Wachstumsformen. Dabei ist m die Änderungsrate und c der Anfangsbestand B(0).

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1 Kanonsschule Solohurn Fachmauriä: Wachsumsformen WS14/15 Wachsumsformen Von Wachsum sprechen wir, wenn sich ein Besand mi der Zei veränder. Wachsum bedeue nich immer eine Zunahme des Anfangsbesandes, es kann sich auch um eine Abnahme handeln. Bei einem Wachsumsvorgang ineressier vor allem, wie schnell sich der Besand änder. Die "Änderung des Besandes pro Zeischri" heiss Änderungsrae des Besandes. Was du wissen muss: Du kenns die beiden Wachsumformen: lineares Wachsum, exponenielles Wachsum Du kanns aus dem Tex erkennen, um welche Wachsumsform es sich handel. Du kanns die Wachsumsvorschrifen aufsellen. 1. Lineares Wachsum Ein Wachsum heiss lineares Wachsum, wenn die Änderungsrae konsan is. Bei linearem Wachsum gil für den Besand B() nach Zeischrien: B ( ) = m + c Dabei is m die Änderungsrae und c der Anfangsbesand B(). 2. Exponenielles Wachsum Ein Wachsum heiss exponenielles Wachsum, wenn für jeden Zeischri Besand neu = a Besand al gil mi einer für alle Zeischrie gleichen Zahl a (Wachsumsfakor). Bei exponeniellem Wachsum gil für den Besand B() nach Zeischrien: B( ) = B() a Anwendungen 1. Berechne jeweils die fehlenden Were in den Tabellen. Enscheide, ob es sich um einen linearen oder einen exponeniellen Zusammenhang handel. x y x y x y x y

2 2. Ein Auo verlier jedes Jahr an Wer: Im 1. Jahr is die Werminderung am grössen, danach wird sie von Jahr zu Jahr geringer. Der Auohandel geh (bei einem besimmen Fahrzeugyp und milerer Fahrleisung) von 18 % Werminderung pro Jahr aus. Selle die Werminderung für ein Auo, dessen Neupreis Fr. 25'.- is, graphisch dar. Berechne die Halbwerszei. 3. Enscheide, ob es sich um lineares oder exponenielles Wachsum handel: a) Täglich werden 2% des Monaslohnes für Esswaren ausgegeben b) Bei einer Abmagerungskur verlier jemand wöchenlich 2% seines Gewiches. c) Ein Baby nimm jede Woche 15g zu. d) Opa verlier jedes Jahr 1% seines enormen Wissens. 4. Ein kleiner See wird vergrösser. Jede Woche vergrössern Bagger die Wasserfläche von anfänglich 8 m 2 um 4 m 2. Eine schnell wachsende Algenar bereie Schwierigkeien. Sie verdoppel jede Woche ihre Fläche. Zu Beginn waren 1 m 2 beroffen. a) Selle für beide Wachsumsprozesse eine Funkionsgleichung auf. b) Selle beide Wachsumsprozesse in einem Koordinaensysem graphisch dar. (x-achse: Zei in Wochen, y-achse: Fläche in m 2 ) 5. Das Wachsum einer Pilzkulur verläuf uner gleichbleibenden Bedingungen nach einer Exponenialfunkion. In einem besimmen Fall gele für die aus 1 g Pilzsubsanz in x Tagen ensandene Masse y g das Wachsumsgesez y = 2.25x. Nach wie vielen Tagen ha sich die Masse verdoppel bzw. vervierfach bzw. verachfach? 6. Rechnen mi Kapialien: a) Berechne das Kapial nach n Jahren: K = 1 Fr., p = 4%, n = 5. b) Um wie viel Prozen seines Anfangsweres wächs ein Kapial bei 5% in 1 Jahren? c) 25 Fr. werden zu 5.5% angeleg. Der Anleger möche erreichen, dass sein Guhaben auf 1 Fr. anwächs. Wie viele Jahre würde das (ungefähr) dauern? Nach welcher Zei ha sich das Kapial verdoppel? 7. Innerhalb einer Unersuchung soll überprüf werden, ob sich eine Bakerienkulur exponeniell oder linear vermehr. Nach drei Tagen wurden 24 Bakerien gezähl, nach 1 Tagen waren es 359. a) Wie viele Bakerien sind nach 2 Tagen bei linearem und bei exponeniellem Wachsum jeweils vorhanden? b) Der Versuch begann mi 2 Bakerien. Berechne die prozenuale Abweichung zum Sarwer des linearen und exponeniellen Wachsums. Enscheide welches Wachsum vermulich vorlieg. c) Nach wie vielen Tagen ha sich der Besand verzehnfach, wenn hierbei von einem exponeniellen Wachsum ausgegangen wird? d) Ein wirksames Miel schränk das ägliche Wachsum auf 2 % ein. Wie viele Bakerien sind nach 31 Tagen vorhanden, wenn das Miel zu Beginn der Unersuchung an 2 Bakerien eingesez wurde? 8. Bei einer Operaion wird für die Narkose ein Medikamen verwende, das mi einer Halbwerszei von 4 Minuen abgebau wird. a) Welche Funkion erfass den Zusammenhang von versrichener Zei und noch vorhandener Medikamenenmenge? b) Wie viel Prozen des Medikamens zerfäll pro Minue? c) Wie viel Prozen sind nach 1 Minuen noch übrig? d) Eine Paienin erhäl zuers 2 mg des Medikamens, danach zweimal in Absänden von einer Sunde je 1 mg. Welche Menge is nach der lezen Infusion insgesam vorhanden? e) Die Paienin wach auf, wenn weniger als.5 mg des Medikamens übrig sind. Wie lange nach der lezen Infusion is das der Fall?

