Länge eines Bogens zum Mittelpunktswinkels α: b = α Grundwissen 0. Berechnungen an Kreis und Kugel a) Bogenmaß Beispiel: Gegeben ist ein Winkel α=50 ; dann gilt: b = b = π 50 0,8766 r r 360 Die (reelle) Zahl ist geeignet, die Größe eines Winkels anzugeben.

Mehr

Trigonometrie aus geometrischer und funktionaler Sicht

Trigonometrie aus geometrischer und funktionaler Sicht Trigonometrie aus geometrischer und funktionaler Sicht Der Kosinussatz und der Sinussatz: Wenn in einem Dreieck nur zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind, oder nur die drei Seiten bekannt

Mehr

Kreis - Kugel Länge des Kreisbogens: Flächeninhalt des Kreissektors: Umrechnung ins Bogenmaß: α. α 360. b: Frequenz c: Phasenverschiebung 1,4 1,4 1,0

Kreis - Kugel Länge des Kreisbogens: Flächeninhalt des Kreissektors: Umrechnung ins Bogenmaß: α. α 360. b: Frequenz c: Phasenverschiebung 1,4 1,4 1,0 Wirsberg-Gmnasium Grundwissen Mathematik 0. Jahrgangsstufe Lerninhalte Fakten-Regeln-eispiele Kreis - Kugel Länge des Kreisbogens: Flächeninhalt des Kreissektors: Umrechnung ins ogenmaß: α b π r 0 α π

Mehr

1 Kreis und Kugel @ GN GRUNDWISSEN MATHEMATIK. für die Jahrgangsstufe 10

1 Kreis und Kugel @ GN GRUNDWISSEN MATHEMATIK. für die Jahrgangsstufe 10 Kreis und Kugel Zum Kreis vgl. Klasse 8, 6... ogenmaß: Durch den Mittelpunktswinkel α wird auf einer Kreislinie mit Radius r ein Kreissektor mit ogenlänge b festgelegt. Es gilt: b r πα 80 Am Einheitskreis

Mehr

Basiswissen 10. Klasse

Basiswissen 10. Klasse Basiswissen 10. Klasse 1. Berechnungen an Kreisen und Dreiecken r: Radius a: Mittelpunktswinkel As: Kreissektor b: Kreisbogen Erklärung: In einem Kreis mit Radius r legt der Mittelpunktswinkel a den Kreisbogen

Mehr

Aufgaben zum Basiswissen 10. Klasse

Aufgaben zum Basiswissen 10. Klasse Aufgaben zum Basiswissen 10. Klasse 1. Berechnungen an Kreisen und Dreiecken 1. Aufgabe: In einem Kreis mit Radius r sei α ein Mittelpunktswinkel mit zugehörigem Kreisbogen der Länge b und Kreissektor

Mehr

Der Kreissektor (Kreisausschnitt) Kreissektors mit dem Mittelpunktswinkel ϕ : Bogenlänge: b Sektor. Flächeinhalt:: ASektor

Der Kreissektor (Kreisausschnitt) Kreissektors mit dem Mittelpunktswinkel ϕ : Bogenlänge: b Sektor. Flächeinhalt:: ASektor Grundwissen Mthemtik 0.Klsse 0 / Die Kugel Volumen der Kugel: Oberfläche der Kugel: V O Kugel Kugel 4 πr 4πr Der Kreissektor (Kreisusschnitt) Kreissektors mit dem Mittelpunktswinkel ϕ : ϕ Bogenlänge: b

Mehr

Diese Funktion ist mein Typ!

Diese Funktion ist mein Typ! Diese Funktion ist mein Typ! Überblick über die wichtigsten Funktionstypen der 10.Jgst.: Lineare Funktionen Quadratische Funktionen Ganzrationale Funktionen Gebrochen-rationale Funktionen Trigonometrische

Mehr

Beispiele für eine vollständige Kurvendiskussion

Beispiele für eine vollständige Kurvendiskussion Seite von Ganzrationale Funktionen Nur mit Ausklammern Beispiel. Diskutiere die Funktion f 8. Es handelt sich um eine ganzrationale Funktion dritten Grades.. Definitionsmenge: D.. Verhalten gegen : Da

Mehr

@ GN GRUNDWISSEN MATHEMATIK. Inhalt... Seite

@ GN GRUNDWISSEN MATHEMATIK. Inhalt... Seite Inhaltverzeichnis Inhalt... Seite Klasse 5: 1 Zahlen... 1 1.1 Zahlenmengen... 1 1.2 Dezimalsystem... 1 1.3 Römische Zahlen... 1 1.4 Runden... 1 1.5 Termarten... 1 1.6 Rechengesetze... 2 1.7 Rechnen mit

Mehr

Gebrochen-rationale Funktionen

Gebrochen-rationale Funktionen Definition Eine gebrochen-rationale Funktion ist eine Funktion, bei der sich im Zähler und Nenner eine ganzrationale Funktion (Polynom) befindet: Eigenschaften f(x) = g(x) h(x) Echt gebrochen-rationale

Mehr

Polynome sind Gefangene ihrer leicht durchschaubaren Eigenschaften.

