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1 Mthemtik BeispielAbiturprüfung Prüfungsteile A und B Bewertungsschlüssel und Lösungshinweise (nicht für den Prüfling bestimmt) Die Bewertung der erbrchten Prüfungsleistungen ht sich für jede Aufgbe nch der jeweils m linken Rnd der Aufgbenstellung vermerkten, mximl erreichbren Anzhl von Bewertungseinheiten (BE) zu richten. Die Lösungshinweise enthlten keine vollständigen Lösungen der Aufgben. Nicht gennnte, ber gleichwertige Lösungswege sind entsprechend zu bewerten.

2 Geometrie Aufgbengruppe Q b z. B.: j:x Q λ, λ IR 0 u 0 b Volumen der Pyrmide: Die Pyrmide nimmt etw 7 % des Würfelvolumens ein. c Schnittpunkte: 0 0, 0 0 d e Eine prllel zu M verlufende Ebene knn den Würfel in einem Punkt, in einem Dreieck oder in einem Sechseck schneiden. Für p 0;6 ist die Schnittfigur ein Sechseck. 0

3 Geometrie Aufgbengruppe z. B.: g:x 0 λ, λ IR 0 0 b Abstnd: z. B.: Mn bestimmt zunächst die Koordinten des Fußpunkts F des Lots durch B uf AC. Die Koordinten des Punkts D ergeben sich us D B BF. 0 F fliegt in Richtung Nordosten. Die Flughöhe von F wird durch die x Koordinte der Gerden g beschrieben, die einen konstnten Wert besitzt. b Die Größe des Steigungswinkels beträgt etw 8,0. c Die Flugzeuge kollidieren nicht zwingend, d nicht feststeht, dss sie den Schnittpunkt ihrer Flugbhnen gleichzeitig erreichen. d Der Prmeter μ beschreibt im Modell die während des Fluges vergehende Zeit. e 6 Länge der Flugstrecke: 80 km 0 0 Die von einem Prüfling in den Prüfungsteilen A und B insgesmt erreichten Bewertungseinheiten werden gemäß folgender Tbelle in Notenpunkte umgesetzt: Intervll Bewertungseinheiten Notenpunkte Notenstufe % % % % % % 0 0 6

4 Anlysis Aufgbengruppe x ln, x 0, x, x 6 D IR \ ; y x z. B.: cx x x Term der Stmmfunktion: x I: fx, II: ex mit r, III: gx mit s 0 Nullstellen: x, x b 6 Die Flächeninhlte der Rechtecke lssen sich durch die Funktion :x x x 0; beschreiben. x mit Definitionsbereich x x 0 x D ußerdem x 0 für x und x 0 für x gilt, ist A 6. 9 c 6 6 h x dx x x Ds Rechteck nimmt etw 7,7 % des Flächenstücks ein. x für lle x IR p x e 0 streng monoton fllend., lim p x x lim p x 0 x, d. h. der Grph von p ist in IR Stochstik Aufgbengruppe Ein zufällig usgewählter Angestellter gilt nicht ls ufgeschlossen oder ht keine nch rechts geneigte Hndschrift. b z. B.: R R A 0, 0,8 0,7 A 0, 0,8 0, 0, 0,6 c PA PR 0,70, 0, PA R d geänderter Wert: 60 % 0 0, 0, 0, 0, 7,% 9 0 b 0 P0, X0,% % c 0 Pp X0 0,9 Die Whrscheinlichkeit dfür, sich bei einer Schriftprobe richtig zu entscheiden, muss für den Bewerber mindestens 80 % betrgen. d Nullhypothese: Die Whrscheinlichkeit dfür, sich bei einer Schriftprobe richtig zu entscheiden, beträgt für einen Bewerber höchstens 0 %. Ablehnungsbereich: ;...;0 0 P0, X,% b Die Aussge ist flsch. Begründung z. B. durch Angbe eines Gegenbeispiels 0 9