3 Kanonsschule Solohurn Fachmauriä: Wachsumsformen WS14/15 3. Beschränkes Wachsum Ein Wachsum heiss beschränkes Wachsum mi der Schranke (Kapaziä) S, wenn sich der Besand B() nach ( N) Zeischrien um k (S B()) änder mi einer für alle Zeischrie gleichen Zahl k, wenn also die Änderungsrae zum Säigungsmanko S B() proporional is. B(+1) = B() + k (S B()) Beispiel eines beschränken Wachsums: Das Waldserben. Von Jahr zu Jahr werden bis zu 1 % der noch nich geschädigen Bäume krank. 1' 8' 6' 4' 2' Anzahl geschädiger Bäume Beispiel eines beschränken Wachsums Jahr 4. Logisisches Wachsum Ein Wachsum heiss logisisches Wachsum mi der Schranke S, wenn sich der Besand B() nach ( N) Zeischrien im nächsen Zeischri um k B() [S B()] änder, wenn also die Änderungsrae zum Produk aus Besand und Säigungmanko proporional is. B(+1) = B() + k B() (S B()) Beispiel eines logisischen Wachsums: In einer abgelegenen Region mi 1 Einwohnern sei jemand an einer Grippe erkrank. Er wird Personen aus seiner Umgebung ansecken, diese werden ihrerseis andere ansecken usw. Wir nehmen an, dass nach Wochen K() Personen (Kranke) diese Grippe haben oder haen und nun immun sind. Dann gib es 1 -K() Personen (Gesunde), die noch nich erkrank sind. Um die Krankhei zu überragen, müssen sich ein Kranker und ein Gesunder begegnen. Insgesam sind K() [1 -K()] solcher Begegnungen möglich. Wir nehmen an, dass innerhalb der nächsen Woche.1% dieser Begegnungen asächlich safinden und dabei jede zehne zu einer Anseckung führ. Dann erhöh sich die Anzahl der Kranken um.1 K() [1 -K()]. 12' 1' Anzahl Kranke 8' 6' 4' 2' Ausbreiung einer Grippe Woche 3