Polynome sind Gefangene ihrer leicht durchschaubaren Eigenschaften. Polynome und mehrfache Nullstellen Polynome sind Gefangene ihrer leicht durchschaubaren Eigenschaften. Stichwort: Polynome im Affenkasten www.mathematik-verstehen.de 1 Polynome und mehrfache Nullstellen

Mehr

, a n 2. p(x) = a n x n + a n 1. x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0. reelles Polynom in der Variablen x vom Grad n. Man schreibt deg p(x) = n

, a n 2. p(x) = a n x n + a n 1. x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0. reelles Polynom in der Variablen x vom Grad n. Man schreibt deg p(x) = n . Graphen gebrochen rationaler Funktionen ==================================================================. Verhalten in der Umgebung der Definitionslücken ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mehr

r Oberflächeninhalt 1 Berechnungen am Kreis O 4r 1.1 Bogenmaß Das Bogenmaß x ist das zu gehörende Verhältnis Bogenlänge, also die 1.

r Oberflächeninhalt 1 Berechnungen am Kreis O 4r 1.1 Bogenmaß Das Bogenmaß x ist das zu gehörende Verhältnis Bogenlänge, also die 1. Grundwissen Mathematik 0 Berechnungen am Kreis. Bogenmaß Das Bogenmaß ist das zu gehörende Verhältnis Bogenlänge, also die Radius Zahl / r Umrechnungen: r r 0 30 45 60 90 360 0. Kreisteile Sektorfläche:.3

Mehr

10 - Elementare Funktionen

10 - Elementare Funktionen Kapitel 1 Mathematische Grundlagen Seite 1 10 Elementare Funktionen Definition 10.1 (konstante Funktion) Konstante Funktionen sind nichts weiter als Parallelen zur xachse, wenn man ihren Graphen in das

Mehr

Inhalt Klassenarbeiten zum Themenbereich 1: Kreiszahl π Kreis und Kugel Geometrische und funktionale Aspekte der Trigonometrie

Inhalt Klassenarbeiten zum Themenbereich 1: Kreiszahl π Kreis und Kugel Geometrische und funktionale Aspekte der Trigonometrie Inhalt Vorwort Klassenarbeiten zum Themenbereich 1: Kreiszahl π Kreis und Kugel Geometrische und funktionale Aspekte der Trigonometrie... 1 Klassenarbeit 1... 2 Flächeninhalte von Kreisringsektoren, Kreisen

Mehr

1 Allgemeines, Verfahrensweisen

1 Allgemeines, Verfahrensweisen 1 Allgemeines, Verfahrensweisen 1.1 Allgemeines Definition einer Funktion Eine Funktion f ist eine eindeutige Zuordnung, die jedem x-wert genau einen y-wert zuordnet. Dem y-wert, welchem ein x-wert zugeordnet

Mehr

1 Lineare Funktionen. 1 Antiproportionale Funktionen

1 Lineare Funktionen. 1 Antiproportionale Funktionen Funktion Eine Funktion ist eine Zuordnung, bei der zu jeder Größe eines ersten Bereichs (Ein gabegröße) genau eine Größe eines zweiten Bereichs (Ausgabegröße) gehört. Eine Funktion wird durch eine Funktionsvorschrift

Mehr

Grundwissen Mathematik JS 11

Grundwissen Mathematik JS 11 GYMNASIUM MIT SCHÜLERHEIM PEGNITZ math-naturw u neusprachl Gymnasium WILHELM-VON-HUMBOLDT-STRASSE 7 957 PEGNITZ FERNRUF 94/48 FAX 94/564 Grundwissen Mathematik JS Was versteht man allgemein unter einer

Mehr

Lösungen Kapitel A: Wahrscheinlichkeiten

Lösungen Kapitel A: Wahrscheinlichkeiten Lösungen Kapitel A: Wahrscheinlichkeiten Arbeitsblatt 01: Kombinatorische Zählverfahren (1) Junge, Junge, Mädchen, Mädchen (2) Junge, Mädchen, Junge, Mädchen (3) Junge, Mädchen, Mädchen, Junge (4) Mädchen,