5 Stochstik Aufgbengruppe Die Terme I und V beschreiben die Whrscheinlichkeit dfür, dss genu fünf der usgewählten Personen Linkshänder sind. b % 0 % 6% b % % 8% c z. B.: Die Zeitungsmeldung knn mit der Abbildung unter der Vorussetzung in Einklng stehen, dss in der Bevölkerung die Anzhl der 0 bis jährigen Männer größer ist ls die der bis 9jährigen. 0,7 0,78 0,89 66,0% PA 6,7%, PB 8,0% b 0 P0, X k 0,0 ; Ablehnungsbereich: 6;...;0 0 oder: P0, X,0% Dmit wird die Annhme des Skeptikers uf einem Signifiknzniveu von % durch ds Ergebnis der Befrgung nicht gestützt. 0 8 b p0 p π 0,6 pπ 0, pπ 0,09 pπ 0,0 c Der Fktor e x verändert die Amplitude der Kosinusfunktion so, dss der Grph von q zwischen den Grphen der Funktionen p und p verläuft. Die Nullstellen von q stimmen mit denen der Kosinusfunktion überein, die Punkte nπ q nπ liegen jeweils uf einem der Grphen von p und p. d 6 x q x e cos x sin x 0 tn x 0, Für die Extremstellen der Kosinusfunktion gilt x nπ mit n Z und dmit tnx 0. e α) Die Aussge ist flsch, d lim p x gilt und die Kosinusfunktion zwischen und oszilliert. β) Die Aussge ist richtig, d x IR gilt. lim p x 0 und cos x für lle x f π 0 qxdx Qπ Q 0 0,9 0 Der Grph von q schließt für x 0;π mit den Koordintenchsen und der Gerden x π Flächenstücke ein. Der Gesmtinhlt der beiden Flächenstücke, die oberhlb der xachse liegen, ist größer ls der Inhlt des Flächenstücks, ds unterhlb der xachse liegt. g z. B.: π Begründung: Der Grph von q schließt für jeweils zwei benchbrte positive Nullstellen von q mit dem zwischen den Nullstellen liegenden Teil der xachse ein Flächenstück ein. Der Inhlt dieser Flächenstücke nimmt in positiver xrichtung b. D die Aufgbenstellung die Existenz geeigneter Werte von vorgibt, muss der ngegebene Wert von die Ungleichung erfüllen. 0

6 Anlysis Aufgbengruppe p: IR \, keine Nullstelle q: ;, Nullstelle x r: y x 0, ;, Nullstelle x Der Grph von t schließt mit der xachse und den Gerden x und x Flächenstücke ein. Je zwei dieser Flächenstücke sind wegen der Punktsymmetrie inhltsgleich, gehen jedoch in die Berechnung des Integrls mit unterschiedlichen Vorzeichen ein. b z. B.: tx x, xdx x 0 Term III nähert den Term von u für große Werte von x m besten. Die Antwort knn z. B. nhnd der Differenzterme plusibel gemcht werden. 0 lim f lim f x x, x b z. B.: x f x e 0 x ln D ußerdem f x 0 für x ln und f x 0 für x ln gilt, besitzt G f usschließlich den Hochpunkt ln ln. c f0 0 f 0, 6 d e 0 f t dt t e t,7 t 0 f Der Grph von F besitzt im Punkt F einen Hochpunkt (Begründung z. B. mithilfe einer Betrchtung von G f ) und berührt dort die xachse (Hochpunkt und Übereinstimmung der Integrtionsgrenzen). g Ds Ergebnis der Aufgbe e stimmt bis uf ds Vorzeichen mit dem Funktionswert von F n der Stelle x 0 überein. b 6 z. B.: I x x T x 0 f 0 T T D ußerdem I T x 0 für x T und I T x 0 für x T gilt, besitzt die Funktion I T bei x T ihr einziges Mximum. c Näherungswert: 6,0 0 K d I: 000 K, II: 6000 K, III: 8000 K Begründung: Der Hochpunkt des Grphen von I T verschiebt sich für zunehmende Werte von T in positive xrichtung, d die xkoordinte des Hochpunkts direkt proportionl zu T ist. e z. B.: I T T T e ; I T T ist lso direkt proportionl zu T 0 7

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