4 Anwendungen 9. In einer Dürrezone soll eine Bevölkerung von 1 Million Menschen mi Nahrungsmieln versorg werden. Zunächs werden Säde und Dörfer beliefer. Danach wird es zunehmend schwieriger werden, auch ländliche und abgelegene Landeseile zu versorgen. Man kann mi einiger Berechigung davon ausgehen, dass monalich nur z.b. 4 % der noch nich versorgen Menschen (Säigungsmanko) erreich werden. Die Versorgung der Bevölkerung folg also näherungsweise dem Gesez des beschränken Wachsums. a) Selle abellarisch die monalichen Forschrie der Hilfsakion zusammen. Wie lange dauer es, bis 5%, 8%, 9%, ec. der Bevölkerung versorg sind? b) Erseze den Prozensaz 4% durch 2%. Wie lange dauer es in diesem Fall, bis 9% der hungernden Bevölkerung versorg sind? 1. Im Jahre 1986 gab es in Baden-Würemberg 3.75 Millionen Haushale. Davon waren.86 Millionen an das Kabelfernsehen anschliessbar. Ein Jahr späer waren bereis ewa eine Million Haushale anschliessbar. Unersuche die voraussichliche Enwicklung in den folgenden Jahren, uner der Annahme, dass es sich um logisisches Wachsum handel. 11. Eine Firma bring in einer Sad mi 3 Haushalen einen neuen Haushalarikel auf den Mark. In einer Werbeakion wurde er zuvor allgemein bekann gemach. a) Was sprich für die Annahme, dass die Zahl der verkaufen Arikel im Laufe der nächsen Monae nach dem Gesez des beschränken Wachsums zunehmen wird? b) Im ersen Mona werden 1 8 Sück verkauf. Is es aufgrund dieser Erfahrung realisisch anzunehmen, dass sich im ersen Halbjahr 1 Arikel verkaufen lassen? 12. In einem Dorf mi 6 Einwohnern sezen 5 Personen ein Gerüch in die Wel. Am nächsen Tag wissen bereis 8 Personen davon. a) Um mahemaisch zu verfolgen, wie sich das Gerüch ausbreie, nehmen wir an, dass die Zahl der um das Gerüch wissenden Personen näherungsweise nach dem Gesez des logisischen Wachsums zunimm. Was sprich für diese Annahme? b) Wie lange wird es dauern, bis nahezu das ganze Dorf davon weiss? 13. Eine Tierpopulaion ha sich in 5 Jahren von 2 auf 25 Tiere vergrösser. In der Realiä is unbegrenzes Wachsum nich möglich. Wenn die Zahl der Tiere nach oben begrenz is (begrenzes Wachsum), läss sich die Vermehrung besser durch folgende Gleichung beschreiben: B() = G (G a) e -λ (a is der Anfangswer, G die obere Grenze). a) Angenommen, die Tierpopulaion vermehr sich nach dieser Formel mi G = 1. Berechne λ. b) Wann ha sich die Populaion verdoppel? 14. Die bese Näherung erhäl man durch folgende Gleichung (logisisches Wachsum): B() = () a) Mi den Angaben von oben erhäl man: λ =.575. Konrolliere! b) Wie lange brauch die Populaion uner diesen Voraussezungen, um sich zu verdoppeln?