Mehr

Stunden/Seiten Inhaltsbereiche gemäß Lehrplan Eigene Bemerkungen. Inhalte von Maßstab Band 10 ISBN: Stunden

Stunden/Seiten Inhaltsbereiche gemäß Lehrplan Eigene Bemerkungen. Inhalte von Maßstab Band 10 ISBN: Stunden Von den Rahmenvorgaben des Lehrplans zum Schulcurriculum Anregungen für Mathematik in Hauptschule und Regionaler Schule in Rheinland-Pfalz auf der Grundlage von Maßstab 10 Der Stoffverteilungsplan geht

Mehr

Polynome und mehrfache Nullstellen. Polynome und mehrfache Nullstellen. Welche Gleichung kann dieses Polynom haben?

Polynome und mehrfache Nullstellen. Polynome und mehrfache Nullstellen. Welche Gleichung kann dieses Polynom haben? und mehrfache n und mehrfache n gerade schräg sind Gefangene ihrer leicht durchschaubaren Eigenschaften. Stichwort: im Affenkasten www.mathematik-verstehen.de 1 www.mathematik-verstehen.de 2 n Linearfaktoren

Mehr

MTG Grundwissen Mathematik 10. Klasse

MTG Grundwissen Mathematik 10. Klasse MTG Grundwissen Mathematik 0. Klasse Der Kreis und der Kreissektor Umfang eines Kreises mit Radius r: u = r π Fläche eines Kreises mit Radius r: A = r²π. Der Kreissektor Bogenlänge eines Kreisessektors

Mehr

Urs Wyder, 4057 Basel Funktionen. f x x x x 2

Urs Wyder, 4057 Basel Funktionen. f x x x x 2 Urs Wyder, 4057 Basel Urs.Wyder@edubs.ch Funktionen f 3 ( ) = + f ( ) = sin(4 ) Inhaltsverzeichnis DEFINITION DES FUNKTIONSBEGRIFFS...3. NOTATION...3. STETIGKEIT...3.3 ABSCHNITTSWEISE DEFINIERTE FUNKTIONEN...4

Mehr

Aufgaben zu den ganzrationalen Funktionen

Aufgaben zu den ganzrationalen Funktionen Aufgaben zu den ganzrationalen Funktionen. Bestimmen Sie die Nullstellen folgender ganzrationaler Funktionen. a) y x + x 6 b) y x x + x c) y (x + )(x + x ) d) y x 5x + e) y x + x x + 0 f) y x x 5x +50x

Mehr

Gebrochen-rationale Funktionen

Gebrochen-rationale Funktionen Definition Eine gebrochen-rationale Funktion ist eine Funktion, bei der sich im Nenner befindet. f() = a h() Beispiel 1: f() = 1 Beispiel 2: f() = 1 ² Definitionsbereich und Definitionslücken Bei einer

Mehr

Aufgabe Was wissen Sie über die Symmetrie ganzrationaler Funktionen?

Aufgabe Was wissen Sie über die Symmetrie ganzrationaler Funktionen? R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 0.0.0 Lösungen VBKA Ganzrationale Funktionen I Zur Vorbereitung einer Klassenarbeit en: A A A A A A A4 A4 n n Was bedeutet: f(x) = a x + a x +... + a x + a x +

Mehr

MatheBasics Teil 3 Grundlagen der Mathematik

MatheBasics Teil 3 Grundlagen der Mathematik Fernstudium Guide Online Vorlesung Wirtschaftswissenschaft MatheBasics Teil 3 Grundlagen der Mathematik Version vom 05.02.2015 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jegliche unzulässige Form der

Mehr

KGS Schneverdingen Gymnasialzweig Mathematik Klasse 10 Stoffverteilungsplan (Stand: Juli 2012)

KGS Schneverdingen Gymnasialzweig Mathematik Klasse 10 Stoffverteilungsplan (Stand: Juli 2012) Lehrbuch: Elemente der Mathematik 10 KGS Schneverdingen Gymnasialzweig Mathematik Klasse 10 Stoffverteilungsplan (Stand: Juli 2012) Thema Inhalte Kompetenzen Zeit in Stunden Buchseiten Bemerkungen Modellieren

Mehr

Schulinterner Lehrplan Mathematik Einführungsphase Oberstufe

Schulinterner Lehrplan Mathematik Einführungsphase Oberstufe Schulinterner Lehrplan Mathematik Einführungsphase Oberstufe Halbjahr 10. 1 Schwerpunkt Inhaltsbezogene Prozessbezogene Arithmetik/Algebra Zahlenmengen (LS10 Kap. I) Angabe von Zahlenmengen mit der Intervall-

Mehr

Funktionenlehre. Grundwissenskatalog G8-Lehrplanstandard

Funktionenlehre. Grundwissenskatalog G8-Lehrplanstandard GRUNDWISSEN MATHEMATIK Funktionenlehre Grundwissenskatalog G8-Lehrplanstandard Basierend auf den Grundwissenskatalogen des Rhöngmnasiums Bad Neustadt und des Kurt-Huber-Gmnasiums Gräfelfing J O H A N N

Mehr

+ 2. Bruchgleichungen

+ 2. Bruchgleichungen Bruchgleichungen Gleichungen mit einer Lösungsvariablen im Nenner eines Bruchs heißen Bruchgleichungen. Definitionsmenge: Nenner 0 Lösungsweg: 1. Multiplikation mit dem Hauptnenner 2. Äquivalenzumformungen

Mehr

Funktionenklassen. Einiges, was wir bisher über Funktionen gelernt haben kann auf alle Funktionen übertragen werden.

Funktionenklassen. Einiges, was wir bisher über Funktionen gelernt haben kann auf alle Funktionen übertragen werden. R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 0.0.008 Einführung: Funktionenklassen Bisher haben wir nur ganzrationale Funktionen kennen gelernt. Sie gehören zu der Klasse der Rationalen Funktionen. In der

Mehr

4 Ganzrationale Funktionen

4 Ganzrationale Funktionen FOS, Jahrgangsstufe (technisch) 4 Ganzrationale Funktionen 4 Polynomfunktionen Eine Funktion, die man auf die Form f : x a n x n + a n x n + + a 2 x 2 + a x + a 0 mit x R bringen kann, heißt ganzrationale

Mehr

Lösungen zu den Aufgaben 10. Klasse

Lösungen zu den Aufgaben 10. Klasse . Berechnungen an Kreisen und Dreiecken Lösungen zu den Aufgaben 0. Klasse α r b AS 60 5,4 m 5,65 m 5,7 m 90,99 3 cm 0 cm 5,00 cm 45 6,37 dm 5 dm 5,93 dm 04,38,9 km 0,34 km 5 km 30 7,5 cm 3,93 cm 4,73

Mehr

f : x y = mx + t Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade, welche die y-achse im Punkt S schneidet. = m 2 x 2 m x 1

f : x y = mx + t Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade, welche die y-achse im Punkt S schneidet. = m 2 x 2 m x 1 III. Funktionen und Gleichungen ================================================================== 3.1. Lineare Funktionen Eine Funktion mit der Zuordnungvorschrift f : x y = mx + t und m, t R heißt lineare

Mehr

Inhaltsverzeichnis. 3 Folgen Achilles und die Schildkröte Grundbegriffe Fraktale... 49

Inhaltsverzeichnis. 3 Folgen Achilles und die Schildkröte Grundbegriffe Fraktale... 49 Inhaltsverzeichnis 1 Analytische Geometrie: Geraden 8 1.1 Lineare Gleichungen........................ 8 1.2 Die Hauptform einer linearen Gleichung............. 8 1.3 Wertetabellen............................

Mehr

Kurvendiskussion. Mag. Mone Denninger 10. Oktober Extremwerte (=Lokale Extrema) 2. 5 Monotonieverhalten 3. 6 Krümmungsverhalten 4

Kurvendiskussion. Mag. Mone Denninger 10. Oktober Extremwerte (=Lokale Extrema) 2. 5 Monotonieverhalten 3. 6 Krümmungsverhalten 4 Mag. Mone Denninger 10. Oktober 2004 Inhaltsverzeichnis 1 Definitionsmenge 2 1.1 Verhalten am Rand und an den Lücken des Definitionsbereichs............................ 2 2 Nullstellen 2 3 Extremwerte

Mehr

Überblick über die Winkelfunktionen Sinusfunktion

Überblick über die Winkelfunktionen Sinusfunktion Überblick über die Winkelfunktionen Sinusfunktion -x2 -x1 x1 x2 Die Funktion x sin x ; x ℝ heißt Sinusfunktion und ihr Graph Sinuskurve. Die Sinusfunktion ist punktsymmetrisch (blau in der Zeichnung) zum