5 Kanonsschule Solohurn Fachmauriä: Wachsumsformen WS14/ Eine Tasse kochendheisser Kaffee (1 C) kühl bei Zimmeremperaur (2 C) in 1 Minuen auf 3 C ab. a) Die Temperaur nach Minuen wird durch die Gleichung T() = 2 + (T 2) e -λ angegeben. Berechne die Konsane λ. b) Frau Mogel misch den Kaffee mi der gleichen Menge Milch aus dem Kühlschrank (4 C). Sie ha zwei Möglichkeien: Die Milch sofor dazugeben, danach 3 Minuen waren. Die Milch ers nach drei Minuen dazugeben. Welche Temperaur ha der Milchkaffee in beiden Fällen? (Anmerkung: Die Temperaur der Mischung is der Mielwer der einzelnen Temperauren: T = (T 1 + T 2) / 2). 16. Bei Annahme eines sogenannen logisischen Bevölkerungswachsums wird die a Welbevölkerung Jahre nach 1969 durch die Funkion B() = beschrieben e a) Im Jahre 1969 berug die Welbevölkerung 3.55 Milliarden Menschen. Wie gross is a? b) Wie gross is nach diesem Modell die Welbevölkerung im Jahr 25? c) Wie gross is die Grenzbevölkerung, d.h. die Bevölkerung, die in unendlich vielen Jahren erreich sein wird? d) Wann wird sich die Bevölkerung von 1969 verdoppel haben? 17. Das Saniäsam einer Sad mi p = 5' Einwohnern lege einer unbekannen Virusepidemie das folgende Modell zugrunde: p y() = k Be wobei y() die Anzahl infizierer Einwohner zum Zeipunk ( in Wochen) bedeue. Zu Beginn der 1. Woche ( = ) waren insgesam 2 Personen erkrank; im Verlaufe dieser Woche wurden aber noch 3 neue Fälle regisrier. a) Besimme die Konsanen B und k (k auf drei Dezimalsellen). b) Berechne die Zahl der erkranken zu Beginn der 4., 6., 8., 12. Woche. 5

6 Lösungen - Wachsumsformen 1. Linear: 26, 52, 78 y = 13 x Exponeniell: 55, 732.5, , Linear: 85, 7, 25, 1 y = 15 x + 1 y = Exponeniell: 1, 4.96, , y = 1. 8 x 2. y 82 = 25'. 12'5 = 25'.82 = 3.49 Jahre 3. a) linear b) exponeniell c) linear d) exponeniell 4. Algenwachsum: y = 1 2 Wasserflächenwachsum: y = 4 x Verdoppelung:.25x 2 = 2 x = 4 Vervierfachung:.25 x 4 = 2 x = 8.25x Verachfachung: 8 = 2 x = a) K = Fr. 5 = b) = K.5 1 = K % K n 1 x c) 1 ' = 2' x = Jahre x Verdoppelung: 5 ' = 2' x = Jahre 7. a) lin: 529 Bakerien exp.: b) 5.5 %.97 % c) 4 Tagen d) Bakerien

7 Kanonsschule Solohurn Fachmauriä: Wachsumsformen WS14/15 8. a) N() = N / b) 1.72 % c) 84.9 % d) 1.64 mg c) 67.3 Minuen 9. Monasanfang Im Laufe des Monas Ende Mona versorg Mona versorg nich 1 1'' 4' 4' 2 4' 6' 24' 64' 3 64' 36' 144' 784' 4 784' 216' 86'4 87'4 5 87'4 129'6 51'84 922' '24 77'76 31'14 953' '344 46'656 18' ' '6 27'994 11' ' '24 16'796 6' ' '922 1'78 4'31 993' '953 6'47 2' ' '372 3'628 1' ' '823 2' ' '694 1' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '963 Anzahl Versorge 1'2' 1'' 8' 6' 4' 2' Hilfsakion in einer Dürrezone Monae 1. Anfangs jahr Ende Jahr Jahr anschl. nein anschl Anzahl Haushale Kabelfernsehen Jahr 7

8 11. a) Am Anfang wollen viele Leue dieses Produk kaufen; Mark wird gesäig; Werbung gerä in Vergessenhei b) k = 3/5 = 6% B(6) = Anfangs Tag Ende Tag Tag Wissende Unwissende Wissende Anzahl Wissende Verbreiung eines Gerüchs Tage 13. a) λ =.129 b) 22 Jahre 14. b) 17 Jahre 15. a) λ =.28 b) 37.1 bzw a) ( ) a B = 3'55'' = 17'75'' 4 e b) 17'75'' B ( 36) = 6'758'612' e c) z. B. 17'75'' 17'75'' = 1Jahre B(1) = = = e 4 e 17'75'' = 17'75'' 1 d) 17'75'' 7' 1'' = Im Jahr e 17. a) B = 2499, k = b) 3112, ,