Mehr

Vorbereitungskurs Mathematik

Vorbereitungskurs Mathematik BBS Gerolstein Vorbereitungskurs Mathematik Vorbereitungskurs Mathematik für die Berufsoberschule II www.bbs-gerolstein.de/cms/download/mathematik/vorkurs-mathe-bos-.pdf bzw. www.p-merkelbach.de/bos/mathe/vorkurs-mathe-bos-.pdf

Mehr

Buch: Mathematik heute [Realschule Niedersachsen], Schroedel

Buch: Mathematik heute [Realschule Niedersachsen], Schroedel Klasse: 5 Buch: heute [Realschule Niedersachsen], Schroedel 1. Einheit: Zahlen und Größen S. 7 - S. 45 WH.: Grundrechenarten, Kopfrechenfertigkeiten 2. Einheit: Rechnen mit natürlichen Zahlen und Größen

Mehr

Kurvendiskussion Gebrochenrationale Funktion Aufgaben und Lösungen

Kurvendiskussion Gebrochenrationale Funktion Aufgaben und Lösungen Kurvendiskussion Gebrochenrationale Funktion Aufgaben und http://www.fersch.de Klemens Fersch 7. September 0 Inhaltsverzeichnis Gebrochenrationale Funktion Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad

Mehr

Ganzrationale Funktionen

Ganzrationale Funktionen Eine Dokumentation von Sandro Antoniol Klasse 3f Mai 2003 Inhaltsverzeichnis: 1. Einleitung...3 2. Grundlagen...4 2.1. Symmetrieeigenschaften von Kurven...4 2.1.1. gerade Exponenten...4 2.1.2. ungerade

Mehr

mathphys-online TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN y-achse x-achse Graph von sin(x) Graph von cos(x) Graph von tan(x)

mathphys-online TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN y-achse x-achse Graph von sin(x) Graph von cos(x) Graph von tan(x) TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN 5 4 8 7 6 5 4 0 4 5 6 7 8 4 5 Graph von sin(x) Graph von cos(x) Graph von tan(x) x-achse Trigonometrische Funktionen Inhaltsverzeichnis Kapitel Inhalt Seite Winkelfunktionen

Mehr

Zusammenfassung der Kurvendiskussion

Zusammenfassung der Kurvendiskussion Zusammenfassung der Kurvendiskussion Diskussionspunkte 1 Größtmögliche Definitionsmenge D f 2 Symmetrieeigenschaften des Graphen G f 3 Nullstellen, Polstellen, Schnittpunkte mit der y-achse, Vielfachheit

Mehr

ÜBERBLICK ÜBER DAS KURS-ANGEBOT

ÜBERBLICK ÜBER DAS KURS-ANGEBOT ÜBERBLICK ÜBER DAS KURS-ANGEBOT Alle aufgeführten Kurse sind 100 % kostenfrei und können unter http://www.unterricht.de abgerufen werden. LINEARE GLEICHUNGEN Lineare Gleichungen - Einführung *Lösen von

Mehr

5 Gebrochen-rationale Funktionen

5 Gebrochen-rationale Funktionen 5 Gebrochen-rationale Funktionen 5. Definition: Eine Funktion f, deren Term f(x) als Bruch Z(x) N(x) von zwei Polynomfunktion Z(x) und N(x) geschrieben werden kann und deren Nennergrad größer als 0 ist,

Mehr

1. Definition der trigonometrischen Funktionen für beliebige Winkel

1. Definition der trigonometrischen Funktionen für beliebige Winkel 1 Trigonometrie 2 1. Definition der trigonometrischen Funktionen für beliebige Winkel In einem Kreis mit Mittelpunkt M(0,0) und Radius r ist der zunächst spitze Winkel α gezeichnet. α legt auf dem Kreis

Mehr

Methodischdidaktische. Charakt. Beispiele. Überlegungen

Methodischdidaktische. Charakt. Beispiele. Überlegungen FSG Kern- und Schulstandards Klasse 9/10 Mathematik (Stand7/2011) Inhalte (Schulbuchorientiert Reihenfolge), charakteristische Beispiele, die das Niveau zeigen (anwenden vernetzen), Leitideen + Kompetenzen

Mehr

Mathematik-Lexikon. Abszisse Die x-koordinate eines Punktes -> Ordinate

Mathematik-Lexikon. Abszisse Die x-koordinate eines Punktes -> Ordinate Mathematik-Lexikon HM00 Abszisse Die x-koordinate eines Punktes -> Ordinate Aufstellen von Funktionstermen Gesucht: Ganzrationale Funktion n-ten Grades: ƒ(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a n- x n- +... +

Mehr

360 2 r. 360 r2. α Bogenmaß. α 360. α 2π. 4 3 r3 V K. 4 r 2 O K

360 2 r. 360 r2. α Bogenmaß. α 360. α 2π. 4 3 r3 V K. 4 r 2 O K Grundwissen Mthemtik 10. Klsse Kreis Länge eines Kreisbogens b 360 r r r b Fläche eines Kreissektors 360 r r r Bogenmß Bogenmß des Winkels : Umrechnungsformel: b α Bogenmß r α Bogenmß π α 360 Grdmß Kugel

Mehr

Aufgaben für Analysis in der Oberstufe. Robert Rothhardt

Aufgaben für Analysis in der Oberstufe. Robert Rothhardt Aufgaben für Analysis in der Oberstufe Robert Rothhardt 14. Juni 2011 2 Inhaltsverzeichnis 1 Modellierungsaufgaben 5 1.1 Musterabitur S60................................ 5 1.2 Musterabitur 3.1.4 B / S61..........................

Mehr

1.2 Einfache Eigenschaften von Funktionen

1.2 Einfache Eigenschaften von Funktionen 1.2 Einfache Eigenschaften von Funktionen 1.2.1 Nullstellen Seien A und B Teilmengen von R und f : A B f : Df Wf eine Funktion. Eine Nullstelle der Funktion f ist ein 2 D f, für das f ( = 0 ist. (Eine

Mehr

Funktionen. Mathematik-Repetitorium

Funktionen. Mathematik-Repetitorium Funktionen 4.1 Funktionen einer reellen Veränderlichen 4.2 Eigenschaften von Funktionen 4.3 Die elementaren Funktionen 4.4 Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit Funktionen 1 4. Funktionen Funktionen 2

Mehr

Abitur 2014 Mathematik Infinitesimalrechnung I

Abitur 2014 Mathematik Infinitesimalrechnung I Seite http://www.abiturloesung.de/ Seite 2 Abitur 204 Mathematik Infinitesimalrechnung I Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f. Teilaufgabe Teil A (5 BE) Gegeben ist die Funktion f : x x ln

Mehr

Trigonometrische Kurven / Funktionen

Trigonometrische Kurven / Funktionen Trigonometrische Kurven / Funktionen Teil Eigenschaften der Funktionen sin, cos und tan Verschiebung und Streckung von Sinuskurven Kurvendiskussion ohne Verwendung der Differenzialrechnung Geeignet ab

Mehr

Gebrochen-Rationale Funktionen

Gebrochen-Rationale Funktionen Gebrochen-Rationale Funktionen Bernhard Scheideler Albrecht-Dürer-Gymnasium Hagen Hilfen zur Analysis (Q1) 20. Januar 2012 Inhalt: Die Diskussion einer gebrochen-rationalen Funktion wird an einem Beispiel

Mehr

Aufstellen der Funktionsgleichung aus gegebenen Bedingungen

Aufstellen der Funktionsgleichung aus gegebenen Bedingungen R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite..0 Aufstellen der Funktionsgleichung aus gegebenen Bedingungen Wir erinnern uns, um die Funktionsgleichung einer Parabel zu bestimmen waren die Koordinaten von

Mehr

Thema. Zeit in Wochen. Bleib fit im Umgang mit Termen und Gleichungen. Bleib fit im Umgang mit quadratischen Funktionen. 1.

Thema. Zeit in Wochen. Bleib fit im Umgang mit Termen und Gleichungen. Bleib fit im Umgang mit quadratischen Funktionen. 1. Stoffverteilungsplan Einführungsphase NRW Die Übersicht enthält die inhaltsbezogenen Kompetenzen des immer noch gültigen Lehrplans von 1999 für die Einführungsphase und die durch die Schulzeitverkürzung

Mehr

Curriculare Analyse. Beispiel: Leitidee Funktionaler Zusammenhang. Dr. M.Gercken, 2009

Curriculare Analyse. Beispiel: Leitidee Funktionaler Zusammenhang. Dr. M.Gercken, 2009 Curriculare Analyse Beispiel: Leitidee Funktionaler Zusammenhang Dr. M.Gercken, 2009 Quellen [1] Bildungsplan 1994 [2] Bildungsplan 2004 [3] Schulcurriculum Helmholtz Gymnasium, Karlsruhe [4] Schulcurriculum

Mehr

4.5. Ganzrationale Funktionen

4.5. Ganzrationale Funktionen .5. Ganzrationale Funktionen Definition Eine Funktion der Gestalt f(x) = a n x n a n 1 x n 1... a 2 x 2 a 1 x a 0 mit reellen Koeffizienten a n, a n 1,... und a n 0 heißt ganzrationale Funktion n-ten Grades

Mehr

Zuammenfassung: Reelle Funktionen

Zuammenfassung: Reelle Funktionen Zuammenfassung: Reelle Funktionen 1 Grundlegendes a) Zahlenmengen IN = {1; 2; 3; 4;...} Natürliche Zahlen IN 0 = IN {0} Natürliche Zahlen mit 0 ZZ = {... ; 2; 1; 0; 1; 2;...} Ganze Zahlen Q = { z z ZZ,

Mehr

3 Abbildungen von Funktionsgraphen

3 Abbildungen von Funktionsgraphen 32 3 Abbildungen von Funktionsgraphen In Kapitel 1 dieses Workshops haben wir uns mit der Transformation von geometrischen Figuren im Achsenkreuz beschäftigt: mit Verschiebungen, Spiegelungen, Achsenstreckungen

Mehr

Mathe- Multiple-Choice-Test für Wirtschaftsinformatiker

Mathe- Multiple-Choice-Test für Wirtschaftsinformatiker REELLE FUNKTIONEN 1 Was muss aufgeführt werden, wenn man eine reelle Funktion angibt? a) Ihre Funktionsvorschrift und ihren Wertebereich. Ihre Funktionsvorschrift und ihren Definitionsbereich. c) Den Wertebereich

Mehr

Abitur 2013 Mathematik Infinitesimalrechnung II

Abitur 2013 Mathematik Infinitesimalrechnung II Seite 1 http://www.abiturloesung.de/ Seite 2 Abitur 213 Mathematik Infinitesimalrechnung II Teilaufgabe Teil 1 1 (5 BE) Geben Sie für die Funktion f mit f(x) = ln(213 x) den maximalen Definitionsbereich

Mehr

KOMPETENZHEFT ZUR TRIGONOMETRIE, II

KOMPETENZHEFT ZUR TRIGONOMETRIE, II KOMPETENZHEFT ZUR TRIGONOMETRIE, II 1. Aufgabenstellungen Aufgabe 1.1. Bestimme alle Winkel in [0 ; 360 ], die Lösungen der gegebenen Gleichung sind, und zeichne sie am Einheitskreis ein. 1) sin(α) = 0,4

Mehr

Addition, Subtraktion und Multiplikation von komplexen Zahlen z 1 = (a 1, b 1 ) und z 2 = (a 2, b 2 ):

Addition, Subtraktion und Multiplikation von komplexen Zahlen z 1 = (a 1, b 1 ) und z 2 = (a 2, b 2 ): Komplexe Zahlen Definition 1. Eine komplexe Zahl z ist ein geordnetes Paar reeller Zahlen (a, b). Wir nennen a den Realteil von z und b den Imaginärteil von z, geschrieben a = Re z, b = Im z. Komplexe

Mehr

Basistext Funktionen. Eine Funktion f ordnet jedem Element x aus einer Definitionsmenge D f genau ein Wert y zu.

Basistext Funktionen. Eine Funktion f ordnet jedem Element x aus einer Definitionsmenge D f genau ein Wert y zu. Basistext Funktionen Definition Eine Funktion f ordnet jedem Element x aus einer Definitionsmenge D f genau ein Wert y zu. Man schreibt: f: x -> y mit y = f(x) Die Wertemenge einer Funktion f besteht aus

Mehr

Funktionen-Katalog. I. Geraden. f(x) = 1 oder y = 1. x = 1. eine Gerade parallel zur x-achse. Gerade parallel zur y- Achse (keine Funktion) f(x) = - x

Funktionen-Katalog. I. Geraden. f(x) = 1 oder y = 1. x = 1. eine Gerade parallel zur x-achse. Gerade parallel zur y- Achse (keine Funktion) f(x) = - x Funktionen-Katalog I. Geraden II. Ganzrationale Funktion: Parabeln -ten Grades 3-ten Grades Parabeln höheren Grades III. Gebrochenrationale Funktionen: Asymptoten, Polstellen... IV. Eponentialfunktionen

Mehr

6 Trigonometrische Funktionen

6 Trigonometrische Funktionen 6 Trigonometrische Funktionen 6. Definition Die Trigonometrischen Funktionen (oder Winkelfunktionen) Sinus-, Kosinusund Tangensfunktion stellen den Zusammenhang zwischen Winkel und Seitenverhältnis dar.

Mehr

Ableitung und Steigung. lim h

Ableitung und Steigung. lim h Ableitung und Steigung Aufgabe 1 Bestimme die Ableitung der Funktion f(x) = x über den Differentialquotienten. f (x f '(x ) lim h h) f (x h ) (x lim h h) h x x lim h hx h h x h(x lim h h h) lim x h h x

Mehr

GF MA Differentialrechnung A2

GF MA Differentialrechnung A2 Kurvendiskussion Nullstellen: Für die Nullstellen x i ( i! ) einer Funktion f gilt: Steigen bzw. Fallen: f ( x i ) = 0 f '( x) > 0 im Intervall I f ist streng monoton wachsend in I f '( x) < 0 im Intervall

Mehr

Exponentielles Wachstum und Logarithmus

Exponentielles Wachstum und Logarithmus Eigenschaften der Exponentialfunktionen Die Funktion nennt man Exponentialfunktion mit der Basis a. Ist neben der Potenz noch ein Faktor im Funktionsterm vorhanden, spricht man von einer allgemeinen Exponentialfunktion:

Mehr

Kurvendiskussion. Gesetzmäßigkeiten. Lineare Funktionen. Funktionsgleichung

Kurvendiskussion. Gesetzmäßigkeiten. Lineare Funktionen. Funktionsgleichung Kurvendiskussion Gesetzmäßigkeiten Lineare Funktionen Funktionsgleichung y = mx + c m: Steigung c: y-achsenabschnitt (Funktionswert für y, bei dem der Graph die y-achse schneidet Beispiel : y = x 3 mit

Mehr

gebrochene Zahl gekürzt mit 9 sind erweitert mit 8 sind

gebrochene Zahl gekürzt mit 9 sind erweitert mit 8 sind Vorbereitungsaufgaben Mathematik. Bruchrechnung.. Grundlagen: gebrochene Zahl gemeiner Bruch Zähler Nenner Dezimalbruch Ganze, Zehntel Hundertstel Tausendstel Kürzen: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl

Mehr

Komplexe Zahlen. Rainer Hauser. Januar 2015

Komplexe Zahlen. Rainer Hauser. Januar 2015 Komplexe Zahlen Rainer Hauser Januar 015 1 Einleitung 1.1 Zahlen und Operationen auf Zahlen Addiert man mit Eins als erster gegebener Zahl beginnend sukzessive Eins zu einer bereits gefundenen Zahl, so

Mehr

Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Komplexe Zahlen 3 p.2/29

Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Komplexe Zahlen 3 p.2/29 Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse Komplexe Zahlen Kapitel 3 Statistik und Mathematik WU Wien Michael Hauser Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Komplexe Zahlen 3 p.0/29 Motivation Für die

Mehr

Verschiebung/Streckung von Funktionsgraphen. Verwenden von Schablonen zum Zeichnen von Funktionsgraphen. Idee der Koordinatentransformation

Verschiebung/Streckung von Funktionsgraphen. Verwenden von Schablonen zum Zeichnen von Funktionsgraphen. Idee der Koordinatentransformation Verschiebung/Streckung von Funktionsgraphen Verwenden von Schablonen zum Zeichnen von Funktionsgraphen Idee der Koordinatentransformation Rahmenlehrplan Berlin P4 9/10: Situationen mit n und Potenzfunktionen

Mehr

Natürliche Zahlen und. Zahlenstrahl

Natürliche Zahlen und. Zahlenstrahl M 5.1 Die Zahlen Nimmt man auch die Natürliche Zahlen und Zahlenstrahl nennt man natürliche Zahlen: hinzu, schreibt man: Zahlenstrahl Je weiter rechts eine Zahl auf dem Zahlenstrahl liegt, desto größer

Mehr

ÜBERBLICK ÜBER DAS KURS-ANGEBOT

ÜBERBLICK ÜBER DAS KURS-ANGEBOT ÜBERBLICK ÜBER DAS KURS-ANGEBOT Alle aufgeführten Kurse sind 100 % kostenfrei und können unter http://www.unterricht.de abgerufen werden. LINEARE GLEICHUNGEN Lineare Gleichungen - Einführung *Lösen von

Mehr

Zusammenfassung Mathematik 2012 Claudia Fabricius

Zusammenfassung Mathematik 2012 Claudia Fabricius Zusammenfassung Mathematik Claudia Fabricius Funktion: Eine Funktion f ordnet jedem Element x einer Definitionsmenge D genau ein Element y eines Wertebereiches W zu. Polynom: f(x = a n x n + a n- x n-

Mehr